高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第二章2-2第1課時函數(shù)的表示法

2．2函數(shù)的表示法第1課時函數(shù)的表示法水平11．任何一個函數(shù)都可以用圖象法表示．()2．函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線．()3．每一個函數(shù)都可以用解析法表示．()4．垂直于x軸的直線與函數(shù)y＝f(x)，x∈A的圖象最多一個交點．()【解析】1.提示：×.有些函數(shù)是不能畫出圖象的，如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,－1，x∈RQ.))2．提示：×.一個反例：f(x)＝eq\f(1,x)的圖象就不是連續(xù)的曲線．3．提示：×.一個反例：某天的空氣質(zhì)量指數(shù)圖象一般不能用解析法表示．4．√.·題組一函數(shù)的表示法1．給出函數(shù)f(x)，g(x)如表，則f(g(x))的值域為()x1234f(x)4321x1234g(x)1133A．{4，2} B．{1，3}C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能【解析】選A.因為當(dāng)x＝1或x＝2時，g(1)＝g(2)＝1，所以f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4；當(dāng)x＝3或x＝4時，g(3)＝g(4)＝3，所以f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2.故f(g(x))的值域為{2，4}．2．某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中正確的是()A．支出最高值與支出最低值的比是8∶1B．4至6月份的平均收入為50萬元C．利潤最高的月份是2月份D．收入最高的月份是2月份【解析】選D.由題圖可知，支出最高值為60萬元，支出最低值為10萬元，其比是6∶1，故A錯誤，由題圖可知，4至6月份的平均收入為eq\f(1,3)(50＋30＋40)＝40萬元，故B錯誤，由題圖可知，利潤最高的月份為3月份和10月份，故C錯誤，由題圖可知收入最高的月份為2月份，故D正確．3．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函數(shù)為()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})【解析】選D.由題意得y＝2x，x∈{1，2，3，4}．·題組二函數(shù)的圖象及其應(yīng)用1．已知函數(shù)y＝f(x)的對應(yīng)關(guān)系如表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則f(g(2))的值為()x123f(x)230A．3B．2C．1D．0【解析】選B.由圖象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，所以f(g(2))＝f(1)＝2.2．一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水也不出水．則正確論斷的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】選B.由題意可知在0點到3點這段時間，每小時進水量為2，即2個進水口同時進水且不出水，所以①正確；從丙圖可知3點到4點水量減少了1，所以應(yīng)該是有一個進水口進水，同時出水口也出水，故②錯；當(dāng)兩個進水口同時進水，出水口也同時出水時，水量保持不變，故③錯．·題組三求函數(shù)的值與函數(shù)解析式1．若f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．1B．3C．15D．30【解析】選C.令1－2x＝eq\f(1,2)，則x＝eq\f(1,4)，因為f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，所以f(eq\f(1,2))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝15.2．已知f(x)是反比例函數(shù)，且f(－3)＝－1，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝－eq\f(3,x) B．f(x)＝eq\f(3,x)C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x【解析】選B.由題意設(shè)f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)，由f(－3)＝－1，得eq\f(k,－3)＝－1，得k＝3.所以f(x)＝eq\f(3,x).【加練備選】已知f(x)+2f(x)=x2+2x,則f(x)=__________.

【解析】因為f(x)+2f(x)=x2+2x,①所以將x換成x,得f(x)+2f(x)=x22x.②所以由①②得3f(x)=x26x,所以f(x)=QUOTEx22x.答案:QUOTEx22x易錯點一不能理解抽象函數(shù)的定義域而出錯1．已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1，5]，則函數(shù)f(x－5)的定義域是________．【解析】由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函數(shù)f(x－5)的定義域是[4，10].答案：[4，10]2．已知函數(shù)f(x－5)的定義域為[－1，5]，則函數(shù)f(x)的定義域是________．【解析】由于－1≤x≤5，所以－6≤x－5≤0，所以函數(shù)f(x)的定義域是[－6，0].答案：[－6，0]【易錯誤區(qū)】第1題的題設(shè)條件中自變量x的取值范圍是[－1，5]，而設(shè)問中函數(shù)自變量雖是x但其范圍應(yīng)由－1≤x－5≤5求得，顯然范圍不一樣；第2題的題設(shè)條件中的自變量的取值范圍是[－1，5]，但題設(shè)條件中x的取值相當(dāng)于已知函數(shù)中x＋5的取值范圍，因而所求函數(shù)定義域與題設(shè)中定義域不一樣．對函數(shù)概念理解不透徹，分不清這兩個函數(shù)中的自變量是導(dǎo)致錯誤的根本原因．易錯點二對復(fù)合函數(shù)的概念理解不透徹而出錯(金榜原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，則f(f(x))＝__________.【解析】因為f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝eq\f(1＋f（x）,1－f（x）)＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x).答案：－eq\f(1,x)【易錯誤區(qū)】對于函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的理解：如圖，來自定義域A的每一個元素從入口進入“機器f”，被f處理后從出口落入集合B，容易出錯的是認為入口只能是一個x，不能是其他，正確的是只要在入口處屬于定義域A的實數(shù)都可以從入口進入被f處理．水平1、2限時30分鐘分值60分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．一天，亮亮發(fā)燒了，早晨6時他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午12時亮亮的體溫基本正常，但是從下午到18時他的體溫一直上升，直到半夜24時亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了．下列各圖能基本上反映出亮亮這一天(0時～24時)體溫的變化情況的是()【解析】選C.從0時到6時，體溫上升，圖象是上升的，排除A；從6時到12時，體溫下降，圖象是下降的，排除B；從12時到18時，體溫上升，圖象是上升的，排除D.2．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，則f(－1)＝()A．0B．8C．2D．－2【解析】選B.因為f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝3，))即f(x)＝x2－4x＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知f(x＋2)＝x2＋4x＋2025，則f(x)＝()A．x2＋2021 B．x2＋8x＋2025C．x2－4x＋2021 D．x2＋4x＋2017【解析】選A.設(shè)x＋2＝t，則x＝t－2，所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋2025＝t2－4t＋4＋4t－8＋2025＝t2＋2021.所以所求函數(shù)為f(x)＝x2＋2021.4．(2021·南充高一檢測)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2x－1)＝2x2，則f(3)＝()A．8 B．4 C．18 D．2【解析】選A.因為f(2x－1)＝2x2，令2x－1＝3，解得x＝2，所以f(3)＝2×22＝8.5．(多選)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝9x＋8，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2C．f(x)＝－3x＋4 D．f(x)＝－3x－4【解析】選AD.設(shè)f(x)＝kx＋b，由題意可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋b))＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9,kb＋b＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3,b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝－4))，所以f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.6．(多選)已知狄利克雷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x是有理數(shù)，,0，x是無理數(shù)，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的值域為[0，1]B．f(x)的定義域為RC．f(x＋1)＝f(x)D．f(x)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))【解析】選BC.對于A,f(x)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))，故A錯誤；對于B,f(x)的定義域為R，故B正確；對于C，當(dāng)x是有理數(shù)時，x＋1也為有理數(shù)，當(dāng)x是無理數(shù)時，x＋1也為無理數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝f(x)成立，故C正確；對于D，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，所以f(x)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故D錯誤．二、填空題(每小題5分，共20分)7．已知函數(shù)f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，則a＝______．【解析】因為f(2x＋1)＝eq\f(3,2)(2x＋1)＋eq\f(1,2)，所以f(a)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2).又f(a)＝4，所以eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)＝4，a＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)8．若f(x)－eq\f(1,2)f(－x)＝2x(x∈R)，則f(2)＝________．【解析】因為f(x)－eq\f(1,2)f(－x)＝2x，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）－\f(1,2)f（－2）＝4，,f（－2）－\f(1,2)f（2）＝－4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（2）－f（－2）＝8，,f（－2）－\f(1,2)f（2）＝－4，))相加得eq\f(3,2)f(2)＝4，f(2)＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)9．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為____________________________．【解析】正方形外接圓的直徑是它的對角線，又正方形的邊長為eq\f(x,4)，由勾股定理得(2y)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)，所以y2＝eq\f(x2,32)，即y＝eq\f(\r(2),8)x(x>0).答案：y＝eq\f(\r(2),8)x(x>0)10．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b))，且f(1)＝2，則eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)),f（2）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)))＋…＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2023)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2022)))＝________．【解析】令a＝x，b＝1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝f(x)·f(1)＝2f(x)，所以eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),f（x）)＝2，所以eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)),f（2）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)))＋…＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2023)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2022)))＝2＋2＋…＋2＝2×2022＝4044.答案：4044三、解答題11．(10分)(一題多解)(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式；(2)已知f(eq\r(x)－1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式．【解析】(1)方法一(替換法)：在f(x＋1)＝x2－3x＋2中，把x換成x－1，得f(x)＝(x－1)2－3(x－1)＋2＝x2－2x＋1－3x＋3＋2＝x2－5x＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.方法二(配湊法)：因為f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，所以f(x)＝x2－5x＋6.方法三(換元法)：令t＝x＋1，則x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.(2)方法一(配湊法)：因為f(eq\r(x)－1)＝x＋2eq