2022-2023學年廣東省揭陽市高一（下）期末數學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省揭陽市高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合M={%|-3<%<7},/V={%EZ|-5<%<1},則Mn/v=()

A.{-3,—2,—1,0}B.{-2,-1,0}C.(—3,1)D.(—5,7)

2.若z=*,則在復平面內z對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知平面al平面0,直線lua,且ICS，則直線2與平面。的位置關系為（）

A.平行B.垂直C.相交且不垂直D.以上情況都有可能

4.4知a=5。2,力=[09026,c=2,2,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

5.設X>0,則函數y=a產的最小值為（）

A.6B.7C.11D.12

6.已知角a的終邊經過點P（l,-5）,則tan（等兀-2a）=（）

A.yB.yC.-yD.-y

7.如圖是下列四個函數中的某個函數的部分圖象，則該函數的解析

式為（）

A.y=X2+

B.y=2'+六

一O1

c.y=/+荷

D.y=>/~x+:

8.我國的玉文化發(fā)源于新石器時代早期，綿延至今，貫穿了

整個中華文明史，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分.如圖是

1986年在河南平頂山出土的西周（公元前1046—前771年）青

玉琮，高2.6cm,邊長5c內徑3.8cm,體呈外方內圓狀，中

空，通體素面，則該青玉琮的體積約為（）

A.33.6cm3B.34.6cm3C.35.5cm3D.36.5cm3

9.已知△ABC的重心為點G,點E為AC上一點，且滿足|而|=4|荏|，記荏=方,前=方，

則前=()

A.我+^B.捫+舒C.白+與D.|a+|b

10.已知0<a<1,且。21。93a=81/3,則,+log9a=()

A.孚B.學C.vD.苧

4332

二、多選題(本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項符合題目要求)

11.已知向量五=(5,2)1=(2-2,3)，則下列命題中真命題為()

A.若必不，則4=一3或5

B.若益1則2=|

C.若4=1,則|五+刈=

D.若4=2,則向量G在向量B上的投影向量的坐標為(0,2)

12.若事件4,B,C滿足PQ4)=0.6,P(B)=0.2>P?=0.7,p(AB)=0.32>P(AC)=0.18，

P(BC)=0.14-P(4BC)=0.436，則()

A.4與B相互獨立B.B與C不相互獨立

C.A與C相互獨立D.A,B,C相互獨立

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知a,b€R,且一5<a<2,l<b<4,則3a-b的取值范圍是.

14.在測量工作中，測得一組數據為2,6,7,5,9,17,10,則這組數據的平均數為,

第75百分位數是.

15.若函數/(為滿足/(x)+/(Ax+2)=九則稱函數/。)為“4類期函數”.已知函數g(x)為

“一2類期函數”，且曲線y=g(x)恒過點P,則點P的坐標為.

16.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面4BC0為平行四邊形，P

E,F,G分別為4D,AB,PC的中點，點H在棱PC上，且BH〃\

平面EFG,則瞿=______.二:*---->C

4:/\Z

AB

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數f(x)=sin(2x+*).

(1)求/(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(2)當xC臣.時,求f(%)的值域.

18.(本小題12.0分)

某校以課程建設為核心，建立了學生勞動實踐基地，開發(fā)了農事勞作課程，開展課外種植、

養(yǎng)殖活動，打算引進小動物甲以及成立養(yǎng)殖小組.為了解學生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級的100

名學生中進行問卷調查，調查數據如表：

養(yǎng)殖小動物甲

性別

喜歡不喜歡

男生2030

女生4010

(1)分別估計該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的概率；

(2)學校決定由一年級負責養(yǎng)殖小動物甲，現按分層隨機抽樣的方法從一年級喜歡小動物甲的

學生中隨機抽取6名學生組成養(yǎng)殖小組，再從這6名學生中隨機抽取2人擔任養(yǎng)殖小組主要負

責人，求這2人恰好都是女生的概率.

19.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱4BC-&B1C1中，E,F,G分別在棱&Bi，力也1，CC1上，黑=第=言，

AAX=AB=2.

(1)證明：平面&BC//平面EFG；

⑵求點4到平面41BC的距離.

20.(本小題12.0分)

從以下三個條件中任選一個補充在下面問題中，并完成解答.

①a+csinB=bcosC；(2)\/~2a=y/-2bcosC—c;③c+2bcosBsinC=0.

記△ABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.

⑴求B；

(2)若6=，石,a=1，求△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

21.(本小題12.0分)

已知函數/(x)=2X+2r.

(1)判斷f(x)在(0,+8)上的單調性，并證明；

(2)函數g(x)=「若9(乃沒有零點，求實數a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖①，在平行四邊形4BC。中，B=30。,4B=2,BC=/可，將△ABC沿4c折起，使點B到

達點P處，如圖②，二面角P-AC-。的大小為80。，E,F分別為24,CD的中點.

(1)證明：AC1EF-,

(2)求直線E尸與平面PAC所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意，/V={xGZ|-5<x<l)={-4,-3,-2,-1,0},M={x|-3<x<7),

則"PIN={-2,-1,0}.

故選：B.

直接根據交集的運算求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：z=w=能器彩=居一條，在復平面內z對應的點為端,一令，在第四象限.

故選：D.

先根據復數的除法求出復數值，然后根據復數的幾何意義判斷.

本題主要考查復數的四則運算，以及復數的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：如圖,

在正方體4BC0中，設平面4415。為平面a,

平面4BCC為平面口，

當/為45時，直線(與平面0的位置關系為平行；

當，為時，直線，與平面￡的位置關系為垂直；

當，為時，直線，與平面夕的位置關系為交且不垂直.

故選：D.

由題意畫出圖形，舉例分析得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：因為y=爐2在(o,+8)上遞增，且5>2>1,

所以5'2>21-2>I1-2=1,

所以a>c>1,

因為y=logo^x在(0,+8)上遞減，且6>1,

所以10go.26<logo”=0,即b<0,

所以a>c>b.

故選：B.

根據基函數的性質和對數函數的性質比較.

本題主要考查數值大小的比較，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：X>0,:.y=X*±25=x+空+122IX--+1=11，

JXXX

當且僅當》=壟，即x=5時，等號成立,

X

所以函數y=至的最小值為11.

故選：C.

先化簡為y=#+x+25=x+至+i，再利用基本不等式即可求解.

JXX

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：???角a的終邊經過點PQ-5),

tana=f=-5

2tana_

tan2a5

1-tan2a-12

tan（竿兀一2a）

tan(—7T--7r-2a)

tan(--7T—2a)

=—tan(-7r+2a)

l+tan2a

l-tan2a

17

故選：D.

根據a終邊上的點求出tana,利用正切的誘導公式、和差角公式、二倍角公式化簡tan（竿兀-2a）,

代入tana的值即可得到答案.

本題考查了任意角的三角函數的定義以及三角函數恒等變換在三角函數求值中的應用，考查了計

算能力和轉化思想，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：對于選項A：y=/+或是偶函數，圖象關于y軸對稱；然+,>2JM./=2,

當且僅當好=或，即％=±1時，等號成立，即函數在％=±1時取得最小值2.以上性質均與圖象相

符，故選項A正確；

對于選項B：令f（X）=2*+/g,易知/"（一x）片f（x）且/'（一x）+/（x）*0,故該函數既不是奇函

數也不是偶函數，其圖象不會關于y軸對稱，不符合圖象，故選項B不正確；

對于選項C：當x>0時，令/（工）=/+3=/+：,

&G（0,+8）,J--?—,

當0<X]<%2<時，右一刀2<0，X_l,/（Xj>/（X2）；

當$<乂1<小時，X1-X2<0,X_l,/（X1）<f（x2）,

???/（x）在（0,惠）單調遞減，在（小,+8）單調遞增，

所以/（無）在（嗝,1）上單調遞增，所以/（嗎皿皿=/（*）</（1）=2，

即函數圖象最低點函數值應該小于2,這與圖象不符，故選項C不正確;

對于選項。：y=，*+；的定義域為(0,+8),不符合圖象，故選項。不正確；

綜上，僅4選項函數圖象符合題意.

故選：A.

利用函數的奇偶性、單調性、定義域、特殊位置的函數值即可逐項判斷求解.

本題主要考查了函數性質在函數圖象判斷中的應用，體現了數形結合思想的應用，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得該青玉琮的體積為長方體的體積減去圓柱體的體積，

V=52x2.6-兀號產x2.6?35.5(cm3).

故選：C.

由題意得該青玉琮的體積為長方體的體積減去圓柱體的體積，根據柱體的體積公式計算，即可得

出答案.

本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查轉化思想，考查運算能力，屬于中檔題.

9【答案】A

【解析】解：由題意△ABC的重心為點G,點E為4c上一點，且滿足|前|=4|荏|，

則荏=yAC,

4

設D為BC的中點，則同=\(AB+AC),AG=1AD=4港+硝，

故EG=AG-AE=^AB+AC)-yAC==：AB+^-AC=*+

3'74312312

故選：A.

由題意推出版=；而以及而=x荏+灰)，根據向量的線性運算，即可求得答案.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎題.

10.【答案】A

【解析】解:由題意，log3a2'°93a=的3(81c),根據對數的性質可得21。陰。"og3a=，。。334,

199

32=log332=->

即(log3a產=3，

注意到0<a<1,于是log3a<0,

3

故Q=-

2

3

zo得

解-

93a=3-2

故4+log9a=白+I。993T=27+*=27+需=27-=苧?

QN33Jln92Zn344

故選：A.

兩邊同時取以3為底的對數，求出a后，結合對數的運算性質進行求解.

本題主要考查了對數的運算性質，屬于基礎題.

I1.【答案】ACD

【解析】解：對4，因為到/隹所以5x3-/IQ—2)=0,

解得4=-3或4=5,故A正確；

對B,因為3_L?,所以5(4-2)+34=0,解得4=[,故B錯；

對C,4=1時,a=(5,1)5=(-1,3).則方+另=(4,4)，

所以11+6|=V42+42=4A/-2>故C正確；

對D,X=2時,五=(5,2),b=(0,3)，

則向量a在向量石上的投影為|五|cos<a,b>—25=2,

所以向量。在向量不上的投影向量的坐標為(0,2),故。正確.

故選:ACD.

利用平面向量的坐標表示對每個選項一一分析.

本題考查了平行向量的坐標關系，向量垂直的充要條件，根據向量的坐標求向量的長度的方法,

投影向量的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題.

12.【答案】AC

【解析】解：由題可知P(A)=0.6,pQ)=0,4>P(B)=0.8,p(B)=0.2-P(C)=0.7,p(c)=0.3>

因為P(4B)=0.32=P(A)P(B)，所以4和B相互獨立，所以4和B相互獨立，故選項A正確；

因為P(4C)=0.18=P(4)尸(C)，所以4和C相互獨立，所以4和C相互獨立，故選項C正確；

因為P(BC)=0,14=P(B)P(C)，所以B和C相互獨立，所以8和C相互獨立，故選項8錯誤；

因為P(A)P(B)P(C)=0.6x0.8x0.7=0.3364P(ABC)=0.436,故A,B,C不相互獨立，故選

項。錯誤.

故選：AC.

根據相互獨立事件的概率計算方法即可判斷.

本題考查相互獨立事件的概率相關知識，屬于基礎題.

13.【答案】(一19,5)

【解析】解：因為a,beR,且—5<a<2,1<6<4,

所以—15<3a<6,—4<一b<—1,

所以—19<3a—b<5,

所以3a-b的取值范圍是(-19,5).

故答案為：(-19,5).

利用不等式的基本性質求解.

本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題.

14.【答案】810

【解析】解：把2,6,7,5,9,17,10,從小到大排列為：2,5,6,7,9,10,17,

平均數為2+S+6+7+9+10+”=8,

這組數據共7個，7x75%=5.25,則這組數據的第75百分位數是第6個數10.

故答案為：8,10.

把該組數據按從小到大的順序排列，利用平均數公式，百分位數定義即可求解.

本題主要考查了平均數和百分位數的計算，屬于基礎題.

15.【答案】(—§,—1)

【解析】解:由題可知,g(x)+g(-2x-2)=-2,

令x=-2x—2得，x=-

oO9

故g(-§)+g(-§)=-2，

所以曲線丫=g(x)恒過點P(-

故答案為：(―I,—1).

根據題意得g(無)+g(-2x-2)=-2,令x=-2x-2即可求出定點.

本題主要考查抽象函數及其應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

16.【答案】2

【解析】解：連接AC、BD,設4CDB0=。、EFC\AC=M,連接MG,

過點。作OH〃MG交PC于點、H,連接NH、DH,

因為E、F分別為4。、AB的中點，所以EF〃BD,EFu平面EFG,BD<t平面EFG,

所以8D〃平面EFG.

同理可得。"http://平面EFG,OHCBD=0,OH,BDu平面BOH,

所以平面BOH//平面EFG,BHu平面BOH,所以BH〃平面EFG,

因為E、尸分別為4。、AB的中點，則M為A。的中點，

11

--

又。為AC的中點，所以M0="4。42

所以部=，又OH〃MG,所以舞=需=百，

所以GH=『C,又G為PC的中點，

所以PH=PG+GH=^PC+-GC=^PC+^x^PC=|PC,

則HC=PC-PH=；PC,

所以卷=2.

p

連接AC、BD,設ACCIBD=0、EF(}AC=M,連接MG,過點。作0H〃MG交PC于點H,連接NH、

DH,即可證明平面BOH〃平面EFG,從而得到平面EFG,再根據線段平行得到線段的關系,

即可解答.

本題考查直線與平面平行，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)/。)的最小正周期為7=3=兀，

因為y=sinx的單調遞增區(qū)間為[-]+2卜兀(+2kn],keZ,

令2x+卷6[-/+2kn,\+2kn],k&Z,

得2x6[—+2kn,雪+2kji],k&Zt

所以Xw[—黃+/OT愣+/ot],keZ；

故/'(x)的單調遞增區(qū)間為[—碧+fc7r,§+kn],kGZ,

(2)因為xC碌,得],所以2xC串曾,

所以2x+雪eg片]，

所以sin(2x+")6[―-^-,1]'

故當xe呢工]時，/(為的值域為[一好,1〉

【解析】(1)利用周期公式求得7=兀，令2X+5e[冶+2而5+2時,kez,求解得增區(qū)間;

⑵由xe后,居]求得2x+"eg片],再利用正弦函數的性質即可求解.

本題考查了三角函數的圖象性質以及周期性，單調性，考查了學生的運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由題意知男生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的頻率為人=名

aUIDUO

女生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的頻率為描t

40+105

所以估計該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的概率分別為融.

(2)抽取的這6人中男生人數為6x/%=2,分別記為A,B,

女生人數為6x^5=4,分別記為a,b,c,d.

設抽取的2人分別為n,用數組(m,n)表示這個實驗的一個樣本點，

因此該試驗的樣本空間0={(4B),(4,a)，(4b),(Ac),(Ad),(B,a),(B,b),(B,c),

(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}共15個樣本點.

設事件E="抽取的2人恰好都是女生”，

則后={94),(a,c),(a,d),(瓦c),(b,d),(c,d)),共6個樣本點.

因為樣本空間。中每一個樣本點出現的可能性相等，

所以該試驗是古典概型，因此P(E)=盤=|.

【解析】(1)根據題意由頻率計算概率即可得解：

(2)寫出基本事件空間，根據古典概型求解即可.

本題考查古典概型相關知識，屬于基礎題.

19.【答案】(1)證明：因為鏢=第，所以EF〃&Ci.

又BiG〃BC,所以EF〃BC.

又EFU平面&BC,BCu平面&BC,所以EF〃平面4鳳.

因為第=券＞所以FG〃/1/.

又FGC平面&BC,ArCu平面&BC,

所以FG〃平面&BC.

因為EFCIFG=F,EF,FGu平面EFG,

所以平面&BC〃平面EFG.

(2)解：法一：如圖,

取BC的中點。，連接40,公0,因為4B=4C,所以4。1BC.

又4Ali平面ABC,BCu平面4BC,所以1BC.

因為40n441=440,44iu平面。44「所以BC1平面。44「

又BCu平面&BC,所以平面4BC1平面。

過點4作4H1&。，垂足為H,貝平面&BC,

所以4H的長度為點4到平面4BC的距離.

在Rt△0441中，AO=C,A、0=VAAj+AO2=V-7，

所以端2=雋=卒，

即點4到平面4BC的距離為學.

法二：因為44iJ■平面4BC,AB,4Cu平面ZBC,

所以44]±ABAAi1AC.所以&B=A^C=V22+22=2-^~2-

取BC的中點。，連接4。，因為4B=&C,所以401BC,

22

所以&。=VArC-0C=

所以△&BC的面積SA^BC=?&。=；x2X=<7-

設點a到平面&BC的距離為九，

11

由“三枝錐4-&BC=":棱錐A「4BC，得§Sf]BC,h=LABC,，

i\，Fo

所以h=S"BC—=/-^2X2=2G,

S0]8CC7

即點4到平面&BC的距離為早.

【解析】(1)根據第=第，得到EF〃B】Ci，利用線面平行的判定定理得到EF〃平面&BC,同理

得到FG〃平面&BC,再利用面面平行的判定定理證明；

(2)法一：取的中點0,連接40,4。，過點4作ZH1A。，垂足為“，則47/1平面&BC,從

而AH的長度為點4到平面4BC的距離，然后利用等面積法，由4"=端2求解；法二：取BC的

中點。，連接A1。，利用等體積法，由V三棱錐4-A8C=U三棱錐人-ABC，Sp|sA/liBC?h=^S^ABC-AAr

求解.

本題主要考查平面與平面平行，考查轉化能力，屬于難題.

20.【答案】解：(1)若選①，由己知及正弦定理得si?L4+s譏Csi九8=sinBcosC,

所以sin(8+C)+sinCsinB=sinBcosC,

所以si?18cosc+cosBsinC+sinCsinB=sinBcosC,

即cosBs譏C+sinCsinB=0.

又C6(0,TT),所以sinC>0,所以cosB+sinB=0,即tcmB=—1.

因為BG(0,兀),所以B=學.

若選②，由已知及正弦定理得/"入歷人=y!~~2sinBcosC—sinC，

所以，~^sin(B+C)=y/~2sinBcosC—sinC-

所以V^siziBcosC+y/~2cosBsinC=y/~2sinBcosC-sinC,

所以一^cosBsinC=-sinC-

又ce(o,兀)，所以sinC>0,所以/7COSB=-1,即COSB=-?.

因為8€(0,兀),所以

若選③，由已知及正弦定理得sinC+2sinBcosBsinC=0,

因為CE(O,TT),所以sinC>0,所以1+2s譏8cos8=0,

所以sin2B=-l,所以28=:+2/OT,/CeZ,

因為Be(O,zr),所以B=.+k7T,kCZ.

又所以8=學

22222

(2)由余弦定理得/?2=a+c—2accosB=1+c-2ccos與-1+c+y/~2c=(A/-5),

即c2+V~&-4=0，解得c=，2(c=—舍去)，

所以△ABC的面積s=^-acsin^-=x1x\T_2x

24222

【解析】(1)利用正弦定理進行邊角互換，然后利用和差公式、二倍角公式求B即可；

(2)利用余弦定理得到c=<2.然后利用三角形面積公式求面積即可.

本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)可知"乃在(0,+8)上單調遞增,證明如下:

任取X1，x26(0,4-00),且<X2,

則/(右)-f(不)=-2冷+2-右一2r2=2右一+擊一擊=(2%-2^)(1-

因為0<尤1<%2，所以2巧<