人教版九年級數(shù)學下冊同步講義 第10課 銳角三角函數(shù)（原卷版+解析）

第10課銳角三角函數(shù)目標導航目標導航課程標準1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.知識精講知識精講知識點01銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的，也叫做∠B的，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的，也是∠A的，直角C所對的邊AB記為c，叫做．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作，即EMBEDEquation.DSMT4；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作，即EMBEDEquation.DSMT4；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作，即EMBEDEquation.DSMT4.同理EMBEDEquation.DSMT4；EMBEDEquation.DSMT4；EMBEDEquation.DSMT4．

要點詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值，角的度數(shù)變化時，比值也隨之．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學符號，是一個整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成

“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，．知識點02特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°60°要點詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而．

知識點02銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便．

能力拓展能力拓展考法01銳角三角函數(shù)值的求解策略【典例1】如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是()A．2 B． C． D．【即學即練1】在中，，若，，則，，，，．考法02特殊角的三角函數(shù)值的計算【典例2】求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+tan60°﹣．【即學即練2】在中，，若∠A=45°，則，，，，．考法03銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系【典例3】已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0(1)試判斷△ABC的形狀．(2)求(1+sinA)2﹣2﹣(3+tanC)0的值．考法04銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用【典例4】如圖所示，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD與BC相交于點P，若弦CD＝6，試求cos∠APC的值．【典例5】通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖1①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60°＝________．(2)對于0＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_______．(3)如圖1②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是()A． B． C． D．2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是() A．2 B． C． D． 3.已知銳角α滿足sin25°＝cosα，則α＝()A．25°B．55°C．65°D．75°4．如圖所示，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為()A．B．C．D．5．如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是()A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則∠A的正弦值()A．擴大2倍B．縮小2倍C．擴大4倍D．不變7．如圖所示是教學用具直角三角板，邊AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，則邊BC的長為()A．cmB．cmC．cmD．cm8.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2，則sin∠ACD的值為()A．B．C．D．題組B能力提升練9．如圖，點A(3，t)在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是．10.用不等號連接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是銳角，則∠C的度數(shù)為.12．如圖所示，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP＝1，則tan∠BPC的值是________．第12題第15題14．如果方程的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC的最小角為A，那么tanA的值為________．15．如圖所示，△ABC的內(nèi)心在y軸上，點C的坐標為(2，0)，點B的坐標是(0，2)，直線AC的解析式為，則tanA的值是________．16.若α為銳角，且，則m的取值范圍是．題組C培優(yōu)拔尖練17．如圖所示，△ABC中，D為AB的中點，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18.計算下列各式的值．(1)；(2)sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3)﹣cos60°．19．如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．(1)求證：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20.如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(B、C兩點除外)．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC面積的最大值．(參考數(shù)據(jù)：，，．第10課銳角三角函數(shù)目標導航目標導航課程標準1．結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2．會推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3．理解并能熟練運用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.知識精講知識精講知識點01銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

要點詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時，其比值不變，角的度數(shù)變化時，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數(shù)學符號，是一個整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成

“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0．知識點02特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°要點詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個應(yīng)用就是：如果知道了一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細研究表中數(shù)值的規(guī)律會發(fā)現(xiàn)：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

知識點02銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計算中，計算時巧用這些關(guān)系式可使運算簡便．

能力拓展能力拓展考法01銳角三角函數(shù)值的求解策略【典例1】如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是()A．2 B． C． D．【思路點撥】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．【答案】D．【解析】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．【即學即練1】在中，，若，，則，，，，．【答案】5，，，，．考法02特殊角的三角函數(shù)值的計算【典例2】求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+tan60°﹣．【答案與解析】解：(1)原式==．(2)原式=×﹣4×()2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=．【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個三角板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的三角函數(shù)值，再進行化簡．【即學即練2】在中，，若∠A=45°，則，，，，．【答案】45°，，，，．考法03銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系【典例3】已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0(1)試判斷△ABC的形狀．(2)求(1+sinA)2﹣2﹣(3+tanC)0的值．【答案與解析】解：(1)∵|1﹣tanA)2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是銳角三角形；(2)∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=(1+)2﹣2﹣1=．【總結(jié)升華】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．考法04銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用【典例4】如圖所示，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD與BC相交于點P，若弦CD＝6，試求cos∠APC的值．【答案與解析】連結(jié)AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【總結(jié)升華】直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊的比值，當這個比值無法直接求解，可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用對應(yīng)線段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個比值．銳角的三角函數(shù)是針對直角三角形而言的，故可連結(jié)AC，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，，PC、PA均為未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考慮利用△PCD∽△PAB得．【典例5】通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖1①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60°＝________．(2)對于0＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是_______．(3)如圖1②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．【答案與解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如圖2所示，延長AC到D，使AD＝AB，連接BD．設(shè)AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴CD＝5a-4a＝a，，∴．【總結(jié)升華】(1)將60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA＝1；(2)在圖①中設(shè)想AB＝AC的長固定，并固定AB讓AC繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠A接近0°時，BC接近0，則sadA接近0但永遠不會等于0，故sadA＞0，當∠A接近180°時，BC接近2AB，則sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)將∠A放到等腰三角形中，如圖2所示，根據(jù)定義可求解．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是()A． B． C． D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，綜上，只有C不正確故選：C．2.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是() A．2 B． C． D． 【答案】D；【解析】如圖：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．3.已知銳角α滿足sin25°＝cosα，則α＝()A．25°B．55°C．65°D．75°【答案】C；【解析】由互余角的三角函數(shù)關(guān)系，，∴sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴α＝65°．4．如圖所示，直徑為10的⊙A經(jīng)過點C(0，5)和點O(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點，則∠OBC的余弦值為()A．B．C．D．【答案】C；【解析】設(shè)⊙A交x軸于另一點D，連接CD，根據(jù)已知可以得到OC＝5，CD＝10，∴，∵∠OBC＝∠ODC，∴．5．如圖，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是()A．B．C．D．【答案】D；【解析】如圖所示，過點C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵AC＝2，∴AD＝1，CD＝，∴BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，∴．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則∠A的正弦值()A．擴大2倍B．縮小2倍C．擴大4倍D．不變【答案】D；【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)邊的比，與邊的長度無關(guān)，而只與邊的比值或角的大小有關(guān)．7．如圖所示是教學用具直角三角板，邊AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，則邊BC的長為()A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】C；【解析】由，∴8.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2，則sin∠ACD的值為()A．B．C．D．【答案】A；【解析】∵，∴題組B能力提升練9．如圖，點A(3，t)在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為α，tanα=，則t的值是．【答案】．【解析】過點A作AB⊥x軸于B，∵點A(3，t)在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案為：．10.用不等號連接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°【答案】(1)＜；(2)＜；【解析】當α為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，∴cos50°＜cos20°；當α為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，∴tan18°＜tan21°．11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是銳角，則∠C的度數(shù)為.【答案】105°；【解析】∵，∴，即，．又∵∠A、∠B均為銳角，∴∠A＝45°，∠B＝30°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝105°．12．如圖所示，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA＝________．【答案】；【解析】假設(shè)每一個小正方形的邊長為1，利用網(wǎng)格，從C點向AB所在直線作垂線CH．垂足為H，則∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴．13．已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP＝1，則tan∠BPC的值是________．第12題第15題【答案】2或【解析】此題為無圖題，應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，由于點P是直線CD上一點，所以點P既可以在邊CD上，也可以在CD的延長線上，當P在邊CD上時，；當P在CD延長線上時，．14．如果方程的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC的最小角為A，那么tanA的值為________．【答案】或；【解析】由得，，①當3為直角邊時，最小角A的正切值為；②當3為斜邊時，另一直角邊為，∴最小角A的正切值為.故應(yīng)填或．15．如圖所示，△ABC的內(nèi)心在y軸上，點C的坐標為(2，0)，點B的坐標是(0，2)，直線AC的解析式為，則tanA的值是________．【答案】；【解析】由△ABC的內(nèi)心在y軸上可知OB是∠ABC的角平分線，則∠OBA＝45°，易求AB與x軸的交點為(-2，0)，所以直線AB的解析式為：，聯(lián)立可求A點的坐標為(-6，-4)，∴，又OC＝OB＝2，∴BC＝．在Rt△ABC中，．16.若α為銳角，且，則m的取值范圍是．【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.題組C培優(yōu)拔尖練17．如圖所示，△ABC中，D為AB的中點，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切