人教版高中數(shù)學必修二 直線與平面平行的性質(zhì) 學案

人教版高中數(shù)學必修二第2章點、直線、平面之間的位置關系

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)學案

【學習目標】

1.理解直線與平面平行的性質(zhì)定理的含義.(重點)

2.能用三種語言準確描述直線與平面平行的性質(zhì)定理.(重點)

3.能用直線與平面平行的性質(zhì)定理證明一些空間平行關系的簡單命題.(難

【要點梳理夯實基礎】

知識點直線與平面平行的性質(zhì)定理

閱讀教材P58?P59''例3”以上的內(nèi)容，完成下列問題.

一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此

文字語言

平面的交線與該直線平行

符號語言a//a,au0,aC\^=b=>a//b

圖形語言

作用證明兩直線平行

［注意］

1.定理三個條件缺一不可。

2.簡記:線面平行,則線線平行。

［思考辨析學練結(jié)合］

1.(1)若直線a〃平面%則直線a平行于平面a內(nèi)的任意一條直線，對嗎？

(2)若直線a與平面a不平行，則直線a就與平面a內(nèi)的任一直線都不平行，

對嗎？

［答案］(1)不對.若直線a〃平面a,則由線面平行的性質(zhì)定理可知直線a與

平面a內(nèi)的一組直線平行.

(2)不對.若直線a與平面a不平行，則直線a與平面a相交或aua.當aua時,

a內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行.

2.判斷(正確的打“q”，錯誤的打“X”)

(1)一條直線如果和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平

行.()

(2)一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共

點.()

(3)過直線外一點，有且僅有一個平面和已知直線平行.()

(4)如果直線/和平面a平行，那么過平面a內(nèi)一點和直線I平行的直線在a

內(nèi).()

［解析］由線面平行的性質(zhì)定理知(1)(4)正確；

由直線與平面平行的定義知(2)正確；

因為經(jīng)過一點可作一條直線與已知直線平行，

而經(jīng)過這條直線可作無數(shù)個平面，故(3)錯.

［答案］(1W(2)4(3)x(4)4

【合作探究析疑解難】

考點線面平行性質(zhì)定理的應用

［典例1］如圖，四邊形EFG"是空間四邊形ABC。的一個截面，若截面為平

行四邊形，求證：AB〃平面EFGH.

［點撥］要證明45〃平面EEG”，只需證A3平行于平面EFG”內(nèi)的某一條

直線，由于EFGH是平行四邊形，可利用其對邊平行的特點，達到證題的目的.

［解答］?.?四邊形EFGH為平行四邊形，

J.EF//HG.

'.'HGu平面AB。，EEC平面A8O,

...EF〃平面ABD.

YEbu平面ABC,

平面ABCn平面ABD=AB,

：.EF//AB.

?.,ABC平面EFGH,

E/七平面EFGH,

...AB〃平面EFGH.

［方法總結(jié)］

運用線面平行的性質(zhì)定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知

直線的平面與平面相交的交線，然后確定線線平行.應認真領悟線線

平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關系.

跟蹤練習］

1.如圖，在三棱柱中，過作一平面交平面Beg干于￡弓.

求證：AAX//EEV4Ai

B0）

［證明］在三棱柱ABGA181G中，AA|〃B8|,

?A4仔平面BCgB］,B.u平面Bee31,

平面BCCiB［.

?.?A4］U平面AEEXA},

平面AEEAD平面BCCXB=EE},

：.AA{//EEV

【學習檢測鞏固提高】

1.如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線（）

A.只和這個平面內(nèi)的一條直線平行

B.只和這個平面內(nèi)兩條相交直線不相交

C.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行

D.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交

［解析］一條直線和一個平面平行，則這條直線和這個平面沒有公共點，那么這

條直線與這個平面內(nèi)的任何一條直線都沒有公共點，所以這條直線和這個平面

內(nèi)的直線都不相交.

［答案］D

2.直線?！ㄆ矫鎍,a內(nèi)有〃條直線交于一點，那么這〃條直線中與直線。平行

的（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒有

［解析］過。和平面內(nèi)〃條直線的交點只有一個平面人所以平面a與平面4只

有一條交線，且與直線a平行，這條交線可能不是這〃條直線中的一條.故選

B.

「答案］B

3.已知直線/〃平面a,/u平面隹aC￡=m,則直線I,m的位置關系是.

［解析］由直線與平面平行的性質(zhì)定理知/〃丸

［答案］平行

4.如圖，an(3=CD,aC\y=EF,^C\y=AB,AB〃a.求證：CD//EF.

［證明］因為AB〃a,ABu［5,aC0=CD,所以A6〃CD

同理可證

所以CDHEF.

5.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD

交于點O,M是PC的中點，在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面

BDM于GH,求證：AP〃GH.

［證明］連接M0.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.?.0是AC的中點.

又：乂是PC的中點，

，AP〃0M.

又?.?APC平面BDM,OMu平面BDM,

，AP〃平面BDM.

又?.,APu平面APGH,平面APGHD平面BDM=GH,

，AP〃GH.

［解題感悟］

線面平行的性質(zhì)

線〃面線面平行的判定線〃線.在空間平行關系中，交替

使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問題的關鍵.

人教版高中數(shù)學必修二第2章點、直線、平面之間的位置關系

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)課時檢測

一、選擇題

1.a,〃是兩條異面直線，P是空間一點，過尸作平面與原匕都平行，這樣的

平面（）

A.只有一個B.至多有兩個

C.不一定有D.有無數(shù)個

［答案］C

2.兩條直線都和一個平面平行，則這兩條直線的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.以上均可能

［答案］D

3.若不在同一直線上的三點A,B,C到平面a的距離相等，且A￡a,則（）

A.a〃平面ABC

B.AABC中至少有一邊平行于a

C.AABC中至多有兩邊平行于a

D.AABC中只可能有一邊與a相交

［解析］若三點在平面a的同側(cè)，則a〃平面ABC,有三邊平行于a.

若一點在平面a的一側(cè)，另兩點在平面a的另一側(cè)，則有兩邊與平面a相交，

有一邊平行于a,故△ABC中至少有一邊平行于a.

［答案］B

4.如圖，在四面體A8CD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤

的為（）

A.ACLBD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與5。所成的角為45。

［解析］截面PQMN為正方形,

，PQ〃MN,PQ〃面DAC.

又?.,面ABCC面ADC=AC,PQu面ABC,，PQ〃AC,

同理可證QM〃BD.故有選項A、B、。正確，C錯誤.

［答案］C

5.設a,8是兩條直線，a,4是兩個平面，若a〃a,au§,aC\［i=b,則a內(nèi)與

b相交的直線與a的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

【解析】條件即為線面平行的性質(zhì)定理，所以a〃乩

又。與a無公共點，故選C.

【答案】C

6.如圖所示，長方體48?！辏疽?四?；刂?，E、尸分別是棱A4］和8干的中點，

過EF的平面EFGH分別交8C和AD于G、H,則HG與AB的位置關系是（）

A.平行

C.異面D.平行和異面

［解析］,e?截面PQMN為正方形,

.?.PQ〃MN,PQ〃面DAC.

又?.?面ABCn面ADC=AC,PQu面ABC,，PQ〃AC,

同理可證QM〃BD.故有選項A、B、D正確,C錯誤.F分別是AA「

BB］的中點，，EF〃AB.

又ABU平面EFGH,EFu平面EFGH,

，AB〃平面EFGH.

又ABu平面ABCD,平面ABCDCI平面EFGH=GH,

，AB〃GH.

「答案］A

7.如圖，在長方體ABCD-A/iGQ中，E,b分別是棱AA】和8片的中點，過

EF的平面EFGH分別交BC和AD于G,H,則GH與AB的位置關系是（）

DUA

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

［解析］由長方體性質(zhì)知：后尸〃平面A8C。，

YE/u平面EFGH,平面EFGHCI平面ABCD=GH,

J.EF//GH,又,：AB,J.GH//AB,.?.選A.

［答案］A

8.直線?！ㄆ矫鎍,a內(nèi)有〃條直線交于一點，則這〃條直線中與直線。平行的

直線（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒有

［解析］設這n條直線的交點為P,則點P不在直線a上，那么直線a和點P確定

一■個平面0,則點P既在平面a內(nèi)又在平面P內(nèi)，則平面a與平面0相交，設

交線為直線b,則直線b過點P.又直線a〃平面a,則a〃b.很明顯這樣作

出的直線b有且只有一條，那么直線b可能在這n條直線中，也可能不在，即

這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條.

［答案］B

9.如圖所示，平面an￡=//aAy=/2,pC\y=ly,11//12,下列說法正確的是（）

I,\

?!

A.4平行于4,且1平行于）

B./］平行于4,且1不平行于4

C.乙不平行于4,且，2不平行于，3

D.6不平行于4但，2平行于，3

［解析］'：\//\,卜丫，1仔丫，

又1尸0,pny=i3,

:.\//\z//\r

［答案］A

10.正方體A5C0-A盧1G0中，E,F,G分別是A?,CD,81G的中點，則

正確命題是（）

A.AE1CG

B.AE與CG是異面直線

C.四邊形AEC￡是正方形

D.AE〃平面BC—

［解析］由正方體的幾何特征知，AE與平面BCC向不垂直，則AELCG不成立;

由于EG〃A［C］〃4C,故A,E,G,C四點共面，所以AE與CG是異面直線

錯誤；在四邊形AEC］尸中，AE=EC=CyF=AF,但AE與AE不垂直，故四

邊形AEC￡是正方形錯誤；由于AE〃C］F,由線面平行的判定定理，可得AE〃

平面Be/.故選D.

「答案］D

11.對于直線相、〃和平面a,下列命題中正確的是（）

A.如果加ua,〃仁a,tn、〃是異面直線，那么〃〃a

B.如果mua,n*a,m、〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果mua,n//a,加、〃共面，那么相〃〃

D.如果，〃〃a,n//a,〃共面，那么機〃”

［解析］對于A,如圖⑴所示，此時〃與a相交，故A不正確；對于B,如圖（2）

所示，此時機，〃是異面直線，而〃與a平行，故B不正確；對于D,如圖（3）

所示，相與〃相交，故D不正確.故選C.

［答案］C

12.如圖，四棱錐P-A8CO中，M,N分別為AC,PC上的點，且MN〃平面玄

則（）

A.MN//PD

B.MN//PA

C.MN//AD

D.以上均有可能

［解析］〃平面%。，平面%cn平面%。=%，MNu平面%C,

J.MN//PA.

［答案］B

二'填空題

13.設M、〃是平面a外的兩條直線，給出三個論斷：

①用〃“；②加〃/③〃〃a.以其中的兩個為條件，余下的一個為結(jié)論，構

造三個命題，寫出你認為正確的一個命題：.（用序號表示）

［解析］設過M的平面（3與a交于1.

，M〃1,VM/7n,An^l,

Vn<ta,lea,.,.n//a.

［答案］①②=③或①③黨

14.如圖，正方體中，AB=2,點E為A。的中點，點尸在CD

上，若EF〃平面AB。，則線段EF的長度等于.

［解析］因為EF〃平面AB。，ER=平面ABC。,

平面A81Cn平面ABCD=AC,

所以E尸〃AC.又點E為AO的中點，點尸在CD上,

所以點F是CD的中點，所以EF=^AC=y［2.

［答案］y/2

15.如圖所示的正方體的棱長為4,E,F分別為A1D1,AA1的中點，過Cl,E,

F的截面的周長為.

［解析］由EF〃平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1,

平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF,所以截面周長為EF+FB+BC［+C］E

=46+6、3

［答案］475+672.

16.如圖所示，ABC。一是棱長為"的正方體，〃、N分別是下底面的

棱A向、與G的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=*過尸，M,N

的平面交上底面于PQ,。在CO上，則尸。=.

［解析］：MN〃平面AC,平面PMNC平面AC=PQ,

，MN〃PQ,易知DP=DQ=3,

故PQ=1PD2+DQ2=pDP=2?.

［答案］2乎a

17.如圖所示，直線?！ㄆ矫鎍,并且。和A位于平面a兩側(cè)，點5,C^a,

A8、AC分別交平面a于點E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,則.

［解析］EE可看成直線。與點A確定的平面與平面a的交線，

'：a//a,由線面平行的性質(zhì)定理知，BC//EF,由條件知

AC=AF+CF=3+5=8.

EF_AF.AFXBC_3X4_3

又阮=恁，?,"=AC=丁=亍

［答案］（3

18.已知（如圖）4、B、C、。四點不共面，且AB〃a,CD//a,AC^a=E,ADHa

=F,BDC\a=H,BCC\a=G,則四邊形的形狀是.

［解析］平面ADCCa=EF,且CD〃a,

得EF〃CD;

同理可證GH〃CD,EG〃AB,FH〃AB.

，GH〃EF,EG〃FH.

...四邊形EFGH是平行四邊形.

［答案］平行四邊形

19.如圖所示，在空間四邊形A8CD中，E、F、G、H分別是四邊上的點，它們

共面，并且AC〃平面EFG”,平面EFG”，AC=M,BD=n,當四邊形

EFG”是菱形時，AE：EB=

［解析］:AC〃平面EFGH,，EF〃AC,GH〃AC,

BEAE

，EF=HG=M市，同理EH=FG=n

.BEAE

VEFGH是菱形,，，MBA=nAB,

AAE:EB=M：n.

［答案］M：n

三'解答題

20.ABC。是平行四邊形，點尸是平面ABC￡＞外一點，M是PC的中點，在。M

上取一點G,過G和AP作平面交平面30M于G”,

求證：AP//GH.

［證明］如圖所示，連接AC交BD于O,連接M0,

VABCD是平行四邊形，

，0是AC中點，又M是PC的中點,

，AP〃0M.

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，

則有PA〃平面BMD.

?.?平面PAHGCI平面BMD=GH,

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，

二AP〃GH.

21.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一

點，AB1AA1E=F,BlCnClE=G求證：AC〃FG.

［證明］VAC^AICI,AlClu平面A1EC1,ACC平面A1EC1,

...AC〃平面A1EC1.

又；平面A1EC1CI平面AB1C=FG,

，AC〃FG.

22.如圖所示，四邊形ABC。是矩形，PiABCD,過BC作平面8CFE交