高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：利用數(shù)學(xué)公式快速解題！附超全公式清單

1.適用條件

［直線過焦點(diǎn)］必有ecosA=(x：)/(x+l),其中A為直線與焦點(diǎn)所在

軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。

注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所

截線段上)，用該公式;如果外分(焦點(diǎn)在所截線段延長線上)，右邊

為(x+l)/(x-l),其他不變。

2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個)

⑴若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6ko

注意點(diǎn)：

a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限；

b.周期函數(shù)未必存在最小周期；如：常數(shù)函數(shù)。

c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相

加不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱問題總結(jié)如下

(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2;

(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱。

4.函數(shù)奇偶性

⑴對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

⑵對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒有奇次方項(xiàng)；

⑶奇偶性作用不大，一般用于選擇填空。

5.數(shù)列爆強(qiáng)定律

(1)等差數(shù)列中:S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標(biāo));

⑵等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)>S(3n)-S(2n)成等差；

(3)等比數(shù)列中，上述2中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時成等比，在q=-l

時，未必成立；

等比數(shù)列爆強(qiáng)公式:可以迅速求

(4)S(n+m)=S(m)+q2ms(n)qo

6.數(shù)列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式：對于an+l=pan+q(n+l為下角標(biāo)，n為下角標(biāo))，

al已知，那么特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項(xiàng)公式為

an=(al-x)p2(n-l)+x,這是一階特征根方程的運(yùn)用。

二階有點(diǎn)麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公

式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù))。

7.函數(shù)詳解補(bǔ)充

1.復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同夕卜;

2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減;

3.重點(diǎn)知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其

實(shí)是中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中心橫

坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯——條過

該中心的直線與兩旁相切。

8.常用數(shù)列bn=nx(22n)求和Sn=(n-l)x(22(n+l))+2記憶方法

前面減去一個1,后面加一個，再整體加一個2。

9.適用于標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)爆強(qiáng)公式

k橢=-{(b2)xo}/{(a2)yo}k雙={曰伙0}/{(a2)yo}k-M=p/yo

注：(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點(diǎn)。

10.強(qiáng)烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線L1:alx+bly+cl=O直線L2:a2x+b2y+c2=0;

若它們垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;

若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2wa2cl(這個條件為了

防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

11.經(jīng)典中的經(jīng)典

相信鄰項(xiàng)相消大家都知道。

下面看隔項(xiàng)相消：

Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+l/(3x5)+...+l/[n(n+2)]=l/2[l+l/2-l/(n+l)-l/(n+

2)]

注：隔項(xiàng)相加保留四項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把式子寫在草

稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

12.爆強(qiáng)△面積公式

S=l/2Imq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問題。

13.你知道嗎？空間立體幾何中：以下命題均錯

⑴空間中不同三點(diǎn)確定一個平面；

(2)垂直同一直線的兩直線平行；

⑶兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑷如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面；

⑸有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱

柱；

⑹有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐。

14.一個小知識點(diǎn)

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-n|(n為正整數(shù))的

最小值

答案為：當(dāng)n為奇數(shù)，最小值為(M-l)/4,在x=(n+l)/2時取到；

當(dāng)n為偶數(shù)時，最小值為M/4,在x=n/2或n/2+l時取到。

16.V((a2+b2))/2>(a+b)/2>Vab>2ab/(a+b)(a^b為正數(shù)，是統(tǒng)一

定義域)

17.橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中:S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點(diǎn)在x軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾

角。

18.爆強(qiáng)定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b}/［向量a

的模x向量b的模］

(1)A為線線夾角；

(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin);

(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為［0,派/2］。

19.爆強(qiáng)公式

l2+22+32+...+n2=l/6(n)(n+l)(2n+l);l23+223+323+...+n23=l/4(n2)(n+l)

2

20.爆強(qiáng)切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x,換一個y;

舉例說明：對于y2=2px可以寫成yxy=px+px;

再把(xo,yo)帶入其中一個得:yxyo=pxo+px;

21.爆強(qiáng)定理

(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項(xiàng)數(shù)為：Cn+22,n+2在下，2在

上。

22.轉(zhuǎn)化思想

切線長l=V(d2-d)d表示圓外一點(diǎn)到圓心距離，r為圓半徑，而d

最小為圓心到直線的距離。

23.對于y2=2px

過焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。

爆強(qiáng)定理的證明：對