考點(diǎn)14 函數(shù)模型及其應(yīng)用10種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)14函數(shù)模型及其應(yīng)用10種常見考法歸類考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)三根據(jù)實(shí)際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型考點(diǎn)四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異考點(diǎn)五利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)六利用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)七利用分式函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)八利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)九利用對數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題考點(diǎn)十利用冪函數(shù)模型解決實(shí)際問題1.幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)冪型函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同3.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法：①構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；②驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況(或誤差更大者).4.用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程生活中遇到的實(shí)際問題，其運(yùn)算往往不簡潔，故由所給函數(shù)模型解決跨學(xué)科領(lǐng)域的交匯問題(常涉及近似計(jì)算)是近幾年高考熱點(diǎn)問題，解此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)分析和理解實(shí)際問題的增長情況(是“對數(shù)增長”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”或其他)；(2)根據(jù)增長情況選擇函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題；(3)通過運(yùn)算、推理求解函數(shù)模型，根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù)；,(4)用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問題的變化規(guī)律、解決有關(guān)問題.注：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．5.二次函數(shù)模型解析式的選擇策略根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：6.分段函數(shù)模型的求解策略在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)．如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)．分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)．構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．7.指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的求解策略(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．(4)對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點(diǎn)要注意區(qū)分：與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先學(xué)會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長．(5)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)．考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程1．（2023春·北京·高三北京市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額關(guān)于游客量的圖像，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時(shí)提高門票價(jià)格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的縱截距表示成本，傾斜角與門票價(jià)格的關(guān)系判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯誤；對于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價(jià)不變，不合題意，B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯誤；對于D，當(dāng)時(shí)，虛線值變大，說明成本見減小，又因?yàn)樘摼€的傾斜角變大，說明提高了門票的價(jià)格，符合題意，D正確，故選:D.2．（2023秋·四川廣安·高三統(tǒng)考期末）在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加：停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．【詳解】在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除B．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是C．故選：C．3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖像是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合，分P點(diǎn)在BC、CD、DA三種情況，依次求出S＝f(x)的解析式，根據(jù)解析式即可作出圖像﹒【詳解】由題意：P點(diǎn)在BC上時(shí)，0≤x＜4，S＝＝2x；P點(diǎn)在CD上時(shí)，4≤x≤8，S＝＝8；P點(diǎn)在DA上時(shí)，8＜x≤12，S＝24－2x．故選：D﹒4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為，為棱上的動點(diǎn)（端點(diǎn)、除外），過點(diǎn)作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計(jì)算出的面積，利用三角形相似可得出的表達(dá)式，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，，、平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面與平面平行或重合，且，取的中點(diǎn)，連接，則，且，故.①當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則.綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項(xiàng)中的圖象.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵對分類討論，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而辨別出函數(shù)的圖象.考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題5．（2023·河南商丘·商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知電磁波在空間中自由傳播時(shí)的損耗公式為，其中D為傳輸距離（單位：km），F(xiàn)為載波頻率（單位：MHz），L為傳輸損耗（單位：dB）．若載波頻率變?yōu)樵瓉淼?00倍，傳輸損耗增加90dB，則傳輸距離約為原來的（

）參考數(shù)據(jù)：．A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】設(shè)出變化前后的相關(guān)量，再結(jié)合已知列式，借助對數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】設(shè)原來的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為，變化后的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為，則，，因此，于是，解得所以傳輸距離約為原來的倍.故選：B6．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）聲強(qiáng)級（單位：）與聲強(qiáng)x（單位：）滿足．一般噪音的聲強(qiáng)級約為80，正常交談的聲強(qiáng)級約為50，那么一般噪音的聲強(qiáng)約為正常交談的聲強(qiáng)的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】A【分析】根據(jù)題中公式，分別求出一般噪音的聲強(qiáng)和正常交談的聲強(qiáng)，從而可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，解得，即一般噪音的聲強(qiáng)約，當(dāng)時(shí)，即，解得，即正常交談的聲強(qiáng)約，所以一般噪音的聲強(qiáng)約為正常交談的聲強(qiáng)的倍.故選：A.7．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過0.08，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式，其中，且，，則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)（

）A．17周 B．24周 C．28周 D．26周【答案】D【分析】由已知數(shù)據(jù)求得參數(shù)，然后解不等式即可得．【詳解】，由，，得，，兩式相減得，則，所以，.該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則，則，即，解得，故至少需要通風(fēng)26周.故選：D．8．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，化簡求值.【詳解】由題意，，所以），即．又，所以．因?yàn)?，所以．故選：B．9．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）2023年10月31日，長征五號B遙四運(yùn)載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將中國空間站夢天實(shí)驗(yàn)艙準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：t）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：t）的關(guān)系滿足，M，m，v之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】由題及圖象關(guān)系可知，在中，當(dāng)一定時(shí)，越大，則越大，當(dāng)一定時(shí)，越小，則越大，代入對應(yīng)的，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由題及圖象關(guān)系可知，在中，當(dāng)一定時(shí)，越大，則越大，當(dāng)一定時(shí)，越小，則越大，對于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯誤.對于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯誤.對于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確.對于D，因?yàn)?，?，，故D錯誤.故選：C.10．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進(jìn)一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為6小時(shí)C．注射該藥物小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為時(shí)【答案】AD【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進(jìn)行逐個(gè)分析，即可解決．【詳解】由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，，故正確，藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)，即，藥物剛好失效的時(shí)間，解得，故藥物有效時(shí)長為小時(shí)，藥物的有效時(shí)間不到6個(gè)小時(shí)，故錯誤，正確；注射該藥物小時(shí)后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，故選：．考點(diǎn)三根據(jù)實(shí)際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型11．（2023·高三單元測試）下表顯示出函數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（

）x-2-10123y0.261.113.9616.0563.98A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．對數(shù)函數(shù)模型 D．指數(shù)函數(shù)模型【答案】D【分析】利用各類型函數(shù)的特點(diǎn)，取點(diǎn)，設(shè)出函數(shù)解析式，代入其他對應(yīng)值驗(yàn)證即可求解.【詳解】由變量可取負(fù)數(shù)，故函數(shù)模型暫排除對數(shù)函數(shù)模型；故C錯誤；取點(diǎn)，設(shè)一次函數(shù)，則，解得，即，而當(dāng)時(shí)，，所以不是一次函數(shù)模型；故A錯誤；設(shè)二次函數(shù)，則

解得，即.當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意；故B錯誤；設(shè)指數(shù)函數(shù)，則，解得，即，代入其他值，驗(yàn)證：接近；接近；接近；接近，故D正確.故選：D.12．（2023秋·高三單元測試）下列函數(shù)中，隨著的增大，增長速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不同函數(shù)增長的差異直接判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)是常數(shù)函數(shù)，B選項(xiàng)是一次函數(shù)，C、D選項(xiàng)都是指數(shù)型函數(shù)，C選項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是2，D選項(xiàng)的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是，且，所以隨著的增大，增長速度最快的是D.故選：D.13．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)中表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，結(jié)合圖象和選項(xiàng)，得到答案.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示，數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和對數(shù)函數(shù)的圖象類似，所以選項(xiàng)D最能反映之間的函數(shù)關(guān)系.故選：D.14．（2023秋·重慶九龍坡·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)參加研究性學(xué)習(xí)活動，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：3927812以下函數(shù)中最符合變量與的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，函數(shù)的增長速度越來越慢，再依次判斷每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的增長速度得到答案.【詳解】根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，函數(shù)的增長速度越來越慢，對選項(xiàng)A：增長速度不變，不滿足；對選項(xiàng)B：時(shí)，增長速度越來越大，不滿足；對選項(xiàng)C：時(shí)，增長速度越來越大，不滿足；對選項(xiàng)D：函數(shù)的增長速度越來越慢，滿足.故選：D15．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)變量，，隨變量的變化數(shù)據(jù)如下表：12468…241664256…14163664…0122.5853…則反映，，隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像變化的性質(zhì)可得.【詳解】從題表可以看出，三個(gè)變量，，都隨x的增大而增大，但是增長速度不同，其中變量的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變量的增長呈冪函數(shù)型變化，變量的增長呈對數(shù)函數(shù)型變化．此外，也可以使用第五組數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)得到答案.故選：B.16．（2023秋·貴州黔東南·高三統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學(xué)家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學(xué)中計(jì)量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預(yù)測在火星和木星之間應(yīng)該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：行星編號1（金星）2（地球）3（火星）4（

）5（木星）6（土星）離太陽的距離(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號之間的關(guān)系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的一種函數(shù)模型（直接給出結(jié)論）；①；②；③．(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奈呛锨闆r；（誤差小于0.2的為吻合）(3)請用你求得的模型，計(jì)算谷神星離太陽的距離．【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，模型②符合題意(2)，模型與數(shù)據(jù)吻合(3)【分析】（1）根據(jù)已知作出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合所給函數(shù)模型圖像性質(zhì)得出答案；（2）將三點(diǎn)代入所選函數(shù)模型，求出參數(shù)，在根據(jù)后兩點(diǎn)驗(yàn)證即可；（3）根據(jù)（2）求出的函數(shù)模型，令，即可求出.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：根據(jù)散點(diǎn)圖可知，模型②符合題意；（2）將，，分別代入，得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，當(dāng)時(shí)，，誤差，吻合，所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；（3）當(dāng)時(shí)，，即谷神星距太陽的距離為.考點(diǎn)四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，隨著的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的增長速度即可判斷.【詳解】當(dāng)x＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函數(shù)其次，對數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)的增長速度最快．故選：D.18．【多選】（2023秋·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，，下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，當(dāng)在上逐漸增大時(shí)，下列說法正確的是（

）A．的增長速度越來越快 B．的增長速度越來越快C．的增長速度一直快于 D．的增長速度有時(shí)慢于【答案】BD【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出3個(gè)函數(shù)圖象，然后根據(jù)圖象逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，由圖可知的增長速度沒有變，所以A錯誤，在上的增長速度越來越快，所以B正確，由圖可知在上的增長速度最慢，而在上的增長速度最快，所以C錯誤，D正確，故選：BD19．【多選】（2023秋·高三單元測試）函數(shù)，，，在區(qū)間上（

）A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知在區(qū)間上，遞減速度越來越慢，故A正確；遞減速度越來越慢，故B正確；遞減速度越來越慢，故C正確；的遞減速度慢于遞減速度，故D錯誤.故選：ABC.20．（2023春·江蘇南通·高三南通一中?？茧A段練習(xí)）已知，則下列命題中正確的是（

）A．，，有成立B．，，有成立C．，，有成立D．，，有成立【答案】A【分析】根據(jù)不同函數(shù)類型的增長速度，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)、、均為單調(diào)遞增函數(shù).而且各類函數(shù)的增長速度為：指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù)，冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù).所以，，，有成立.故選：A.21．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若，則使成立的的取值范圍是________，使成立的的取值范圍是________．【答案】【分析】畫出指對冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法判斷不等關(guān)系下對應(yīng)x的范圍即可.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出，，在上的圖象如下．由圖得，若，則，若，則或．故答案為：，考點(diǎn)五利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由題意求得利潤函數(shù)，然后解不等式即可得．【詳解】由題意日銷量x件時(shí)，利潤是，，，．故選：B．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）勞動實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會?回報(bào)社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足，每天的成本合計(jì)為元，請你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為___________件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為___________萬元.【答案】2007.94【分析】將利潤表示為關(guān)于的一個(gè)二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.【詳解】由題意易得日利潤，故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，故答案為：200，7.94.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？【答案】(1)，；(2)當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤約為4萬元．【分析】（1）由已知給出的函數(shù)模型設(shè)出解析式，代入已知數(shù)據(jù)即可算出結(jié)果；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，則有，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題即可求解．【詳解】（1）設(shè)投資額為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，，，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，約為4萬元．25．（2023·江西鷹潭·二模）某公司為了對某種商品進(jìn)行合理定價(jià)，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價(jià)（單位：元/件）之間的關(guān)系，對近6個(gè)月的月銷售量和月銷售單價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：月銷售單價(jià)（單位：元/件）456789月銷售量（萬件）898382797467(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實(shí)習(xí)員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的.請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，判斷哪位實(shí)習(xí)員工的計(jì)算結(jié)果是正確的，并說明理由；(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計(jì)算正確的結(jié)果回答問題：當(dāng)月銷售單價(jià)為何值時(shí)，啇品的月銷值額預(yù)報(bào)值最大，并求出其最大值.【答案】(1)甲，理由見解析(2)時(shí)，商品的月銷售額預(yù)報(bào)值最大，最大值為萬元【分析】（1）首先由數(shù)據(jù)可得，負(fù)相關(guān)，排除乙，再計(jì)算樣本中心點(diǎn)，代入方程檢驗(yàn)即可；（2）由題意知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)知，負(fù)相關(guān)，故排除乙，又，，由，可得過點(diǎn)，由，可得不過點(diǎn)，所以甲滿足，丙不滿足，故甲計(jì)算正確.（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)有最大值，故當(dāng)時(shí)，商品的月銷售額預(yù)報(bào)值最大，最大值為萬元.26．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？计谀┬滦凸跔畈《靖腥镜姆窝字委熯^程中，需要某醫(yī)藥公司生產(chǎn)的某種藥品．該公司每年產(chǎn)生此藥品不超過300千件，此藥品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件需另投入成本為（萬元）．每千件藥品售價(jià)為50萬元，在疫情期間，該公司生產(chǎn)的藥品能全部售完．（Ⅰ）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？利潤最大是多少？（Ⅱ）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，每千件藥品的平均利潤最大？并求最大平均利潤．【答案】（Ⅰ）當(dāng)年產(chǎn)量為200千件時(shí)，所獲利潤最大為3750萬元；（Ⅱ）當(dāng)年產(chǎn)量為50千件時(shí)，每千件藥品的平均利潤最大為30萬元．【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得利潤，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值；（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)所獲利潤為萬元，則由題可得（），當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)年產(chǎn)量為200千件時(shí)，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為3750萬元；（Ⅱ）可知平均利潤為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以當(dāng)年產(chǎn)量為50千件時(shí)，每千件藥品的平均利潤最大為30萬元．考點(diǎn)六利用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)?全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為__________萬元.【答案】1000【分析】依題意求得利潤，借助導(dǎo)數(shù)和基本不等式可求得最大值.【詳解】由題意得，銷售收入為萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，利潤；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，利潤.所以利潤因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.又，故當(dāng)時(shí)，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.故答案為：100028．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)，其中x是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益=總成本+利潤）【答案】(1)(2)當(dāng)月產(chǎn)量為時(shí),最大利潤為元.【分析】（1）利用利潤=總收益固定成本投入成本，即可求解利潤關(guān)于月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）分段求解利潤關(guān)于月產(chǎn)量的最大值并比較即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)月產(chǎn)量為臺時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤為元.29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）元.已知這種水果的市場售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為480元【分析】（1）利用，即可求解；（2）對進(jìn)行化簡，得到，然后，分類討論和時(shí)，的取值，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，化簡得，（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為480元.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，又稱2023年北京冬季奧運(yùn)會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2023年2月4日開幕，2月20日閉幕.本屆奧運(yùn)會共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng).北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目和自由式滑雪大跳臺，延慶賽區(qū)承辦雪車?雪橇及高山滑雪項(xiàng)目，張家口賽區(qū)承辦除雪車?雪橇?高山滑雪和自由式滑雪大跳臺之外的所有雪上項(xiàng)目，冬奧會的舉辦可以帶動了我國3億人次的冰雪產(chǎn)業(yè)，這為冰雪設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機(jī)遇，某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）.經(jīng)計(jì)算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時(shí)，則這x千件產(chǎn)品成本.每千件產(chǎn)品售價(jià)為100萬元，為了簡化運(yùn)算我們假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元【分析】（1）年利潤為銷售收入減去生產(chǎn)成本，分情況討論計(jì)算即可；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求最大值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式求最大值，繼而求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為950.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時(shí)，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元.31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年11月5日至10日，第三屆中國國際進(jìn)口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進(jìn)博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進(jìn)、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費(fèi)品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入—成本）(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為25萬臺時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元【分析】（1）分和兩種情況，由利潤=銷售收入—成本，知，再代入的解析式，進(jìn)行化簡整理即可，（2）當(dāng)時(shí)，利用配方法求出的最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求出的最大值，比較兩個(gè)最大值后，取較大的即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式為（2）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1450，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)取得最大值1490，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為25萬臺時(shí)，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元．已知這種水果的市場售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為(單位：元)(1)寫單株利潤(元)關(guān)于施用肥料(千克)的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求出的最大值即可．【詳解】（1）依題意，又，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，開口向上，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最大值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立．∵，∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．考點(diǎn)七利用分式函數(shù)模型解決實(shí)際問題33．（2023·全國·高三對口高考）某工廠統(tǒng)計(jì)資料顯示,一種產(chǎn)品的次品率p與日產(chǎn)量x（件）（且）之間的關(guān)系如下表:日產(chǎn)量x12345…9899100次品率p…已知生產(chǎn)一件正品盈利a元,生產(chǎn)一件次品損失元．(1)將該廠的日贏利額y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù);(2)為使日贏利最大,該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少？【答案】(1),（,）(2)96【分析】(1)根據(jù)表格得到次品率p與日產(chǎn)量x之間的關(guān)系,再寫出關(guān)于日贏利額y和日產(chǎn)量x的函數(shù)即可;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，對進(jìn)行換元,分離常數(shù),用基本不等式求出最值,以及取等條件即可.【詳解】（1）解:由表可知次品率(,）,故（,）．（2）由(1)可得:,（,）設(shè),則,,可得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,由,得,所以日產(chǎn)量定為96件時(shí)可使日贏利最大．34．（2023·上海·高三專題練習(xí)）某便民超市經(jīng)銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預(yù)計(jì)當(dāng)一袋桃酥的售價(jià)為元時(shí)，一年的銷售量為萬袋，并且全年該桃酥食品共需支付萬元的管理費(fèi).一年的利潤一年的銷售量售價(jià)（一年銷售桃酥的成本一年的管理費(fèi)）.（單位：萬元）(1)求該超市一年的利潤（萬元）與每袋桃酥食品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每袋桃酥的售價(jià)為多少元時(shí)，該超市一年的利潤最大，并求出的最大值.【答案】(1)；(2)售價(jià)為9元時(shí)，利潤最大為9萬元【分析】（1）直接由題目所給關(guān)系即可求得利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將函數(shù)關(guān)系式變形整理得，結(jié)合基本不等式即可求出最大值.【詳解】（1）由題意知，分公司一年的利潤L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為；（2），因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，此時(shí)最大為9萬元.當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤最大，且最大利潤9萬元.35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？【答案】(1)400噸；(2)不獲利，需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.【分析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.（2）根據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補(bǔ)貼額度.【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故該當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設(shè)該單位每個(gè)月獲利為S元，則，因?yàn)?，則，故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個(gè)月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.36．（2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2023年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=4?.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元/萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬元/萬件(產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.(1)將2023年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2023年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？【答案】(1)(2)3萬元【分析】（1）依據(jù)題意列出該產(chǎn)品的利潤y萬元關(guān)于年促銷費(fèi)用m萬元的解析式即可；（2）依據(jù)均值定理即可求得促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大.【詳解】（1）由題意知，每萬件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（萬元），x=4?則2023年的利潤．（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）∴，當(dāng)且僅當(dāng)萬元時(shí)，（萬元）．故該廠家2023年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元．37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)矩形的周長為cm，把沿折疊，折過去后交于點(diǎn)，設(shè)cm，cm．(1)建立變量與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;(2)求的最大面積以及此時(shí)的的值．【答案】(1)，定義域?yàn)?2)，的最大面積為【分析】（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，（2）設(shè)，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)?，，矩形ABCD的周長為20cm，所以，因?yàn)椋?，解得．所以，定義域?yàn)椋?）因?yàn)锳BCD是矩形，所以有，．因?yàn)槭茄卣燮鹚?，所以有，，因此有，，所以≌，因此，．設(shè)．而ABCD是矩形，所以，因此．在直角三角形ADP中，有，．所以，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)，的最大面積為．考點(diǎn)八利用指數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題38．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）2023年8月，中科院院士陳發(fā)虎帶領(lǐng)他的團(tuán)隊(duì)開始了第二次青藏高原綜合科學(xué)考察．在科考期間，陳院士為同行的科研人員講解專業(yè)知識，在空氣稀薄的高原上開設(shè)了“院士課堂”．已知某地大氣壓強(qiáng)與海平面大氣壓強(qiáng)之比為b，b與該地海拔高度（單位：米）滿足關(guān)系：（k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．若科考隊(duì)算得A地，海拔8700米的B地，則A，B兩地的高度差的絕對值約為（，）（

）A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米【答案】A【分析】設(shè)地海拔高度為，由題意可得，，解方程可得，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)地海拔高度為，由已知可得，，則，，所以，所以（米）.故選：A.39．（2023屆福建省福州市高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實(shí)推動鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當(dāng)貸款大的年收入為8萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.若銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元【答案】A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計(jì)算時(shí)的值即可.【詳解】由題意，即，得，所以.令，得，得，得得.故選：A.40．（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品.贛南臍橙年產(chǎn)量達(dá)百萬噸，原產(chǎn)地江西省贛州市已經(jīng)成為臍橙種植面積世界第一，年產(chǎn)量世界第三，全國最大的臍橙主產(chǎn)區(qū).假設(shè)某贛南臍橙種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量平均每年比上一年增長，若要求該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量高于當(dāng)前臍橙產(chǎn)量的6倍，則至少需要經(jīng)過的年數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先根據(jù)條件建立對數(shù)不等式，從而得到，再利用換底公式即可求出的值，進(jìn)而求出的范圍得到結(jié)果.【詳解】假設(shè)當(dāng)前該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為1，經(jīng)過年該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為，由題意得，得到，又因?yàn)?，所以，故至少需要?jīng)過的年數(shù)為10.故選：B.41．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動車屬于醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員一天晚上點(diǎn)鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時(shí)的速度減少，那么他次日上午最早幾點(diǎn)（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒駕？（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．8點(diǎn) B．9點(diǎn) C．10點(diǎn) D．11點(diǎn)【答案】C【分析】假設(shè)經(jīng)過小時(shí)后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時(shí)后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點(diǎn)，該駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕.故選：C.42．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知在過濾過程中的污染物的殘留含量（單位：）與過濾時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量.若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了，則污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出方程，求出，得到函數(shù)解析式，再設(shè)出未知數(shù)，解方程，求出答案.【詳解】由題意得，化簡得，兩邊取對數(shù)，，故，故設(shè)污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為，則，化簡得，即，解得，故污染物被過濾掉了所需時(shí)間約為77h.故選：C考點(diǎn)九利用對數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量（只）與引入時(shí)間（年）的關(guān)系為，若該動物在引入一年后的數(shù)量為180只，則15年后它們發(fā)展到（

）A．300只 B．400只 C．600只 D．720只【答案】D【分析】根據(jù)題意求得，當(dāng)時(shí)即可求解.【詳解】由題知，該動物的繁殖數(shù)量（只）與引入時(shí)間（年）的關(guān)系為，當(dāng)代入得，，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以15年后它們發(fā)展到720只.故選：D44．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）凈水機(jī)通過分級過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中的核心零件是多層式結(jié)構(gòu)的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹?泥沙?懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一層棉濾芯可以過濾掉的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過，則棉濾芯層數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算直接求解.【詳解】由題意得，經(jīng)層濾芯過濾后水中