2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國n卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，（1+九）GT對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.設(shè)集合A={0,—。},B={l,a-2,2a-2],若貝ij〃=（）.

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為則有：

若a—2=0,解得a=2,此時A={0,—2},3={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時A={0,—1},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=\.

故選：B

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有

（）.

2040

A.C%C之種DB.JC400-JC200T種T

4020種

c種D。C400-=C2004甲

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x——=40人，高中部共抽取60x——=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有c%c鼠種.

故選：D.

2r-l

4若/(X)=(x+a)ln2,十]為偶函數(shù),則。=().

A.-1B.OC.1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/&)為偶函數(shù),則/(I)=/(-I)，(l+a)ln|=(-l+a)ln3,解得a=0,

當a=0時，f(x)=xln^^-,(2x-l)(2x+l)>0,解得尤>；或》<—!，

2x+122

則其定義域為或X<-關(guān)于原點對稱.

/(-x)=(—x)ln|^*=(一==/(x),

故此時了(%)為偶函數(shù).

故選：B.

5.已知橢圓C:[■+/=1的左、右焦點分別為《，工，直線y=與C交于A,2兩點，若△EA3

面積是△643面積的2倍，則機=().

A20后二

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用△>€),求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于加的方

程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立《x2，消去,可得4工2+6mx+3＞一3=0,

—+y9=1

13,

因為直線與橢圓相交于A3點，則A=36，/—4x4(3■—3)>0,解得—2<加<2,

設(shè)F]到AB的距離4,F2到AB距離d],易知片(-72,0),F,(A/2,0),

I|-V2+m|\^2+m\

則飄=^~

I-\/2+m|_

SA/2_I_A/2+I_々刀4曰亞—crr+、

F{AB_o

T=—F=解得加=-----或一（舍去）,

~S=2,3^/2

F2AB\y/2+m\IV2+m|3

6.已知函數(shù)/(x)=ae，—Inx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則°的最小值為(）.

A./B.eC.e-1D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/■'(%)=ae'-工20(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=ae￡—工之0在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe'2L

XCl

設(shè)g(x)=*,xe(l,2),所以g[x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故即a2，=eT,即a的最小值為e^.

ae

故選：c.

7.己知a為銳角，cosa=55,則sin^=().

42

.3—y/5?—1+y/5?3—y/5c—1+y/5

--------D.---------c.--------u.---------

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【詳解】因為cosa=l_2sin24=2史，而a為銳角，

24

8.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若“=—5,七=21邑，則項=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)$4,凡的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,首項為4,

若q=l,則"=6%=3x2%=3s2,與題意不符，所以qwl；

由$4=-5,$6=2152可得，業(yè)9=—5,"1—力=2/4（J"①,

］一,］—qq

由①可得，1+/+/=21,解得:/=4,

所以$8=%,—4）=?）x（］+q4）=_5><a+16）=_85.

故選：c.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

因為§4=一5,S6=21S2,所以qw-1,否則$4=0,

從而，S?,S4—S2,S6—,Sg—￡成等比數(shù)列,

95

所以有，(―5—S2y=S?(2電+5),解得：s?=-1或S2=「

當邑=—1時，S2,S4—S2,S6—S4,Ss—S6,即為—1,—4,—16,工+21,

易知，Ss+21——64,HPSs——85；

當S?=：時，=6+W+/+。4=(。1+引(1+/)=(1+/)S2>0，

與〃=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前“項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握反,國的關(guān)

系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,A8為底面直徑，ZAPB=120°,K4=2,點C在底面圓周上，

且二面角P—AC—O為45。，貝U().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4

C.AC=242D.△P4C的面積為若

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以O(shè)P=LQA=O3=JL

A選項，圓錐的體積為gxjix(石)xl=7i,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=28兀，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是AC的中點，連接。。,尸￡),

則AC±OD,AC±PD,所以ZPDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NPDO=45°,所以O(shè)P=OD=1,

故AD=CD=y/^l=立,則AC=20，C選項正確；

D選項，PD=&2+]2=也,所以SPA。=5乂2,2、J2=2,D選項錯誤.

故選：AC.

p

10.設(shè)O為坐標原點，直線y=—1）過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，且與C交于N兩點,

/為C的準線，則（）.

Q

A.p=2B.\MN\^-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMV為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標，從而求得0,根據(jù)弦長公式求得|用附，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答

案.

【詳解】A選項：直線y=—1）過點（1,0）,所以拋物線C:y2=2pM〃>0）的焦點廠（1,0）,

所以_|=l,p=2,2p=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為V=4%.

B選項：設(shè)

由卜2=_6（xT）消去y并化簡得31—10%+3=（%—3）（3》—1）=0,

y=4x

iiizr

解得Xj=3,,所以/V|=再+%+P=3+§+2=,B選項錯誤.

C選項：設(shè)MN的中點為A,〃,N,A到直線/的距離分別為4，4,d,

因為d=g（4+&）=g（|MF|+|N可）=g|MN|,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=—6（x—1）,即氐+y-石=0,

。到直線收x+y-6=0的距離為d=3，

所以三角形OMN的面積為工x3x，3=述,

2323

由上述分析可知y=—G(3-1)=-2下),%=-下)

所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

11.若函數(shù)/(x)=Mnx+2+4(awO)既有極大值也有極小值，貝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+8tzc>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù),⑴的導(dǎo)數(shù)f(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方

程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=alnx+9+1的定義域為(0,+s),求導(dǎo)得r(x)=3-4=以——J—2c,

XXXXXX

因為函數(shù)人幻既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'⑴在(0,+8)上有兩個變號零點，而。。0,

因此方程ox?—打―2o=0有兩個不等的正根玉,42,

A=/+Sac>0

b

于是《%+/=一>。即有/+8ac>0，ab>0,ac<0,顯然"bcvo，即bc<0,A錯誤，BCD

a

2c

=----->0

a

正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為。(0＜。＜1),收到0的概

率為1—夕；發(fā)送1時，收到0的概率為分(0＜/?＜1),收到1的概率為l-/.考慮兩種傳輸方案：單次傳

輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即

為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-0(1-/)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，(1-")2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為，(1-/)2+(1-尸)3

D.當0＜夕＜0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送。接收0、發(fā)送1

接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—")(1—a)(l—")=(1—。)(1—")2,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—￡＞0(1—￡)=以1—0。B正確;

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和,

它們互斥，由選項B知,所以所求的概率為C?(l—/)2+(1—/)3=(1—/)2(1+2，)，C錯誤；

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸'=1—1，而0<夕<0.5,

因止匕P—P=(l—a)2(l+2a)—(1—a)=a(l—a)(l—2a)>0,即戶，D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,方滿足"一同=若，卜+方卜忸一網(wǎng),則忖=.

【答案】目

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令:=5_),結(jié)合數(shù)量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為卜+川=|2?！桑?(2a—q，

r?rrr?r?rrr?.

則a+2a?b+b=4a—4a?b+bf整理得。9-2a-b=09

又因為卜一W二G,即(〃一b)=3,

^a-2a-b+b2=b=3>所以小技

L1|1|rrrrrrrr

法二：設(shè)°=三一/?,則H=+6=c+2b,2a—Z?=2c+Z?,

r\2/r「r?rrr?

由題思可得：(c+2Z?)=(2c+b),則0+4c-Z?+4Z?=4c+4c?Z?+b'

整理得：皆=:2,即I=,=G.

故答案為：拒.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于一=—,而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為|x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32—4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+J16x4）=28.

故答案為：28.

8

15.已知直線/：%—沖+1=0與cC：（x—1）9一+/=4交于A,B兩點,寫出滿足“ABC面積為的優(yōu)

的一個值______.

【答案】2（2,-2-,—工中任意一個皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長仙可，以及點C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線的距離為d,由弦長公式得<耳=2"—『，

所以％ABc='dx2j4—蕾=§,解得：仁店或d二正,

2555

11+11224出22出1

由d=—=I,所以一=----或/==-----,解得：加=±2或加=±彳.

vl+m2Vl+m211+m25<1+府52

故答案為：2（2,—2,工,—工中任意一個皆可以）.

22

1JT

16.已知函數(shù)/(￡)=sin?x+o),如圖A,2是直線y=—與曲線y=/(x)的兩個交點，若悄用=—,

則/（兀）=

【解析】

【分析】設(shè)A［XI，5；B［X2,5兀12兀

,依題可得，%2-%1=-,結(jié)合sinx=5的解可得，?(x2-X］)=—

從而得到①的值，再根據(jù)兀)=0以及/(。)<0,即可得/(x)=sin\x—1兀)，進而求得/(兀).

［詳解］設(shè)人人,/),"々,/)，由|AB|=￡■可得%2_玉=~，

I兀3兀

由sinl=—可知，%=—+24?；颍?---\-2kn,keZ,由圖可知，

266

CDX?~\~（p-（①玉+夕）=%?！猨即69（九2一%）=§，'.,.69—4.

.r8兀）八8兀8

因為了sm§+9=0,所以《-+/=%兀，即0=一］■兀+左兀keZ.

4x--Ti+kn]=sm\4x--2Ti+kTi\,

所以/（x）=sin

3JI3J

所以/（x）=sin卜》_：2兀［或〃x）=—sin卜x—gj,

3

又因為/（0）<0,所以/（x）=sin|4x—!■",/（兀）=sin,兀—2_A/3

—71=

3一2

故答案為一手

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出①以及函數(shù)/(x)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知的面積為石，D為中點，且AD=L

兀

(1)右ZADC=—,求tanB；

3

(2)若》2+02=8,求瓦C.

【答案】(1)走；

5

(2)b=c=2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出。，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出“，再利用三角形面積公式求出NAOC即可求解作答；方法2,利用向量

運算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出ZAOC即可求解作答.

【小問1詳解】

JT

方法1：在A5C中，因為。為中點，ZADC=-,AD=1,

3

則S=-AD-DCsinZADC=2a，SJ,解得a=4,

ADnCc2222旦8旦22

2兀

在△A3。中，ZADB=—,由余弦定理得°?uEy+AoZ—ZBDAOcosNADB，

,1廠7+4-15J7

即02=4+i—2x2xlx(——)=7,解得c=V7,則cosB=*

2277x214

sinB=A/1-COS2B=l-(^-)2=叵，

V1414

sin5^3

所以tanB=

cosB5

TT

方法2：在」45c中，因為。為5。中點，ZADC=~,AD=1,

3

]

則sAnr=~AD-DCsinZADC=-xlx-ax^-=—a=-S,?r=—>解得a=4,

ABC2222822

在，ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB，

即廿=4+1—2x2xlx；=3,解得5=6,有AC2+A￡)2=4=。2,則/CW,,

C=~,過A作于E，于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=走，BE=^,

6222

AE

所以tanB=

BE~5

【小問2詳解】

1,1

=—a+l-2x2〃xlxcos(兀一/ADC)

方法1：在△?￡）與AGO中,由余弦定理得<

11

b2=—a9+l-2x—4/xlxcosZADC

42

整理得ga2+2=b2+c2,而b2+c2=8,貝I]q=26，

又S=Lx6xlxsinNADC=走，解得sin/ADC=l,而°<NADC<7i，于是NA℃=百，

ADC222

所以z?=c==2?

方法2：在ABC中，因為。為BC中點，則2AD=AB+AC，又CB=A3—AC，

于是4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB—AC)?=2(/+C2)=16,即4+儲=16,解得a=2退,

乂SAM=1x6xlxsinNADC=走，解得sinNADC=1,而°<NADC<7i，于是NAOC='，

ADC222

所以/,=<=Ja/y+ap=2.

r「a,,-6,九為奇數(shù)r、，、

18.｛4｝為等差數(shù)列，"=/4佃冊，記S〃，7,分別為數(shù)列｛4｝,也｝的前w項和，邑=32,

[2%,"為偶數(shù)

（1）求｛%｝的通項公式;

（2）證明：當〃>5時，Tn>Sn.

【答案】（1）4=2〃+3；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,用表示S“及7“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T“，并與S”作差比較作答；方

法2,利用（1）的結(jié)論求出S”，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式求出7,，并與5”作差比較作答.

【小問1詳解】

,、一6,n=2k—1

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,而；，左eN*,

則=4—6,b2=2a2=2q+2d,&=q—6=%+2d_6,

S=4a+6d=32

于4,解得。[=5,d=2,%=q+(〃—l)d=2〃+3,

4=4q+4d—12=16

所以數(shù)列｛??｝的通項公式是a“=2〃+3.

【小問2詳解】

、、上,/、心C〃(5+2〃+3)2472n—3,n=2k-l

萬法1：由(1)知，S=--------------=n2+34n,b=<kN*,

nn4〃+6,〃=2左

當〃為偶數(shù)時，2T+bn=2(〃—1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6n+l)〃327

-------L—=—n+—n,

n2222

371

2

當〃>5時，Tn-Sn=(-+-n)-(H+4n)=-n(?-1)>0,因此工,〉色,

3735

22

當“為奇數(shù)時，7；,=7；+1-^+1=-(M+l)+-(H+l)-[4(H+l)+6]=-n+-zi-5,

351

22

當〃>5時，7；,-5?=(-zi+-7i-5)-(n+4/z)=-(?+2)(H-5)>0,因此

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

、、上?jc〃(5+2〃+3)2472n-3,n=2k-1

萬法2：由(1)知，S=--------------=2+4n,b“=<kN*,

nn4〃+6,〃=2左

當〃為偶數(shù)時,

-1+2(〃-1)-3n14+4〃+6〃327

北=(。+。+…+2_])+(。+〃+?+〃)--------------------+----------------=—n+—n,

222222

371

當〃>5時，7；-=(-n2+-n)-(n2+4n)=-n[n-1)>0,因止匕《〉5”,

當〃為奇數(shù)時，若〃之3,則

—1+2〃—3n+114+4(>—1)+6n—1

1=(4+4+,?+2)+電+“+?+2_1)=

22-22

3535

=-rr+-n-5,顯然=-1滿足上式，因此當九為奇數(shù)時，^=-^+-71-5,

2222

3S1

當〃>5時，7；-S?=(-H2+-n-5)-(n2+4n)=-(H+2)(H-5)>0,因此

所以當〃>5時，T”>S”.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得

到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

■，，.二?c^^

x

0.040...........................^u8

ao6

0.036...........................o4

0034...........................o.

0.012...................

0.010

0.002—T---指標0.002

<^95100105110115120125130O

她加N去..也俄K

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值C,將該指標大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為2(C)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為冢C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率〃(c)=0.5%時，求臨界值C和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=Mc)+q(c),當ce［95,105］時，求/(c)的解析式,并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值.

【答案】(1)c=97.5,

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=,最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出C,再根據(jù)第二個圖求出97.5的矩形面積即可解出；

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/'(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5—95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當ce［95,100］時，

/(c)=Me)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0,02；

當ce(100,105］時，

/(c)=Me)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=<,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60，E為BC的中點.

(2)點尸滿足"=ZM，求二面角O—AB—F的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵色

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意易證3cl平面ADE,從而證得BCLZM；

(2)由題可證平面BCD,所以以點E為原點，ED,EB,E4所在直線分別為蒼％z軸，建立空間直

角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【小問1詳解】

連接因為E為BC中點，DB=DC,所以。5c①,

因為ZMuDBuDC,ZADB^ZADC=60，所以八AC。與△A3。均為等邊三角形,

:.AC=AB,從而AELBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE，

所以，3cl平面ADE,而ADu平面ADE，所以5CLZM.

【小問2詳解】

不妨設(shè)加=。5=。。=2,BD±CD,:.BC=2y/2,DE^AE=y/2.

.?.4石2+?！?=4=32,...至，。石，又|AE_L3C,DEBC=E,￡>E,5Cu平面5C。AE_L

平面5co.

以點E為原點，ED,EB,EA所在直線分別為蒼yz軸，建立空間直角坐標系，如圖所示:

設(shè)D(A/2,0,0),A(0,0,JI),3(0,A/2,0),E(0,0,0),

設(shè)平面ZMB與平面AB廠的一個法向量分別為%=(%,%=(々,％★2),

二面角D-AB-F平面角為a而=(0,、歷,-虛卜

因為石尸=ZM=(-72,0,72),所以歹(—0,0,0),即有AF=(—0,0,01

.?欣一屆=?！?'所以

應(yīng)為-Viz,=0

丁■，取y,=1,所以巧=(0,1,1),

-信=0

所以，|cose|=~i=—產(chǎn)=――，從而sin0—

V3xV23

所以二面角O—A5—F的正弦值為且

3

21.己知雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為(-2逐,0),離心率為逐.

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點分別為4，4,過點(T,o)的直線與C的左支交于M,N兩點，M在第二象限,

直線與N&交于點P.證明:點P在定直線上.

22

【答案】(1)土-匕=1

416

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由題意求得的值即可確定雙曲線方程;

(2)設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線血4與N4的方程，聯(lián)立直線方程,

九+21

消去y,結(jié)合韋達定理計算可得——=-一，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點尸在定直線％=-1上.

x-23

【小問1詳解】

設(shè)雙曲線方程為三-1=l(a>0,b>0),由焦點坐標可知c=2百,

則由e=￡=J^可得。=2,b=\lc2-a2=4，

a

22

雙曲線方程為土—L=l.

416

【小問2詳解】

由⑴可得A(-2,0),4(2,0),設(shè)%),'(%,%)，

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線的方程為了=陽-4,月,<口<工，

22

22

與？嘖=1聯(lián)立可得(4病-1)/-32my+48=0,且△=64(4療+3)〉0,

直線”4的方程為1也（x+2）,直線N4的方程為

%2-2

聯(lián)立直線MA與直線N4的方程可得:

%+2=%a+2）=%。孫-2）=沖1%-2（%+%）+2%

x—2%（々-2）乂（7盯2—6）myly2-6y1

48-32m.-16m.

m-——5------2-------——+2y—5—+2/

4療一]47n2—14帆2]1

48~48m,3

mx——------6y…—6%

4m2-1%

龍+2I

由----=---可得％=—1,即Xp=-1,

x—23

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,

其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.

22.（1）證明：當0<x<l時，x—x2<sinx<x\

⑵已知函數(shù)〃x）=c