2019版高中全程練習方略配套資料：集合

第一節(jié)集合完全與教材同步，主干知識精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎，基礎知識是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點擊】中切入，思維從【考點梳理】中拓展，智慧從【即時應用】中升華。科學的訓練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會帶你走進不一樣的精彩！三年34考高考指數(shù):★★★★★1.了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系.2.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.3.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.4.在具體情境中,了解全集與空集的含義.5.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.6.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.7.能使用Venn圖表達集合的關系及運算.1.集合的運算是高考考查的重點.2.常與函數(shù)、方程、不等式交匯，考查學生借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的運算問題的能力，要求學生具備數(shù)形結(jié)合的思想意識.3.以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題.1.集合的基本概念(1)元素的特性①_______②_______③_______ ①屬于記為_____ ②不屬于記為_____確定性互異性無序性(2)集合與元素的關系∈(3)常見集合的符號(4)集合的表示方法①_________②_________③_________列舉法描述法Venn圖法自然數(shù)集____N*或N+ZQ正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集R____________________N【即時應用】(1)判斷下列結(jié)論是否正確.(在后面的括號內(nèi)填√或×)①Z={全體整數(shù)}()②R={實數(shù)集}={R}()③{(1，2)}={1，2}()④{1，2}={2，1}()(2)若集合A={1，a2}，則實數(shù)a不能取的值為_____.【解析】(1)①不正確，正確寫法為Z={整數(shù)};②不正確，正確寫法為R={實數(shù)}；而{R}表示以實數(shù)集為元素的集合；③不正確，集合{(1，2)}表示元素為點(1，2)的點的集合，而{1，2}則表示元素為數(shù)1，2的數(shù)的集合，它們是不相等的；④正確，根據(jù)集合中元素的無序性可知{1，2}={2，1}.(2)由a2≠1,得a≠±1.答案：(1)①×②×③×④√(2)±12.集合間的基本關系(1)基本關系AB或BA

文字語言符號語言相等子集真子集A中任意一個元素均為B中的元素,且B中至少有一個元素不是A中的元素A中任意一個元素均為B中的元素集合A與集合B中的所有元素相同

關系

表示A=BAB或BA(2)空集規(guī)定：空集是__________的子集,是任何___________的真子集，即??A，____________.任何集合非空集合?B(B≠?)【即時應用】(1)滿足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的個數(shù)是______.(2)若A={x|x>2或x<1},B={x|a<x<a+1},若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為______.【解析】(1)由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一個或兩個,則共有6種情況.(2)由題意知a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.答案：(1)6(2)a≤0或a≥23.集合的基本運算基本運算并集交集補集符號表示圖形表示數(shù)學語言表示【即時應用】(1)滿足條件M∪{1}={1，2，3}的集合M的個數(shù)是_______.(2)設集合A={x|x2+x-6>0},B={x|y=},則A∩B=_______.(3)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩(B)等于_______.【解析】(1)由題意知M={2,3}或M={1，2，3},共2個.(2)∵A={x|x<-3或x>2},B={x|x≤3},∴A∩B={x|x<-3或2<x≤3}.(3)∵B={x|-1≤x≤4},∴A∩(B)={x|-1≤x≤3}.答案：(1)2(2){x|x<-3或2<x≤3}(3){x|-1≤x≤3}例題歸類全面精準，核心知識深入解讀。本欄目科學歸納考向，緊扣高考重點。【方法點睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領、答題技巧的指導與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級分梯度進行設計，層層推進，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！集合的基本概念【方法點睛】1.注意集合中元素的互異性對于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性.2.常見集合代表元素的意義集合{x|f(x)=0}{x|f(x)>0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意義方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函數(shù)y=f(x)的定義域函數(shù)y=f(x)的值域函數(shù)y=f(x)圖像上的點集【例1】(1)設P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)是()(A)9(B)8(C)7(D)6(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，則a=______.【解題指南】(1)從P+Q的定義入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，說明A中的三個元素有一個等于-3，可分類討論,最后需要檢驗.

【規(guī)范解答】(1)選B.根據(jù)新定義將a+b的值列表如下：由集合中元素的互異性知P+Q中有8個元素，故選B.0251136224766811aa+bb(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，∴a=-1或a=當a=-1時，a-2=2a2+5a=-3,不合題意;當a=時，A={-3，12},符合題意,故a=答案：【互動探究】若本例(2)改為:已知A={a-2,2a2+5a,12},則a的取值范圍為_______.【解析】根據(jù)集合元素的特性，則需滿足以下式子：解得：a≠-4且a≠-1且a≠且a≠14.答案：{a∈R|a≠-4且a≠-1且a≠且a≠14}【反思·感悟】1.求解本例易出現(xiàn)的錯誤就是求出答案后，不進行檢驗，忽視了元素的互異性.2.研究一個集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件,當集合用描述法表示時,注意弄清其元素表示的意義是什么.【變式備選】(2012·濰坊模擬)已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1A，則實數(shù)a的取值范圍是()(A)(-∞,1) (B)(-∞,1］(C)［1,+∞) (D)(0,+∞)【解析】選B.當1∈A時，把1代入x2-2x+a>0成立，即1-2+a>0，∴a>1,∴1A時，a≤1.集合間的基本關系【方法點睛】1.解決集合相等問題的一般思路若兩個集合相等,首先分析已知元素在另一個集合中與哪一個元素相等,有幾種情況等,然后列方程組求解,要注意挖掘題目中的隱含條件.2.判斷兩集合關系的方法判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系.【提醒】題目中若有條件B?A，則應分B=?和B≠?兩種情況討論.

【例2】(1)已知a∈R,b∈R,若{a,1}={a2,a+b,0},則a2013+b2

013=_______.(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,則實數(shù)m的取值范圍是______.(3)設A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B?A，求實數(shù)a組成的集合C.【解題指南】(1)由兩集合相等及a≠0知，b=0,從而a2=1.(2)分B=?與B≠?兩種情況討論.(3)化簡集合A，結(jié)合方程ax-1=0的解的情況，分B=?和B≠?兩種情況討論.【規(guī)范解答】(1)由題意知，a≠0,∴=0,∴b=0.∴{a,0,1}={a,0,a2},∴a2=1，即a=±1.經(jīng)驗證當a=1時不合題意，當a=-1時，符合題意.∴a=-1,∴a2

013+b2

013=(-1)2013+02

013=-1.答案：-1(2)當B=?時,有m+1≥2m-1,得m≤2,當B≠?時,有綜上:m≤4.答案：m≤4(3)∵A={3,5},B?A,∴當B=?時，方程ax-1=0無解，則a=0,此時有B?A;當B≠?時，則a≠0,由ax-1=0，得x=即{}?{3,5},∴=3或=5,∴a=或a=∴C={0,}.【互動探究】若本例(3)條件不變.①當集合BA時，試求實數(shù)a的值.②當A∩B={3}時，試求實數(shù)a組成的集合C.【解析】①若BA，則B=?，{3}，{5}∴a=0,②若A∩B={3}，則B={3},∴a=∴C={}.【反思·感悟】1.解答本例(2)，(3)時，易忽視B=?這種情況，使解題不完整，造成失分.2.已知兩集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合間的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關系.求解時可合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.3.子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n個元素，則其子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n-1.【變式備選】1.設集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則滿足C?(A∩B)的集合C的個數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選C.∵A∩B={(x,y)|}={(1，2)},∴C=?或C={(1,2)},共2個.2.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|<x≤2}.(1)若A?B，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若B?A，求實數(shù)a的取值范圍;(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，說明理由.【解析】A中不等式的解集應分三種情況討論:①若a=0,則A=R；②若a<0,則A={x|≤x<}；③若a>0,則A={x|<x≤}.(1)當a=0時，若A?B，此種情況不存在.當a<0時，若A?B,如圖，xAB當a>0時，若A?B，如圖，綜上知，當A?B時，a<-8或a≥2.xAB(2)當a=0時，顯然B?A；當a<0時，若B?A，如圖，xBA當a>0時，若B?A，如圖，綜上知，當B?A時，<a≤2.(3)當且僅當A?B且B?A時，A=B,由(1)(2)知a=2.xBA集合的基本運算【方法點睛】1.集合運算的常用方法一般地，集合元素離散時借助Venn圖運算；集合元素連續(xù)時借助數(shù)軸運算，借助數(shù)軸運算時應注意端點值的取舍.2.常用重要結(jié)論(1)A∩B=A?A?B;(2)A∪B=A?AB.【提醒】在解決有關A∩B=?，A∪B=?，A?B等集合問題時，一定先考慮?是否成立，以防漏解，另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.

【例3】(1)(2011·山東高考)設集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},則M∩N=()(A)［1，2)(B)［1，2］(C)(2，3］(D)［2，3］(2)(2011·湖南高考)設全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩N={2，4}，則N=()(A){1，2，3}(B){1，3，5}(C){1，4，5}(D){2，3，4}(3)(2011·遼寧高考)已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩M=?，則M∪N=()(A)M(B)N(C)I(D)?【解題指南】(1)化簡集合M，可借助數(shù)軸求解.(2)借助于Venn圖知N?M，從而M∩N=N.(3)借助于Venn圖尋找集合M，N的關系.【規(guī)范解答】(1)選A.∵M={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}.(2)選B.∵U=M∪N,∴N?M,∴M∩N=N={2,4},又N∪N=U，∴N={1，3，5}.(3)選A.如圖，∵N∩M=?,∴N?M，∴M∪N=M.【互動探究】本例(2)中增加條件N∩M={3，5}，試求M∩N.【解析】由本例(2)可知N={1，3，5}，同理可求M={1，2，4}，∴M∩N={1}.【反思·感悟】1.求解本例(2)，(3)時，借助于Venn圖，可使抽象問題直觀化，從而發(fā)現(xiàn)集合間的關系.2.求集合的并、交、補是集合間的基本運算,運算結(jié)果仍然是集合,區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，并結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進行直觀表達，達到解題的目的.【變式備選】1.已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=},則M∩N=()(A)［-1,+∞) (B)［-1,］(C)［+∞) (D)［1,2］【解析】選B.∵M={y|y≥-1},N={x|-≤x≤},∴M∩N=［-1,］.2.已知A，B均為集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，(B)∩A={9}，則A=()(A){1，3} (B){3，7，9}(C){3，5，9} (D){3，9}【解析】選D.畫出Venn圖如圖所示，則A={3，9}.把握高考命題動向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢，展示現(xiàn)場評卷規(guī)則。對例題不僅僅是詳解評析，更是從命題層面評價考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)?！究碱}體驗】讓你零距離體驗高考，親歷高考氛圍，提升應戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學高考時空增添活力，運籌帷幄、決勝千里?！緞?chuàng)新探究】以集合為背景的新定義題【典例】(2011·廣東高考)設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果

a,b∈S有ab∈S，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z且a,b,c∈T有abc∈T;

x,y,z∈V,有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是()(A)T,V中至少有一個關于乘法是封閉的(B)T,V中至多有一個關于乘法是封閉的(C)T,V中有且只有一個關于乘法是封閉的(D)T,V中每一個關于乘法都是封閉的【解題指南】通過符合題目條件的特例對各選項進行分析.【規(guī)范解答】選A.若T={偶數(shù)}，V={奇數(shù)}則T、V中每一個關于乘法都是封閉的，故B、C不正確；若T={非負整數(shù)}，V={負整數(shù)}，則T關于乘法是封閉的，V關于乘法不封閉，故D不正確；事實上，T、V必有一個含有1，由題目條件知含有1的這個集合一定關于乘法封閉.綜合以上分析只有A正確，故選A.【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下的創(chuàng)新點撥和備考建議:創(chuàng)新點撥本題有以下創(chuàng)新點：(1)本題為新定義問題，命題背景新穎.(2)考查內(nèi)容創(chuàng)新：以元素與集合的關系、集合的運算為載體，通過對新定義的理解與應用來考查學生的閱讀理解能力與知識遷移能力.(3)