專題六第一講排列、組合、二項式定理

專題六第一講排列組合二項式定理目錄排列與組合基本概念排列組合問題求解方法二項式定理基本概念排列組合在二項式定理中應用經(jīng)典例題解析與技巧總結(jié)練習題與答案解析01排列與組合基本概念Part從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的一個排列。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中n為總元素個數(shù)，m為取出元素個數(shù)。排列數(shù)公式排列定義及公式組合定義從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)。組合數(shù)公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中n為總元素個數(shù)，m為取出元素個數(shù)，!表示階乘。組合定義及公式排列考慮元素順序，而組合不考慮元素順序。排列數(shù)$A_n^m$與組合數(shù)$C_n^m$之間存在關(guān)系：$A_n^m=C_n^mtimesm!$。這是因為排列數(shù)是在組合數(shù)的基礎(chǔ)上，再對取出的元素進行全排列。排列與組合關(guān)系聯(lián)系區(qū)別02排列組合問題求解方法Part0102直接法適用于元素個數(shù)較少，或問題較為簡單的情況。根據(jù)題意直接計算，考慮問題的實際背景和限制條件，合理分類和分步。間接法先求出問題的全部情況數(shù)，再減去不符合條件的情況數(shù)。適用于正面求解情況較多或較復雜，而反面情況較少或較簡單的情況。插空法與捆綁法先考慮不受限制的元素的排列，再將受限制的元素插入到已排好的元素之間的空隙中。插空法先將需要相鄰的元素捆綁成一個整體，與其他元素一起進行排列，再考慮捆綁元素內(nèi)部的排列。捆綁法03二項式定理基本概念Part二項式定理展開式二項式定理展開式是指形如$(a+b)^n$的式子按照一定規(guī)律展開后得到的多項式。二項式定理展開式的通項公式為$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$k=0,1,2,...,n$。二項式定理展開式的項數(shù)與指數(shù)$n$有關(guān)，共有$n+1$項。二項式定理展開式中，與首末兩端等距離的兩項二項式系數(shù)相等，即$C_n^k=C_n^{n-k}$。性質(zhì)一二項式定理展開式中，除首末兩項外，任意一項的二項式系數(shù)等于它前后兩項的二項式系數(shù)之和，即$C_n^k=C_n^{k-1}+C_n^{k+1}$。性質(zhì)二通項公式及性質(zhì)123對稱性，即$C_n^k=C_n^{n-k}$。二項式系數(shù)性質(zhì)一增減性與最大值，當$n$為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當$n$為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大。二項式系數(shù)性質(zhì)二各組二項式系數(shù)的和等于$2^n$，即$sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n$。二項式系數(shù)性質(zhì)三二項式系數(shù)性質(zhì)04排列組合在二項式定理中應用Part利用組合數(shù)公式求解根據(jù)二項式定理，$(a+b)^n$的展開式中，第$r+1$項的系數(shù)是$C_n^r$，因此可以通過組合數(shù)公式$C_n^r=frac{n!}{r!(n-r)!}$來求解二項式系數(shù)。利用帕斯卡爾三角形求解帕斯卡爾三角形中，每個數(shù)是它正上方兩數(shù)之和，而二項式系數(shù)正好對應帕斯卡爾三角形中的數(shù)，因此可以通過帕斯卡爾三角形來求解二項式系數(shù)。求解二項式系數(shù)問題判斷二項式展開式某項系數(shù)通過通項公式判斷二項式$(a+b)^n$的展開式中，第$r+1$項的通項公式為$T_{r+1}=C_n^rcdota^{n-r}cdotb^r$，因此可以通過通項公式來判斷某項的系數(shù)。通過組合數(shù)性質(zhì)判斷根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，當$n$和$r$滿足一定條件時，$C_n^r$具有對稱性、遞推性等性質(zhì)，因此可以通過這些性質(zhì)來判斷二項式展開式中某項的系數(shù)。證明等式通過二項式定理將等式兩邊的表達式展開，然后比較對應項的系數(shù)是否相等，從而證明等式成立。證明不等式利用二項式定理展開不等式兩邊的表達式，然后通過比較對應項的大小關(guān)系或者利用放縮法等方法來證明不等式成立。利用二項式定理證明等式或不等式05經(jīng)典例題解析與技巧總結(jié)Part例題101從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；所有這樣的組合構(gòu)成的集合，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合集合。例題202有10個表面涂滿紅漆的正方體，其棱長分別為2，4，6，...，18，20。若把這些正方體全部鋸成棱長為1的小正方體，則在這些小正方體中，共有一面至少被鋸成兩部分的有多少個?例題303有5本不同的書，要分給3名同學，每人至少1本，有多少種不同的分法?經(jīng)典排列組合問題解析求(a+b)^n的展開式中的通項公式及各項系數(shù)。例題1求(√x+3/x)^8的展開式中的常數(shù)項及有理項。例題3經(jīng)典二項式定理問題解析排列組合問題解題技巧特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略。相鄰元素捆綁策略。解題技巧與方法總結(jié)不相鄰問題插空策略。定序問題倍縮空位插入策略。排列組合混合問題先選后排策略。解題技巧與方法總結(jié)平均分組問題除法策略。重排問題求冪策略。二項式定理問題解題技巧解題技巧與方法總結(jié)解題技巧與方法總結(jié)熟記二項展開式的通項公式，理解各項系數(shù)的性質(zhì)。了解二項式定理在近似計算中的應用。掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應用。會利用二項展開式的通項公式求某些特定項的系數(shù)。06練習題與答案解析Part有5個不同的紅球和3個不同的白球，從中任取3個球，求取出的3個球中既有紅球又有白球的組合數(shù)。題目一題目二題目四在所有的三位數(shù)中，滿足其數(shù)字和等于12的三位數(shù)有多少個？已知(√x+2/x)^n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值。030201練習題答案解析題目一解析：根據(jù)題意，可以分兩種情況討論：第一種是取出2個紅球和1個白球，其組合數(shù)為C(5,2)C(3,1)；第二種是取出1個紅球和2個白球，其組合數(shù)為C(5,1)C(3,2)。所以總的組合數(shù)為C(5,2)C(3,1)+C(5,1)C(3,2)。題目二解析：根據(jù)題意，可以設(shè)三位數(shù)的百位、十位、個位數(shù)字分別為a、b、c，則有a+b+c=12。因為a、b、c均為正整數(shù)且a不能為0，所以可以通過枚舉法列出所有滿足條件的a、b、c組合，從而得到所有滿足條件的三位數(shù)。題目三解析：根據(jù)二項式定理，我們可以將(n+1)^2和n^2分別展開，然后相減得到2n+1。具體步驟為：(n+1)^2=n^2+2n+1，n^2=n^2，所以(n+1)^2-n^2=2n+1。題目四解析：根據(jù)題意，我們知道(√x+2/x)^n的展開