2023年山東省桓臺第一中學數學高二年級下冊期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設復數Z滿足（l+i）z=i,則Z的共扼復數三=:()

11.11.11.C11.

A.—I---1B.-------1C.-----1—ID.-----------1

22222222

2.已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3尤，則該雙曲線的離心率是（

A.√iθB.2√2C.亞D.拽^

33

3.設隨機變量X的分布列為P（X=i）=α（g）',ι=l,2,3,則”的值為（）

91127

A.1B.—C.—D.—

131313

4.在ΔA3C中，*〃，c分別是內角A,B,C所對的邊，若hcosC+CCOSB="sinA,則ZVWC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形

5.隨機變量X的分布列如下表，其中。，h,C成等差數列，且c='αθ,

2

X246

Pabc

則P(X=2)=()

6.已知回歸方程y=2x-l,則該方程在樣本（3,4）處的殘差為（）

A.5B.2C.1D.-1

7.某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語文，數學，英語，物理，化學，其中語文和英語必須連續(xù)安排，數學和

物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數為O

A.60B.48C.36D.24

?*

8.已知i是虛數單位，尸=-1，則計算一L的結果是O

1+z

A.1+zB.-1+/C.1-z

9.設函數/(x)=e*(l-2x),g(x)=ax-a,“>—1若存在唯一的整數,使/(x)-g(x)>0,則。的取值范

圍是()

-l,-?21

A.C.D.

-41,

2e?72e3e2

10.已知全集U={L3,5,7},A={3,5},則GA=

A.{1}B.{7}C.{1,7}D.{1,3,5,7}

用數學歸納法證明1+L+,++」—<〃(〃WN*,〃>1)時，第一步應驗證不等式()

11.

232〃一1''

l+,<2,ll11111?

B.IH----1—<2nC.I1H-----1—<3oD.11H-----1----1—<3

22323234

12.由2,3,5,O組成的沒有重復數字的四位偶數的個數是()

A.12B.10C.8D.14

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知一組數據6,7,8,X,y的平均數是8,且肛=90,則該組數據的方差為

(1

14.二項式?展開式中含Y項的系數是

Iv?

15.設集合A={1,3,5},B={3,4,5},則集合ArB=

(尤-1-)7的展開式的第3項為.

16.

Ix

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

?Q

17.(12分)在AABC中，內角A5,C所對的邊分別是α∕,c,已知tanC=——

1-cosB

(I)求證：ΔABC為等腰三角形;

12

(H)若AABC是鈍角三角形，且面積為O幺，求幺h的值.

4ac

18.(12分)有20件產品，其中5件是次品，其余都是合格品，現不放回的從中依次抽2件.求:

(1)第一次抽到次品的概率;

(2)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率.

19.(12分)(本小題滿分13分)已知函數/(x)=0x-Inx(α∈R)°

(I)當α=l時，求曲線y=∕(x)在x=2處切線的斜率;

(∏)求/(X)的單調區(qū)間

(In)當α>0時,求/(x)在區(qū)間(O,e］上的最小值。

TT

20.(12分)在四棱錐ABCD中，底面ABC。為菱形，ND48=§,側面WJP為等腰直角三角形，PA=PD,

點E為棱AZ)的中點.

(1)求證：≡PEBAMABCDX

(2)若AB=PB=2,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

21.(12分)已知正三棱柱ABC-A4G中，AB=2,AAt=√3,點。為AC的中點，點E在線段AA上.

(I)當AE:EA1=1：2時，求證DE±BC1；

(H)是否存在點E,使二面角。一BE—A等于60。？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由.

22.(10分)已知函數分(X)=(X+1)InX-X+1.

(I)^^?x)≤x2+ax+l,求α的取值范圍;

(∏)證明：(D/(x)≥0.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

算出z,即可得)

【詳解】

由(l+i)z=i得，z='-=，+，i,所以I=，—，'

''1+z2222

故選：B

【點睛】

本題主要考查了復數的除法運算，共輾復數的概念，考查了學生基本運算能力和對基本概念的理解.

2、C

【解析】

分析：由題意，雙曲線的焦點在)’軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3χ,求得f=3,利用離心率的公式，即可求

解雙曲線的離心率.

詳解：由題意，雙曲線的焦點在)'軸上的雙曲線的漸近線方程是y=±3χ,

即￡=3,所以雙曲線的離心率為e='=J+(3)2=Jl+(g)2=千，故選c

點睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問題，其中熟記雙曲線的標準方程和幾何性質是解答的關鍵，著重考查

了推理與運算能力.

3、D

【解析】

根據分布列中所有概率和為1求4的值.

【詳解】

111127

因為P(X=i)="(-i=l,2,3(所以α(—I---1---)=14=—,選D.

3392713

【點睛】

本題考查分布列的性質，考查基本求解能力.

4、B

【解析】

TT

利用正弦定理和兩角和的正弦化簡ACOSC+CCOSB=asinA可得SinA=sin2A,從而得到SinA=I即A=—.

2

【詳解】

因為∕?COSC+ccos8=。SinA,所以SinBCOSC+sinCcosB=Sin?A，

所以Sin(B+C)=si??A即SinA=Sin2A，

因為A<0,%）,故SinA>0,故SinA=1,所以A=^,AABC為直角三角形，

故選B.

【點睛】

在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊

的關系式或角的關系式.

5、A

【解析】

根據a,b,c成等差數列，a+b+c=l,C=Jab可解得a,b,c,進而求出P（X=2）.

【詳解】

4

2b=a-?-c7

由VC=Ja814

得b=g.則P(X=2)=—，故選A.

2

a+b+c=12

C=一

21

【點睛】

本題考查根據隨機變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出.

6、D

【解析】

分析：先求當x=3時，9的值5,再用4-5=-1即得方程在樣本（3,4）處的殘差.

詳解：當x=3時，9=2x3-l=5,4-5=-1,所以方程在樣本（3,4）處的殘差為-1.

故答案為：D.

點睛：（D本題主要考查殘差的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平?（2）殘差=實際值-預報值，不要減反了.

7、D

【解析】

由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數為&&A；=24,得解.

【詳解】

先將語文和英語捆綁在一起，作為一個新元素處理，

再將此新元素與化學全排，再在3個空中選2個空將數學和物理插入即可,

即不同的排課方法數為"A；A；=24,

故選：D.

【點睛】

本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題.

8、A

【解析】

根據虛數單位i的運算性質，直接利用復數代數形式的除法運算化簡求值.

【詳解】

解：i2——1?

.2i2i(l-i)2+2i]i￡

'l+7^^(l+ι)(l-ι)-2一1'

故選A.

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題.

9,C

【解析】

先確定X=O是唯一整數解,再通過圖像計算g(-D≥/(-D得到范圍.

【詳解】

f(%)=e'(1—2x)=>∕'(x)=ev(l+2x)

x>--是函數單調遞減；函數單調遞增.

22

存在唯一的整數廝，使/(x)-g(x)>O

取X=0,a>-?,/(0)-g(0)=l+α>0滿足，則0是唯一整數.

g(x)=ax-a恒過定點(1,0)

如圖所示:

故答案選C

【點睛】

本題考查了函數的圖像，函數的單調性，首先確定O是唯一解是解題的關鍵.

10、C

【解析】

根據補集定義直接求得結果.

【詳解】

由補集定義得：QA={1,7}

本題正確選項：C

【點睛】

本題考查集合運算中的補集運算，屬于基礎題.

11、B

【解析】

根據〃∈N",”>1,第一步應驗證〃=2的情況，計算得到答案.

【詳解】

因為WeN",">1,故第一步應驗證〃=2的情況，即l+'+J<2?

23

故選：B.

【點睛】

本題考查了數學歸納法，意在考查學生對于數學歸納法的理解和掌握.

12、B

【解析】

根據個位是O和2分成兩種情況進行分類討論，由此計算出所有可能的沒有重復數字的四位偶數的個數.

【詳解】

當O在個位數上時，有6=6個；當2在個位數上時，首位從5,3中選1,有兩種選擇，剩余兩個數在中間排列有2

種方式，所以有2x2=4個所以共有10個.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查簡單排列組合的計算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

根據題意，列出關于％,y的等量關系式，結合孫=90,求得χ,y的值，利用方差公式求得結果.

【詳解】

一組數據6,7,8,x,y的平均數是8,且孫=90,

所以6+7+8+x+y=8x5=4(),

化簡得x+y=19,又盯=90,

所以X，)'的值分別為10,9或9,10,

所以該組數據的方差為：

/中6一8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(1。-8溝吟=2,

故答案是：2.

【點睛】

該題考查的是有關求一組數據的方差的問題，涉及到的知識點有方差公式，屬于簡單題目.

14、210.

【解析】

分析：先根據二項展開式通項公式得含χ3項的項數，再代入得系數

詳解：因為&I=GO(點y~(-正^)'=G(TyXE,，所以“；10=3.」=6

O

因此含/項的系數是Cζ(T)6=210?

點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略

(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第廠+1項，再由特定項的特點求出，?值即可.

(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第廠+1項，由特定項得出「值，最后求

出其參數.

15、{3,5}

【解析】

根據集合A,8,求出兩集合的交集即可

【詳解】

A={1,3,5},B={3,4,5)

r.AcB={3,5}

故答案為{3,5}

【點睛】

本題主要考查了集合交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵，屬于基礎題.

16、-xi

7

【解析】

利用二項式定理展開式。；./-,1一3%]，令r=2可得出答案.

【詳解】

（x--^的展開式的第3項為《χ5J-L]=Zχ3,故答案為2χ3.

I7x）I7xJ77

【點睛】

本題考查二項式指定項，解題時充分利用二項式定理展開式，考查計算能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)證明見解析；(II)2+√3

【解析】

(I)將正切化弦，結合兩角和差正弦公式可求得SinC=Sin(6+C),根據三角形內角和可整理為SinC=SinA,

則由正弦定理可得到結論；(∏)利用三角形面積公式可求得SinB=根據三角形為鈍角三角形且(I)中的c=α,

2

可知3為鈍角，求得CoSB；利用余弦定理可構造方程求得4/之間關系，從而得到所求結果.

【詳解】

,、工?sin83sinCsinB

(τI)由tan。=--------得：------=--------

1-cosBcosC1-cosB

則：SinC=sinBCoSC+cosBSinC=Sin(B+C)

?.?A+B+C=τr.?.sin(6+C)=sin(乃-A)=SinA.?.sinC=sinA

由正弦定理可知：c=a

,AABC為等腰三角形

2?

(H)由題意得：S=LaCSinB=La2sinB=±,解得：Sin8=一

2242

ΔABC為鈍角三角形，且α=c.?.B為鈍角.?.cosB=-—

2

由余弦定理得：b2=cr-Vc1-2。CCoSB=2a~+?∣3a~=(2+6)/

—=?=2+√3

aca~

【點睛】

本題考查三角形形狀的求解、利用余弦定理、三角形面積公式求解三角形邊之間的關系問題，涉及到兩角和差正弦公

式、三角形內角和、誘導公式、同角三角函數值的求解等知識.

14

18、(1)—(2)—

419

【解析】

(1)抽到每件產品的可能性相同，直接做比即可(2)考慮剩余產品數目和剩余次品數目再做比例。

【詳解】

設第一次抽到次品的事件為A，第二次抽到次品的事件為8?

(1)因為有20件產品，其中5件是次品，抽到每件產品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率為P(A)=TJ=；.

(2)第一次抽到次品后，剩余19件產品，其中有4件次品，又因為抽到每件產品的可能性相同，所以在第一次抽到

4

次品的條件下，第二次抽到次品的概率為P(BlA)=7.

【點睛】

本題考查古典概型和條件概率，屬于基礎題。

1(0,1)

19、(I)2(∏)當α≤°時，/(X)的單調遞減區(qū)間為(°，+8)；當。>°時，函數/(X)的單調遞減區(qū)間為‘a,

(—,+∞)0<α<—1ci≥—((、1

單調遞增區(qū)間為。(HI)當e時，J(X)在區(qū)間(O,eJ上的最小值為αe-l,當e,/00在區(qū)間(()，ej

上的最小值為1+Ina

【解析】

/(?)=X-In%,f?x)=(?>0)"\

試題分析：(I)利用導數幾何意義求切線斜率：當α=ι時，X,故曲線y="χ)

—f'(x)=a--=-~~-(x>0),..?

在％=2處切線的斜率為2(Ii)因為XX,所以按。分類討論：當αV0時，/f(x)<°,

遞減區(qū)間為(“+°0)；當。>°時，在區(qū)間。上，/(x)<°,在區(qū)間。上，/(X)>°,單調遞減區(qū)間為a,

(一,+oo)

單調遞增區(qū)間為a.(∏i)根據(∏)得到的結論，

—I>eC()<al<—,.—1?,eQ2、1.

當。，即e時，/O)在區(qū)間(°，e］上的最小值為/(e),f?e}=ae-?,當。一，即1e時，在

m1f(?)?(?)=I-In工=1+Inα

區(qū)間(O,eJ上的最小值為a,aa

f(x)=x-↑nx,f'(x)——~?(%>0)

試題解析：解：(I)當α=l時，龍，2分

?

故曲線y=/(%)在尤=2處切線的斜率為73分

/="=竺二!■(x〉0)

(∏)XX。4分

①當α≤°時，由于x>°,故以T<0,∕(x)<°。所以，/W的單調遞減區(qū)間為(°，+8)。5分

JV——

②當a〉0時，由/'(X)=0,得'ao

在區(qū)間Q7(上，/'(χ)<°,在區(qū)間(7+8)上，/'(幻>0。

(0,—)(―,+∞)

所以，函數/S)的單調遞減區(qū)間為a,單調遞增區(qū)間為a7分

(0-)

綜上，當a≤°時，/(X)的單調遞減區(qū)間為(°，+8)；當。>()時，函數/(%)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)

1、

(一,+00)

間為a。8分

(ΠI)根據(H)得到的結論，

1八1

—>e()<a<—.

當a,即e時，/(X)在區(qū)間(°，0上的最小值為/(e),f(e)=ae-l。期分

3ea≥-f/ɑ1/(—)?(-)=1-?n?=1+In?

當a,即e時，J")在區(qū)間(°，句上的最小值為ataa012分

?CVQ<l—Q、N—1

綜上，當e時，/(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值為這一1,當-e,/O)在區(qū)間(0,e］上的最小值為1+lna。

13分

考點：利用導數求切線斜率，利用導數求單調區(qū)間，利用導數求函數最值

20、(1)見解析；(2)立

4

【解析】

(1)根據線面垂直的判定定理，先證明4)，面PE6,再由面面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

(2)先由題中數據，得到PE上EB;再以E為坐標原點，分別以E4,EB,JEP所在直線為乂》/軸建立空間直角

坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，進而可得出結果.

【詳解】

(1)證明：YQA=PE>,E為棱AO的中點，??.LAC),

TT

又VABCD為菱形且ZDAB=-,:.EBlAD,

?：PECEB=E，???AD_L面PEB,

：ADu面ABCD,：.面PEB±面ABCD；

(2)解：I，AB=2?NDAB=—,BE=g>PE=1,

又PB=2，：.PE?+EB?=PB"則

以E為坐標原點，分別以E4,EB,EP所在直線為％Xz軸建立空間直角坐標系.

則A(l,0,0),β(0,√3,0),P(0,0,1),C(-2,√3,0),

BA=(I,-G,0),BP=(OCP=(2,-61).

設平面PBC的一個法向量為"=(χ,y,z).

n-BP=-?/?v+z=0

由｛-L,取y=l,得〃=(

n-CP=2x-?∣3y+z=0

設直線AB與平面PBC所成角為θ.

所以Sinθ=CoS(B4,=IBAjl==—

'/網W2x24

【點睛】

本題主要考查證明面面垂直，以及求線面角的正弦值，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及空間向量的方法求

線面角即可，屬于?？碱}型.

21、（I）證明見解析；（II）存在點E,當AE=注時，二面角。一BE—A等于60°.

2

【解析】

試題分析：（I）證明：連接。G，=由ABC-AAG為正三棱柱=ΔΛ8C為正三角形=BoJ_AC,

又平面ABC，平面AC￡4=30，平面ACcA=>5。，￡>。易得?！?，。&n。石_￡平面

BOG=>OE_LBG.（∏）假設存在點E滿足條件，設A￡=加.由平面建立空

間直角坐標系。一孫z,求得平面DBE的一個法向量為

rt1=(-w,O,l),平面ΛSE的一個法向量為

試題解析：(I)證明：連接。α,

因為ABC-44G為正三棱柱，所以ZVLBC為正三角形，

又因為。為