立體幾何填空題分類匯編- 全國新高考地區(qū)近2年(2020-2021)高三上學期期末考試數(shù)學試題

第頁全國卷（新課標）高三期末精編-立體幾何填空題型一：球體問題1．（2021·遼寧葫蘆島·高三期末）正三棱錐側(cè)棱長為，底面棱長為，三棱錐內(nèi)切球表面積是_______．2．（2021·山東聊城一中高三期末）正方體的棱長為2，動點在對角線上，當時，三棱錐的外接球的體積為______．3．（2021·江蘇常州·高三期末）如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為__________.5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為_____．6．（2021·江蘇省新海高級中學高三期末）在三棱錐中，，，，．平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為_________．

7．（2021·山東德州·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球表面積為_________．8．（2020·廣東清遠·高三期末（理））在三棱錐中，底面.若，分別是的中點，則三棱錐的外接球的表面積為__________.

9．（2020·山東德州·高三期末）中國古代數(shù)學經(jīng)典《九章算術》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.10．（2021·江蘇海門·高三期末）我國古代數(shù)學名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形，且，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為________．

題型二：點到面距離問題11．（2020·江蘇無錫·高三期末）在長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離是______.12．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學高三期末）已知三個頂點都在球的表面上，且，，是球面上異于??的一點，且平面，若球的表面積為，則球心到平面的距離為____________.13．（2021·山東菏澤·高三期末）已知四邊形是邊長為1的正方形，半徑為1的圓所在平面與平面垂直，點是圓上異于的任一點，當點到平面的距離最大時四面體的體積為________．

題型三：幾何體位置關系判定14．（2021·遼寧撫順·高三期末）將一個斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_________.15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知正方體，棱長為1.點E是棱上的任意一點，點F是棱上的任意一點，則三棱錐的體積為______.16．（2021·遼寧沈陽·高三期末）如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個動點.，且，則下列結(jié)論中正確的序號是_________.①；②平面；③三棱錐的體積為定值；④△AEF的面積與的面積相等.

17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（理））在如圖棱長為的正方體中，點、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個點，使面與正方體的截面為五邊形；②當時，面與正方體的截面面積為；③只有一個點，使面與正方體的截面為四邊形；④當面交棱于點，則、、三條直線交于一點．18．（2020·陜西·西安中學高三期末（理））已知矩形，，，將△ADC沿對角線進行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，有下列結(jié)論正確的有_____.①三棱錐的體積的最大值為；②三棱錐的外接球體積不變；③三棱錐的體積最大值時，二面角的大小是60°；④異面直線與所成角的最大值為90°.

19．（2021·浙江杭州·高三期末）在棱長為的正方體中，棱，的中點分別為，，點在平面內(nèi)，作平面，垂足為．當點在內(nèi)（包含邊界）運動時，點的軌跡所組成的圖形的面積等于_____________．

全國卷（新課標）高三期末精編-立體幾何填空解析版題型一：球體問題1．（2021·遼寧葫蘆島·高三期末）正三棱錐側(cè)棱長為，底面棱長為，三棱錐內(nèi)切球表面積是_______．【答案】【分析】用正三棱錐的性質(zhì)及等體積法確定內(nèi)切球的半徑即可.【詳解】設內(nèi)切球半徑為，則三棱錐高：；斜高：，表面積：，體積：，得，所以內(nèi)切球的表面積為故答案為:2．（2021·山東聊城一中高三期末）正方體的棱長為2，動點在對角線上，當時，三棱錐的外接球的體積為______．【答案】【分析】由題意得出正方體對角線的中點，則有是正四棱錐，的外接球就是的外接球．是，交點，則平面，外接球球心在上，設球半徑為，由勾股定理可求得，得體積．【詳解】正方體棱長為2，則對角線長為，，∴是中點，是正方體所有對角線的交點，因此是正四棱錐，的外接球就是的外接球．如圖，設是外接球球心，交點，則共線，底面，因此（∵平面），設外接球半徑為，則，即，解得，所以．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查球的體積，解題關鍵是找到球的球心，求出半徑，解題時充分利用正方體的對稱性，得出是正四棱錐，其外接球就是三棱錐的外接球，利用正四棱錐的性質(zhì)易得其外接球球心，求得半徑．3．（2021·江蘇常州·高三期末）如圖，在底面邊長為，高為的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為___________．【答案】.【分析】設出小球半徑，結(jié)合圖形，利用已知條件，根據(jù)勾股定理，即可求出答案.【詳解】易知大球的半徑為，設小球的半徑為，為小球球心，為大球球心，大球與正四棱柱的下底面相切與點，小球與正四棱柱的上底面相切與點，連接，作于點，如圖，由題意可知，,，所以，,因為兩圓相切，所以，因為為直角三角形，所以，即，又因為，所以.故答案為：.【點睛】與球有關的“切”“接”問題，主要考查學生的空間想象能力，解答時要準確掌握“切”“接”問題的處理規(guī)律.(1)“切”的處理首先要找準切點，通過做截面來解決，使截面過切點和球心.(2)“接”的處理抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為__________.【答案】【分析】設正三棱柱下底面和上底面的中心分別為，則的中點為球心，取棱中點，則為棱與球的切點，為球半徑，而到棱的距離等于，這樣利用勾股定理可求得半徑，從而得體積．【詳解】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對稱性知中點為球的球心，取中點（為切點），則（等于到棱距離．設球半徑為，由正三角形性質(zhì)知，與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，球體積為．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求球的體積，解題關鍵是利用對稱性確定球心位置求得球的半徑．從而求得球的體積．利用對稱性知正三棱柱上下底面中心連線的中點為球心，而各棱與球相切的切點為各棱中點．從而易求得結(jié)論．5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為_____．【答案】【分析】根據(jù)四面體是球的內(nèi)接四面體，結(jié)合位置關系，可得棱錐的形狀，以及棱長之間的關系，利用體積公式即可代值計算.【詳解】設該球的半徑為R，則AB＝2R，2ACAB2R，∴ACR，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，所以Rt△ABC面積SBC×ACR2，又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面體P﹣ABC的體積為，∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，所以：球的體積VπR3π×34π．故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球體積的計算，屬基礎題；本題的重點是要根據(jù)球心的位置去推導四面體的幾何形態(tài)，從而解決問題.6．（2021·江蘇省新海高級中學高三期末）在三棱錐中，，，，．平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的半徑為_________．【答案】4【分析】取中點，連接，，再根據(jù)題意依次計算，進而得球的球心即為（與重合）【詳解】解：因為，，，所以，又因為，所以，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，取中點，連接，所以，，所以平面，所以，此時，，，所以，即球的球心球心即為（與重合），半徑為.故答案為：.【點睛】本題解題的關鍵在于尋找球心，在本題中，均為直角三角形，故易得中點即為球心.考查空間思維能力，運算求解能力，是中檔題.7．（2021·山東德州·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球表面積為_________．【答案】．【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，證明的中點就是三棱錐的外接球球心，得出半徑后可求表面積．【詳解】取中點，中點，連接，則，因為底面，所以平面，是菱形，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球表面積為．故答案為：．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查求三棱錐外接球表面積，解題關鍵是求出外接球球心．三棱錐的外接球球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線上．8．（2020·廣東清遠·高三期末（理））在三棱錐中，底面.若，分別是的中點，則三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題中幾何體的結(jié)構(gòu)，將題中棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球問題.【詳解】因為底面，所以.又，所以平面，故.又，故，所以平面，所以.又，所以，故兩兩垂直.又，故該三棱錐外接球的半徑與一個棱長分別為1，，的長方體外接球半徑相同.所以三棱錐的外接球的半徑為，故外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，涉及線面垂直，線線垂直的性質(zhì)和判定；本題的關鍵是將棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球問題.9．（2020·山東德州·高三期末）中國古代數(shù)學經(jīng)典《九章算術》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.【答案】【分析】求出鱉臑的外接球的半徑，可求出，然后求出正方形的外接圓半徑，利用公式可求出陽馬的外接球半徑，然后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】四邊形是正方形，，即，且，，所以，的外接圓半徑為，設鱉臑的外接球的半徑，則，解得.平面，，可得，.正方形的外接圓直徑為，，平面，所以，陽馬的外接球半徑，因此，陽馬的外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查球體表面積和體積的計算，同時也涉及了多面體外接球問題，解題時要分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．（2021·江蘇海門·高三期末）我國古代數(shù)學名著《九章算數(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形，且，點在棱上，且，當?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為________．

【答案】【分析】如圖，連接，取的中點為，連接，可證，設，則，利用基本不等式可求何時取最小值，又可證為三棱錐的外接球的球心，從而可求此時外接球的表面積.【詳解】如圖，連接，取的中點為，連接.因為三棱柱為直棱柱，故平面，而平面，故，又，，故平面，因為平面，故，因為，，故平面，因為平面，故.設，在直角三角形中，，同理，所以，整理得到.又，當且僅當時等號成立，也就是時，的面積取最小值.因為平面，平面，故，故，而為直角三角形，故，故為三棱錐的外接球的球心，故外接球的直徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：空間中線線垂直、線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化，而三棱錐外接球的表面積體積的計算關鍵是球心位置的確定，可用球心到各頂點的距離相等來判斷，必要時可補體，通過規(guī)則幾何體的外接球來確定球心的位置.題型二：點到面距離問題11．（2020·江蘇無錫·高三期末）在長方體中，，，，為的中點，則點到平面的距離是______.【答案】【分析】利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中，，，所以，所以，設點到平面的距離為，解得故答案為：【點睛】此題考查求點到平面的距離，通過在三棱錐中利用等體積法求解，關鍵在于合理變換三棱錐的頂點.12．（2021·江蘇·鹽城市伍佑中學高三期末）已知三個頂點都在球的表面上，且，，是球面上異于??的一點，且平面，若球的表面積為，則球心到平面的距離為____________.【答案】【分析】根據(jù)題中的垂直關系，確定球心，再根據(jù)球的表面積公式計算，再求點到平面的距離.【詳解】由，，并且平面，平面，，且平面，，是直角三角形和的公共斜邊，取的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，所以點是三棱錐外接球的球心，設，則，則三棱錐外接球的表面積，，解得：,點到平面的距離.故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查了球與幾何體的綜合問題，考查空間想象能力以及化歸和計算能力，（1）當三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時，并且側(cè)棱長為，那么外接球的直徑，（2）當有一條側(cè)棱垂直于底面時，先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，球心在垂線上，根據(jù)垂直關系建立的方程.（3）而本題類型，是兩個直角三角形的公共斜邊的中點是外接球的球心.13．（2021·山東菏澤·高三期末）已知四邊形是邊長為1的正方形，半徑為1的圓所在平面與平面垂直，點是圓上異于的任一點，當點到平面的距離最大時四面體的體積為________．【答案】【分析】以D為原點，直線DA為x軸，直線DC為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系，可設其中，設平面MAB的法向量是0，，又0，，可得點C到平面ABM的距離有最大值，其最大值為，即可MABC的體積；【詳解】解：以D為原點，直線DA為x軸，直線DC為y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示：

則，，，

依題意，可設，其中，．

設平面MAB的法向量是，AB=DC=0,1,0，AM=-1,m,n，

由a?AB=0,a?AM=0,可得取，得a=n,0,1，

又

到平面MAB的距離h=CB?aa=n1+n2∈0,22，

點C到平面ABM的距離有最大值，其最大值為，

當h取得最大值時，，則，

且，題型三：幾何體位置關系判定14．（2021·遼寧撫順·高三期末）將一個斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角邊長，進而求出旋轉(zhuǎn)體圓錐的底面半徑和母線，再利用圓錐的表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為等腰直角三角形的斜邊長為4，所以直角邊長為，由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑，母線長，則其表面積為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關圓錐的表面積的問題，正確解題的關鍵點是：（1）要確定旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體是圓錐；（2）要明確圓錐的各個量：底面圓的半徑以及母線長；（3）要熟練掌握圓錐的表面積公式.15．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知正方體，棱長為1.點E是棱上的任意一點，點F是棱上的任意一點，則三棱錐的體積為______.【答案】【分析】由題意畫出圖形，再由等積法求三棱錐的體積．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如下圖所示：∵正方體棱長為1，點是棱上的任意一點，點是棱上的任意一點.

∴故答案為：.【點睛】本題考查多面體體積的求法，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法，等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．16．（2021·遼寧沈陽·高三期末）如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個動點.，且，則下列結(jié)論中正確的序號是_________.①；②平面；③三棱錐的體積為定值；④的面積與的面積相等.【答案】①②③【分析】①由平面垂直可判斷，②由線面平行的定義可判斷，③棱錐底面面積不變，頂點到底面距離不變可判斷結(jié)論，④分析到直線的距離即可判斷.【詳解】對于①，由題意及圖形知，平面，故可得出，故①正確，對于②，由正方體的兩個底面平行，在其一面上，故與平面無公共點，故有EF∥平面ABCD，故②正確，對于③，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形的面積是定值，點到面的距離等于BD的一半，故可得三棱錐的體積為定值，故③正確，對于④，由圖形可以看出，到線段的距離與到的距離不相等，故的面積與的面積相等不正確，故④錯誤，∴正確命題的序號是①②③.故答案為：①②③17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（理））在如圖棱長為的正方體中，點、在棱、上，且，在棱上，為過、、三點的平面，則下列說法正確的是__________．①存在無數(shù)個點，使面與正方體的截面為五邊形；②當時，面與正方體的截面面積為；③只有一個點，使面與正方體的截面為四邊形；④當面交棱于點，則、、三條直線交于一點．【答案】①②④【分析】讓從開始逐漸向運動變化，觀察所得的截面，從而可得正確的選項．【詳解】由題設可得為所在棱的中點.當時，如圖（1），

直線分別交與，連接并延長于，連接交于，則與正方體的截面為五邊形，故①正確.

當，如圖（2），此時與正方體的截面為正六邊形，其邊長為，其面積為，故B正確.當重合或重合時，如圖（3），與正方體的截面均為四邊形，故③錯誤.如圖（4），在平面內(nèi)，設，則，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三條直線交于一點.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：平面的性質(zhì)有3個公理及