線性代數(shù)相似矩陣與二次型第4節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

線性代數(shù)相似矩陣與二次型第4節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型目錄CONTENTS二次型基本概念與性質(zhì)二次型標(biāo)準(zhǔn)型求解方法二次型規(guī)范型與慣性定理二次型正定性判斷及應(yīng)用相似矩陣與合同矩陣關(guān)系探討總結(jié)回顧與拓展延伸01二次型基本概念與性質(zhì)二次型定義二次型是n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$為常數(shù)，且$a_{ij}=a_{ji}$。表示方法二次型可以用矩陣形式表示為$f=X^TAX$，其中$X=[x_1,x_2,...,x_n]^T$，$A$為對(duì)稱(chēng)矩陣，其元素為$a_{ij}$。二次型定義及表示方法二次型矩陣與秩二次型矩陣對(duì)于給定的二次型$f=X^TAX$，矩陣$A$稱(chēng)為該二次型的矩陣。由于$A$是對(duì)稱(chēng)矩陣，因此它具有一些特殊的性質(zhì)，如特征值均為實(shí)數(shù)、不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交等。秩二次型的秩定義為其矩陣$A$的秩，即$r(f)=r(A)$。秩反映了二次型中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)和二次型的復(fù)雜程度。等價(jià)變換定義：若兩個(gè)二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換后可以相互轉(zhuǎn)化，則稱(chēng)這兩個(gè)二次型是等價(jià)的。具體來(lái)說(shuō)，若存在可逆矩陣$C$使得$C^TAC=B$，則二次型$X^TAX$與$Y^TBY$等價(jià)，其中$Y=CX$。等價(jià)變換的性質(zhì)等價(jià)變換不改變二次型的秩。等價(jià)變換不改變二次型的正定性、負(fù)定性和半正定性等性質(zhì)。通過(guò)等價(jià)變換，可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型或規(guī)范型。0102030405二次型等價(jià)變換02二次型標(biāo)準(zhǔn)型求解方法步驟一將二次型表達(dá)式化為完全平方的形式，即配成平方項(xiàng)。步驟三將標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)按照從小到大的順序排列，得到標(biāo)準(zhǔn)型。步驟二通過(guò)平方項(xiàng)的系數(shù)，確定標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)。配方法求解標(biāo)準(zhǔn)型步驟一求出二次型的矩陣A。步驟二求出矩陣A的特征值和特征向量。步驟三將特征向量單位化，得到正交矩陣P。步驟四通過(guò)正交變換$x=Py$，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。正交變換法求解標(biāo)準(zhǔn)型特征值法求解標(biāo)準(zhǔn)型求出二次型的矩陣A。步驟一根據(jù)特征值和特征向量，構(gòu)造可逆矩陣P。步驟三通過(guò)可逆線性變換$x=Py$，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。步驟四求出矩陣A的特征值和特征向量。步驟二03二次型規(guī)范型與慣性定理01020304定義：對(duì)于二次型$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，若存在可逆線性變換$x=Cy$，使得$f$變?yōu)?f=y_1^2+y_2^2+ldots+y_p^2-y_{p+1}^2-ldots-y_{p+q}^2$（其中$p+qleqn$），則稱(chēng)該式為$f$的規(guī)范型。規(guī)范型定義及性質(zhì)性質(zhì)1.規(guī)范型是唯一的，不依賴(lài)于線性變換的選擇。2.規(guī)范型中的正平方項(xiàng)數(shù)$p$和負(fù)平方項(xiàng)數(shù)$q$分別稱(chēng)為二次型的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，它們的和$p+q$稱(chēng)為慣性指數(shù)。輸入標(biāo)題02010403慣性定理及其推論慣性定理：對(duì)于任意二次型，其規(guī)范型中的正慣性指數(shù)$p$、負(fù)慣性指數(shù)$q$和零項(xiàng)的個(gè)數(shù)$r$都是確定的，不隨所選取的線性變換而改變。2.若兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同，則它們具有相同的特征值符號(hào)數(shù)（即正、負(fù)特征值的個(gè)數(shù)）。1.若兩個(gè)二次型的矩陣合同，則它們的規(guī)范型相同，從而具有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。推論標(biāo)準(zhǔn)型定義：形如$f=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$（其中$lambda_i$為實(shí)數(shù)）的二次型稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)型。關(guān)系1.規(guī)范型是標(biāo)準(zhǔn)型的特例，其中$lambda_i$只能取$pm1$或$0$。2.通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性變換，可以將任意二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。進(jìn)一步，通過(guò)正交變換，可以將標(biāo)準(zhǔn)型化為規(guī)范型。3.二次型的規(guī)范型和標(biāo)準(zhǔn)型在本質(zhì)上描述了二次型的幾何性質(zhì)，如形狀、方向和大小等。0102030405規(guī)范型與標(biāo)準(zhǔn)型關(guān)系04二次型正定性判斷及應(yīng)用對(duì)于任意非零向量x，都有f(x)>0，則稱(chēng)f為正定二次型；若f(x)<0，則稱(chēng)f為負(fù)定二次型。定義正定二次型的矩陣A是正定矩陣，即A的所有特征值均為正數(shù)；負(fù)定二次型的矩陣A是負(fù)定矩陣，即A的所有特征值均為負(fù)數(shù)。性質(zhì)正定二次型定義及性質(zhì)123若二次型的矩陣A的各階順序主子式均大于零，則A是正定矩陣，從而二次型是正定的。順序主子式法計(jì)算二次型的矩陣A的特征值，若所有特征值均為正數(shù)，則A是正定矩陣，從而二次型是正定的。特征值法通過(guò)合同變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，若標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)均為正數(shù)，則原二次型是正定的。合同變換法判斷正定性的方法正定二次型在優(yōu)化問(wèn)題中應(yīng)用在最小二乘法中，若系數(shù)矩陣是正定矩陣，則最小二乘解存在且唯一。凸優(yōu)化問(wèn)題在凸優(yōu)化問(wèn)題中，若目標(biāo)函數(shù)是正定二次型，則問(wèn)題的解存在且唯一。約束優(yōu)化問(wèn)題在約束優(yōu)化問(wèn)題中，若目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為正定二次型，則問(wèn)題的解存在且可以通過(guò)求解KKT條件得到。最小二乘法05相似矩陣與合同矩陣關(guān)系探討010405060302定義：設(shè)$A,B$都是$n$階矩陣，若有可逆矩陣$P$，使得$P^{-1}AP=B$，則稱(chēng)$B$是$A$的相似矩陣，或說(shuō)$A$和$B$相似。性質(zhì)相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。相似矩陣具有相同的行列式值。相似矩陣具有相同的秩。相似矩陣具有相同的跡（即主對(duì)角線上元素之和）。相似矩陣定義及性質(zhì)回顧0102030405定義：設(shè)$A,B$都是$n$階矩陣，若存在可逆矩陣$C$，使得$C^TAC=B$，則稱(chēng)$B$是$A$的合同矩陣，或說(shuō)$A$和$B$合同。性質(zhì)合同矩陣具有相同的秩。合同矩陣具有相同的正負(fù)慣性指數(shù)（即正特征值、負(fù)特征值的個(gè)數(shù)）。合同矩陣具有相同的行列式值。合同矩陣定義及性質(zhì)介紹相似矩陣與合同矩陣關(guān)系分析聯(lián)系相似矩陣和合同矩陣都是矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系。在某些特殊情況下，相似矩陣也可能是合同矩陣，例如當(dāng)相似變換矩陣$P$是正交矩陣時(shí)。相似矩陣與合同矩陣關(guān)系分析相似變換保持矩陣的特征值不變，但不保持特征向量；而合同變換保持特征值的符號(hào)不變（即保持慣性指數(shù)不變）。區(qū)別在實(shí)際應(yīng)用中，相似變換常用于矩陣的對(duì)角化、求特征值和特征向量等問(wèn)題；而合同變換常用于二次型的化簡(jiǎn)、求標(biāo)準(zhǔn)型等問(wèn)題。相似矩陣的判定條件較為寬松，只要找到一個(gè)可逆矩陣$P$使得$P^{-1}AP=B$即可；而合同矩陣的判定條件較為嚴(yán)格，需要找到一個(gè)可逆矩陣$C$使得$C^TAC=B$。06總結(jié)回顧與拓展延伸01020304二次型的定義及基本性質(zhì)二次型的矩陣表示法二次型的標(biāo)準(zhǔn)型及其求法正交變換與二次型的化簡(jiǎn)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧01020304如何判斷