2024年新高考數(shù)學一輪復習知識梳理與題型歸納第15講導數(shù)的應用-導數(shù)與函數(shù)的單調性學生版

第15講導數(shù)的應用——導數(shù)與函數(shù)的單調性思維導圖知識梳理函數(shù)的單調性在某個區(qū)間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞減．題型歸納題型1證明（判斷）函數(shù)的單調性【例1-1】已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調性．【跟蹤訓練1-1】函數(shù)在區(qū)間上A．單調遞減 B．單調遞增 C．上單調遞增，上單調遞減 D．上單調遞減，上單調遞增【跟蹤訓練1-2】試證明函數(shù)在上是減函數(shù)．【名師指導】討論函數(shù)f(x)單調性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f′(x)的正負，由符號確定f(x)在該區(qū)間上的單調性．題型2求函數(shù)的單調區(qū)間【例2-1】函數(shù)的單調遞增區(qū)間為A． B． C． D．【例2-2】求函數(shù)的單調區(qū)間．【跟蹤訓練2-1】函數(shù)的單調遞增區(qū)間為A． B． C． D．【跟蹤訓練2-2】確定函數(shù)，的單調區(qū)間．【名師指導】利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的方法(1)當導函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調區(qū)間．(2)當方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．(3)若導函數(shù)對應的方程、不等式都不可解，根據f′(x)結構特征，利用圖象與性質確定f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．題型3函數(shù)單調性的簡單應用——比較大小或解不等式【例3-1】已知，則A． B． C． D．【例3-2】是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，【跟蹤訓練3-1】對于定義在上可導的任意函數(shù)，若滿足，則必有A．（a） B．（a） C．（a） D．（a）【跟蹤訓練3-2】已知函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有，且（2），則不等式的解集為A．， B．， C． D．【跟蹤訓練3-3】已知函數(shù)的定義域為，且，則不等式的解集為A．， B．， C． D．【名師指導】一般地，在不等式中如同時含有f(x)與f′(x)，常需要通過構造含f(x)與另一函數(shù)的積或商的新函數(shù)來求解，再借助導數(shù)考查新函數(shù)的性質，繼而獲得解答．如本題已知條件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需構造函數(shù)g(x)＝x2f(x)，求導后得x>0時，g′(x)>0，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，從而問題得以解決．題型4函數(shù)單調性的簡單應用——根據函數(shù)單調性求參數(shù)【例4-1】若函數(shù)在，上為增函數(shù)，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【例4-2】已知函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【例4-3】若函數(shù)在區(qū)間單調遞增，則的取值范圍是；若函數(shù)在區(qū)間內不單調，則的取值范圍是．【跟蹤訓練4-1】若函數(shù)在其定義域上不單調，則實數(shù)的取值范圍為A．或 B． C． D．【跟蹤訓練4-2】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【跟蹤訓練4-3】已知函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增，則的取值范圍為．【名師指導】已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍(1)已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞增，則在區(qū)間D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞減，則在區(qū)間D上f′(x)≤0恒成立；(3