專題5.4 立體幾何中的軌跡問題、最值問題通關(guān)

1．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線，的平面分別與棱，交于，，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：①四邊形為平行四邊形；②若四邊形面積，，則有最小值；③若四棱錐的體積，，則是常函數(shù)；④若多面體的體積，，則為單調(diào)函數(shù)．其中假命題為（）．A．①B．②C．③D．④【答案】D連接，，，則四棱錐分割為兩個(gè)小棱錐，它們是以為底，以，為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐，因?yàn)榈拿娣e是個(gè)常數(shù)，，到平面的距離和是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐的體積是常函數(shù)，故③正確；對(duì)于④，多面體的體積為常數(shù)函數(shù)，故④錯(cuò)誤．綜上所述，假命題為④．故選2．已知正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線AM//平面,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為A．B．C．2D．π【答案】B3．在空間直角坐標(biāo)系中，到軸和軸距離相等的點(diǎn)的軌跡為（）A．一個(gè)平面B．兩個(gè)平面C．一條直線D．兩條直線【答案】B【解析】到軸和軸距離相等的點(diǎn)的軌跡為如圖所示的兩個(gè)平面，故選．4．在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體的頂點(diǎn)、分別在軸，軸上移動(dòng)．若該正四面體的棱長(zhǎng)是，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，故選．5．如圖所示，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)一點(diǎn)，且平面,則的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D6．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在線段上，若，則長(zhǎng)度的最小值為A．B．C．D．【答案】C7．如圖，面,B為AC的中點(diǎn)，，且P到直線BD的距離為則的最大值為（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】∵到直線的距離為∴空間中到直線的距離為的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和面相交得一橢圓，即點(diǎn)在內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，為橢圓中心，，，則∴為橢圓的焦點(diǎn)∵橢圓上的點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角在短軸的端點(diǎn)取得最大值∴的最大值為故選B.8．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）．A．B．C．2D．【答案】D【解析】∴平面，同理，平面，∴當(dāng)在直線上時(shí)，都滿足，∴是最大值．故選項(xiàng)是正確的．9．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線，的平面分別與棱、交于，，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：①平面平面；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最??；③四邊形周長(zhǎng)，是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為（）．A．①④B．②C．③D．③④【答案】C②連接，∵平面，四邊形的對(duì)角線是固定的，要使面積最小，只需的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)為棱中點(diǎn)，，長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形的面積最小，②正確；④連接，，，四棱錐分割成兩個(gè)小三棱錐，以為底，分別以、為頂點(diǎn)，∵面積是個(gè)常數(shù)，、到平面的距離是個(gè)常數(shù)，∴四棱錐的體積為常函數(shù)，④正確．10．如下圖在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值是，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是，（因?yàn)椴话ǘ它c(diǎn)，故不能取，即長(zhǎng)度不能等于），故線段的長(zhǎng)度的取值范圍是：，本題選擇A選項(xiàng)．11．設(shè)點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是（）A．B．C．1D．【答案】A12．如圖，直三棱柱中，，，，外接球的球心為，點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．有下列判斷：①直線與直線是異面直線；②一定不垂直；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為．其中正確的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如圖，∵直線AC經(jīng)過平面BCC1B1內(nèi)的點(diǎn)C,而直線C1E在平面BCC1B1內(nèi)不過C,∴直線AC與直線C1E是異面直線，故①正確；∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)。本題選擇C選項(xiàng)．13．已知邊長(zhǎng)為1的正方形與所在的平面互相垂直，點(diǎn)分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），，設(shè)線段的中點(diǎn)的軌跡為，則的長(zhǎng)度為（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】如圖，∵0≤s≤1，0≤t≤1，∴．∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為．軌跡l為在垂直于y軸且距原點(diǎn)的平面內(nèi)，半徑為的四分之一圓周．∴l(xiāng)的長(zhǎng)度為．故選：D．14．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是、中點(diǎn)，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】∴，∴當(dāng)時(shí)，線段MN長(zhǎng)度取最小值．本題選擇A選項(xiàng)．15．底面為正方形的四棱錐，且平面，，，線段上一點(diǎn)滿足，為線段的中點(diǎn)，為四棱錐表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∴平面，∴P點(diǎn)軌跡為．∵,，∴的周長(zhǎng)為．故選：B．16．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到的距離都是2，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離是到點(diǎn)距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最大值是__________．【答案】17．如圖，等腰所在平面為，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)的直線將分成兩部分，把點(diǎn)所在的部分沿直線翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（平面）．若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好在翻折前的線段上，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)與CD重合時(shí)，=0，由題意得為直角三角形，且斜邊為定值，所以要求最大值，只需GH最小，GH最小值為，所以，填。18．在內(nèi)切圓圓心為的中，，，，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作動(dòng)直線，現(xiàn)將沿動(dòng)直線翻折，使翻折后的點(diǎn)在平面上的射影落在直線上，點(diǎn)在直線上的射影為，則的最小值為__________．【答案】19．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都為,O是該四面體內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn)O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距離分別為,x,和y,則+的最小值是___．【答案】；【解析】該幾何體為正四面體,體積為．各個(gè)面的面積為,所以四面體的體積又可以表示為,化簡(jiǎn)得,故．20．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為__________．【答案】21．已知四棱椎中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，則四棱錐體積的最大值為________．【答案】【解析】四棱錐的體積最大，則使得底面積和高均取得最大值即可，底面積最大時(shí)，ABCD為正方形，此時(shí)底面積，高有最大值，首先要保證平面平面，由可知，點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為直徑的圓，則高的最大值為：，綜上可得：體積的最大值為：．22．是長(zhǎng)、寬、高分別為12，3，4的長(zhǎng)方體外接球表面上一動(dòng)點(diǎn)，則到長(zhǎng)方體各個(gè)面所在平面的距離的最大值是__________．【答案】23．如圖，有一圓錐形糧堆，其正(主)視圖是邊長(zhǎng)為6m的正，糧堆母線的中點(diǎn)處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是________________m．【答案】【解析】圓錐的底面半徑為3m，周長(zhǎng)是6πm,展開圖中大圓半徑為6m，則圓心角為，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度。則在圓錐側(cè)面展開圖中AP=3，AB=6，∠BAP=90°?！嘣趫A錐側(cè)面展開圖中．故小貓經(jīng)過的最短距離是m．故答案是：．24．空間四邊形的兩條對(duì)棱、的長(zhǎng)分別為和，則平行于兩條對(duì)棱的截面四邊形在平移過程中，周長(zhǎng)的取值范圍是__________．【答案】故答案為：．25．四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的體積取值范圍為_____．【答案】【解析】如圖所示，四棱錐中，可得：平面平面平面，過作于，則平面，故，在中，，設(shè)，則有，,又，則，四棱錐的體積取值范圍為．26．已知空間四邊形中，對(duì)角線，則空間四邊形中平行于和的截面四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是____________【答案】27．點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以在過且垂直于的平面上，如下圖（1），取，，則平面，所以在一個(gè)圓周上，如圖下圖（2），正方體的中心到該平面的距離即為，在直角三角形中，，而，故，，所在的圓周的半徑為，故其軌跡的長(zhǎng)度為圖（1）圖（2）28．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，在面中取一點(diǎn)，使最小，則最小值為__________．【答案】29．如圖,在四面體中,與所成的角為60°,點(diǎn)分別在棱上,若直線都平行于平面,則四邊形面積的最大值是_________．【答案】30．在中，，，，點(diǎn)分別在邊上，且，沿著將折起至的位置，使得平面平面，其中點(diǎn)為點(diǎn)翻折后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】由勾股定理易得：，設(shè)，則，而△AED∽△ABC，故，四棱錐的體積：，求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，取得最大值．31．已知是半徑為5的球面上的點(diǎn)，且，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，__________．【答案】32．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．【答案】(1)有最大值為;(2)二面角的余弦值為：－．【解析】試題-高考群：611508768-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷分析：（1）由平面，，可得，進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系，可得的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易求出有最大值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論平面的一個(gè)法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值．（2）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0）,∴（－2，2，2）,則，即，取x＝3，則y＝2，z＝1，∴面BCF的一個(gè)法向量為則cos<>=．由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為：－33．如圖，在三棱錐中，，，，，直線與平面成角，為的中點(diǎn)，，．（Ⅰ）若，求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)．（Ⅱ）若，則，故，，設(shè)是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法可得，．設(shè)直線與平面所成角為，則，據(jù)此可得直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．（Ⅱ）若，∴，∵，∴，，設(shè)是到面的距離，是到面的距離，則，由等體積法：，∴，∴．設(shè)直線與平面所成角為，則．∵，∴．∴故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．34．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（1）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．【答案】（1）見解析（2）（3）．【解析】試題-高考群：611508768-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷分析：(1)由等腰三角形三線合一可得，由線面垂直的定義可得，最后利用線面垂直的判斷定理可得平面．(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC面積最大時(shí)，三棱錐體積由最大值，由幾何關(guān)系可得當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，結(jié)合三棱錐體積公式可得三棱錐體積的最大值為．(3)將將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C，使之與平面共面，由平面幾何的知識(shí)可知，，共線時(shí)，取得最小值．結(jié)合箏形的性質(zhì)計(jì)算可得的最小值為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為．又，所以面積的最大值為．又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為．（3）在中，，，所以．同理，所以．在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C，使之與平面共面，如圖所示．35．如圖，中，，，，，,．（1）若與平面成角，求此時(shí)與平面所成的角的正弦值；（2）求長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)【解析】試題-高考群：611508768-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷分析：（1）由，與平面成角，求得的長(zhǎng)，，給出線面角，求出各邊長(zhǎng)度即可求出與平面所成的角的正弦值（2）要求長(zhǎng)的最小值，只要最小即可，即當(dāng)時(shí)最小解析：。,要讓最小，只要最小即可，即當(dāng)時(shí)最小，