《余角和補(bǔ)角（1）》名師教案

1/14.3角第三課時(張祖全)余角和補(bǔ)角（一）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握余角、補(bǔ)角的定義；2.掌握余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用.（二）學(xué)習(xí)重點余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用.（三）學(xué)習(xí)難點余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角；如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．（2）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.預(yù)習(xí)自測（1）已知∠A=65°，則∠A的補(bǔ)角等于_______度，余角等于________度.【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∠A的補(bǔ)角等于；余角等于.【思路點撥】由余角、補(bǔ)角的定義解答.【答案】（2）的余角與補(bǔ)角之間有何數(shù)量關(guān)系？【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：的余角+90度=的補(bǔ)角.【思路點撥】由余角、補(bǔ)角的定義知，它們相差90度.【答案】的余角+90度=的補(bǔ)角.（3）如圖所示，∠ACB=90°，∠1=∠B，∠2=∠A．則下列說法錯誤的是()A.∠A和∠B不是互為余角；B.∠1和∠2是互為余角；C.∠2與∠B是互為余角；D.∠1與∠A是互為余角.【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：因為∠ACB=90°，∠1=∠B，∠2=∠A．所以∠1+∠2=90°,∠B+∠2=90°∠1+∠A=90°故A錯誤.【思路點撥】兩個角的和為90度，這兩個角互余.【答案】A.（4）下列語句正確的有：（填序號）①兩條射線組成的圖形叫做角；②直線是一個平角；③若∠AOB=2∠BOC，則射線OC是∠AOB的平分線；④∠AOB和∠BOA是同一個角；⑤若∠1+∠2+∠3=90°，則∠1、∠2、∠3互余.【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故①錯誤；直線沒有頂點，故②錯誤；若∠AOB=2∠BOC，沒有說射線OC在∠AOB的內(nèi)部，故③錯誤；④∠AOB和∠BOA是同一個角，正確；⑤若∠1+∠2+∠3=90°，則∠1、∠2、∠3互余，錯誤，因為互余針對兩個角而言.【思路點撥】根據(jù)定義解答.【答案】④(二)課堂設(shè)計1.知識回顧（1）敘述直角、平角的概念.（2）畫出直角、平角的圖形.2.問題探究探究一探究互為余角、互為補(bǔ)角★●活動①學(xué)生自主學(xué)習(xí)137頁.師問：什么叫互為余角？什么叫互為補(bǔ)角？學(xué)生舉手搶答.師問：若∠1+∠2+∠3=90°，則∠1、∠2、∠3互余，這種說法對嗎？為什么？學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角；如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補(bǔ)角．互余、互補(bǔ)針對兩個角而言，只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).【設(shè)計意圖】通過問題解答，要求學(xué)生正確理解互余、互補(bǔ)的概念.強(qiáng)調(diào)互余、互補(bǔ)針對兩個角而言，只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).探究二探究余角、補(bǔ)角的性質(zhì)★▲●活動①師問：若∠2，∠3都是∠1的余角，問∠2與∠3的大小有何關(guān)系？學(xué)生舉手搶答.師問：若∠1，∠2都是和的余角，且，問∠1與∠2的大小有何關(guān)系？學(xué)生舉手搶答.師問：將上述問題的“余角”換為“補(bǔ)角”，結(jié)論又如何？學(xué)生舉手搶答.教學(xué)活動：上述問題要求學(xué)生口述推理過程，教師再板書推理過程并歸納結(jié)論.總結(jié)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等.【設(shè)計意圖】通過問題的探討，師生交流，讓學(xué)生掌握余角、補(bǔ)角的性質(zhì).●活動②反思過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律師問：你能完成下列推理填空嗎？填空：（1），（依據(jù)是同角的補(bǔ)角相等）（2），而，（依據(jù)是等角的補(bǔ)角相等）學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：通過填空，分清什么情況下用同角的補(bǔ)角相等，什么情況下用等角的補(bǔ)角相等，并理解用符號語言表示性質(zhì)的內(nèi)容.【設(shè)計意圖】該問題的設(shè)計，目的是讓學(xué)生用符號語言進(jìn)一步熟悉余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，為以后的幾何推理打基礎(chǔ).探究三運用知識解決問題★▲●活動①例1.點A、O、B在一直線上，射線OD、OE分別平分.圖中互余的角有_______對；的補(bǔ)角是___________.【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：(1)由已知，，且，所以互余的角有：與，與，與，與共4對；(2)的補(bǔ)角是.【思路點撥】余角、補(bǔ)角定義及性質(zhì)應(yīng)用解答.【答案】（1）4；（2）.練習(xí)：如圖是一張不規(guī)則的紙，先任意折疊，得折痕OC，展開后，通過點O折疊使OA落在OC上，得折痕OD，同樣將OB落在OC上得折痕OE，沿著這三條折痕剪開，得到四個角，用其中的兩個角拼成一個直角，共有不同的拼法是()1種B．2種C．3種D．4種【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由已知，，且，所以互余的角有：與，與，與，與共4對；【思路點撥】由互為余角的定義求解.【答案】D.【設(shè)計意圖】在幾何圖形中，觀察發(fā)現(xiàn)互余、互補(bǔ)關(guān)系的角，對于復(fù)雜圖形中的角，常通過相等的角去找余角或補(bǔ)角.●活動2例2.一個角的補(bǔ)角與這個角的余角的和是平角的還多1°，求這個角．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)這個角為x°，則它的余角為，補(bǔ)角為，則，解得x=67．答：這個角為67°.【思路點撥】首先根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義，設(shè)這個角為，則它的余角為，補(bǔ)角為，再根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列方程即可求解．【答案】67°.練習(xí)：一個角的補(bǔ)角與它的余角的2倍的差是平角的，則這個角的度數(shù)是．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：設(shè)這個角是．根據(jù)題意，得，．故答案為60°．【思路點撥】設(shè)這個角是，則它的補(bǔ)角是，余角是．根據(jù)一個角的補(bǔ)角與它的余角的2倍的差是平角的列方程即可求解．【答案】60°．【設(shè)計意圖】此類問題考查余角、補(bǔ)角的定義、表示方法及性質(zhì)，通過設(shè)未知數(shù)建立方程求解較簡單.●活動3例3將一副三角尺按不同位置擺放（如圖），與互余的擺法是；與互補(bǔ)的擺法是；與相等的擺法是．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：①根據(jù)兩個直角的位置得：=；②根據(jù)三角尺的特點和擺放位置得：+45°=180°，+45°=180°，∴=；③根據(jù)平角的定義得：+90°+=180°，∴+=90°，即與互余；④根據(jù)圖形可知與是鄰補(bǔ)角，∴+=180°；綜上所述：與互余的擺法是③；與互補(bǔ)的擺法是④；與相等的擺法是①②．故答案為：③；④；①②．【思路點撥】通過三角板拼余角、補(bǔ)角，解決此類問題，一定要充分應(yīng)用三角板中的特殊角（90度，30度，60度，45度等），結(jié)合擺放位置，容易得出和的關(guān)系．【答案】③；④；①②．練習(xí)：如圖，將一副三角尺的直角頂點重合，擺放在桌面上，若∠BOC=35°，則∠AOD=°．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=35°，∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+55°=145°．故答案為：145．【思路點撥】由△AOB與△COD為直角三角形得到∠AOB=∠COD=90°，則∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°，然后利用角與角之間的和差關(guān)系即可得到∠AOD的度數(shù)．【答案】145．【設(shè)計意圖】通過拼湊三角板，掌握常見的圖形度數(shù)，進(jìn)一步理解余角補(bǔ)角的概念及性質(zhì)應(yīng)用.3.課堂總結(jié)知識梳理（1）了解余角、補(bǔ)角的定義；（2）掌握余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用.重難點歸納（1）余角、補(bǔ)角的定義；（2）余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.如圖，∠1的余角可能是()【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：觀察圖形，圖形C滿足條件.【思路點撥】根據(jù)定義，由兩個角的和為90度判斷.【答案】C.2.下列說法中正確的是（）A.一個銳角的余角比這個角的補(bǔ)角小B.如果一個角有補(bǔ)角，那么這個角必是鈍角C.若∠1＋∠2＋∠3＝180°，則∠1、∠2、∠3互為補(bǔ)角D.如果和互為余角，與互為余角，那么與也互為余角.【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：一個銳角的余角比這個角的補(bǔ)角小，A正確；銳角、直角、鈍角都有補(bǔ)角，故B錯誤；互補(bǔ)針對兩個角，故C錯誤；如果和互為余角，與互為余角，那么與相等，故D錯誤.【思路點撥】由余角、補(bǔ)角的定義和性質(zhì)解答.【答案】A.3．兩個角，它們的比是6∶4，其差為36°，則這兩個角的關(guān)系為_________【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：設(shè)角為,,則,，所以,，因為108°+72°=180°，故兩個角互補(bǔ).【思路點撥】通過設(shè)未知數(shù)，解方程得到具體度數(shù)求解.【答案】互補(bǔ)4．若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，則∠1與∠3的關(guān)系是（）A.互余B.互補(bǔ)C.相等D.∠1＝90°＋∠3【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，根據(jù)同角的余角相等，故選C.【思路點撥】由余角性質(zhì)解答.【答案】C.5.一個角的補(bǔ)角加上10°后等于這個角的余角的3倍，求這個角．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)這個角為，則它的余角為，補(bǔ)角為，根據(jù)題意，得，解得，答：這個角為40度．【思路點撥】先設(shè)出這個角，可表示出其補(bǔ)角和余角，根據(jù)題意我們可列出等式，解這個等式即可得出這個角的度數(shù)．【答案】這個角為40度．6.如圖是直線AB上一點，OE平分∠AOB，∠COD=90°．則圖中互余的角有對，互補(bǔ)的角有對．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4對，互補(bǔ)的角有∠AOC和∠BOC，∠DOE和∠BOC，∠COE和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠COD，∠COD和∠BOE共7對．故答案為4；7．【思路點撥】根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義找出互余和互補(bǔ)的角即可得解．從圖中確定余角和補(bǔ)角時要注意按照一定的順序，找補(bǔ)角時，三個直角就可以有三對補(bǔ)角，這也是本題容易出錯的地方．【答案】4；7．能力型師生共研1.如圖，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列問題：（1）圖中有哪些小于平角的角？用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎境鏊鼈儯?）比較∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的銳角、鈍角、直角、平角．（3）找出圖中所有相等的角．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）圖中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2)由圖可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC為銳角，∠AOD為直角，∠AOE為鈍角，∠AOB為平角；(3)∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．【思路點撥】根據(jù)題中所給條件，結(jié)合圖形：（1）找出圖中銳角、直角、鈍角即可；（2）直接比較，并且分類即可；（3）利用直角都相等，等角的余角相等列出即可．【答案】（1）圖中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2）由圖可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC為銳角，∠AOD為直角，∠AOE為鈍角，∠AOB為平角；(3)∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．2.如圖，已知∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=27°．（1）寫出圖中所有互為余角的角；（2）求∠AOD+∠COD的度數(shù)．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∠AOC和∠BOC；∠AOD和∠BOD；（2）∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣27°=63°，∵OC是∠AOB的角平分線，∴，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=45°﹣27°=18°，∴∠AOD+∠COD=63°+18°=81°．【思路點撥】（1）根據(jù)余角的定義即可解答；（2）首先求得∠AOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠BOC的度數(shù)，進(jìn)而求得∠COD的度數(shù)，從而求解．【答案】（1）∠AOC和∠BOC；∠AOD和∠BOD；（2）81°．探究型多維突破1.觀察、探究與思考．根據(jù)圖，求解下列問題：（1）比較∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指出其中的銳角、直角、鈍角、平角．（2）寫出∠AOB、∠AOC、∠BOC、∠AOE中某些角之間的兩個等量關(guān)系．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）根據(jù)圖形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；銳角的是∠AOB，直角的是∠AOC，鈍角的是∠AOD，平角的是∠AOE；（2）根據(jù)圖形可得：∠AOB=∠AOC﹣∠BOC；∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE；【思路點撥】（1）根據(jù)一個角在另一個角的內(nèi)部，則這個角小于另一個角，如圖所示：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，再根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角的定義，即可得出答案；（2）由圖形可得∠AOB=∠AOC﹣∠BOC，∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE．【答案】（1）根據(jù)圖形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；銳角的是∠AOB，直角的是∠AOC，鈍角的是∠AOD，平角的是∠AOE；（2）根據(jù)圖形可得：∠AOB=∠AOC﹣∠BOC；∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE；2.如圖①所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等、互余還是互補(bǔ)的關(guān)系．你能用推理的方法說明你的猜想是合理的嗎？（2）當(dāng)∠COD繞著點O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，你原來的猜想還成立嗎？為什么？【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∠AOD與∠COB互補(bǔ)．理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB，∴∠AOD+∠COB=180°，∴∠AOD與∠COB互補(bǔ)；（2）成立．理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，∴∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∴∠AOD+∠COB=180°，∴∠AOD與∠COB互補(bǔ)．【思路點撥】（1）根據(jù)直角的定義可得∠AOB=∠COD=90°，然后用∠AOD和∠COB表示出∠BOD，列出方程整理即可得解；（2）根據(jù)周角等于360°列式整理即可得解．【答案】（1）∠AOD與∠COB互補(bǔ)．（2）成立．自助餐1.已知是銳角，與互補(bǔ)，與互余，則－的值等于（）A.45°B.60°C.90°D.180°【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：根據(jù)余角、補(bǔ)角定義，，故選C.【思路點撥】同角的余角與補(bǔ)角的關(guān)系判斷.【答案】C.2.如圖，點A、O、B在同一條直線上，∠AOC=∠BOC=90°，∠1=∠2，則圖中互余的角共有（）A.2對 B.3對 C.4對 D.5對【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∵∠AOC=∠BOC=90°，∴∠1+∠AOE=90°，∠2+∠FOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠FOC=∠AOE，∴∠1+∠COF=90°，∠2+∠AOE=90°，即圖中互余的角共有4對，故選C．【思路點撥】由∠AOC=∠BOC=90°，推出∠1+∠AOE=90°，∠2+∠FOC=90°，求出∠FOC=∠AOE，推出∠1+∠COF=90°，∠2+∠AOE=90°，根據(jù)余角的定義得出即可．【答案】C．3.如圖，AB為直線，∠AOC=∠DOE=90°，則圖中互補(bǔ)的角是________．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：因為∠AOC=∠DOE=90°，所以∠AOD=∠COE,∠COD=∠BOE,圖中互補(bǔ)的角有：∠AOC與∠COB,∠AOC與∠DOE,∠COB與∠DOE,∠AOD與∠BOD,∠COE與∠BOD,∠BOE與∠AOE,∠COD與∠AOE.【思路點撥】根據(jù)兩個角的和為判斷.【答案】∠AOC與∠COB,∠AOC與∠DOE,∠COB與∠DOE,∠AOD與∠BOD,∠COE與∠BOD,∠BOE與∠AOE,∠COD與∠AOE.將一長方形紙片，按圖中的方式折疊，BC、BD為折痕，折疊后點E′剛好落在A′B上，則∠CBD的度數(shù)為____________【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，∴2∠CBD=180°，∴∠CBD=90°．【思路點撥】由折疊的性質(zhì)可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，根據(jù)平角=180°結(jié)合∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，即可得出2∠CBD=180°，進(jìn)而即可得出∠CBD=90°，此題得解．【答案】∠CBD=90°．5.如圖，將兩副直角三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O．（1）找出圖中一組相等的銳角．并說明理由．（2）求∠AOB+∠DOC的值．【知識點】補(bǔ)角和余角.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∠AOD=∠C