新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案8-4-1平面

8．4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8．4.1平面[目標(biāo)]1.理解平面的概念，會(huì)畫一個(gè)平面及會(huì)表示平面；2.掌握三個(gè)基本事實(shí)及推論并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．[重點(diǎn)]平面的畫法、表示；三個(gè)基本事實(shí)及推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用．[難點(diǎn)]三個(gè)基本事實(shí)及推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一平面的概念[填一填]1．概念：平面是從生活中抽象出來(lái)的，具有以下特點(diǎn)：①平；②無(wú)限延展；③沒有厚?。?．畫法(1)我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．(2)當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向．3．表示法：我們常用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱．[答一答]1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？提示：雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無(wú)限延展的，所以它們不是平面．2．如下圖所示，平面(1)和平面(2)哪個(gè)大？提示：平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的，所以兩個(gè)平面之間無(wú)法比較大?。?．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個(gè)平面，這句話對(duì)嗎？提示：不對(duì)，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無(wú)限延展的，所以平行四邊形不是一個(gè)平面．[填一填][答一答]4．如圖，點(diǎn)A∈平面ABC；點(diǎn)A?平面BCD；BD?平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知識(shí)點(diǎn)三平面的基本性質(zhì)[填一填]1．平面基本性質(zhì)的三種表示及主要作用(1)基本事實(shí)1(2)基本事實(shí)2(3)基本事實(shí)32.推論(1)推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(2)推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．(3)推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．[答一答]5．如果線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB在平面α內(nèi)嗎？為什么？提示：直線AB在平面α內(nèi)．因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi)，所以線段AB上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，故線段AB上A，B兩點(diǎn)一定在平面α內(nèi)，由基本事實(shí)2可知直線AB在平面α內(nèi)．6．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)有多少個(gè)平面？提示：當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，由基本事實(shí)1可知，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．而當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面．7．若兩個(gè)平面相交，則有幾條交線？若點(diǎn)P是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)P在哪里？提示：兩個(gè)平面相交只有一條交線，點(diǎn)P在交線上.典例講練破題型類型一平面的概念、畫法及表示[例1](1)給出下列命題：①書桌面是平面；②8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；③有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m，寬為20m；④平面是絕對(duì)平的、無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為________．(2)下圖中的兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是_______________________________．[分析]根據(jù)平面的特征及表示來(lái)判斷．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、無(wú)厚度、可無(wú)限延展的，可以判斷命題④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①②③都不正確．(2)對(duì)于①，圖中沒有畫出平面α與平面β的交線，另外圖中的實(shí)線、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此①的畫法不正確．同樣的道理，也可知②③圖形的畫法不正確，④中圖形畫法正確．[答案](1)1(2)④1平面是無(wú)限延展的，不能度量其面積；平面沒有厚薄之分，不能度量其體積；平面可以用任意平面圖形來(lái)表示.2在平面幾何中，凡是所引的輔助線都要畫成虛線，但在立體幾何中，能看見的線要畫成實(shí)線，看不見的線要畫成虛線.[變式訓(xùn)練1]如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(A)A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ解析：MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對(duì)角線，所以不能記作平面MN.1用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.2要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.[變式訓(xùn)練2]把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的序號(hào)填在題后的橫線上：(1)A?α，a?α：③.(2)α∩β＝a，P?α，且P?β：④.(3)a?α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.類型三基本事實(shí)的運(yùn)用命題視角1：共面問(wèn)題[例3]過(guò)直線l外一點(diǎn)P引兩條直線PA，PB和直線l分別相交于A，B兩點(diǎn)，求證：三條直線PA，PB，l共面．[分析]根據(jù)條件點(diǎn)P，A，B確定一個(gè)平面，再證直線l，PA，PB在這個(gè)平面內(nèi)．[證明]如圖．∵點(diǎn)P，A，B不共線，∴點(diǎn)P，A，B確定一個(gè)平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA?α，PB?α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∴PA，PB，l共面．證明點(diǎn)、線共面的兩種方法方法一：先由確定平面的條件確定一個(gè)平面，然后再證明其他的點(diǎn)、線在該平面內(nèi)．方法二：先由有關(guān)點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，再由其余元素確定一個(gè)平面β，然后根據(jù)有關(guān)定理，證明這兩個(gè)平面重合．[變式訓(xùn)練3]已知A、B、C、D、E五點(diǎn)中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面嗎？解：(1)如果B、C、D三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳、B、C、D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)，因?yàn)锽、C、D、E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)，所以點(diǎn)A、E都在平面α內(nèi)，即A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面．(2)如果B、C、D三點(diǎn)共線于l，若A、E都在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；若A、E中有且只有一個(gè)在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)一定共面；若A、E都不在l上，則A、B、C、D、E五點(diǎn)可能不共面．命題視角2：共線與共點(diǎn)問(wèn)題[例4]如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且直線EH與直線FG交于點(diǎn)O.求證：B，D，O三點(diǎn)共線．[分析]解答本題只要證明點(diǎn)O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可．[證明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三點(diǎn)共線．1證明三點(diǎn)共線的常用方法：方法一：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).根據(jù)基本事實(shí)3知，這些點(diǎn)都在交線上.方法二：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上.2證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.[變式訓(xùn)練4]如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，G在AD上，且有DFFC＝DGGA＝12.求證：直線EF、BD、HG交于一點(diǎn)．證明：連接EH、FG.∵E、H分別為BC、AB的中點(diǎn)，∴EH∥eq\f(1,2)AC.∵DFFC＝12，DGGA＝12，∴FG∥AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,3)AC，∴EH∥FG且EH≠FG，∴E、F、G，H四點(diǎn)共面且EF不平行于GH.∴EF與GH相交．設(shè)EF∩GH＝O，則O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直線EF、BD、HG交于一點(diǎn)．課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的圖形是(A)解析：選項(xiàng)B、C中直線a在平面α外，選項(xiàng)D中直線a與平面α相交，選項(xiàng)A中直線a在平面α內(nèi)．2．若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作(B)A．Q∈b∈β B．Q∈b?βC．Q?b?β D．Q?b∈β解析：∵點(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.3．已知空間四點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是1或4.解析：其中三個(gè)點(diǎn)可確定唯一的平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在此平面內(nèi)時(shí)，可確定1個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)不在此平面內(nèi)時(shí)，則可確定4個(gè)平面．4．給出下列命題：①A，B，C三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②若直線a∩直線b＝A，則直線a與b能夠確定一個(gè)平面；③已知平面α，直線l和點(diǎn)A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則l?α.其中正確命題的序號(hào)是②③.解析：①中，只有不共線的三點(diǎn)才可以確定一個(gè)平面，因此①錯(cuò)誤；②中，由于兩條直線相交，則必然確定一個(gè)平面，因此②正確；③中，由于點(diǎn)A，B既在直線l上又在平面α內(nèi)，即直線l上的兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，所以直線l在平面α內(nèi)，即l?α，因此③正確．綜上，可知正確命題的序號(hào)是②③.5．如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)D，E兩點(diǎn)．(1)作直線AB與平面α的交點(diǎn)P；(2)求證：D，E，P三點(diǎn)共線．解：(1)延長(zhǎng)AB交平面α于點(diǎn)P，如圖所示．(2)證明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α與平面ABC的交線DE上，即P∈DE，∴D，E，P三點(diǎn)共