計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ) 第3版 課件 第10章異方差

第10章異方差第10章異方差理解異方差的含義了解異方差產(chǎn)生的原因理解異方差對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響掌握判斷異方差的方法掌握修正異方差的方法LEARNINGTARGET學(xué)習(xí)目標(biāo)10.1異方差回憶古典假定中對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的假定2：同方差假定。其含義是對(duì)于所有的i，的條件方差都相等，即：。這個(gè)假定的意義是，我們希望對(duì)于不同的X，對(duì)應(yīng)的Y的分散程度是相同的，其含義是他們均值的代表程度也相同。這個(gè)假定對(duì)我們得到高斯—馬爾可夫定理的結(jié)論是必要的，也就是說(shuō)，如果這個(gè)假定沒(méi)有被滿足，我們就不能得到高斯—馬爾可夫定理的結(jié)論。而我們稱這種不滿足同方差假定的情況為異方差，即：。10.1異方差例如，在消費(fèi)模型中我們可以觀察到，低收入人群的消費(fèi)差異較小，而隨著收入的增加，消費(fèi)的差異也會(huì)增加。也就是說(shuō)，當(dāng)收入（）較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的消費(fèi)（）的值差異較小，此時(shí)的條件方差較小；當(dāng)收入（）較大時(shí)，對(duì)應(yīng)的消費(fèi)（）的值差異較大，此時(shí)的條件方差較大。這時(shí)我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，的條件方差會(huì)隨著的增大而增大，也就是異方差。這種情形稱為遞增型異方差，其表現(xiàn)形式如圖10-1所示。10.1異方差如果的條件方差會(huì)隨著的增大而減小，則稱為遞減型異方差，其表現(xiàn)形式與遞增型異方差相反。還有一種復(fù)雜型異方差，的條件方差會(huì)隨著的增大表現(xiàn)出不規(guī)則的變化。無(wú)論哪一種情形，所謂異方差都是的條件方差會(huì)隨著某個(gè)的變化而發(fā)生變化。即有：

（10-1）10.2異方差產(chǎn)生的原因由于實(shí)際的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是錯(cuò)綜復(fù)雜的，很多變量會(huì)表現(xiàn)出其固有的規(guī)律性，從而導(dǎo)致異方差的產(chǎn)生，歸納起來(lái)有以下一些主要原因。1.模型設(shè)定偏誤我們已經(jīng)多次談到這個(gè)問(wèn)題。模型設(shè)定偏誤主要包括變量設(shè)定偏誤和函數(shù)形式設(shè)定偏誤，這兩種情形都有可能產(chǎn)生異方差。假設(shè)正確的模型是多元的，例如正確的模型為：，因?yàn)槟Ｐ褪钦_的，所以其隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿足古典假定，具有同方差性。而由于各種原因我們將模型設(shè)定為一元線性回歸模型：

（10-2）其中。這樣，中就包含了變動(dòng)的因素，可能會(huì)產(chǎn)生異方差。再例如，正確的模型為：，其中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿足古典假定，具有同方差性。同樣，如果我們將模型設(shè)定為式（10-2），則有，這樣，中就包含了變動(dòng)的因素，也可能會(huì)產(chǎn)生異方差。10.2異方差產(chǎn)生的原因2.截面數(shù)據(jù)中各總體的差異一般來(lái)說(shuō)，截面數(shù)據(jù)要比時(shí)間序列數(shù)據(jù)更容易產(chǎn)生異方差，這是因?yàn)榻孛鏀?shù)據(jù)來(lái)自于不同總體，但時(shí)間是同一時(shí)間。由于不同總體可能會(huì)有不同的分布，故其方差可能會(huì)不同，從而產(chǎn)生異方差。例如，用截面數(shù)據(jù)建立消費(fèi)模型，由于各地區(qū)的收入水平差異較大，故其消費(fèi)數(shù)據(jù)也會(huì)表現(xiàn)出不同的差異，故可能產(chǎn)生異方差。雖然異方差多產(chǎn)生于截面數(shù)據(jù)中，但不能否認(rèn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)也會(huì)產(chǎn)生異方差。例如，用時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立消費(fèi)模型，隨著時(shí)間的推移，人們的收入水平會(huì)提高，消費(fèi)也會(huì)有更大的選擇性和隨意性，雖然是同一個(gè)總體，前后不同時(shí)間的消費(fèi)數(shù)據(jù)也會(huì)存在明顯差異，故可能產(chǎn)生異方差。10.2異方差產(chǎn)生的原因3.數(shù)據(jù)的影響數(shù)據(jù)也會(huì)是產(chǎn)生異方差的原因。如出現(xiàn)異常值（非常的大或非常的?。?，會(huì)產(chǎn)生異方差，特別是當(dāng)樣本容量較小是更是如此。此外，數(shù)據(jù)采集技術(shù)的改進(jìn)也會(huì)產(chǎn)生異方差。例如隨著時(shí)間對(duì)推移，數(shù)據(jù)采集技術(shù)會(huì)得到較大的改進(jìn)，使數(shù)據(jù)的誤差越來(lái)越小，從而方差也會(huì)隨之變小，從而產(chǎn)生異方差。再就是不正確的數(shù)據(jù)變形（如計(jì)算比率或差分等）也會(huì)產(chǎn)生異方差。10.3異方差的后果我們知道，高斯—馬爾可夫定理的條件是模型的設(shè)定要滿足古典假定。如果存在異方差，即存在不滿足古典假定的情況，我們就有理由認(rèn)為高斯—馬爾可夫定理不成立了。也就是說(shuō)，異方差可能會(huì)對(duì)估計(jì)的結(jié)果產(chǎn)生影響。1.參數(shù)的OLS估計(jì)量仍然是線性的和無(wú)偏的由于線性性和無(wú)偏性僅依賴于古典假定中的零均值假定，即，以及解釋變量是非隨機(jī)變量，異方差的存在顯然不會(huì)影響這個(gè)結(jié)果的成立。2.對(duì)參數(shù)OLS估計(jì)量方差的影響以一元線性回歸模型為例來(lái)說(shuō)明。由第3章的內(nèi)容可知，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差計(jì)算式為：

（10-3）這個(gè)結(jié)果要以同方差和無(wú)自相關(guān)假定作為條件。如果同方差假定不滿足，但無(wú)自相關(guān)假定滿足，可以證明，此時(shí)參數(shù)的OLS估計(jì)量真實(shí)的方差為：

（10-4）如果（即同方差時(shí)），則式（10-3）和（10-4）完全相同。10.3異方差的后果比較式（10-3）和（10-4），我們不能準(zhǔn)確的判斷哪個(gè)的值更大或更小。但有一點(diǎn)可以肯定，就是如果忽略異方差，用式（10-3）計(jì)算的方差（EViews就是這樣計(jì)算的），那么所得到的估計(jì)量是真實(shí)方差的有偏差的估計(jì)，而且可以證明，我們用來(lái)估計(jì)的估計(jì)量不再是的無(wú)偏估計(jì)量。在歷史上，戴維斯和麥金農(nóng)做過(guò)異方差問(wèn)題的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，通過(guò)20000次重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用式（10-3）計(jì)算得到的方差不再是最小方差，即存在其他的估計(jì)方法，得到的方差要比OLS得到的方差小，這是一個(gè)非常嚴(yán)重的問(wèn)題，說(shuō)明此時(shí)的OLS估計(jì)量不是有效的估計(jì)量，雖然這個(gè)結(jié)果是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)結(jié)果。3.對(duì)t檢驗(yàn)的影響t檢驗(yàn)依賴于對(duì)應(yīng)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差又以方差為基礎(chǔ)。即，其中是對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)模型存在異方差時(shí)，OLS估計(jì)量仍然是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，而當(dāng)我們忽略了異方差，則所得到的參數(shù)估計(jì)量的方差是真實(shí)方差的有偏估計(jì)，而且一般來(lái)說(shuō)會(huì)高估，這樣用t檢驗(yàn)來(lái)判斷解釋變量影響的顯著性將失去意義。10.3異方差的后果4.對(duì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和預(yù)測(cè)的影響由于存在異方差時(shí)，OLS估計(jì)量的方差會(huì)高估實(shí)際的方差，因此，以這樣的方差做參數(shù)的區(qū)間估計(jì)會(huì)使估計(jì)的區(qū)間無(wú)謂的增大；同理，在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，也會(huì)增加預(yù)測(cè)的誤差。從以上個(gè)點(diǎn)來(lái)看，如果模型中存在異方差，可能會(huì)有比較嚴(yán)重的結(jié)果發(fā)生，即OLS估計(jì)量不再是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量了，運(yùn)用這些結(jié)果可能對(duì)我們產(chǎn)生誤導(dǎo)。10.3異方差的后果10.4異方差的檢驗(yàn)【例10-1】在我國(guó)，一個(gè)地區(qū)的進(jìn)出口商品總額與當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展程度是密切相關(guān)的。搜集到我國(guó)各地區(qū)2019年進(jìn)出口總額與年GDP的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)教學(xué)資源data10-1，數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2020）。做一元線性回歸，結(jié)果如下：DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/12/22Time:10:40

Sample:131

Includedobservations:31

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-6206.3992551.772-2.4321920.0214X0.5155880.0625948.2369580.0000

R-squared0.700560Meandependentvar10181.54AdjustedR-squared0.690235S.D.dependentvar15984.73S.E.ofregression8896.555Akaikeinfocriterion21.08706Sumsquaredresid2.30E+09Schwarzcriterion21.17957Loglikelihood-324.8494Hannan-Quinncriter.21.11721F-statistic67.84748Durbin-Watsonstat2.039158Prob(F-statistic)0.000000

10.4異方差的檢驗(yàn)從回歸結(jié)果來(lái)看是一個(gè)不錯(cuò)的結(jié)果，問(wèn)題是這樣的估計(jì)結(jié)果是最佳線性無(wú)偏的嗎？由于這個(gè)模型是用截面數(shù)據(jù)建立的，故可能存在異方差。那么我們?cè)鯓又滥Ｐ椭惺欠翊嬖诋惙讲钅兀?.圖示法由于異方差是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨X的變動(dòng)而變動(dòng)，即。但是，總體的方差我們是無(wú)法觀察到的，我們只能觀察到其估計(jì)值—?dú)埐?。用殘差的平方?duì)X做散點(diǎn)圖，通過(guò)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)來(lái)判斷是否存在異方差。如果我們看到殘差的平方與X之間存在某種關(guān)系，就有理由推斷，總體的方差也與X之間存在某種關(guān)系，從而得到模型中存在異方差的判斷。下面的散點(diǎn)圖是幾種典型的情形：10.4異方差的檢驗(yàn)如果散點(diǎn)圖表現(xiàn)為圖10-1a)，說(shuō)明殘差的平方與X之間沒(méi)有關(guān)系；而其他各種情形都說(shuō)明殘差的平方與X之間存在某種關(guān)系，模型中可能存在異方差。如果是多元線性模型，可用殘差平方對(duì)各解釋變量逐一做散點(diǎn)圖，如其中某一個(gè)解釋變量的散點(diǎn)圖表現(xiàn)出如圖10-1中b）、c)、d)、e)的情形，說(shuō)明模型中可能存在異方差。10.4異方差的檢驗(yàn)在EViews中，怎么做殘差平方的散點(diǎn)圖呢？以【例10-1】為例進(jìn)行說(shuō)明。做完回歸后，殘差的值被記錄在resid文件中，為了方便操作，可以先生成殘差序列文件，命令如下：genre=resid回車。這樣我們就得到了殘差序列文件e,然后再做散點(diǎn)圖，命令為：scatxe^2回車，得到散點(diǎn)圖如下：10.4異方差的檢驗(yàn)從散點(diǎn)圖中可以看出，殘差平方呈現(xiàn)出圖10-1b)的形態(tài)，如我們可以直觀的判斷，模型中存在異方差。圖示法可以幫助我們直觀的判斷模型中是否存在異方差，但這僅僅是一個(gè)直觀的判斷，在很多時(shí)候我們還要使用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行判斷。2.G-Q（Golgfld-Quandt）檢驗(yàn)G-Q檢驗(yàn)是戈德菲爾德-匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)的簡(jiǎn)稱，是應(yīng)用非常普遍的異方差檢驗(yàn)，其條件是：（1）大樣本，即樣本容量在30以上；（2）模型中僅同方差假定不滿足，其他假定均滿足；（3）異方差是單調(diào)類型（遞增或遞減）。G-Q檢驗(yàn)的步驟與原理：（1）將樣本數(shù)據(jù)按某一個(gè)解釋變量升序排列。在多元線性模型中，可選擇與殘差平方關(guān)系密切的解釋變量進(jìn)行排序。（2）將排序后的數(shù)據(jù)序列刪除中間大約個(gè)觀測(cè)值，并將剩下的數(shù)據(jù)分成兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣本的樣本容量為。c的選取依據(jù)樣本容量的大小，一般當(dāng)樣本容量為30時(shí)，取c為４-６，當(dāng)樣本容量為60時(shí)，取c為10-14。10.4異方差的檢驗(yàn)為什么要這樣做呢？在異方差是單調(diào)類型（遞增或遞減）的條件下，會(huì)隨著X的變化單調(diào)變動(dòng)，如果將總體回歸線分成兩段，則前后兩段的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差應(yīng)該會(huì)有顯著的不同，這樣的特點(diǎn)也會(huì)在樣本數(shù)據(jù)中得到體現(xiàn)。之所以要?jiǎng)h除中間c個(gè)數(shù)據(jù)，是要在前后兩段回歸之間制造差異，如果在這樣的條件下前后兩段的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差不存在明顯的差異，那么我們就有足夠的理由認(rèn)為模型是同方差，否則就是異方差。但是，兩段的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差是未知的，于是需要計(jì)算其估計(jì)值。（3）對(duì)每個(gè)子樣本做普通最小二乘法回歸，得到各自的殘差平方和，用和表示較小的和較大的殘差平方和。記，。其中k是解釋變量的個(gè)數(shù)。顯然，這兩個(gè)計(jì)算式是前后兩段的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差的估計(jì)值，他們服從卡方分布。10.4異方差的檢驗(yàn)（4）在同方差假設(shè)下，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

（10-5）由于、服從卡方分布，故其比值服從F分布。如果這個(gè)比值顯著的大于1，則說(shuō)明存在異方差，否則是同方差。（5）給定顯著性水平，確定F分布的臨界值，其中。如果，則拒絕同方差假設(shè)，模型中存在異方差；否則不拒絕。仍以【例10-1】為例進(jìn)行說(shuō)明。首先要將X序列進(jìn)行排序，EViews的操作步驟如下：在主菜單或工作文件菜單中選中porc/SortCurrentPage，出現(xiàn)一個(gè)對(duì)話框（如圖10-4a））10.4異方差的檢驗(yàn)在SortKey(s)框中輸入要排序的變量名稱，在這個(gè)例子中輸入X；選擇排序方式：Ascnding是升序排列，Desending為降序排列，點(diǎn)擊OK。這樣就完成了對(duì)X進(jìn)行排序，需要說(shuō)明的是，當(dāng)X的值按升序排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的Y值也隨之進(jìn)行變動(dòng)位置。排序也可以使用命令：sortX回車。去掉中間5個(gè)數(shù)據(jù)做分段回歸。在主菜單中選中Quick/EstimateEquation，彈出一個(gè)對(duì)話框。在對(duì)話框中輸入ycx，在下面的Sample對(duì)話框中將樣本范圍改為1至13（前13個(gè)數(shù)據(jù)），確定。得到以下結(jié)果：a)排序b)分段回歸圖10-4G-Q檢驗(yàn)EViews操作中的對(duì)話框10.4異方差的檢驗(yàn)表10-2分段回歸結(jié)果1DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/19/22Time:14:54

Sample:113

Includedobservations:13

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-324.31391105.029-0.2934890.7746X0.1738390.0858272.0254540.0678

R-squared0.271642Meandependentvar1651.115AdjustedR-squared0.205428S.D.dependentvar2101.295S.E.ofregression1873.069Akaikeinfocriterion18.04918Sumsquaredresid38592251Schwarzcriterion18.13610Loglikelihood-115.3197Hannan-Quinncriter.18.03132F-statistic4.102465Durbin-Watsonstat2.444306Prob(F-statistic)0.067778

10.4異方差的檢驗(yàn)做同樣的操作，但在Samlpe對(duì)話框中將樣本范圍改為19至31（后13個(gè)數(shù)據(jù)），則得到如下結(jié)果：表10-3分段回歸結(jié)果2DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/19/22Time:14:55

Sample:1931

Includedobservations:13

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-15347.459498.626-1.6157550.1344X0.6588410.1590444.1425150.0016

R-squared0.609381Meandependentvar20904.88AdjustedR-squared0.573870S.D.dependentvar20398.12S.E.ofregression13315.61Akaikeinfocriterion21.97190Sumsquaredresid1.95E+09Schwarzcriterion22.05882Loglikelihood-140.8174Hannan-Quinncriter.21.95404F-statistic17.16043Durbin-Watsonstat2.263901Prob(F-statistic)0.001637

10.4異方差的檢驗(yàn)10.4異方差的檢驗(yàn)3.White檢驗(yàn)G-Q檢驗(yàn)有較強(qiáng)的限制條件，特別是要求異方差是單調(diào)類型，而我們常常事先是不知道是什么類型的異方差。White檢驗(yàn)可以對(duì)任何類型的異方差時(shí)行檢驗(yàn)，且不需要對(duì)數(shù)據(jù)按某個(gè)X進(jìn)行排序，操作起來(lái)比較簡(jiǎn)單。White檢驗(yàn)同樣需要大樣本。White檢驗(yàn)的步驟與原理：假定模型為：10.4異方差的檢驗(yàn)如果模型中存在異方差，則是X的某個(gè)函數(shù)，即。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，與X最多的相關(guān)形式是線性和平方關(guān)系，或者在多元線性模型與交叉項(xiàng)相關(guān)，即：

（10-7）輔助回歸的意義是判斷與、、、以及交叉項(xiàng)是否存在相關(guān)關(guān)系。如果存在相關(guān)關(guān)系，即是某一個(gè)X或交叉項(xiàng)的函數(shù)，則模型中存在異方差；如果不存在相關(guān)關(guān)系，則模型中不存在異方差，即同方差。由于總體的無(wú)法觀測(cè)，故要利用樣本殘差進(jìn)行估計(jì)和判斷。10.4異方差的檢驗(yàn)（1）做樣本的最小二乘法回歸，得到殘差平方；（2）利用做輔助回歸：（10-8）通過(guò)輔助回歸可以得到相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的值。（3）建立假設(shè)：（同方差），

（異方差）（4）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量?？梢宰C明，在同方差假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量，其中n是樣本容量，是輔助回歸（10-8）的可決系數(shù)，m是輔助回歸（10-8）中含有解釋變量的項(xiàng)數(shù)。（5）給定顯著性水平，查表得到臨界值。如果，說(shuō)明足夠大，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明模型中存在異方差，否則就是同方差。特別要注意的是，輔助回歸僅是經(jīng)驗(yàn)法則，如果有必要還可以引入解釋變量的更高次方；此外，上述檢驗(yàn)是幫助我們判斷與解釋變量的某種組合是否有顯著的相關(guān)性，如果有相關(guān)性，則會(huì)表現(xiàn)出較大的，并且某一估計(jì)量對(duì)應(yīng)的t值較大；第三，如果模型中的解釋變量較多，為了保持自由度，可以省略交叉項(xiàng)。10.4異方差的檢驗(yàn)仍以【例10-1】為例進(jìn)行說(shuō)明。打開(kāi)最初的OLS估計(jì)的方程文件，選擇View/Residualtests/HeteroskedasticityTest，彈出對(duì)話框，選擇White，如圖10-5所示（如果是多元模型，還要選擇（IndudeWhitecrossterms），OK后得到White檢驗(yàn)的結(jié)果：圖10-5WhiteHeteroskedasticityTest操作對(duì)話框10.4異方差的檢驗(yàn)表10-4White異方差檢驗(yàn)HeteroskedasticityTest:White

F-statistic5.981303Prob.F(2,28)0.0069Obs*R-squaredProb.Chi-Square(2)0.0097ScaledexplainedSS11.36697Prob.Chi-Square(2)0.0034

TestEquation:

DependentVariable:RESID^2

Method:LeastSquares

Date:06/27/22

Sample:131

Includedobservations:31

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-1383561646035729-0.3005410.7660X^2-0.0023720.022744-0.1043000.9177X2888.8032378.6951.2144490.2347

R-squaredMeandependentvar74042323AdjustedR-squared0.249298S.D.dependentvar1.26E+08S.E.ofregression1.09E+08Akaikeinfocriterion39.94539Sumsquaredresid3.33E+17Schwarzcriterion40.08417Loglikelihood-616.1536Hannan-Quinncriter.39.99063F-statistic5.981303Durbin-Watsonstat2.194900Prob(F-statistic)0.006872

10.4異方差的檢驗(yàn)4.Park檢驗(yàn)Park檢驗(yàn)的基本思想是將表示為某個(gè)解釋變量的函數(shù)，從而判斷模型中是否存在異方差。Park建議的函數(shù)形式是：

（10-9）其中是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。由于是不能觀測(cè)的，故利用樣本殘差來(lái)估計(jì)式（10-9），如果在統(tǒng)計(jì)意義上是顯著的不為0，則表明模型中存在異方差，否則是同方差。10.4異方差的檢驗(yàn)10.4異方差的檢驗(yàn)用樣本數(shù)據(jù)做最小二乘法回歸，得到殘差平方，以為被解釋變量，做式（10-9）的估計(jì)：

（10-10）利用式（10-10）的回歸結(jié)果做t檢驗(yàn)，如果顯著的不為0，則表明模型中存在異方差，否則是同方差。5.Glejser檢驗(yàn)與Park檢驗(yàn)類似，Glejser檢驗(yàn)也是檢驗(yàn)是否是某個(gè)解釋變量的函數(shù)。同樣，要先進(jìn)行樣本最小二乘法的回歸，得到殘差，然后用其絕對(duì)值對(duì)X做回歸，如果通過(guò)t檢驗(yàn)，則表明模型中存在異方差，否則是同方差。Glejser建議做以下形式的回歸：、、、等。Glejser檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是一但確定了某種函數(shù)形式是顯著的，就可以基本確定異方差的形式，缺點(diǎn)是如果沒(méi)有找到一個(gè)顯著的函數(shù)形式，則我們也不能肯定模型中不存在異方差。10.4異方差的檢驗(yàn)6.ARCH檢驗(yàn)異方差一般存在于截面數(shù)據(jù)模型中，但有時(shí)時(shí)間序列數(shù)據(jù)模型中也會(huì)存在異方差，檢驗(yàn)時(shí)間序列模型是否存在異方差一般用ARCH檢驗(yàn)。ARCH檢驗(yàn)的基本思想是，在時(shí)間序列中，異方差為自回歸條件異方差（ARCH）過(guò)程，其表現(xiàn)形式為：（10-11）其中p是ARCH過(guò)程的階數(shù)，，，為隨機(jī)誤差。如果式（10-11）中不全為0（），則模型中存在異方差，反之是同方差。10.4異方差的檢驗(yàn)10.4異方差的檢驗(yàn)ARCH檢驗(yàn)的步驟：（1）建立假設(shè)：（同方差）不全為0（）（異方差）（2）對(duì)原模型做最小二乘法回歸，得到殘差；（3）做輔助回歸：

（10-12）（4）可以證明，在大樣本、原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量。對(duì)于給定的顯著性水平，如果，則模型中存在異方差，反之是同方差。在EViews中可以自動(dòng)計(jì)算出ARCH檢驗(yàn)的相關(guān)結(jié)果。10.5異方差的修正如果模型中存在異方差，OLS的估計(jì)結(jié)果可能會(huì)不再是對(duì)參數(shù)有效的估計(jì)，所得到的結(jié)果可能會(huì)誤導(dǎo)我們的判斷。所以，我們有必要對(duì)模型進(jìn)行修正。1.對(duì)模型進(jìn)行變換以一元線性回歸模型為例來(lái)說(shuō)明。假設(shè)模型為：（10-13）經(jīng)檢驗(yàn)，模型中存在異方差，并且已知。在式（10-13）兩邊同除以得：

(10-14)記，，，，則：（10-15）式（10-15）中的方差為：（10-16）經(jīng)過(guò)變換后，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)為同方差?，F(xiàn)在的難點(diǎn)是如何確定。我們可以根據(jù)圖示法或Glejser檢驗(yàn)的信息來(lái)設(shè)定，常見(jiàn)的有如下幾種形式：，，等形式，哪種形式能更好的修正異方差，要采取試算的

方法進(jìn)行比較。如果是多元的情況，還會(huì)有解釋變量的選擇問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題比較復(fù)雜。我們可能要選擇多個(gè)解釋變量作為，此時(shí)就是一個(gè)多元函數(shù)。當(dāng)然也可選擇一個(gè)解釋變量，此時(shí)就是一個(gè)一元函數(shù)。10.5異方差的修正10.5異方差的修正2.加權(quán)最小二乘法仍然以一元線性回歸模型為例，模型如式（10-13）。如果模型中存在異方差，則有成立。普通最小二乘法的基本原則是使殘差平方和為最小。在同方差條件下，是將每個(gè)殘差平方同等對(duì)待，即賦予每個(gè)殘差平方相同的權(quán)重。但是，當(dāng)異方差條件下，當(dāng)越小是，其樣本值偏離均值的程度也越小，反之亦然。于是，當(dāng)較小時(shí)我們應(yīng)該賦予其對(duì)應(yīng)的殘差平方較大的權(quán)重，反之則賦予較小的權(quán)重，從而能更好的反映對(duì)殘差平方的影響，這就是加權(quán)最小二乘法的基本思想。其具體操作方法是：將權(quán)重設(shè)為，顯然，當(dāng)較大時(shí)，就較小。構(gòu)造加權(quán)殘差平方和：

（10-17）根據(jù)最小二乘法的原則，能使加權(quán)殘差平方和取得最小值的、所決定的直線是最佳的直線，而且可以有效地消除異方差的影響。在式（10-17）中對(duì)、求偏導(dǎo)，并令其等于0，得到正規(guī)方程組。解這個(gè)方程組得：（10-18）10.5異方差的修正（10-19）其中，這種方法稱為加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）。可以證明，前段所說(shuō)的對(duì)模型進(jìn)行變換的方法與加權(quán)最小二乘法是等價(jià)的。3.對(duì)模型進(jìn)行對(duì)數(shù)變換在經(jīng)濟(jì)意義成立的條件下，對(duì)模型進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，可以較好的降低異方差的影響。如在一元線性回歸模型中，對(duì)解釋變量和被解釋變量都取對(duì)數(shù)得：（10-20）由于變量取對(duì)數(shù)后，變量值的尺度會(huì)減少，則對(duì)應(yīng)的誤差也會(huì)減少，從而降低了異方差的影響。10.5異方差的修正我們以【例10-1】為例，用加權(quán)最小二乘法對(duì)異方差進(jìn)行修正。在主菜單中選中Quick/EstimateEquation，彈出一個(gè)對(duì)話框，如圖10-4b)。在對(duì)話框中輸入ycx，選擇Options，在Weights中的Type中選擇Inversestd.dev，再在Weighteseries中輸入相對(duì)應(yīng)的權(quán)重，然后確定，即可得到加權(quán)最小二乘的結(jié)果。操作過(guò)程如圖10-6所示。圖10-6加權(quán)最小二乘法選擇什么樣的權(quán)重可依據(jù)圖示法的結(jié)果，以及Glejser檢驗(yàn)的結(jié)果來(lái)設(shè)定，但要尋找出合適的權(quán)重則需要進(jìn)行試算。例如我們分別選擇權(quán)重：、、，得到例10-1的結(jié)果如下：表10-5權(quán)重為的加權(quán)最小二乘法回歸結(jié)果10.5異方差的修正DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/17/22Time:15:32

Sample:131

Includedobservations:31

Weightingseries:1/X

Weighttype:Inversestandarddeviation(EViewsdefaultscaling)

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-654.5063333.5523-1.9622300.0594X0.2820450.0475745.9285950.0000

WeightedStatistics

R-squared0.547922Meandependentvar2846.723AdjustedR-squared0.532333S.D.dependentvar2839.440S.E.ofregression2713.459Akaikeinfocriterion18.71218Sumsquaredresid2.14E+08Schwarzcriterion18.80469Loglikelihood-288.0387Hannan-Quinncriter.18.74233F-statistic35.14824Durbin-Watsonstat2.241657Prob(F-statistic)0.000002Weightedmeandep.462.3847

UnweightedStatistics

R-squared0.542661Meandependentvar10181.54AdjustedR-squared0.526890S.D.dependentvar15984.73S.E.ofregression10994.77Sumsquaredresid3.51E+09Durbin-Watsonstat1.391772

表10-6權(quán)重為的加權(quán)最小二乘法回歸結(jié)果10.5異方差的修正DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/17/22Time:15:33

Sample:131

Includedobservations:31

Weightingseries:1/X^2

Weighttype:Inversestandarddeviation(EViewsdefaultscaling)

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-209.854462.26827-3.3701660.0021X0.1418050.0293354.8339860.0000

WeightedStatistics

R-squared0.446221Meandependentvar462.3847AdjustedR-squared0.427125S.D.dependentvar433.4376S.E.ofregression453.4134Akaikeinfocriterion15.13383Sumsquaredresid5961928.Schwarzcriterion15.22634Loglikelihood-232.5743Hannan-Quinncriter.15.16398F-statistic23.36742Durbin-Watsonstat2.252533Prob(F-statistic)0.000040Weightedmeandep.66.55032

UnweightedStatistics

R-squared0.192344Meandependentvar10181.54AdjustedR-squared0.164493S.D.dependentvar15984.73S.E.ofregression14611.01Sumsquaredresid6.19E+09Durbin-Watsonstat0.817959

表10-7權(quán)重為的加權(quán)最小二乘法回歸結(jié)果10.5異方差的修正DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/12/22Time:10:41

Sample:131

Includedobservations:31

Weightingseries:1/SQR(X)

Weighttype:Inversestandarddeviation(EViewsdefaultscaling)

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-1853.6661096.656-1.6902880.1017X0.3786450.0552096.8584030.0000

WeightedStatistics

R-squared0.618610Meandependentvar5928.968AdjustedR-squared0.605459S.D.dependentvar7312.825S.E.ofregression5561.717Akaikeinfocriterion20.14754Sumsquaredresid8.97E+08Schwarzcriterion20.24006Loglikelihood-310.2869Hannan-Quinncriter.20.17770F-statistic47.03769Durbin-Watsonstat2.123826Prob(F-statistic)0.000000Weightedmeandep.2846.723

UnweightedStatistics

R-squared0.651138Meandependentvar10181.54AdjustedR-squared0.639108S.D.dependentvar15984.73S.E.ofregression9602.711Sumsquaredresid2.67E+09Durbin-Watsonstat1.787629

10.5異方差的修正10.6案例分析【10-2】稅收收入主要來(lái)源于增值稅、企業(yè)所得稅、個(gè)人所得稅、土地增值稅、契稅和城市維護(hù)建設(shè)稅等，具有組織財(cái)政收入、調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和監(jiān)督經(jīng)濟(jì)的作用。為了測(cè)算各地區(qū)稅收收入對(duì)地區(qū)GDP的推動(dòng)作用，我們選取了2020年我國(guó)各地區(qū)稅收收入與GDP的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見(jiàn)教學(xué)資源data10-2，數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2021），建立一元線性回歸模型。由于是截面數(shù)據(jù)，故模型中很可能存在異方差，對(duì)模型進(jìn)行異方差檢驗(yàn)并修正。10.6案例分析解：建立一元線性回歸模型，并做OLS估計(jì)，結(jié)果如下：DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/14/22

Sample:131

Includedobservations:31

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C6935.5892875.8462.4116690.0224X10.679420.87289712.234460.0000

R-squared0.837700Meandependentvar32658.55AdjustedR-squared0.832104S.D.dependentvar26661.81S.E.ofregression10924.71Akaikeinfocriterion21.49778Sumsquaredresid3.46E+09Schwarzcriterion21.59030Loglikelihood-331.2156Hannan-Quinncriter.21.52794F-statistic149.6819Durbin-Watsonstat1.621262Prob(F-statistic)0.000000

10.6案例分析10.6案例分析1.圖示法做X對(duì)殘差平方的散點(diǎn)圖：此散點(diǎn)圖表現(xiàn)出向正方向?qū)蔷€發(fā)展的趨勢(shì)，故模型中可能存在異方差。10.6案例分析2.G-Q（Golgfld-Quandt）檢驗(yàn)10.6案例分析3.White檢驗(yàn)建立假設(shè)：（同方差），不全為0（異方差）做輔助回歸：

（10-21）估計(jì)輔助回歸并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果如下：表10-9White檢驗(yàn)結(jié)果（主要結(jié)果）HeteroskedasticityTest:White

F-statistic8.889674Prob.F(2,28)0.0010Obs*R-squared12.03948Prob.Chi-Square(2)0.0024ScaledexplainedSS14.76208Prob.Chi-Square(2)0.000610.6案例分析10.6案例分析DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/19/22Time:15:19

Sample:131

Includedobservations:31

Weightingseries:1/X

Weighttype:Inversestandarddeviation(EViewsdefaultscaling)

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-96.80717476.6907-0.2030820.8405X14.895580.86528017.214760.0000

WeightedStatistics

R-squared0.910865Meandependentvar13686.30AdjustedR-squared0.907791S.D.dependentvar3523.966S.E.ofregression3581.663Akaikeinfocriterion19.26738Sumsquaredresid3.72E+08Schwarzcriterion19.35990Loglikelihood-296.6444Hannan-Quinncriter.19.29754F-statistic296.3478Durbin-Watsonstat1.226995Prob(F-statistic)0.000000Weightedmeandep.47