八年級數學上冊章節(jié)重點復習考點講義(北師大版)第5章《二元一次方程組》(原卷版+解析)

2022-2023學年北師大版數學八年級上冊章節(jié)考點精講精練第5章《二元一次方程組》知識互聯網知識互聯網知識導航知識導航知識點01：二元一次方程組的相關概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數（和），并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.細節(jié)剖析：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.細節(jié)剖析：二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.例如，二元一次方程組.細節(jié)剖析：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.細節(jié)剖析：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個.知識點02：二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.細節(jié)剖析：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.細節(jié)剖析：當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：①把二元一次方程化成一次函數的形式．

②在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點．③交點坐標就是方程組的解．細節(jié)剖析：二元一次方程組無解<=>一次函數的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解<=>一次函數的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有無數個解<=>一次函數的圖像重合（有無數個交點）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標可以轉化為求這兩條直線對應的函數表達式聯立的二元一次方程組的解.知識點03：實際問題與二元一次方程組細節(jié)剖析：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.知識點04：二元一次方程（組）與一次函數1.二元一次方程與一次函數的關系（1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數.（2）我們知道每個二元一次方程都有無數組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數解有，我們發(fā)現以這些整數解為坐標的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數y＝的圖像上，反過來，在一次函數的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.細節(jié)剖析：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；2.一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這時的函數為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.3.用二元一次方程組確定一次函數表達式待定系數法：先設出函數表達式，再根據所給的條件確定表達式中未知數的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.利用待定系數法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數解析式.

2.根據所給條件,列出一組含有待定系數的方程.

3.解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決.知識點05：三元一次方程組1．定義：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.細節(jié)剖析：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知數．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；（5）將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起．細節(jié)剖析：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應用列三元一次方程組解應用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數；（2）找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；（3）根據這些相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．細節(jié)剖析：(1)解實際應用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該舍去．(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程并組成方程組．考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：求解二元一次方程組1．（2023八上·嶧城期末）已知二元一次方程組，則的值為（）A．2 B．6 C． D．2．（2023八上·福田期末）已知方程組的解滿足，則的值為（）A．7 B． C．1 D．3．（2022八上·長沙開學考）已知關于x、y的方程組，其中﹣3≤t≤1，給出下列結論：①是方程組的解；②若x﹣y＝3，則t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，則M的最小值為﹣3；其中正確的有（填寫正確答案的序號）．4．（2023八上·禪城期末）若關于x、y的二元一次方程組的解滿足x+y=1，則m的值為．5．（2023八上·虎林期末）若無意義，且則=，=．6．（2022八上·洪澤月考）解下列方程組或不等式組：（1）（2）（2023八上·榆林期末）已知方程組的解也是關于x、y的二元一次方程的一組解，求a的值.8．（2023八上·三元月考）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題.解方程組解：由①-②得即③，③×16得④②-④得，把代入③得解得：原方程組的解是請你仿照上面的解法解方程組.考點02：應用—雞兔同籠問題9．（2022八上·岳麓開學考）玩具車間每天能生產甲種玩具零件24個或乙種玩具零件12個，若甲種玩具零件1個與乙種玩具零件2個能組成一個完整的玩具，怎樣安排生產才能在60天內組裝出最多的玩具？設生產甲種玩具零件天，乙種玩具零件天，則有（）A． B．C． D．10．（2023八上·普寧期末）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x、y的二元一次方程組中正確的是（）A． B．C． D．11．（2023八上·成都期末）《九章算術》是我國古代一部著名的算書，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系其中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩.每頭牛、每只羊各值金多少兩？設1頭牛值金兩，1只羊值金兩，則可列方程組為.12．中國古代的數學專著《九章算術》有方程組問題“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16兩)，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據題意，可得方程組為．13．（2020八上·龍崗期末）某工廠用如圖①所示的長方形和正方形紙板，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種長方體的無蓋紙盒．現有正方形紙板150張，長方形紙板300張，若這些紙板恰好用完，則可制作橫式、豎式兩種紙盒各多少個？14．（2019八上·東河月考）根據小敏、小聰、小東、小強四人的對話內容，請你設計一下，分別安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生產出來的桌面和桌腿及庫存的桌腿恰好全部配套？15．（2019八上·永登期末）某校辦工廠有工人60名,生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品,每人每天平均生產螺栓14個或螺母20個,應分配多少人生產螺栓,多少人生產螺母,能使生產出的螺栓和螺母剛好配套?16．（2023八上·玉門期末）“國美”、“蘇寧”兩家電器商場出售同樣的空氣凈化器和過濾網，空氣凈化器和過濾網在兩家商場的售價一樣.已知買一個空氣凈化器和1個過濾網要花費元，買2個空氣凈化器和3個過濾網要花費4760元.（1）請用方程組求出一個空氣凈化器與一個過濾網的銷售價格分別是多少元？（2）為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，“國美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買一個空氣凈化器贈送兩個過濾網.若某單位想要買10個空氣凈化器和30個過濾網，如果只能在一家商場購買，請問選擇哪家商場購買更合算？請說明理由.考點03：應用-銷售問題與和差倍分問題17．（2022八上·沙坪壩開學考）上學年初一某班的學生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學年該班新轉入4個男生后，男女生剛好一樣多．設上學年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為（）A． B．C． D．18．（2023八上·駐馬店期末）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建等邊三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍.如果搭建等邊三角形和正六邊形共用了2018根火柴，并且等邊三角形的個數比正六邊形的個數多7，那么連續(xù)搭建的等邊三角形的個數是（）A．291 B．292 C．293 D．29419．（2023八上·順德期末）小明和小麗同時到一家水果店買水果．小明買蘋果和雪梨，共花了33元；小麗買蘋果和雪梨，共花了36元．設蘋果每千克元，雪梨每千克元，請根據題意，列出方程組：．20．（2020八上·青島期末）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元．一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費1510元．設該旅游團租住三人間客房間，兩人間客房間，請列出滿足題意的方程組．21．（2023八上·清遠期末）為了推進中華傳統(tǒng)文化教育，營造濃郁的讀書氛圍，某初中舉辦了“建設書香校園”主題活動．為此特為每個班級訂購了一批新的圖書．初一年級兩個班訂購圖書情況如下表：

老舍文集（套）四大名著（套）總費用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800求老舍文集和四大名著每套各是多少元？22．（2023八上·榆林期末）學校計劃從某花卉供應商家定制一批花卉來裝扮校園（花盆全部為同一型號），該商家委托某貨運公司負責這批花卉的運輸工作.該貨運公司有甲、乙兩種專門運輸花卉的貨車，已知1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉.1輛甲型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？1輛乙型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？23．（2022八上·長沙開學考）在國家精準扶貧政策下，某鄉(xiāng)村大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游，為了滿足游客的需求，某商戶決定購進A，B兩種特產來進行銷售．（1）若購進A種特產8件，B種特產3件，需要950元；購進A種特產5件，B種特產6件，需要800元．求購進A，B兩種特產每件分別需要多少元？（2）若該商戶決定購進A，B兩種特產共100件，考慮市場需求和資金周轉，A種特產至少需購進50件，用于購買這100件特產的總資金不能超過7650元，請問該商戶最多可購進A種特產多少件？24．（2022八上·柯城開學考）某店3月份采購A，B兩種品牌的T恤衫，若購A款40件，B款60件需進價8400元；若購A款45件，B款50件需進價8050元.（1）商店3月份的進貨金額只有10000元，能否同時購進A款和B款T恤衫各60件？（2）根據3月份的銷售情況，商店決定4月份和5月份均只銷售A款T恤衫，4月份每件的進價比3月份漲了a元，進價合計9800元；5月份每件的進價比4月份又漲了0.5a元，進價合計12240元，數量是4月份的1.2倍.這兩批A款T恤衫開始都以每件150元的價格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，問商店銷售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤（銷售收入減去進價總計）多少元？25．（2023八上·福田期末）五和超市購進、兩種飲料共200箱，兩種飲料的成本與銷售價如下表：飲料成本（元/箱）銷售價（元/箱）25353550（1）若該超市花了6500元進貨，求購進、兩種飲料各多少箱？（2）設購進種飲料箱（），200箱飲料全部賣完可獲利潤元，求與的函數關系式，并求購進種飲料多少箱時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？考點04：應用—行程問題與數字問題26．（2023八上·長清期中）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．八年級一班在16場比賽中得26分，設該班勝x場，負y場，則根據題意，下列方程組中正確的是（）A． B．C． D．27．（2020八上·皇姑期末）為了研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了10000人，并進行統(tǒng)計分析.結果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數比不吸煙者患肺癌的人數多22人.如果設這10000人中，吸煙者患肺癌的人數為x，不吸煙者患肺癌的人數為y，根據題意，下面列出的方程組正確的是（）A．B．C．D．28．（2023八上·南海期中）若關于x，y的方程組與的解相同，則的值為．29．（2023八上·南岸期末）重慶某快遞公司規(guī)定：寄件不超過的部分按起步價計費，超過不足，按照收費；超過不足按照收費，以此類推.某產家分別寄快遞到重慶市內和北京，其中，寄往重慶市內的起步價為元，超過部分元/；寄往北京的起步價為元，超過部分元/.已知一個寄往重慶市內的快件，質量為，收費13元；一個寄往北京的快件，質量為，收費42元.如果一個寄往北京的快件，質量為，應收費元.30．（2023八上·衢州期末）小聰從甲地勻速步行前往乙地，同時小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示.（1）小聰與小明出發(fā)min相遇；（2）在步行過程中，若小明先到達甲地，小明的速度是m/min.31．（2023八上·寶安期末）列方程組解應用題：全自動紅外體溫檢測儀是一種非接觸式人體測溫系統(tǒng)，通過人體溫度補償、溫度自動校正等技術實現準確、快速的測溫工作，具備人體非接觸測溫、高溫報警等功能．為了提高體溫檢測效率，某醫(yī)院引進了一批全自動紅外體溫檢測儀．通過一段時間使用發(fā)現，全自動紅外體溫檢測儀的平均測溫用時比人工測溫快2秒，全自動紅外體溫檢測儀檢測60個人的體溫的時間比人工檢測40個人的體溫的時間還少50秒，請計算全自動紅外體溫檢測儀和人工測量測溫的平均時間分別是多少秒？32．（2023八上·廣南期末）如圖，已知點A、點B在數軸上表示的數分別是-20、64，動點M從點A出發(fā)，以每秒若干個單位長度的速度向右勻速運動，動點N從點B出發(fā)，以每秒若干個單位長度的速度向左勻速運動．若點M、N同時出發(fā)，則出發(fā)后12秒相遇；若點N先出發(fā)7秒，則點M出發(fā)10秒后與點N相遇．動點M、N運動的速度分別是多少？33．（2022八上·黃岡開學考）為加強中小學生安全教育，某校組織了“防溺水”知識競賽，為對表現優(yōu)異的班級進行獎勵，學校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，購買3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求購買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？（2）若學校購買乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超過1480元，則最多能夠購買多少副羽毛球拍？34．（2023八上·河南期末）下面是學習二元一次方程組時，老師提出的問題和兩名同學所列的方程.問題：某個工人一天工作6個小時，可以生產零件一整箱和不足一箱的20個；由于特殊情況，今天他只工作4個小時，生產零件一整箱和不足一箱的4個，問這一箱零件和該工人每小時能生產的零件數分別是多少？小明所列方程：小亮所列方程：根據以上信息，解答下列問題.（1）以上兩個方程（組）中x意義是否相同？（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量關系（填序號，“①每個小時生產的零件數”或“②4個小時生產的零件數相等”）；（3）從以上兩個方程（組）中任選一個求解，完整解答老師提出的問題.35．（2023八上·梁河月考）實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，打造鄉(xiāng)村美麗家園．為解決某鎮(zhèn)鄉(xiāng)村灌溉問題，縣政府部門招標一工程隊，負責完成在某村山腳下修建一座水庫的土方施工任務．該工程隊有，兩種型號的挖掘機，已知4臺型和2臺型挖掘機同時施工一小時挖土150立方米；3臺型和7臺型挖掘機同時施工一小時挖土195立方米．每臺型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺型挖掘機一小時的施工費用為180元．（1）分別求每臺型，型挖掘機一小時挖土多少立方米？（2）若不同數量的型和型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元，問施工時有哪幾種調配方案？考點05：一次函數與二元一次方程組的綜合36．（2023八上·濟南期末）如圖，一次函數y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點A，則方程組的解是（）A． B． C． D．37．（2023八上·膠州期末）已知一次函數y＝k1x+b1和一次函數y1＝k2x+b2的自變量x與因變量y1，y2的部分對應數值如表所示，則關于x、y的二元一次方程組的解為（）x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113…A． B． C． D．38．（2023八上·南京期末）已知一次函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P（﹣4，2），則關于x、y的二元一次方程組的解是.39．（2023八上·丹東期末）已知：直線與直線的圖象交點如圖所示，則方程組的解為．40．（2019八上·句容期末）學完《平面直角坐標系》和《一次函數》這兩章后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長方形中，，，點為的中點，和相交于點.求的面積.小明同學應用所學知識，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立適當的平面直角坐標系，寫出圖中一些點坐標.根據一次函數的知識求出點的坐標，從而求得的面積.請你按照小明的思路解決這道思考題.41．已知：如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與坐標軸分別相交于點A、B與：相交于點C．（1）求點C的坐標；（2）若平行于y軸的直線交于直線于點E，交直線于點D，交x軸于點M，且，求a的值；42．（2018八上·靖遠期末）一輛客車從甲地開往乙地，一輛轎車從乙地開往甲地，兩車同時出發(fā)，兩車行駛x小時后，記客車離甲地的距離y1千米，轎車離甲地的距離y2千米，y1、y2關于x的函數圖象如圖所示：①根據圖象直接寫出y1、y2關于x的函數關系式；②當兩車相遇時，求此時客車行駛的時間．③相遇后，兩車相距200千米時，求客車又行駛的時間．43．（2018八上·蘇州期末）如圖，直線y=x+6與x軸、y軸分別相交于點E、F，點A的坐標為（-6，0），P（x，y）是直線y=x+6上一個動點．（1）在點P運動過程中，試寫出△OPA的面積s與x的函數關系式；（2）當P運動到什么位置，△OPA的面積為，求出此時點P的坐標；（3）過P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點P，使△COD≌△FOE？若存在，直接寫出此時點P的坐標（不要求寫解答過程）；若不存在，請說明理由．44．（2023八上·晉中期末）如圖，直線y＝－x+4和直線y＝2x+1相交于點A，分別與y軸交于B，C兩點．（1）求點A的坐標；（2）在x軸上有一動點P（a，0），過點P作x軸的垂線，分別交函數y＝－x+4和y＝2x+1的圖象于點D，E，若DE＝6，求a的值．（3）在（2）的條件下，點Q為x軸負半軸上任意一點，直接寫出△DEQ為等腰三角形時Q點的坐標．2022-2023學年北師大版數學八年級上冊章節(jié)考點精講精練第5章《二元一次方程組》知識互聯網知識互聯網知識導航知識導航知識點01：二元一次方程組的相關概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數（和），并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.細節(jié)剖析：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.細節(jié)剖析：二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.例如，二元一次方程組.細節(jié)剖析：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.細節(jié)剖析：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個.知識點02：二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.細節(jié)剖析：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.細節(jié)剖析：當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：①把二元一次方程化成一次函數的形式．

②在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點．③交點坐標就是方程組的解．細節(jié)剖析：二元一次方程組無解<=>一次函數的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解<=>一次函數的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有無數個解<=>一次函數的圖像重合（有無數個交點）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標可以轉化為求這兩條直線對應的函數表達式聯立的二元一次方程組的解.知識點03：實際問題與二元一次方程組細節(jié)剖析：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.知識點04：二元一次方程（組）與一次函數1.二元一次方程與一次函數的關系（1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數.（2）我們知道每個二元一次方程都有無數組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數解有，我們發(fā)現以這些整數解為坐標的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數y＝的圖像上，反過來，在一次函數的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.細節(jié)剖析：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；2.一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這時的函數為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.3.用二元一次方程組確定一次函數表達式待定系數法：先設出函數表達式，再根據所給的條件確定表達式中未知數的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.利用待定系數法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數解析式.

2.根據所給條件,列出一組含有待定系數的方程.

3.解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決.知識點05：三元一次方程組1．定義：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.細節(jié)剖析：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知數．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；（5）將求得的三個未知數的值用“{”合寫在一起．細節(jié)剖析：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應用列三元一次方程組解應用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數；（2）找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；（3）根據這些相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．細節(jié)剖析：(1)解實際應用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該舍去．(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程并組成方程組．考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：求解二元一次方程組1．（2023八上·嶧城期末）已知二元一次方程組，則的值為（）A．2 B．6 C． D．【答案】A【完整解答】解：，①+②得：3x-3y=6，∴x-y=2，故答案為：A．

【思路引導】利用加減消元法求解可得3x-3y=6，再計算求出x-y=2即可。2．（2023八上·福田期末）已知方程組的解滿足，則的值為（）A．7 B． C．1 D．【答案】D【完整解答】解：①+②得：3x+3y＝4+k，∴，∵，∴，∴，解得：，故答案為：D

【思路引導】先將k當作常數求出x、y的值，再將x、y的值代入可得，再求出k的值即可。3．（2022八上·長沙開學考）已知關于x、y的方程組，其中﹣3≤t≤1，給出下列結論：①是方程組的解；②若x﹣y＝3，則t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，則M的最小值為﹣3；其中正確的有（填寫正確答案的序號）．【答案】①②③【完整解答】解：，（2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4，∴y＝t﹣1，把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1，∴，當t＝0時，，∴是方程組的解，故①正確；若x﹣y＝3，則2t+1﹣（t﹣1）＝3，∴t＝1，故②正確；∵M＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1，∴﹣3≤M≤5，∴M的最小值為﹣3，故③正確；∴正確的有①②③.故答案為：①②③.【思路引導】將方程組中的兩個方程相減可得y，將y代入第二個方程中表示出x，據此可得方程組的解，令t=0，求出x、y的值，據此判斷①；根據x-y＝3可得關于t的方程，求出t的值，進而判斷②；根據x、y可得M＝2x-y-t＝2t+3，結合t的范圍可得M的范圍，據此判斷③.4．（2023八上·禪城期末）若關于x、y的二元一次方程組的解滿足x+y=1，則m的值為．【答案】﹣1【完整解答】解：，由①+②，得：，∴，∵x+y=1，∴，解得：．故答案為：-1

【思路引導】利用加減消元法解二元一次方程組即可得出m的值。5．（2023八上·虎林期末）若無意義，且則=，=．【答案】0；5【完整解答】解：無意義，，且，解得．故答案為：0，5．【思路引導】根據題意求出，且，再解方程即可。6．（2022八上·洪澤月考）解下列方程組或不等式組：（1）3x?2y=?1（2）x?2≤14?3x【答案】（1）解：3x?2y=?1①3x?4y=?5②①-②，得2y=4，∴y=2，把y=2代入①，得3x-4=-1，∴x=1，∴．（2）解：x?2≤14?3x①5x+2≥3(x?1)②解①，得，解②，得，∴．【思路引導】（1）將兩個方程相減可得y的值，將y的值代入①中求出x的值，進而可得方程組的解；

（2）分別求出兩個不等式的解集，取其公共部分可得不等式組的解集.7．（2023八上·榆林期末）已知方程組2x+y=6，3x?y=4的解也是關于x、y的二元一次方程的一組解，求a的值.【答案】解：方程組，②+①得：，解得：，代入①中，解得：，把，代入方程得，，解得：.【思路引導】將方程組中的兩個方程相加可得x的值，將x的值代入第一個方程中可求出y的值，據此可得方程組的解，即二元一次方程的解，然后代入計算即可求出a的值.8．（2023八上·三元月考）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題.解方程組解：由①-②得即③，③×16得④②-④得，把代入③得解得：原方程組的解是請你仿照上面的解法解方程組.【答案】解：①﹣②得：3x+3y＝3，即x+y＝1③①﹣③×2021得：x＝4把x＝4代入③得：y＝-3所以原方程組的解為.【思路引導】（1）觀察方程組中同一個未知數的系數特點：同一未知數的系數相差2，同一未知數的系數之和都是36；因此由①-②可得到x+y=1，再與方程②建立方程組，利用加減消元法可求出x，y的值.

（2）觀察方程組中同一個未知數的系數特點：同一未知數的系數相差2，由①﹣②，可得到x+y=1，可得到方程③，再由①﹣③×2021，消去y求出x的值，然后求出y的值，可得到方程組的解.考點02：應用—雞兔同籠問題9．（2022八上·岳麓開學考）玩具車間每天能生產甲種玩具零件24個或乙種玩具零件12個，若甲種玩具零件1個與乙種玩具零件2個能組成一個完整的玩具，怎樣安排生產才能在60天內組裝出最多的玩具？設生產甲種玩具零件天，乙種玩具零件天，則有（）A．x+y=6024x=12y B．C．x+y=602×24x=12y D．【答案】C【完整解答】解：由題意可得x+y=602×24x=12y故答案為：C.【思路引導】根據總天數是60天可得x+y=60；根據乙種零件應是甲種零件的2倍，可得2×24x=12y，聯立可得方程組.10．（2023八上·普寧期末）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x、y的二元一次方程組中正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【完整解答】解：由題意可得，故答案為：B．

【思路引導】設買甜果x個，買苦果y個，根據題意直接列出方程組即可。11．（2023八上·成都期末）《九章算術》是我國古代一部著名的算書，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系其中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩.每頭牛、每只羊各值金多少兩？設1頭牛值金兩，1只羊值金兩，則可列方程組為.【答案】【完整解答】解：設1頭牛值金兩，1只羊值金兩，由題意可得，.故答案為：.【思路引導】設1頭牛值金兩，1只羊值金兩，根據等量關系“①5頭牛，2只羊共值10兩金；②2頭牛，5只羊共價值8兩金”，分別列出方程即可求解.12．中國古代的數學專著《九章算術》有方程組問題“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16兩)，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據題意，可得方程組為．【答案】【完整解答】設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，由題意得：故答案是：或【思路引導】設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，根據五只雀，六只燕，共重16兩，和互換其中一只，恰好一樣重，列出方程組即可.13．（2020八上·龍崗期末）某工廠用如圖①所示的長方形和正方形紙板，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種長方體的無蓋紙盒．現有正方形紙板150張，長方形紙板300張，若這些紙板恰好用完，則可制作橫式、豎式兩種紙盒各多少個？【答案】解：設制作豎式紙盒x個，生產橫式紙盒y個由題意得，解得：．答：可制作橫式紙盒60個、豎式紙盒30個．【思路引導】根據題意，由題目中的等量關系，列出方程組，計算得到答案即可。14．（2019八上·東河月考）根據小敏、小聰、小東、小強四人的對話內容，請你設計一下，分別安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生產出來的桌面和桌腿及庫存的桌腿恰好全部配套？【答案】解：設安排立方米木料做桌面，立方米木料做桌腿，依題意得：，解得：.答：應安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生產出來的桌面和桌腿及庫存的桌腿恰好全部配套．【思路引導】設安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根據題意的等量關系列出方程組即可．15．（2019八上·永登期末）某校辦工廠有工人60名,生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品,每人每天平均生產螺栓14個或螺母20個,應分配多少人生產螺栓,多少人生產螺母,能使生產出的螺栓和螺母剛好配套?【答案】解：設應安排x人生產螺栓，有y人生產螺母．由題意，得解這個方程組得：答：應安排25人生產螺栓，35人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套?！舅悸芬龑А慷淮畏匠探M配套問題：首先，找到等量關系（一個螺栓與兩個螺母配套）；然后，根據等量關系列出等式即可。16．（2023八上·玉門期末）“國美”、“蘇寧”兩家電器商場出售同樣的空氣凈化器和過濾網，空氣凈化器和過濾網在兩家商場的售價一樣.已知買一個空氣凈化器和1個過濾網要花費元，買2個空氣凈化器和3個過濾網要花費4760元.（1）請用方程組求出一個空氣凈化器與一個過濾網的銷售價格分別是多少元？（2）為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，“國美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買一個空氣凈化器贈送兩個過濾網.若某單位想要買10個空氣凈化器和30個過濾網，如果只能在一家商場購買，請問選擇哪家商場購買更合算？請說明理由.【答案】解：設一個空氣凈化器元，一個過濾網元，，則一個空氣凈化器2200元，一個過濾網120元.（）為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，“國美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買一個空氣凈化器贈送兩個過濾網.若某單位想要買10個空氣凈化器和30個過濾網，如果只能在一家商場購買，請問選擇哪家商場購買更合算？請說明理由.解：國美：（元），蘇寧：一個凈化器送兩個過濾網，那么10個凈化器送20個網，只需買10個網即可.∴（元），∵，∴蘇寧更合算.（1）解：設一個空氣凈化器元，一個過濾網元，，則一個空氣凈化器2200元，一個過濾網120元.（2）解：國美：（元），蘇寧：一個凈化器送兩個過濾網，那么10個凈化器送20個網，只需買10個網即可.∴（元），∵，∴蘇寧更合算.【思路引導】（1）設一個空氣凈化器元，一個過濾網元，根據等量關系：1個凈化器+1個過濾網=2200，2個凈化器+3個過濾網=4760，列方程組即可得解；

（2）分別計算出在每一家需要花費的錢數，比較即可得.考點03：應用-銷售問題與和差倍分問題17．（2022八上·沙坪壩開學考）上學年初一某班的學生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學年該班新轉入4個男生后，男女生剛好一樣多．設上學年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為（）A．x+4=y34x=C．x?4=y34x=【答案】A【完整解答】解：根據題意，得x+4=y3故答案為：A.【思路引導】根據該班新轉入4個男生后，男女生剛好一樣多可得x+4=y；根據男生與女生同桌，這些女生占全班女生的可得x=y，聯立可得方程組.18．（2023八上·駐馬店期末）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建等邊三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍.如果搭建等邊三角形和正六邊形共用了2018根火柴，并且等邊三角形的個數比正六邊形的個數多7，那么連續(xù)搭建的等邊三角形的個數是（）A．291 B．292 C．293 D．294【答案】C【完整解答】解：設連續(xù)搭建等邊三角形x個，連續(xù)搭建正六邊形y個，由題意，得，解得.故答案為：C.【思路引導】設搭建了x個正三角形，y個正六邊形，則搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六邊形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根據“搭建正三角形和正六邊形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的個數比正六邊形的個數多7個”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．19．（2023八上·順德期末）小明和小麗同時到一家水果店買水果．小明買蘋果和雪梨，共花了33元；小麗買蘋果和雪梨，共花了36元．設蘋果每千克元，雪梨每千克元，請根據題意，列出方程組：．【答案】【完整解答】解：由題意可得故答案為：．

【思路引導】設蘋果每千克x元，雪梨每千克y元，根據關鍵語句“小明買1kg蘋果和2kg雪梨，共花了33元；小麗買2kg蘋果和1kg雪梨，共花了36元”列出方程即可。20．（2020八上·青島期末）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元．一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費1510元．設該旅游團租住三人間客房間，兩人間客房間，請列出滿足題意的方程組．【答案】【完整解答】解：根據題意可得三人間每間住宿費為25×3=75元；兩人間每間住宿費為：35×2=70元；設租住三人間x間，兩人間y間，可列方程：

【思路引導】根據題意可設租住三人間x間，兩人間y間，即可列方程。21．（2023八上·清遠期末）為了推進中華傳統(tǒng)文化教育，營造濃郁的讀書氛圍，某初中舉辦了“建設書香校園”主題活動．為此特為每個班級訂購了一批新的圖書．初一年級兩個班訂購圖書情況如下表：

老舍文集（套）四大名著（套）總費用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800求老舍文集和四大名著每套各是多少元？【答案】解：設老舍文集每套x元，四大名著每套y元，依題意得：6x+4y=8605x+4y=800解得：x=60答：老舍文集每套60元，四大名著每套125元．【思路引導】設老舍文集每套x元，四大名著每套y元，根據題意列出方程組6x+4y=8605x+4y=80022．（2023八上·榆林期末）學校計劃從某花卉供應商家定制一批花卉來裝扮校園（花盆全部為同一型號），該商家委托某貨運公司負責這批花卉的運輸工作.該貨運公司有甲、乙兩種專門運輸花卉的貨車，已知1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉.1輛甲型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？1輛乙型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？【答案】解：設1輛甲型貨車滿載一次可運輸x盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸y盆花卉，根據題意得：，把②代入①×2得，解得，把代入②得，解得x=500，∴，答1輛甲型貨車滿載一次可運輸500盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸400盆花卉.【思路引導】設1輛甲型貨車滿載一次可運輸x盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸y盆花卉，根據"1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉"可得方程x+3y=1700；根據"2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉"可得方程2x=3y-200，聯立求解即可.23．（2022八上·長沙開學考）在國家精準扶貧政策下，某鄉(xiāng)村大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游，為了滿足游客的需求，某商戶決定購進A，B兩種特產來進行銷售．（1）若購進A種特產8件，B種特產3件，需要950元；購進A種特產5件，B種特產6件，需要800元．求購進A，B兩種特產每件分別需要多少元？（2）若該商戶決定購進A，B兩種特產共100件，考慮市場需求和資金周轉，A種特產至少需購進50件，用于購買這100件特產的總資金不能超過7650元，請問該商戶最多可購進A種特產多少件？【答案】（1）解：設購進A種特產每件需要x元，購進B種特產每件需要y元，依題意得：解得：x=100y=50答：購進A種特產每件需要100元，購進B種特產每件需要50元．（2）解：設該商戶購進A種特產m件，則購進B種特產（100﹣m）件，依題意得：m?50解得：50≤m≤53．答：該商戶最多可購進A種特產53件．【思路引導】（1）設購進A種特產每件需要x元，購進B種特產每件需要y元，由購進A種特產8件，B種特產3件，需要950元可得8x+3y=950；由購進A種特產5件，B種特產6件，需要800元可得5x+6y=800，聯立求解即可；

（2）設該商戶購進A種特產m件，則購進B種特產(100-m)件，根據A種特產至少需購進50件可得m≥50，根據件數×每件的費用=總費用結合總資金不能超過7650元可得關于m的不等式，聯立求解可得m的范圍.24．（2022八上·柯城開學考）某店3月份采購A，B兩種品牌的T恤衫，若購A款40件，B款60件需進價8400元；若購A款45件，B款50件需進價8050元.（1）商店3月份的進貨金額只有10000元，能否同時購進A款和B款T恤衫各60件？（2）根據3月份的銷售情況，商店決定4月份和5月份均只銷售A款T恤衫，4月份每件的進價比3月份漲了a元，進價合計9800元；5月份每件的進價比4月份又漲了0.5a元，進價合計12240元，數量是4月份的1.2倍.這兩批A款T恤衫開始都以每件150元的價格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，問商店銷售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤（銷售收入減去進價總計）多少元？【答案】（1）解：設A款T恤衫的單價為a元，B款T恤衫的單價為b元，，解得，，∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，∴商店3月份的進貨金額只有10000元，不能同時購進A款和B款T恤衫各60件；（2）解：由題意可得，，解得，a＝8，經檢驗，a＝8是原分式方程的解，則4月份購進的T恤衫的數量為＝100（件），5月份購進的T恤衫的數量為100×1.2＝120（件），（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），答：商店銷售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤10060元.【思路引導】（1）設A款T恤衫的單價為a元，B款T恤衫的單價為b元，根據購A款40件，B款60件需進價8400元可得40a+60b=8400；根據購A款45件，B款50件需進價8050元可得45a+50b=8050，聯立求出a、b的值，然后根據A款的單價×60+B款的單價×60求出所需費用，再與10000進行比較即可判斷；

（2）由題意可得4月份購進A款T恤衫數量為件，5月份購進A款T恤衫數量為件，然后根據數量是4月份的1.2倍列出關于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的銷售量，根據(銷售量-30)×150-進價+150×0.8×30可得毛利潤.25．（2023八上·福田期末）五和超市購進、兩種飲料共200箱，兩種飲料的成本與銷售價如下表：飲料成本（元/箱）銷售價（元/箱）25353550（1）若該超市花了6500元進貨，求購進、兩種飲料各多少箱？（2）設購進種飲料箱（），200箱飲料全部賣完可獲利潤元，求與的函數關系式，并求購進種飲料多少箱時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）解：設購進A種飲料箱，則購進B種飲料箱，根據題意得解得答：購進A種飲料箱，則購進B種飲料箱（2）解：設購進種飲料箱（），200箱飲料全部賣完可獲利潤元，則隨的增大而減小，又時，可獲得最大利潤，最大利潤是（元）【思路引導】（1）設購進A種飲料箱，則購進B種飲料箱，根據題意列出方程組求解即可；

（2）設購進種飲料箱（），200箱飲料全部賣完可獲利潤元，根據題意列出函數解析式，再利用二次函數的性質求解即可?？键c04：應用—行程問題與數字問題26．（2023八上·長清期中）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．八年級一班在16場比賽中得26分，設該班勝x場，負y場，則根據題意，下列方程組中正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【完整解答】解：設該班勝x場，負y場，依題意得：．故答案為：A．【思路引導】設該班勝x場，負y場，根據題意列出方程組。27．（2020八上·皇姑期末）為了研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了10000人，并進行統(tǒng)計分析.結果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數比不吸煙者患肺癌的人數多22人.如果設這10000人中，吸煙者患肺癌的人數為x，不吸煙者患肺癌的人數為y，根據題意，下面列出的方程組正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【完整解答】解：由于設吸煙者患肺癌的人數為x，不吸煙者患肺癌的人數為y，根據題意：“吸煙者患肺癌的人數比不吸煙者患肺癌的人數多22人”和“吸煙者和不吸煙者總人數不10000”分別得出等式方程組成方程組：．故答案為：B．【思路引導】由于設吸煙者患肺癌的人數為x，不吸煙者患肺癌的人數為y，根據題意：“吸煙者患肺癌的人數比不吸煙者患肺癌的人數多22人”和“吸煙者和不吸煙者總人數不10000”即可得出等式方程組。28．（2023八上·南海期中）若關于x，y的方程組與的解相同，則的值為．【答案】2【完整解答】解：由題意知，兩個方程組的相同解為，把代入第一個方程組中的第二個方程得：；把代入第二個方程組中的第二個方程得：；解方程組，得，則故答案為：2．【思路引導】先求出，再求出，最后代入計算求解即可。29．（2023八上·南岸期末）重慶某快遞公司規(guī)定：寄件不超過的部分按起步價計費，超過不足，按照收費；超過不足按照收費，以此類推.某產家分別寄快遞到重慶市內和北京，其中，寄往重慶市內的起步價為元，超過部分元/；寄往北京的起步價為元，超過部分元/.已知一個寄往重慶市內的快件，質量為，收費13元；一個寄往北京的快件，質量為，收費42元.如果一個寄往北京的快件，質量為，應收費元.【答案】30【完整解答】解：依題意，得：，解得，寄往北京市快件重2.8kg按照3kg收費，應收費：元，故答案為：30.【思路引導】根據寄往重慶和北京的質量和費用，可得關于a、b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，然后2.8kg按照3kg收費，代入即可求解.30．（2023八上·衢州期末）小聰從甲地勻速步行前往乙地，同時小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示.（1）小聰與小明出發(fā)min相遇；（2）在步行過程中，若小明先到達甲地，小明的速度是m/min.【答案】（1）25（2）100【完整解答】解：（1）由圖象可得小聰與小明出發(fā)25min相遇.

故答案為：25；（2）設小聰步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，則，解得：，∴小明的速度為：；故答案為：.【思路引導】（1）由圖象可得小聰與小明出發(fā)25min相遇；

（2）設小聰步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，由題意可得25V1+25V2=4500，(56.25-25)V1=25V2，聯立求解即可.31．（2023八上·寶安期末）列方程組解應用題：全自動紅外體溫檢測儀是一種非接觸式人體測溫系統(tǒng)，通過人體溫度補償、溫度自動校正等技術實現準確、快速的測溫工作，具備人體非接觸測溫、高溫報警等功能．為了提高體溫檢測效率，某醫(yī)院引進了一批全自動紅外體溫檢測儀．通過一段時間使用發(fā)現，全自動紅外體溫檢測儀的平均測溫用時比人工測溫快2秒，全自動紅外體溫檢測儀檢測60個人的體溫的時間比人工檢測40個人的體溫的時間還少50秒，請計算全自動紅外體溫檢測儀和人工測量測溫的平均時間分別是多少秒？【答案】解：設全自動紅外體溫檢測儀的平均測溫用時為x秒，則人工測量的平均測溫用時為y秒，則解得答：全自動紅外體溫檢測儀和人工測量測溫的平均時間分別是秒和秒．【思路引導】設全自動紅外體溫檢測儀的平均測溫用時為x秒，則人工測量的平均測溫用時為y秒，根據題意列出方程組求解即可。32．（2023八上·廣南期末）如圖，已知點A、點B在數軸上表示的數分別是-20、64，動點M從點A出發(fā)，以每秒若干個單位長度的速度向右勻速運動，動點N從點B出發(fā)，以每秒若干個單位長度的速度向左勻速運動．若點M、N同時出發(fā)，則出發(fā)后12秒相遇；若點N先出發(fā)7秒，則點M出發(fā)10秒后與點N相遇．動點M、N運動的速度分別是多少？【答案】解：設動點M、N運動的速度分別是每秒x、y個單位長度，∵點A、B表示的數分別是-20、64，∴線段AB長為，∴由題意有，解得∴動點M每秒運動5個單位長度，動點N每秒運動2個單位長度．【思路引導】設動點M、N運動的速度分別是每秒x、y個單位長度，根據點A、B表示的數可得出線段AB的長，由題意列出方程組，即可得出x、y的值。33．（2022八上·黃岡開學考）為加強中小學生安全教育，某校組織了“防溺水”知識競賽，為對表現優(yōu)異的班級進行獎勵，學校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，購買3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求購買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？（2）若學校購買乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超過1480元，則最多能夠購買多少副羽毛球拍？【答案】（1）解：設購買1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元，根據題意，得，解得．答：購買1副乒乓球拍需要28元，1副羽毛球拍需要60元（2）解：設購買a副羽毛球拍．根據題意，得28（30-a）+60a≤1480，解得a≤20．答：最多能夠購買20副羽毛球拍．【思路引導】（1）設購買1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元，根據題意列出方程組，解方程組求出x，y的值，即可得出答案；

（2）設購買a副羽毛球拍，根據題意列出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案.34．（2023八上·河南期末）下面是學習二元一次方程組時，老師提出的問題和兩名同學所列的方程.問題：某個工人一天工作6個小時，可以生產零件一整箱和不足一箱的20個；由于特殊情況，今天他只工作4個小時，生產零件一整箱和不足一箱的4個，問這一箱零件和該工人每小時能生產的零件數分別是多少？小明所列方程：6y=x+204y=x+4小亮所列方程：根據以上信息，解答下列問題.（1）以上兩個方程（組）中x意義是否相同？（填“是”或“否”）；（2）小亮的方程所用等量關系（填序號，“①每個小時生產的零件數”或“②4個小時生產的零件數相等”）；（3）從以上兩個方程（組）中任選一個求解，完整解答老師提出的問題.【答案】（1）是（2）②（3）解：6y=x+20①4y=x+4②把①-②得：，解得，把代入①得：，解得；去分母得：，去括號：，移項得：，合并得：，系數化為1得：，∴，∴這一箱零件和該工人每小時能生產的零件數分別是28個、8個.【完整解答】解：（1）由小明所列方程的意義可知，小明方程中x表示的是這一箱零件的個數，而由小亮所列方程的意義可知，小亮方程中的x表示的是這一箱零件的個數，∴以上兩個方程（組）中x意義相同，故答案為：是；（2）根據小亮所列方程的意義可知小亮的方程所用等量關系4個小時生產的零件數相等，故答案為：②；【思路引導】（1）方程組和方程中x表示的都是這一箱零件的個數，據此即可判斷；

（2）4個小時生產的零件數相等；

（3）分別解方程組或方程即可.35．（2023八上·梁河月考）實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，打造鄉(xiāng)村美麗家園．為解決某鎮(zhèn)鄉(xiāng)村灌溉問題，縣政府部門招標一工程隊，負責完成在某村山腳下修建一座水庫的土方施工任務．該工程隊有，兩種型號的挖掘機，已知4臺型和2臺型挖掘機同時施工一小時挖土150立方米；3臺型和7臺型挖掘機同時施工一小時挖土195立方米．每臺型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺型挖掘機一小時的施工費用為180元．（1）分別求每臺型，型挖掘機一小時挖土多少立方米？（2）若不同數量的型和型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元，問施工時有哪幾種調配方案？【答案】（1）解：設每臺A型挖掘機一小時挖土x立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土y立方米，依題意得：，解得：．答：每臺A型挖掘機一小時挖土30立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土15立方米；（2）解：設調配m臺A型挖掘機，則調配（12-m）臺B型挖掘機，依題意得：，解得：6≤m≤9．又∵m為正整數，∴m可以為6，7，8，9，∴施工時共有4種調配方案，方案1：調配6臺A型挖掘機，6臺B型挖掘機；方案2：調配7臺A型挖掘機，5臺B型挖掘機；方案3：調配8臺A型挖掘機，4臺B型挖掘機；方案4：調配9臺A型挖掘機，3臺B型挖掘機．【思路引導】（1）設每臺A型挖掘機一小時挖土x立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土y立方米，根據題意列出方程組，解之即可得出答案；

（2）設調配m臺A型挖掘機，則調配（12-m）臺B型挖掘機，根據題意列出不等式組，可得出m的范圍，因為m為正整數，即可得出所有的方案。考點05：一次函數與二元一次方程組的綜合36．（2023八上·濟南期末）如圖，一次函數y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點A，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：∵點A的縱坐標為3，當2x+1=3時，，∴一次函數y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點A坐標為（1，3），又∵方程組可變形為，∴方程組的解為：．故答案為：C．

【思路引導】根據一次函數與二元一次方程組的關系可得：兩一次函數圖象的交點坐標即是二元一次方程組的解。37．（2023八上·膠州期末）已知一次函數y＝k1x+b1和一次函數y1＝k2x+b2的自變量x與因變量y1，y2的部分對應數值如表所示，則關于x、y的二元一次方程組的解為（）x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113…A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：由表格可知，一次函數y1=k1x+b1和一次函數y2=k2x+b2的圖象都經過點(2，3)，∴一次函數y1=k1x與y=k2x+b的圖象的交點坐標為(2，3)，∴關于x，y的二元一次方程組的解為．故答案為：C．

【思路引導】由表格可知，一次函數y1=k1x+b1和一次函數y2=k2x+b2的圖象都經過點(2，3)，再根據一次函數與二元一次方程組的關系即可得到答案。38．（2023八上·南京期末）已知一次函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P（﹣4，2），則關于x、y的二元一次方程組的解是.【答案】【完整解答】解：∵一次函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P（﹣4，2），∴則關于x、y的二元一次方程組的解是.

故答案為：.【思路引導】函數圖象的交點坐標即是相對應方程組的解，據此即得.39．（2023八上·丹東期末）已知：直線與直線的圖象交點如圖所示，則方程組的解為．【答案】【完整解答】解：∵函數y=x-b與函數y=mx+6的交點坐標是（2，3），∴方程組的解為．故答案為．

【思路引導】根據一次函數與二元一次方程的關系：兩個一次函數的圖象的交點坐標即是二元一次方程組的解求解即可。40．（2019八上·句容期末）學完《平面直角坐標系》和《一次函數》這兩章后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長方形中，，，點為的中點，和相交于點.求的面積.小明同學應用所學知識，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立適當的平面直角坐標系，寫出圖中一些點坐標.根據一次函數的知識求