分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究的開題報(bào)告

分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究的開題報(bào)告開題報(bào)告一、研究背景近年來，隨著分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用的不斷深入，分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)理論已初步形成，分?jǐn)?shù)階偏微分方程的研究也越來越引起人們的關(guān)注。目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解法研究中，比較成熟的算法有非經(jīng)典的有限差分法、有限元法，以及基于譜方法的譜元法等。然而，這些方法主要是針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的二階偏微分方程或偏微分方程組進(jìn)行研究，對(duì)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法研究還比較薄弱。二、研究目的本文旨在研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，具體研究內(nèi)容如下：1.分析現(xiàn)有的數(shù)值算法中存在的問題，以及其在高維情況下的適用性問題；2.研究分?jǐn)?shù)階偏微分方程的誤差估計(jì)及數(shù)值誤差分析，針對(duì)現(xiàn)有算法中服務(wù)的光滑度條件進(jìn)行優(yōu)化研究；3.提出新的高階數(shù)值算法，分別基于有限差分法、有限元法以及譜元法進(jìn)行研究，探討新的高階技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的性能表現(xiàn)，驗(yàn)證算法的正確性以及穩(wěn)定性。三、研究內(nèi)容本文的主要研究內(nèi)容如下：1.綜述目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解法研究現(xiàn)狀以及常用的數(shù)學(xué)理論；2.分析現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法存在的問題，考慮現(xiàn)有算法的適用條件，提出針對(duì)性的改進(jìn)方案；3.提出針對(duì)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進(jìn)行算法正確性和穩(wěn)定性的證明；4.數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，對(duì)比分析新算法與現(xiàn)有算法在不同應(yīng)用場(chǎng)景中的性能表現(xiàn)。四、研究方法本文所采用的研究方法如下：1.經(jīng)過文獻(xiàn)調(diào)研，綜述目前分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用研究現(xiàn)狀，分析現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法存在的問題；2.基于現(xiàn)有的數(shù)值算法研究平臺(tái)，完善代碼的功能以及改進(jìn)；3.針對(duì)編寫的新算法，使用MATLAB、Python等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行算法正確性的驗(yàn)證以及穩(wěn)定性分析，定量驗(yàn)證算法的有效性；4.應(yīng)用理論模型，對(duì)新算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，比較新算法與現(xiàn)有算法的性能差異。五、預(yù)期成果1.提出針對(duì)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進(jìn)行算法正確性和穩(wěn)定性的證明；2.數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，對(duì)比分析新算法與現(xiàn)有算法在不同應(yīng)用場(chǎng)景中的性能表現(xiàn)，并提出改進(jìn)方案；3.發(fā)表科研論文，提高自己的學(xué)術(shù)水平，提高科學(xué)研究的能力。六、進(jìn)度安排時(shí)間節(jié)點(diǎn)完成內(nèi)容第1-2個(gè)月綜述分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用研究現(xiàn)狀第3-4個(gè)月分析現(xiàn)有算法所存在的問題，提出改進(jìn)方案第5-7個(gè)月提出針對(duì)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的高階數(shù)值算法，并進(jìn)行算法正確性和穩(wěn)定性的證明第8-9個(gè)月數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，對(duì)比分析新算法與現(xiàn)有算法的性能表現(xiàn)，并提出改進(jìn)方案第10-11個(gè)月完善論文撰寫及回答指導(dǎo)教師提出的問題第12個(gè)月完成畢業(yè)論文并答辯七、參考文獻(xiàn)1.李之才.分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階微積分方程[M].北京:科學(xué)出版社,2016.2.劉莉,曹勇.分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社,2014.3.左洪超,李鋒.分?jǐn)?shù)階微積分基礎(chǔ)[M].科學(xué)出版社,2015.4.許建勛,吳彥輝.數(shù)學(xué)物理方法基礎(chǔ)（第