易錯(cuò)點(diǎn)7 平面向量-2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專(zhuān)用）（教師版含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)07平面向量

易錯(cuò)題【01】確定向量夾角時(shí)忽略向量的方向

在判斷兩向量的夾角大小時(shí)，要注意把兩向量平移到共起點(diǎn)，這樣才不至于判斷錯(cuò)誤.特別要

注意在aABC中，的夾角不是角B,而是角8的補(bǔ)角，8ABe夾角是角8。

易錯(cuò)題［02］不會(huì)通過(guò)建立坐標(biāo)系把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題

平面向量中有很多與平面幾何交匯的問(wèn)題，當(dāng)所給平面圖形為等腰三角形、直角三角形、矩

形、直角梯形時(shí)常通過(guò)建立坐標(biāo)系，把平面向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，特別是求平面向

量有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題，常通過(guò)建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，或利用基本不等式求最

值。另外若題中有互相垂直的單位向量，也可建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算把向量問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

易錯(cuò)題［03］忽略向量共線(xiàn)致誤

在解決兩向量夾角問(wèn)題時(shí),一般地，向量“6為非零向量,a與b的夾角為仇則①6為銳角oa協(xié)＞0

且不同向，特別提醒：不要忽略“力不同向；②6為直角Q”彷=0；③6為鈍角oa為＜0

且a力不反向，特別提醒：不要忽略不反向。

易錯(cuò)題［04］對(duì)向量共線(xiàn)定理及平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確致誤

⑴對(duì)于兩個(gè)向量共線(xiàn)定理（皈洋0）與〃共線(xiàn)地在唯一實(shí)數(shù)力使得》=觴）中條件翔'’的理解：

當(dāng)＜1=0時(shí),a與任一向量b都是共線(xiàn)的；當(dāng)a=0且厚0時(shí)力=福是不成立的，但a與b共線(xiàn).因

此，為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立，我們要求a翔.換句話(huà)說(shuō),如果不加條件

與b共線(xiàn)”是“存在唯一實(shí)數(shù)2使得b=〃”的必要不充分條件.

（2）平面向量的一組基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組.用平面向量基本

定理可將平面中任一向量分解成形如。=九6|十及62（九726艮幻￡2為同一平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩

個(gè)向量）的形式，它是向量線(xiàn)性運(yùn)算知識(shí)的延伸.如果6佇是同一平面內(nèi)的一組基底，且2同

+義202=0（加工2GR）,那么九=力2=0.

易錯(cuò)題01

已知等邊4ABC的邊長(zhǎng)為1,則質(zhì)1總+系屈+屈?求=.

【警示】本題出錯(cuò)主要原因是誤以為向量屈、就、/間的夾角均為60。.得出前?不=2?屈

=港商:=；的錯(cuò)誤結(jié)論.

3

【答案】--

2

【問(wèn)診】反■與不的夾角應(yīng)是/AC3的補(bǔ)角/ACD,即180。一乙4磁=120。.乂|反1=|/|=油

|=1,所以就?不=|就||"|cos120。=一;.同理得不.初=油.反'=一.故武.^A+N?輻+

露.病=-2

【叮囑】在判斷兩向量的夾角時(shí)，一定要注意向量的方向

變式練習(xí)〉〉

1.(2022屆陜西省西安高三上學(xué)期月考)已知NA5C=120。，AB=2,8c=1,則|A2-2BC|=

()

A.2石B.2粒C.2D.4

【答案】C

【解析】因?yàn)?/p>

.-一2..2.2...2]

|Afi-2BC|2=AB'-4AB-BC+4BC=AB~+4BA-BC+4BC=22+4x2xlx(--)+4=4,所

以IA8-2BC|=2.故選C

2.在AABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足AP=2PA/，則

PA(PB+PC)等于

4444

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】A

【解析】由=知，P為AABC的重心，根據(jù)向量的加法，PB+PC=2PM>則

PA-(PB+PC)^PA-2PM=2\PA^PM\cosn=一1.故選A.

易錯(cuò)題02

(2020屆山東卷T7)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則APAB的取值

范圍是

A.(-2,6)B.(-6,2).C.(-2,4)D.(T,6)

【警示】本題主要失誤原因是沒(méi)有建立坐標(biāo)系的意識(shí)，導(dǎo)致解題受阻。

【答案】A

【問(wèn)診】如圖，建立平面宜角坐標(biāo)系A(chǔ)_X,,由題意知A(O0)，3(20)，C(3V3)，

F(-1,V3),設(shè)尸(x,y)'則一l<x<3,APAB=(x,y)-M=2x'-2<2x<6>

4。26的取值范圍是(一2,6”

【叮囑】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可把幾何圖形中的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解。

支式練習(xí)〉〉

1>(2022屆重慶市九龍坡區(qū)高三上學(xué)期期中)已知AB|_LAB?,|OBj=|OB2|=1,AP=ABt+AB2,

IU叫1uu

\OP\<-，則|OA|的取值范圍()

A.*點(diǎn))B.咚，后

C.D.(當(dāng)，我

【答案】B

【解析】由題設(shè)，四邊形用A82P為矩形，構(gòu)建以A為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如下圖，

若B[(0,72),B式m,0),則PQn,n),設(shè)0(%,y),

x2+(y-〃y=1,(x-m)2+y2=[K0<(x-w)2+(y-n)2<—,

4

2222

5L\OA^=x+y=2-[(x-m)+(y-n)]9

.,.-<|OA|2<2,即也<|OA區(qū)&.故選B

42

易錯(cuò)題03

已知a=(2,l).b=Q』)/eR,a與b的夾角為。.若6為銳角，則7的取值范圍是

【警示】本題易錯(cuò)之處是誤以為0為銳角ocosGO,忽略共線(xiàn)的情況

【答案】M號(hào)且扭2)

【問(wèn)診】：6)為銳角,，0<cos.又「cos備

2T

2z+lr2z+l2A+l>0,

一°索丙兩百產(chǎn)'，解得

刀+i動(dòng)7尸+1

.2#2.

?'.2的取值范圍是卜R>一,且￥2).

【叮囑】利用向量共線(xiàn)求參數(shù)的值或范圍，要注意排除共線(xiàn)情況。

變式練習(xí)〉〉

1.(2022屆河北省邢臺(tái)市“五岳聯(lián)盟”高三上學(xué)期12月聯(lián)考)己知向量。=(-2,1),b=則

下列說(shuō)法不正確的是()

A.若〃//0，貝ijf的值為B.若|“+〃|=|。-方|,則，的值為2

C.|a+口的最小值為1D.若〃與b的夾角為鈍角，則/的取值范圍是

t<2

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，若;//1,則-2xf=lxlnf=-g,A選項(xiàng)說(shuō)法正確.

B選項(xiàng)，若|。+6|=|。-切，兩邊平方并化簡(jiǎn)得〃.0=(),即一2+，=0=r=2,B選項(xiàng)說(shuō)法正確.

C選項(xiàng)，|^4-/?|=|(-l,l+r)|=^(/4-l)2+1,當(dāng)，=-1時(shí)，有最小值為1,C選項(xiàng)說(shuō)法正確.

—2+f<0[7<2

D選項(xiàng)，若〃與b的夾角為鈍角，則,n1=1,D選項(xiàng)說(shuō)法不正

-2xr^ixit卡————

I2I2

確.故選D

2.(多選題)(2022屆福建省泉州高三上學(xué)期期中)已知平面向量。=(1,2)"=(-2,1),c=(2j),

下列說(shuō)法正確的是()

A.若(a+b)〃c,則1=6

B.若(a+6),c，則￡=：

4

C.若/=1,貝ljcos<4,c>=g

D.若向量〃與向量c夾角為銳角，則￡>-1

【答案】BC

【解析】Qa=（l,2）,Z?=（-2,1）,:.a+h=（-1,3）,c=（2,r）a^c=2t+2

若（a+b）〃入,c=（2,r）/.-Ixr=2x3/.r=-6,故A不正確；

若（〃+〃）_Lc,.c=（2j）「.-1><2+/><3=0/.r=-1,故B正確；

若f=l,則c=（2,l）,.q.c=2r+2=4，卜卜石，卜卜石...c°s<a,c>=|^=石:石=，,

故C正確；若向量〃與向量2夾角為銳角，則a.c>0Qa=（l，2）,c=（2,r）^.c=lx2+2xr>0

t>—1

若向量”與向量c平行,則lx/=2x2,f=4,故向量”與向量c,夾角為銳角時(shí):>一1且/#4.

故D不正確；故選BC

易錯(cuò)題04

給出下列命題：（1）平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底；（2）平面向量的基底不唯一,

只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示；（3）若。力共線(xiàn)，則）=而

且4存在且唯一：（4）21“+〃16=42。+〃2力,則丸=22必=〃2.其中真命題的個(gè)數(shù)為

A.lB.2C.3D.4

【警示】本題出錯(cuò)主要原因是對(duì)平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確，導(dǎo)致判斷失誤

【答案】A

【問(wèn)診】平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量可以作為一組基底,（1）是假命題；（2）是真命題：對(duì)于（3）,

當(dāng)a為均為零向量時(shí)4可以取任意實(shí)數(shù)，當(dāng)。為零向量力為非零向量時(shí)4不存在,（3）是假命題；

對(duì)于（4）,只有a,b為不共線(xiàn)向量時(shí)才成立.

【叮囑】注意平面向量基本定理中的基底是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量

變式練習(xí)〉）

1.給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；②4w=0a為實(shí)數(shù)），則入

必為零；③心〃為實(shí)數(shù)，若則:與％共線(xiàn)?其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線(xiàn)要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯(cuò)誤，當(dāng)：=0時(shí)，不論2為

何值，=0.③錯(cuò)誤，當(dāng)a=〃=0時(shí)，=此時(shí)，;與了可以是任意向量.

故錯(cuò)誤的命題有3個(gè).故選D

(2022屆上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè))下列各組向量中.可以作為基底的是()

A.q=(0,0),02=(1,2)B.q=(3,4),e?=(1,2)

4

C.q=(3,4),02=(6,8)D.et=(3,-4),e2=(1,--)

【答案】B

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閭?(0,0),0與任何一個(gè)向量均為共線(xiàn)向量，不能做基底，故A錯(cuò)誤；

1UU

對(duì)于C,因?yàn)?=；/，兩向量共線(xiàn)，不能做基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于。，因?yàn)椤?3自，兩

22

向量共線(xiàn)，不能做基底，故。錯(cuò)誤；故選8.

易錯(cuò)題通關(guān)

1.(2022屆廣東省江門(mén)市高三上學(xué)期調(diào)研)在邊長(zhǎng)為3的等邊二A8C中，若BD=2DC,則

ADAB=()

Q

A.6-3A/3B.-C.3D.6

3

【答案】D

【解析】

如圖，由8r>=2￡>C?可得CO=gc5,

II1

又AO=AC+C￡>=AC+-C8=AC+-(A8-AC)=-AC+-AB,ABC為等邊三角形，

33、'33

^fy,/4D-.4B=^|AC+i/4ByAB=|AB-AC+^Afi2=||AB|-|Ac|cos60°+||Ac|2=6.故選D

2.(2022屆四川省攀枝花市高三統(tǒng)一考試)在^A8C中，BC=2,BA=C，3=(,CA=3D4,

且點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，則AE.EC=()

A.--B.|D

99c-|-1

【答案】A

【解析】由題設(shè)，AE^AB+BE=AB+-BD=AB+-(BC+CD)=AB+-BC+-CA=

2223

AB+-BC+-(CB+BA)=-AB+-BC,

2336

1.1~~.―.11一一1__1

EC=EB+BC=-DB+BC=-(DC+CB)^BC=-AC+-CB+BC=-(AB+BC)+3BC

=-BC+-AB.

63

AEEC=(，2C+]AB).(濃+h8)=>(778。48+隊(duì)2,又8CAB=-2，

63633olo9

51142

??.AEEC=-——+_=故選A

9999

3.(2021屆寧夏中衛(wèi)市高三聯(lián)考)已知川=M=2,且q,/,的夾角為60,若向量卜-。卜1,

則，；的取值范圍是()

A.[Y,4]B.[一26,26]C.[0,273]D.[0,4]

【答案】D

【解析】不妨設(shè)"=(2,0),c=(x,y),且cos(“,b)=(，

因?yàn)閗-441,所以(彳一2)2+94I,設(shè)x=2+rcosa,y=rsina,

0<r<l,?GR,所以>c=x+Gy=2+rcosa+V^rsina=2+2rsina+—,

由于T4-r〈rsin[a+7j4r41,故6.ce[0,4].故選D.

4.己知C,。是以AB為直徑的圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且A3=4,則AC8O的最大值是()

A.2B.4x/5-4>/3C.25/2D.4后-4

【答案】A

【解析】如圖，以圓心。為原點(diǎn)，直徑的所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則&-2,0),8(2,0),設(shè)C(2cos%2si〃a),D(2cos02,2sin02),

AC=(2cos+2,2sin^),BD-(2cos6,-2,2sin0,),

AC-BD=：(2cos^,+2)(2cos0,-2)+4sin61,sin0

=(4cosq+4)c"sg+4sin0^in02-4(cas^+1)

,,J(4cosq+4y+16sin2a-4(cos6?,+1)=4gcos^+l_4(cosq+1),

設(shè)Jcosq+1=t,re[0,^],則ACBDgiJ-4t?+4&t=Mt-等)+22,

即ACBD的最大值是2.故選A

5.(2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期中)下列說(shuō)法中正確的是()

A.已知。=(1,2),〃=(1,1),且。與“+勸的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是卜3,+8

B.向量4=(2,-3),/=(；,-；),可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量。和b，滿(mǎn)足|H>W，且兩個(gè)向量是同向，則

D.非零向量4和人滿(mǎn)足問(wèn)=忖=卜-"，則d與4+0的夾角為30。

【答案】D

【解析】。+助=(1+42+為，因?yàn)?。與4+勸的夾角為銳角，所以

c"+位霹曷小渭?oj）,解得：人1且石仇故A

錯(cuò)誤；弓=4/,所以q〃q,不能作為平二面內(nèi)所有向量的一組基底，B錯(cuò)誤；兩個(gè)向量的

模長(zhǎng)可以比較大小，但兩個(gè)向量是不能比較大小的，故C錯(cuò)誤；不妨令同=1卜,-.=1則

p-/?|=(〃-/?)=a2-2ab+b2=2-2a-b=\所以。為則

2

,+4=(〃+/?)=a2+2a-b+b2=3,所以,+.=G

“?(a+B)/"[有

麗T".=否=彳

因?yàn)椋鸻,a+?e[0,句,所以（a,a+弓=看,D選項(xiàng)正確.故選D

6.（多選題）（[河北省邢臺(tái)市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知點(diǎn)尸為43c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足

AP=AAB+^AC,則（）

A.當(dāng)戶(hù)在，ABC內(nèi)部時(shí)，2+〃<1B.當(dāng)P在,ABC外部時(shí)，2//<0

C.當(dāng)彳=〃時(shí)，直線(xiàn)"一定過(guò)ABC的重心D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，AP//BC

【答案】ACD

【解析】對(duì)A,取邊BC上的點(diǎn)。，且滿(mǎn)足二=%立）,當(dāng)戶(hù)在AABC內(nèi)部時(shí)，x<l.因?yàn)?QC

三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)y（o<y<i）,使得&>=J矗+（1->）/，于是

—>—>—>

AP=xyAB+x（\-y）AC<貝!M+〃=孫+工一沖=x<1.A正確；

對(duì)B,取邊BC的中點(diǎn)E,則成=^+公，設(shè)石>=2危，易知點(diǎn)尸在三角形外部，所以

AP=2A8+2AC，則'.〃=4>0.B錯(cuò)誤；對(duì)C,2=〃時(shí)，AP=A8+Ai?，由答案B中的

推理，點(diǎn)P,E重合，則直線(xiàn)AP一定過(guò)ABC的重心.C正確；由題意，對(duì)D,

AP=-juAB+yAC=^BC'則A》//B々?故選ACD.

7.（多選題）（2022屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期中）已知向量”=（4,3-㈤，6=（1,⑼，則下

列說(shuō)法正確的是（）

B.若，"=],則a〃b

A.若“l(fā)b，則根=4

C.卜，+2匕|的最小值為6D.若〃與匕的夾角為銳角，則一1＜相＜4

【答案】BC

【解析】A：若故可得4+加（3-m）=0,解得帆=—1或加=4,故A錯(cuò)誤；

B：當(dāng)，"=|時(shí)，a=（4,晟）,6=[1,|）,此時(shí)4x1-lx?=0,貝故B正確；

C：a+%＞=（6,，”+3）,故,+2力|=小6+（〃?+3）-26,當(dāng)/?=—3時(shí)，取得最小值，故C止

確；D：若a與6的夾角為銳角，則a力=4+m（3-，”）＞0,解得一1＜加＜4：

當(dāng)a與6共線(xiàn)時(shí)，4m=3-m,解得加=|,