清單06 橢圓及其性質(zhì)（9個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單06橢圓及其性質(zhì)（9個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對(duì)于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過焦點(diǎn)的弦）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期中）已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，滿足，的面積為，橢圓的焦距為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓的焦距為，則，由，的面積為，得，即，又，所以，即，，又，則，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D．例2．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)?？计谥校c(diǎn)在橢圓上，則等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以該橢圓的交點(diǎn)在軸上，且，，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：和.因?yàn)楸硎军c(diǎn)到兩點(diǎn)和的距離之和；根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：A.例3．（2023·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？计谥校┣鬂M足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．(2)已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上，求C的方程．【解析】（1）根據(jù)題意，兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，即c＝2，又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則2a，故a，則b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求橢圓的方程為1；（2）由題意，因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以橢圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，又由，知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓C上，因此，解得，所以橢圓C的方程為．例4．（2023·河南開封·高二校聯(lián)考期中）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，.（2）以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn).【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意有，可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為.由題意有，，，有，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例5．（2023·安徽黃山·高二校聯(lián)考期中）設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．圓 D．橢圓【答案】A【解析】若在直線外，由三角形兩邊長(zhǎng)大于第三邊有，不合題意，故必在直線上，若在線段外，也有，不合題意，故必在線段上，且總有，故選：A.例6．（2023·北京順義·高二牛欄山一中?？计谥校E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，橢圓上的點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓定義可知，，得，又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，所以，所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C考點(diǎn)2：橢圓方程的充要條件例7．（2023·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┊?dāng)時(shí)，方程表示的曲線不可能是（

）A．圓 B．直線C．焦點(diǎn)在軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸的雙曲線【答案】D【解析】對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，，方程為表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)方程，即表示焦點(diǎn)在軸的橢圓；當(dāng)時(shí)，，方程為，即表示兩條直線；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)方程，即表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線.故選：D.例8．（2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谀┮阎?，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是B．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線C．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：曲線表示雙曲線時(shí)，則，解得或，所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，解得，所以曲線表示兩條直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，即，可得，曲線：表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若曲線為等軸雙曲線，且方程可整理為，可得，則，無解，所以不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤；故選：C.例9．（2023·陜西咸陽·高二?？计谥校┤绻匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得.故選：B例10．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┤舴匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，所以的取值范圍為.故選：A.例11．（2023·浙江紹興·高二浙江省上虞中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t“”是“曲線表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若方程表示橢圓，則，解得且，所以“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：C．考點(diǎn)3：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題例12．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意可得，設(shè)，則，所以，解得，所以.故選：A例13．（2023·湖北·高二荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為1，則的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．4【答案】B【解析】如圖所示：不妨設(shè)，，（，），，則可知，，兩式相除可得，所以，又，所以，可得（，），由橢圓的定義，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以．故選：B．例14．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，，即，，又，則，，所以為直角三角形，，所以，故選：B.例15．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形面積等于1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題知，，所以，又，得到，代入，解得，所以,故選：B.例16．（2023·山西呂梁·高二統(tǒng)考期中）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓的方程，得，，因?yàn)?，所以，又在橢圓上，所以，解得，即，，所以．故選：A．例17．（2023·海南?？凇じ叨？谝恢行？计谥校┮阎c(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此橢圓上，則的周長(zhǎng)等于（

）A．16 B．20 C．18 D．14【答案】A【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，由橢圓定義知，焦距，所以的周長(zhǎng)等于.故選：A例18．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】直線恒過定點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義知的周長(zhǎng).故選：C考點(diǎn)4：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例19．（2023·福建福州·高二福州三中?？计谥校┮阎^橢圓左焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，過點(diǎn)且斜率為－1的直線與相交于，兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】由過橢圓左焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，可得橢圓過點(diǎn)，代入方程得.設(shè)則，兩式作差得，即，因?yàn)榍『檬堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)橹本€AB斜率為-1，所以，將它們代入上式得，則聯(lián)立方程解得.所以橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為.故選：D例20．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)?？计谥校┌⒒椎略谒闹鳌蛾P(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則的值不可能為（

）A．4 B．8 C．14 D．18【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓的面積為，所以，即，設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，解得，，則，又，即故的值不可能為18.故選：D例21．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若點(diǎn)P在橢圓C上，則的最大值為（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【解析】依題意，，，則，，設(shè)，所以：，又因?yàn)椋?，所以：，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，有最大值：，故C項(xiàng)正確.故選：C．例22．（2023·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓的離心率，可得，所以橢圓的方程為，設(shè)，則，可得，又由點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，所?故選：A.例23．（2023·河南開封·高二校聯(lián)考期中）橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)得到，即可求解.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B.考點(diǎn)5：橢圓上兩線段的和差最值問題例24．（2023·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎狥是橢圓E：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是E上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C；上的一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】記E的右焦點(diǎn)為，依題意，,,由橢圓定義可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)C在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：例25．（2023·遼寧大連·高二大連二十四中校考期中）已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn).則的取值范圍為.【答案】【解析】令是橢圓的右焦點(diǎn)，顯然，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，，由橢圓定義知，，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，于是，因此當(dāng)在之間時(shí)，取得最大值，當(dāng)在之間時(shí)，取得最小值，所以的取值范圍為.故答案為：例26．（2023·江西九江·高二九江一中校考期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】如圖所示，由橢圓方程為，則，，又點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由橢圓定義可知，即，所以，故答案為：.例27．（2023·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：例28．（2023·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即的最小值為，故答案為：例29．（2023·上海閔行·高二?？计谀┤酎c(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得，，，設(shè)，則，則.故答案為：例30．（2023·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為.【答案】8【解析】如圖,由，得，則，則圓的圓心是橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故答案為：8考點(diǎn)6：離心率的值及取值范圍例31．（2023·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，橢圓上一點(diǎn)滿足，且，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】由題意知，，，所以因?yàn)闉榈妊切?，取中點(diǎn)為，在中，，則，即，所以，所以橢圓的離心率為.故答案為：.例32．（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是．【答案】【解析】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中，將兩點(diǎn)代入橢圓可得，兩式作差可得，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，所以，令，則，所以，所以，故答案為：例33．（2023·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的左頂點(diǎn)，的中點(diǎn)M為雙曲線的左頂點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，滿足，則橢圓的離心率.【答案】/【解析】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)M為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以，橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，滿足，所以，可得，所以，代入可得，則橢圓的離心率.故答案為：.例34．（2023·廣東東莞·高二東莞市東華高級(jí)中學(xué)校考期中）已知橢圓（），是其左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M，N分別是，的中點(diǎn)，若存在以為直徑的圓過原點(diǎn)，則橢圓離心率的最小值為.【答案】【解析】令橢圓右焦點(diǎn)為，半焦距為c，連接，因?yàn)榉謩e是、的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，則，由以為直徑的圓過原點(diǎn)，得，則有，又點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，即四邊形為平行四邊形，且是矩形，于是，有，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即有，，則離心率有，而，解得，所以橢圓離心率的最小值為.故答案為：例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，.若橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，，則，，即，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即，.故答案為：例36．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，P是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為．【答案】/0.6【解析】由題意得，由正弦定理得，故，由橢圓定義可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因?yàn)?，所以，解?故答案為：例37．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，橢圓右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【解析】取的中點(diǎn)Q，連接，如圖所示，則，所以，所以，所以為等腰三角形，即，且，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在右準(zhǔn)線上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案為：.考點(diǎn)7：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題例38．（多選題）（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：，在下列結(jié)論中正確的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8 B．焦距為C．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．離心率為【答案】ABD【解析】由已知得，則，故橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，故ABD正確，故選：ABD.例39．（多選題）（2023·安徽黃山·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，則（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8C．的短軸長(zhǎng)為6 D．的一個(gè)頂點(diǎn)為【答案】BC【解析】由橢圓，可得，則，對(duì)于A中，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以B正確；對(duì)于C中，由橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.例40．（多選題）（2023·浙江金華·高二?？计谥校┰O(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．離心率C．短軸長(zhǎng)為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 D．不可能是鈍角【答案】ACD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，，，故離心率，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，正確；故選：ACD例41．（多選題）（2023·陜西漢中·高二?？计谥校┤魴E圓上的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 D．的離心率為【答案】AB【解析】由焦點(diǎn)為可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，，，橢圓的長(zhǎng)軸為，離心率為，故AB正確，CD錯(cuò)誤，故選：AB．例42．（多選題）（2023·江西撫州·高二臨川一中?？计谥校┙眨坝⑿酆教靻T”鄧清明來到我校參加弘揚(yáng)載人航天精神暨國(guó)防教育進(jìn)校園主題活動(dòng)，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)航天知識(shí)的同時(shí)，也深深被航天員的航天精神所感動(dòng).“嫦娥五號(hào)”是中國(guó)首個(gè)實(shí)施無人月面取樣返回的月球探測(cè)器，是中國(guó)探月工程的收官之戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測(cè)器飛到月球附近時(shí)，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說法正確的是（

）A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)為C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大【答案】AC【解析】在橢圓中，由圖可知，解得，所以，所以，A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：AC例43．（多選題）（2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谥校E圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓，點(diǎn)，是它的焦點(diǎn)，若一小球點(diǎn)彈出沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)橢圓壁反彈，當(dāng)它第一次回到點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過的路程可能為（

）A．2 B．8 C．10 D．12【答案】ACD【解析】由題意得：，如圖，光路1：，路程為，光路2：，路程為，光路3：，路程為.故選：ACD.例44．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在曲線中，（

）A．當(dāng)時(shí)，則曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓B．當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓C．曲線C關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，則曲線C的焦距為【答案】ABD【解析】將曲線化為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，所以曲線C表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線C為橢圓，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線C為橢圓，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則曲線C為橢圓，則曲線C的焦距為，故D正確.故選：ABD.考點(diǎn)8：利用第一定義求解軌跡例45．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮粍?dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，又由圓得，圓心，半徑，由圓得，圓心，半徑，由已知得，兩式相加消去可得，根據(jù)橢圓定義可得動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)為其中，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.例46．（2023·河北石家莊·高二河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獌牲c(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在軸上的射影為，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】因?yàn)?，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，所以在軸上的射影為，所以，所以，所以，化簡(jiǎn)為，故答案為例47．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期中）設(shè)，若，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】可以看作是點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離和為8，由于,所以在以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故，故橢圓方程為，故答案為：例48．（2023·海南海口·高二?？谝恢行？计谥校┰趫A上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，，，由點(diǎn)在圓上，得，因此，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：例49．（2023·廣東東莞·高二校聯(lián)考期中）在中，若，，的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是【答案】，【解析】設(shè)頂點(diǎn)，則，所以頂點(diǎn)C的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，除去左右兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)該橢圓為，其中，所以橢圓為，即頂點(diǎn)C的軌跡方程是，.故答案為：，.例50．（2023·上海靜安·高二?？计谥校┮阎獮闄E圓上一動(dòng)點(diǎn)，記原點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，由得點(diǎn)，而點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：例51．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).則點(diǎn)的軌跡的方程為；【答案】【解析】由題意知，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，∴，∴點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，，，，∴點(diǎn)的軌跡的方程為．故答案為：例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為；【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由已知得：圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知：，兩式相加得，，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)方程為，則，，，，，所以軌跡的方程為.故答案為：例53．（2023·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)，，為動(dòng)點(diǎn)（不在軸上），已知直線與直線的斜率之積為定值，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由已知可設(shè)點(diǎn)，顯然.則，，由已知可得，，整理可得，，即.故答案為：.例54．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谀┮阎獔AC：上一動(dòng)點(diǎn)M，點(diǎn)，線段MB的中垂線交直線MC于點(diǎn)，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是，則.【答案】/【解析】圓C：，圓心為，半徑，如圖所示：連接，則，，故的軌跡為橢圓的右半部分，橢圓方程為：，（），點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是，則，且，解得，（舍去負(fù)值），故.故答案為：考點(diǎn)9：直線與橢圓的位置關(guān)系例55．（2023·天津和平·高二天津市第五十五中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓：過點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)傾斜角為的直線過橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于、兩點(diǎn)，求【解析】（1）由題可知，，所以橢圓方程為.（2）右焦點(diǎn)為，所以傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得，，所以，所以.例56．（2023·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4(1)寫出點(diǎn)軌跡的方程；(2)若直線與軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由橢圓定義可知，軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓，故，，，其方程為.（2）聯(lián)立得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為.例57．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，已知直線和橢圓．m為何值時(shí)，直線l與橢圓C：

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)？(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？(3)沒有公共點(diǎn)？【解析】（1）由方程組消去y，得，．由，得．此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．（2）由，得，．此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（3）由，得，或．此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．例58．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．【解析】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由，得．則，．因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．所以直線l的方程為．例59．（2023·青海西寧·高二校考期末）已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程：(2)設(shè)過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長(zhǎng)．【解析】（1）由離心率，則，右焦點(diǎn)，直線的斜率，解得，，所以，橢圓的方程為；（2）由（1）可知橢圓的左焦點(diǎn)，則直線的方程為，由，解得或，不妨令、，所以.例60．（2023·江西撫州·高二南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓過拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)不過原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以則，所以橢圓E的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，所以解得，由韋達(dá)定理可得，由弦長(zhǎng)公式可得，點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.例61．（2023·浙江嘉興·高二嘉興一中校考期中）已知橢圓經(jīng)過．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）橢圓經(jīng)過，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得，解得：，，即橢圓的方程為；（2）記，，可設(shè)的方程為，由，消去得，解得，直線與軸交于點(diǎn)，則.【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·四川成都·高二成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┤酎c(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由已知得設(shè)，且，則，代入得，因?yàn)?，所以，即的最小值?故選：A.2．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓在第一象限的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，設(shè)內(nèi)切圓分別與軸相切于點(diǎn)，則，，，，又∴，易知，，，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A3．（2023·安徽黃山·高二校聯(lián)考期中）已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓

上，邊和分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或（舍去），故選：A4．（2023·天津和平·高二耀華中學(xué)?？计谥校┻^橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作弦，若，，則的數(shù)值為（

）A． B． C． D．與弦斜率有關(guān)【答案】B【解析】令，設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，解得，則，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，整理得：，所以，，又，，所以，綜上，.故選：B.5．（2023·天津和平·高二耀華中學(xué)?？计谥校┰O(shè)橢圓的方程為，斜率為的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).下列說法正確的個(gè)數(shù)（

）①直線與垂直②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線方程為③若直線方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為④若直線方程為，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】不妨設(shè)坐標(biāo)為，則，兩式作差可得：，設(shè)，則.對(duì)①：，故直線不垂直，則①錯(cuò)誤；對(duì)②：：若點(diǎn)M坐標(biāo)為,則，則，又過點(diǎn)，則直線的方程為，即，故②正確.對(duì)③：若直線方程為，故可得，即，又，解得，即，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：若直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，可得：，解得，故，則，故④正確；故選：C.6．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）直線與橢圓C：的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，根據(jù)題意：軸，A在橢圓上，由解得，則，A在直線上，則，所以，，，所以，解得.故選：A7．（2023·天津和平·高二耀華中學(xué)?？计谥校E圓的兩焦點(diǎn)為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點(diǎn)分別是A，B，易得，，∴，∴，∴，故選：D.8．（2023·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且離心率為的橢圓與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，的面積被軸分成兩部分，且與的面積之比為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為，，聯(lián)立整理得：，由橢圓的離心率，得，帶入上式并整理得：，則，由與的面積之比為，則，則，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為故選：.二、多選題9．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若方程所表示的直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的面積可能為2C．的最大值為4 D．的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上，下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為4，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€，即，令，可得，所以，則圓，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC．10．（2023·福建泉州·高二泉州七中?？计谥校┮阎獧E圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得B．直線與直線斜率乘積為定值C．D．若，，則【答案】ACD【解析】橢圓，設(shè)分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，分別為它的上下頂點(diǎn)，如圖:所以，，，.對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)在上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)?，所以為鈍角，因此存在使得，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，在上，于是有，所以，則直線與直線斜率乘積為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由點(diǎn)P是橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得，所以點(diǎn)P到做焦點(diǎn)的最小距離大于，最大距離小于，可得，故C正確；對(duì)于D：設(shè)離心率為，則，由正弦定理可得，即，又，而，即，因?yàn)?，，所以，即，化?jiǎn)得，即，所以，故D正確.故選：ACD.11．（2023·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為銳角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】AD【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，如圖所示：由橢圓對(duì)稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可知，所以由橢圓定義可得為定值，即A正確；的周長(zhǎng)為，易知當(dāng)時(shí)，，因此的周長(zhǎng)的取值范圍是，即B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，又，可得，所以，即是直角，即可知為直角三角形，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，易知，頂點(diǎn)到邊的距離為，所以的面積為，即D正確.故選：AD12．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對(duì)的.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù).若某條直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“成雙直線”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B．直線為成雙直線C．若直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上不同于的一點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則D．點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上的任意一點(diǎn)，，，則面積為【答案】BC【解析】對(duì)A，設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得，故A錯(cuò);對(duì)B，聯(lián)立，消去得，，故直線上存在這樣的點(diǎn)，所以為成雙直線，故B正確;對(duì)C，設(shè)，則，所以，故C正確.對(duì)D，易得分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，，設(shè)，根據(jù)余弦定理得，解得，則，（或根據(jù)結(jié)論得面積為，）故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．（2023·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為9，則橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)M為短軸端點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以故答案為：14．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）定義：圓錐曲線C：的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A．已知橢圓C的方程為，P是直線l：上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線與橢圓相切于M，N兩點(diǎn)，連接OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)為直角時(shí)，的值是．【答案】或0【解析】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義，橢圓相應(yīng)的蒙日?qǐng)A圓O方程為，則由題意可知當(dāng)為直角時(shí)P點(diǎn)在圓上；圓心到直線l：的距離，即直線l與圓O相交，設(shè)交點(diǎn)為A、B，聯(lián)立，可得或，不妨取點(diǎn)、，因?yàn)镻是直線l：上的一點(diǎn)，為直角，即點(diǎn)P為直線l與圓的交點(diǎn)；即點(diǎn)P與點(diǎn)A或B重合，此時(shí)，或，所以直線OP的斜率