福建省廈門市一?？荚嚁?shù)學試題

廈門市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題2024．1準考證號__________姓名__________（在此卷上答題無效）本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．2．作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應答案的選項涂黑．3．非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應位置上，不準使用鉛筆和涂改液．4．考試結(jié)束后，考生上交答題卡．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求出復數(shù)，再求.【詳解】由，得，即，所以，故選：B2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)值域求集合N，應用集合并運算求結(jié)果.【詳解】由題設，故.故選：A3.已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數(shù)幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.【詳解】由，則，即直線的斜率為，根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：的傾斜角為.故選：C4.已知，為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應用向量數(shù)量積的運算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B5.已知為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】當時，，所以，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，且，所以故選：D6.已知，，，則下列結(jié)論錯誤的為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.詳解】對于A，當時，，，此時，所以，，故A正確；對于B，當時，，，此時，所以，，故B正確；對于C，當時，，，此時，所以，，故C正確；對于D，當時，，當且僅當，即時取等號，，由，得，而，所以當，即時，，所以，當且僅當時取等號，而，所以，，故D錯誤.故選：D.7.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個數(shù)為（）151222A.51 B.70 C.92 D.117【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題圖及前4個五邊形數(shù)找到規(guī)律，即可得第8個數(shù).【詳解】由題圖及五邊形數(shù)知：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差依次為，所以五邊形數(shù)依次為，即第8個數(shù)為92.故選：C8.已知函數(shù)的定義域為，，，，若，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用賦值法對進行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.【詳解】令，得，即，令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，得，，或，若，解得與已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函數(shù)的周期為4..故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點成中心對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若的圖象關(guān)于直線對稱，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項正誤.【詳解】由，最小正周期，A錯；由，即是對稱中心，B對；由，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；由題意，故，D錯.故選：BC10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（）A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關(guān)系求得，再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項正誤即可.【詳解】由題設，，所以，甲組數(shù)據(jù)中，故第70百分位數(shù)為24，A錯；甲乙組數(shù)據(jù)極差都為5，B對；乙組數(shù)據(jù)從小到大為，故其中位數(shù)為，C錯；由上易知：甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的方差為，乙的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對.故選：BD11.設橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線與交于A，B兩點，若，且的周長為8，則（）A. B.的離心率為C.可以為 D.可以為直角【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知可得、，進而有，結(jié)合橢圓性質(zhì)求相交弦長的范圍及焦點三角形內(nèi)角的范圍判斷各項的正誤.【詳解】由，如下圖周長為，故，所以，橢圓離心率為，A對，B錯；當軸，即為通徑時，且，所以，故可以為，C對；由橢圓性質(zhì)知：當為橢圓上下頂點時最大，此時，且，故，即不可能為直角，D錯.故選：AC12.如圖所示，在五面體中，四邊形是矩形，和均是等邊三角形，且，，則（）A.平面B.二面角隨著的減小而減小C.當時，五面體的體積最大值為D.當時，存在使得半徑為的球能內(nèi)含于五面體【答案】ACD【解析】【分析】A由線面平行的判定證明；B設二面角的大小為，點到面的距離為，則，分析取最小值的對應情況即可判斷；C把五面體補成直三棱柱，取的中點，設，則，結(jié)合并應用導數(shù)研究最值；D先分析特殊情況：和所在平面均垂直于面時構(gòu)成正三棱柱，再借助左視圖、正視圖研究內(nèi)切圓半徑分析一般情況判斷.【詳解】A：由題設，面，面，則面，由面面，面，則，面，面，則平面，對；B：設二面角的大小為，點到面的距離為，則，點到面的距離，僅在面面時取得最大值，當時取最小值，即取最小值，即二面角取最小值，所以，二面角先變小后變大，錯；C：當，如圖，把五面體補成直三棱柱，分別取的中點，易得面，，設，則，，令，則，令，可得或（舍），即，，，遞增，，，遞減，顯然是的極大值點，故.所以五面體的體積最大值為，C對；D：當時，和所在平面均垂直于面時構(gòu)成正三棱柱，此時正三棱柱內(nèi)最大的求半徑，故半徑為的球不能內(nèi)含于五面體，對于一般情形，如下圖示，左圖為左視圖，右圖為正視圖，由C分析結(jié)果，當五面體體積最大時，其可內(nèi)含的球的半徑較大，易知，當時，，設的內(nèi)切圓半徑為，則，可得，另外，設等腰梯形中圓的半徑為，則，所以，存在使半徑為的球都能內(nèi)含于五面體，對.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于C通過補全幾何體為棱柱，設得到五面體的體積關(guān)于的函數(shù)；對于D從特殊到一般，結(jié)合幾何體視圖研究內(nèi)切圓判斷最大半徑是否大于為關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則_________．【答案】##【解析】【分析】應用誘導公式有，即可求值.【詳解】.故答案為：14.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有_________種．【答案】【解析】【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.【詳解】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.故答案為：.15.已知平面的一個法向量為，且點在內(nèi)，則點到的距離為_________．【答案】【解析】【分析】由題設得，應用向量法求點面距離即可.【詳解】由題設，則點到的距離為.故答案為：16.設是面積為1的等腰直角三角形，是斜邊的中點，點在所在的平面內(nèi)，記與的面積分別為，，且．當，且時，_________；記，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】①.②.【解析】【分析】以為原點，為軸正方向建立直角坐標系，設，根據(jù)已知得、，即可得，，應用兩點距離公式求；根據(jù)確定的軌跡曲線，并寫出方程，利用曲線性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】以為原點，為軸正方向建立直角坐標系，設，則，，所以，則，當，時，，即，所以，即，可得（負值舍），則，故，若，結(jié)合雙曲線定義知：在以為焦點的雙曲線上，但不含頂點，該雙曲線為，即，雙曲線頂點的橫坐標的絕對值小于半焦距1，則雙曲線與曲線有交點，即雙曲線的漸近線和曲線有交點，則雙曲線的漸近線斜率的絕對值小于，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：，【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二空，注意在以為焦點的雙曲線上，但不含頂點，將問題化為雙曲線的漸近線斜率的絕對值小于為關(guān)鍵.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，且的周長為，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求邊長；（2）應用余弦定理及已知得且，進而求得，最后應用面積公式求面積.【小問1詳解】由題設，則，所以，而，故，又，所以.【小問2詳解】由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，過點作平面．（1）證明：平面平面；（2）已知點F為棱的中點，若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代換得，利用線面垂直得，進而得平面EAC，結(jié)合已知條件得證；（2）利用空間向量法可求【小問1詳解】設AC與BD交點為O，連接OF，因為，且，所以，因為，所以，，，且，，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即，所以，所以，即，因為平面，平面，所以，因為，平面EAC，所以平面EAC，又因為平面，且平面EAC，所以平面平面【小問2詳解】因為，平面，所以兩兩垂直，如圖，以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，所以，因為點F為棱的中點，所以，設平面FBD的一個法向量為，則，所以，取，得，所以平面FBD的一個法向量為，記直線AD與平面FBD所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數(shù)列的前項和為，，當，且時，．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設，記數(shù)列的前項和為，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由題設，結(jié)合已知得到在上都成立，即可證結(jié)論；（2）由（1）得，裂項相消法求，根據(jù)不等式關(guān)系得，即可確定正整數(shù)的最小值.【小問1詳解】當時，，即，又，故上都成立，且，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，則，所以，則，即，所以，可得，而，故，正整數(shù)的最小值為3.20.已知甲、乙兩支登山隊均有n名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至乙隊．（1）求三人均被分至同一隊的概率；（2）記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為，，設隨機變量，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意，三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，分別求出被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率、被分至甲隊即摸出紅球的概率，再應用條件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一隊的概率；（2）根據(jù)題意有可能取值為，分析各對應值的實際含義，并求出對應概率，進而求期望即可.【小問1詳解】三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，記事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，事件“被分至甲隊”，當即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；當均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，則被分至甲隊即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊的概率也為，所以三人均被分至同一隊的概率為.【小問2詳解】由題設，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊，其余1名被分至另一隊，設新增的第名登山愛好者被單獨分至甲隊或乙隊，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊和乙隊，則，所以.21.已知函數(shù)有兩個極值點，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)，結(jié)合的極值點個數(shù)，得到且，是的兩個不同根，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）設，應用分析法將問題化為證，令，則證，再由對應單調(diào)性即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設且，若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個極值點，不符；故，又有兩個極值點，則，是的兩個不同正根，所以，可得，即實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）且，，不妨設，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1），時，即，所以在上遞增，又，故，即，綜上，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設，應用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證為關(guān)鍵.22.在平面直角坐標系中，點，點A為動點，以線段為直徑的圓與軸相切，記A的軌跡為，直線交于另一點B．（1）求的方程；（2）的外接圓交