考點03 等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類（原卷版）

考點03等式與不等式的性質(zhì)6種常見考法歸類考點一比較兩個數(shù)(式)的大小考點二不等式的性質(zhì)及應(yīng)用考點三求代數(shù)式的取值范圍考點四不等式的證明考點五不等式的實際應(yīng)用考點六不等式的綜合問題1、比較兩數(shù)(式)大小的方法作差法作商法原理設(shè)a，b∈R，則a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b設(shè)a>0，b>0，則eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b（若，則；；.）步驟作差并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷差與0的大小?得結(jié)論作商并變形（配方、因式分解、通分等）?判斷商與1的大小?得結(jié)論（如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用作商法，其它一般用作差法.）注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形作商時各式的符號應(yīng)相同，如果a，b均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反．變形方法有分母(或分子)有理化，指、對數(shù)恒等變形等注：比較兩式大小還可用函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．2、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性3、分?jǐn)?shù)性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).其中真分?jǐn)?shù)性質(zhì)也常被稱為“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(濃度變大)；糖水析出糖后，糖水變淡(濃度變小).”4、利用不等式的性質(zhì)判斷正誤的2種方法利用不等式性質(zhì)進行命題的判斷時，判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷(判斷成立時)或反例說明(判斷不成立時)，在實際考查中，多與一些常見函數(shù)單調(diào)性結(jié)合考查.(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．5、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍，否則會導(dǎo)致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍．(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍．不可忽略a，b的制約關(guān)系，而單獨求出a，b的范圍，再求g(a，b).考點一比較兩個數(shù)(式)的大小1．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瑒t（

）A． B．C． D．與的大小無法判斷2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·高三課時練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.5．【多選】（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．考點二不等式的性質(zhì)及應(yīng)用10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則使成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．13．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．14．【多選】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．15．（2023·北京·人大附中校考模擬預(yù)測）若實數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．16．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．17．【多選】（2023·山東·校聯(lián)考二模）已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．18．【多選】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最小值為6考點三求代數(shù)式的取值范圍19．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，，分別求(1)(2)(3)的取值范圍.20．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，的取值范圍是_______________22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是_____．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知有理數(shù)a，b，c，滿足，且，那么的取值范圍是_________．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，則的取值范圍是____________．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點四不等式的證明27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：28．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，，滿足．(1)若，求證：；(2)若，，求的最小值．29．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，，且的最小值為1．(1)求的值；(2)證明：．考點五不等式的實際應(yīng)用30．（2023·北京·高三專題練習(xí)）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長大于）按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑，軟件會在運動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知劉老師共跑了，恰好回到起點，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．1031．（2023·全國·高三專題練習(xí)）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價格波動較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟 B．方案二更經(jīng)濟C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為滿足人民群眾便利消費、安全消費、放心消費的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場．市場內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費為萬元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為_________種．②市場建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費不低于每間蔬菜水果類店面月租費的90%，則的最大值為_________萬元．33．（2023·上海·高三專題練習(xí)）某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時間（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？考點六不等式的綜合問題34．（2023