32-界面彎曲解讀

3.2彎曲表面下的附加壓力和毛細(xì)現(xiàn)象

彎曲表面下的附加壓力1.在平面上2.在凸面上3.在凹面上

Laplace方程2024/4/13.2彎曲表面下的附加壓力和毛細(xì)現(xiàn)象彎曲表面下的附加壓彎曲表面下的附加壓力1.在平面上剖面圖液面正面圖研究以AB為直徑的一個(gè)環(huán)作為邊界，由于環(huán)上每點(diǎn)的兩邊都存在表面張力，大小相等，方向相反，所以沒有附加壓力。設(shè)向下的大氣壓力為Po，向上的反作用力也為Po，附加壓力Ps等于零。Ps=Po-

Po=02024/4/1彎曲表面下的附加壓力1.在平面上剖面圖液面正面圖彎曲表面下的附加壓力1.在平面上Ps=Po-

Po=02024/4/1彎曲表面下的附加壓力1.在平面上Ps=Po-Po彎曲表面下的附加壓力（2）在凸面上：剖面圖附加壓力示意圖研究以AB為弦長的一個(gè)球面上的環(huán)作為邊界。由于環(huán)上每點(diǎn)兩邊的表面張力都與液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以會(huì)產(chǎn)生一個(gè)（指向球心的）向下的合力。所有的點(diǎn)受凈吸力作用產(chǎn)生的總壓力為Ps，稱為附加壓力。凸面上受的總壓力為：Po+

PsPo為大氣壓力，Ps為附加壓力。2024/4/1彎曲表面下的附加壓力（2）在凸面上：剖面圖附加壓力示意圖彎曲表面下的附加壓力（2）在凸面上：P凹=

Po+

Ps2024/4/1彎曲表面下的附加壓力（2）在凸面上：P凹=Po+Ps20彎曲表面下的附加壓力（3）在凹面上：剖面圖附加壓力示意圖研究以AB為弦長的一個(gè)球形凹面上的環(huán)作為邊界。由于環(huán)上每點(diǎn)兩邊的表面張力都與凹形的液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以會(huì)產(chǎn)生一個(gè)向上的合力。所有的點(diǎn)產(chǎn)生的總壓力（指向球心）為Ps，稱為附加壓力。凹面上向下的總壓力為：Po-Ps，所以凹面上所受的壓力比平面上小。2024/4/1彎曲表面下的附加壓力（3）在凹面上：剖面圖附加壓力示意圖彎曲表面下的附加壓力（3）在凹面上：P凸=

Po-

Ps2024/4/1彎曲表面下的附加壓力（3）在凹面上：P凸=Po-Ps20彎曲表面（凹面和凸面）P凸=

Po-

PsP凹=

Po+

Ps2024/4/1彎曲表面（凹面和凸面）P凸=Po-PsP凹=Po+P楊-拉普拉斯公式1805年Young-Laplace導(dǎo)出了附加壓力與曲率半徑之間的關(guān)系式：數(shù)學(xué)式（對(duì)球面）：

根據(jù)數(shù)學(xué)上規(guī)定，凸面的曲率半徑取正值，凹面的曲率半徑取負(fù)值。所以，凸面的附加壓力指向液體，凹面的附加壓力指向氣體，即附加壓力總是指向球面的球心。2024/4/1楊-拉普拉斯公式1805年Young-LaplYoung-Laplace

一般式的推導(dǎo)設(shè)有一毛細(xì)管內(nèi)充滿液體，管端有一半徑為r的球狀液滴與之成平衡。球形液珠半徑為r（氣液界面的曲率半徑為r），此時(shí)液珠內(nèi)部壓力為P1=P0+Ps?，F(xiàn)在，以一個(gè)微小的力F推動(dòng)活塞，使液珠半徑增加dr。2024/4/1Young-Laplace一般式的推導(dǎo)設(shè)有一毛細(xì)管內(nèi)充滿液Young-Laplace

一般式的推導(dǎo)則此時(shí)，液珠的面積增大了dA，液珠體積增大值為dV。此時(shí)為了克服表面張力，環(huán)境所消耗的體積功應(yīng)為PsdV。當(dāng)體系達(dá)到平衡時(shí)，此功的數(shù)值和表面能σdA相等，即PsdV=σdA2024/4/1Young-Laplace一般式的推導(dǎo)則此時(shí)，液珠的面積增若曲面是非球形的若曲面是球形的則，Ps(4πr2dr)＝

(8πrdr)r1,r2:在曲面上任意選兩個(gè)互相垂直的正截面的曲率半徑（主曲率半徑）2024/4/1若曲面是非球形的若曲面是球形的則，Ps(4πr2dr)＝毛細(xì)現(xiàn)象(Capillarity)

H2O

Hg凹形液面

凸形液面（1）為什麼會(huì)形成凹形或凸形液面？（2）為什麼液面會(huì)上升或下降？2024/4/1毛細(xì)現(xiàn)象(Capillarity)毛細(xì)管上升和下降現(xiàn)象當(dāng)把毛細(xì)管插入水中時(shí)，管中的水柱表面全呈凹形表面，水面上升到一定高度，這是由于在凹液面下液體所受到的壓力小于平面上液體所受的壓力，因此管外液體被壓入管內(nèi)，直到在平面處液柱的靜壓力（ρgh）與凹面的附加壓力（2σ/r）相等后才達(dá)平衡。2024/4/1毛細(xì)管上升和下降現(xiàn)象當(dāng)把毛細(xì)管插入水中時(shí)，管中的水柱表面全呈2.

ps=2

/R=ρgh毛細(xì)管上升和下降現(xiàn)象當(dāng)把毛細(xì)管插入汞中時(shí)，管內(nèi)汞面呈凸形