全國高考理科數(shù)學(xué)試題數(shù)列

A.數(shù)列g(shù)）為等差數(shù)列，公差為qmnq2mn

C.數(shù)列｛c｝為等比數(shù)列，公比為D.數(shù)列｛c｝為等比數(shù)列U,公比為

q#3nQmmn

B.數(shù)列協(xié)｝為等比數(shù)列U,公比為

【答案】C

6.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等比數(shù)列｝的前〃“

項(xiàng)和為S,已知S=a+10a,a=9,則a=

n32151

?\1,、1,\1

(A)(B)(C)(D)

3399

【答案】c

7.（2013年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,S=-2,S=0,S=3,則m=〃

()

A.3B.4C,5D.6

【答案】C

8.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））下面是關(guān)于公差。的等差數(shù)

列（a）的四個(gè)命題：“

P：數(shù)列｛a｝是遞增數(shù)列;P：數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列;

In2n

p:數(shù)列［d是遞增數(shù)列；p:數(shù)列9+3〃d｝是遞增數(shù)列

3：nJ4〃

其中的真命題為

（A）p,p（B）p,p（C）〃，p（D）p,p

12342314

【答案】D

9.（2013年高考江西卷（理））等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,..的第四項(xiàng)等于

A.-24B.0C,12D.24

【答案】A

19.'（魏簪聚高考四川卷（理））在等差數(shù)列｛aJ中，a-a=8,且。為。和a的等比中項(xiàng),求數(shù)列｛a｝

首項(xiàng)、公差及前〃項(xiàng)和.的“'I423”

【答案】解:設(shè)該數(shù)列公差為d,前〃項(xiàng)和為s.由已知，可得

2a+2d—8,(a+3d\=(a+d)(a+Sd).

iiii

所以a+d=4,d（d-3a）=0,

II

解得。=4,d=0,或a=/,d=3,即數(shù)列｛a｝的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.u,

所以數(shù)列的前〃項(xiàng)和s=%或§

11.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)II卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））等差數(shù)列｝的前〃

項(xiàng)和為S,已知S=0,S=25,則nS的最小值為.“K）3”

【答案】-49

產(chǎn)3.玲4日年高考湖北卷（理））古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)

第"個(gè)三角形數(shù)為并**T=miv/2+in.記第"個(gè)左邊形數(shù)為3,以下列出了部分k邊形

乙乙乙

數(shù)中第”個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

三角形數(shù)N（〃,3）二一n2+一n

正方形數(shù)》",4）二層

五邊形數(shù)N（n,5）=一m-—n

乙乙

六邊形數(shù)〃",6）=2〃2-〃

可以推測N的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10,24）=.

選考題

【答案】1000

13.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））在正項(xiàng)等

1..~"..—..............

【答案】12

14.（2013年高考湖南卷（理））

（1）a-；（2）S+5++S=

3I2100

IV11

一；一（—

1632ioo

15.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））當(dāng)％°R.

比數(shù)列｛a｝中，a=-,。+。=3,則滿足〃+〃+...+a>aa...a的最大正整數(shù)n的值為”5267

2nl2n

設(shè)S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)砥（公”，訶.*,則“2"

【答案】--1)

<1時(shí)，有如下表

、，一1

達(dá)式：1+X+X2+...+Xn+...=-----

1-X

11111

/,一,

12\cbc2xdJx+4-J-[ixiax+...+iXndx+...-2一一dx.

從而得到如下等式：IXX+工X(—)2+—X(—)31..+---x(-)n1+...=In2.

22232H+12

請根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,計(jì)算：

11

。X+'CX(1)2+CX(')3+...+—LCC?X(1)?+I=

1122n23"277+1n2

【答案】」r[(3>'-1]

n+12

16.(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)(理)試題(含答已知｛a｝是等差數(shù)列，a=

案))1,公差

。聲0,S為其前〃項(xiàng)和，若a,a,a成等比數(shù)列，則S

_，，125

【答案】64

17.(2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案))若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列

的前n

項(xiàng)和S=______

n

57

【答案】加--n

661

18.(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)(理)卷(純WORD版))在等差數(shù)列〃〃》中，

已知

a+。=103。+。

38,則57

20

【答案】

19.(2013年高考陜西卷(理))觀察下列等

式：

L二1

12—22=3

h-22+32=6

12-22+32-4?=-10

(-1)/?+1,八

照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為一12?22+32?...+(?1%一田2=——〃(〃+1)

(-1)〃+1/八

【答案】h-22+32——+(-l)n-in2=-------n(n+1)

A2

20.(2013年高考新課標(biāo)1(理))若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為“京超則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是

n33n

n存在唯一Xe(0,1],滿足’。)=0,且1>XnnnI

axe(,u,i)H'j(X)<-i+XlX.3X4XnrXl1-Xn-\rX21

X+---+----+---------1+X+—,-----<—1+X+—,——

+…+—41—x41—x

X21

13,I】

n0一f(x)<-1+X+-A—?------n(X-2)(3x-2)<0nX

iin"41—Xnn

、,,>,J.r2八—、八..

綜上，對每個(gè)“eN,.,存在唯一的xe廠，1],滿足/(x)—0；(證畢)

n3nn

X2X3X4Xn

(II)由題知1>X>X>o,/(x)------1+

fV十一〃一+一〃一++?,?+-”—一0

2z3z42M2

X2■X2x3-x3.xdX”■X-QX"?p

n1

X-X--(~n+p..n-1tt-t-p...n--1H+p---n-++----n+p-----------n--)+(--P+?-+)

nn

*p2z324znl(n+1)2(n+p)2

1111

-------------<——nx?xv——,

nn+pnnn'pn

法二：

S=1,S=—1,S=——3,S=0,S=3,S=6,S=2,S=——2,S-——6,S=——10,i2

345678910

S=-5

11

...S=1?67,S=0?。,S=1?a,S=2?a,S=—1?ai\4455661111

?一集合P八中元素的個(gè)數(shù)為5

⑵證明：用數(shù)學(xué)歸納法先證S=-7(2/+1)

i(2Z+1)

事實(shí)上，

①當(dāng)i=1時(shí)，S=S--1?(2+1)=一3故原式成立/(2/+1)3

②假設(shè)當(dāng)i=機(jī)時(shí)，等式成立，即S=一〃7?(2m+1)故原式成立

m(2m+l)

貝亞i=m+1,時(shí)，

S=S=S+(2m+1)2—(2m+2)2=—m(2m+1)+(2m+1)2—(2m+2)2

(m+1)[2(m+1)+1)(〃1+1)(2m+3)m(2nt+1)

-一(2m2+5m+3)=—(m+1)(2tn+3)

綜合①②得：5=—i(2i+l)于是

i(2i+】)

S=S+(2/+1)2=—i(2/+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1)

(/+1)[2/+1)

由上可知：S是(2i+l)的倍數(shù)g+D

而a=2z+1(J=1,2,…2+1),所以S=S+/⑵+1)是

(f+l)(2f+l)+j/(2/+1)+//(2/+1)

=1,2,…,2i+l)的倍數(shù)

()+1X2；+!)+/

又S=(i+1)⑵+1)不是2i+2的倍數(shù)，H1X2計(jì)1)

而a=—(2i+2)(/=1,2,...,2i+2)

(|+1)(2/+1)+/

所以S=S—j(2i+2)=⑵+1)(/+1)—；(2z+2)不是a(j=1,2，…,2i+2)的附加用(,+1)(2,+1)(汨X2計(jì)3

倍數(shù)

故當(dāng)/=3+1)時(shí),集合P/中元素的個(gè)數(shù)為1+3+...+(2i-l)=h

于是當(dāng)I=i(2i+1)+j(1<j<2i+1)時(shí)，集合p中元素的個(gè)數(shù)為iz+j

又2000=31x(2x31+1)+47

故集合P中元素的個(gè)數(shù)為3上+47=10082000

A11199---------、，

若q-3,—+—+???+—<一不存在1文樣的TF熬新

加（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)等差數(shù)列｛"｝的前n項(xiàng)和為S,

nI

且S-4S。=2。+1.

42'2nn

⑴求數(shù)列〃｝的通項(xiàng)公式；?

（H）設(shè)數(shù)列切｝前n項(xiàng)和為T,且T+胃'一九（九為常數(shù)）.令。=b（〃GM）.求數(shù)列3｝的前n

nnn2nn2nn

項(xiàng)和R.

n

【答案】解：（D設(shè)等差數(shù)列"J的首項(xiàng)為％,公差為4

a+(2〃-1)-2a+2(n—l)d+1

解得，

a-in-1(〃GIN*)n

因此

T一九-----

(H)由題意知：”

所以〃>2時(shí)2?-|2n~2

二(〃一1)(一)?-i

故"2〃22“」4(〃GM)

R-Ox(i)o+1x(l)i+2x(1)2+3x⑴3+???+(n—l)x(l)?-i

所以044

'R-0x(1)i+lx(i)2+2x(i)?+--■+(H—2)x(1)?-i+("—1)x(1)“

則4J44444

R-——X

"+(一”+(—>31卜(_尸1("1)(_

兩式相減得4

4-(4)

nr1

n

i-iTn-4)n

〃〃

R整理得二，i4—37+1

“94〃-】

｛.｝R=l（4—霜+1）

所以數(shù)列數(shù)列"的前n項(xiàng)和“'V1

30.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））本小

題滿?

nS

------,naN〃其

分16分.設(shè)｛。｝是首項(xiàng)為a,公差為△的等差數(shù)列（d至0）,S是其前〃項(xiàng)和.小+c

記6

中c為實(shí)數(shù).

⑴若。=0,且4b,成等比數(shù)列，證明：S=mS（匕〃GN*）；124nkk

⑵若｛b｝是等差數(shù)列,證明：c=0.〃

【答案】證明：???｛a）是首項(xiàng)為m公差為d的等差數(shù)列（d豐0）,S是其前〃項(xiàng)和

S=na+

S

(1)Vc=0,??b一

/1八/3八

"'b產(chǎn)。成等比數(shù)列上Abb.?.(〃+—d)2-a(a+——d)

17421A2

11八1“1八八

..—cid------1=0..—d3-----d)=0

7477

S=na+〃(心)d=na+〃(〃」)2。=nza

；?左邊二S-(nk)2a-mkia右邊二〃2s=〃2k2。

nkk

???左邊:右邊.??原式成立

i-nS

⑵.?.仍?是等差數(shù)列...設(shè)公差為ygq帶入口

得：

n-

L+/_IXd吧/，1八八，1八，…,、八?

力）+「.?.（d------d）n3+（Z?—d—a+—d）n2-^cdn=c（d—。）對〃GN+恒成立

11

cd-0

i

c(d-b)-0

一..1.

由①式得:d--dd豐G.d牛金

?2

由③式得：c-0

比一：址：%U,&a-q十5-1)出(ft-1)d+2a],。-(n-1)d+2a

n

當(dāng)124b9b,方成等比數(shù)列,bl-bb,214

,得：d2-2adf又d豐0,故d=2a.

由此：S-ma,S-(nk)2a-mkia,mS-mha.

nk

故：S-n2snkk

(n-1)d+2an2--

“〃2+C〃2+c

(〃-l)d+2a(〃-l)d+2a(〃?1)d+2a

n?..............+r-------z--------

〃2+C

(n-1)d+2a

c-----------------

5?1)d+2a

-----------愉

若｛b｝是等差數(shù)列，則b=4〃+助型.

觀察（X）式后一項(xiàng),分子幕低于分母幕，

（n-1）d十Za

c-------

日H5-1）d+2a+2a

故有：=0,即c1------------wo,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c-0時(shí)｛b｝是等差數(shù)列.

n

31.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對））等差數(shù)列

｛"

｝的前

項(xiàng)和為S,已知S=42,且S,S,S成等比數(shù)列，求｛a｝的通項(xiàng)式.

32124

【答案】

解】設(shè)（明）的公差為

由&;壽融2=日>故11=0或1=3,

的Si,5?其成等比數(shù)列得S;*S|5-

X31=取1-?*S=2叩一</*54u4s+2d?

故（Eg（〃一力（4叩+2d）.

若叫』0」期『一一2d,筋以M-G,此時(shí)5.=①不合題意$若口工一3.財(cái)K6-d>n（3—dM]

2+2d>?解得J-0或dT

因此皿■,的通項(xiàng)公式為口，=3或％=2言一L

32.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））擊口音璇為魯?shù)牡缺葦?shù)列伍？示一

是2,

遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為eN*）,且S+a,S+a,S+a成等差數(shù)列.”33ss?“

⑴求數(shù)列｛“｝的通項(xiàng)公式；“

（II）設(shè)T=S-—（eN*）,求數(shù)列｛r/的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.”"S?

【答案】"

《區(qū)）本小熙主要者言等差數(shù)列的版念，等擾數(shù)列的柢含，通項(xiàng)公式、前受，數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知

識(shí)一考肯分類例論的思想，考直運(yùn)算能力,分析向8（和解決問直的隹打滿分分.’：

(13Hr迎等比建眄風(fēng)】的金比為『因?yàn)樯?/,邑去角I國+外感爸整數(shù)列，所世品+洱-&-/=￡乜與

「g?即如L”干是一吟4,又⑷不足就就越列凡叫「，所以『'慈尊比數(shù)列⑷的遍項(xiàng)公式為4=；」-

1=卜『'/"

“卜*!?片為奇數(shù)

￡11)M:由(I)得工=1-(F=|]

'/"-=■，冷為催數(shù).

I?4

第丹為奇她時(shí)，山的n的增大而獻(xiàn)小，所以】〈義矗$三弓，故

]1325

0<5--------近$---式---------三一

顯，S236

當(dāng)網(wǎng)為偶數(shù)時(shí)+斗般冷酬量大而岫大，所以7=國位“Cr

小-/[5

蹤上.對于觸點(diǎn)NZ總有，這一

13￡6

33.(2013年高考江西卷(理))正項(xiàng)數(shù)列｛a｝,膽醉和佰｝滿足:“s2—(〃2+n-l)5-g+

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式a”;

T〃+1-5

⑵令人茹丁￡方力點(diǎn)列｛b｝的前〃項(xiàng)和為T.0證明:對于任意的"GN〃都有7〈謳4

【答案】⑴解：由S2-(n2+/?-1)5-("2+”)=0,得「S-(/2+n)](S+1)=0.

nnnnJn

由于｛〃｝是正項(xiàng)數(shù)歹U,所以S>0,S2+〃〃

于是。二5二2,鹿>2時(shí)，a=S-S=n2+n-(n?1)2一(n-1)-In

nn??-l

綜上，數(shù)列Q｝的通項(xiàng)a=2〃

nn

幾+1

⑵證明：由于。=2n,b=-------------

(/7+2)20

n+111

4〃2(〃+16〃2(〃+2)2

11111

—+-----------+—+

(n-1)2(〃+1)2九2(〃+2)2

32224232

(1+一)二-5

162264

34.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））設(shè)數(shù)列M｝的前〃項(xiàng)和為

已知巴一。-'m~n-neN*.33

求。的值；

2

QD求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)

,117

(I附］:對一切正整數(shù)〃，有一+—+???+—<-.a

aa4

12n

22S12

I答室］(1)解?0—..—H..n-n--nQN*

???當(dāng)77T時(shí)，

..0=4

2

251

.(〃+I)(〃+2)

:.2S~na—m-m~一nna-

〃+1

r)r)

當(dāng)〃>2時(shí)，2S='〃-1)。?n-1?n+1

n-\3

由①一②，得2s-2S-)-1)。-Jz+1)-1”+i

-:2a=2S-2S

n~\

「)(}

2a-nan-Ya-nn+1

nM+1

aa__I?l_,—5a-.......................\

??一f=1???數(shù)列；f卜是以首項(xiàng)為丁=1,公差為1的等差數(shù)列.

〃+1〃InI1

f-1+1x“一1一-

n,.\an一〃2n>2

當(dāng)〃二1時(shí),上式顯然成立.a=m.neN*”

⑶證明：由（2）知，a=n\neN*n

一<1-7.........

①當(dāng)〃=1時(shí)，一』<7,,原不等式成立.

。4

假設(shè)｛4｝(〃>2)中存在大于2的項(xiàng).“

設(shè)加為滿足”>2的最小正整數(shù)，則加>2,并且對任意k<m,a<2,.

又因?yàn)閍=2,所以A