統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（學(xué)案）概率與統(tǒng)計-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題八概率與統(tǒng)計

第三講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

(-)高考考點解讀

高考考點考點解讀

抽樣方法，樣本頻率1.分層抽樣中利用抽樣比確定樣本容量、各層抽

分布、數(shù)字特征樣的個體數(shù)等

2.考查系統(tǒng)抽樣的有關(guān)計算

3.頻率分布直方圖的繪制及識圖，并利用圖解決

實際問題

4.平均數(shù)和方差的計算

線性回歸分析與獨立1.線性回歸方程的求解及應(yīng)用

性檢驗在實際問題中2.獨立性檢驗的應(yīng)用以及獨立性檢驗與統(tǒng)計、概

的應(yīng)用率的綜合問題

(二)核心知識整合

考點1:抽樣方法，樣本頻率分布、數(shù)字特征

1.抽樣方法

三種抽樣方法包括：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣

2.統(tǒng)計圖表

在頻率分布直方圖中：

①各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小矩形的高=篇；

②各小矩形面積之和等于1;

③中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖面積相等，因此可以估計其近似值.

3.樣本的數(shù)字特征

⑴眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).

中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)

為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；

—11?

(2)樣本平均數(shù)%=—(%+%2+…+%)=—￡%；

〃〃i=l

(3)樣本方差/=—[(%—xf+l%—x)2+…+(x〃-x)2]=-x)2;

nnT~T

2222

(4)樣本標準差5=^—[(Xj—x)+(x2—x)+...+(xn—x)]=J—(X(—x).

(5)現(xiàn)實中總體所包含的個體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標準差、方差是不知

道(或不可求)的，所以我們通常用樣本的平均數(shù)與標準差、方差來估計總體的平

均數(shù)與標準差、方差.

(6)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均

數(shù)波動的大小.標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定.

『解題技巧』

1.系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的求解方法

(1)系統(tǒng)抽樣的最基本特征是“等距性”，每組內(nèi)所抽取的號碼需要依據(jù)第一組抽

取的號碼和組距唯一確定.每組抽取樣本的號碼依次構(gòu)成一個以第一組抽取的號

碼機為首項，組距d為公差的等差數(shù)列｛詞，第左組抽取樣本的號碼以=機十(左一1)北

⑵分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征差異進行分層，實質(zhì)是等比例抽樣，求解此

類問題需先求出抽樣比—樣本容量與總體容量的比，則各層所抽取的樣本容量

等于該層個體總數(shù)與抽樣比的乘積.在每層抽樣時，應(yīng)采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)

抽樣進行.

2.用樣本估計總體的兩種方法

(1)用樣本的頻率分布(頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等)估計總體的頻率

分布.

(2)用樣本的數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差)估計總體的數(shù)字特

征.

3.方差的計算與含義

計算方差首先要計算平均數(shù)，然后再按照方差的計算公式進行計算，方差和標準

差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差、標準差大說明波動大.

4.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

⑴眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標.

(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標.

⑶平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐

標之和.

［典型例題］

1.某校進行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參

賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯誤的

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在［60,80）的概率為0.5

C.估計得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

［答案］:D

［解析］根據(jù)頻率和為1,計算（“+0.035+0.03。+0.020+0.010）x10=1,解得〃=0.005,

得分在［40,60）的頻率是0.40,估計得分在［40,60）的有100x0.40=40（人），A正確；

得分在［60,80）的頻率為0.5,可得這100名參賽者中隨機選取一人，得分在［60,80）

的概率為0.5,B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點為22=55,即估計得

2

分眾數(shù)為55,C正確；

中位數(shù)的估計值為0.4+（x-60）x0.03=0.5,解得釬63.3,故D錯，故選D.

［變式訓(xùn)練］

2.已知在一次射擊預(yù)選賽中，甲、乙兩人各射擊10次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖

所示，則下列四個選項中判斷不正確的是（）

甲乙

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

［答案］:D

［解析］甲的成績的平均數(shù)為序=：x(5+6x2+7x2+8x2+9x2+10)=7.5,乙的成

績的平均數(shù)為2=，x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,甲的成績的平均數(shù)小于乙

的成績的平均數(shù)，故A判斷正確;甲的成績的中位數(shù)為叱=7.5,乙的成績的中

2

位數(shù)為==8,甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中位數(shù)，故B判斷正確;

2

由條形統(tǒng)計圖得甲的成績相對分散，乙的成績相對穩(wěn)定，甲的成績的方差大

于乙的成績的方差，故C判斷正確；甲的成績的極差為10-5=5,乙的成績的極

差為10-6=4,二.甲的成績的極差大于乙的成績的極差，故D判斷不正確.

故選D.

考點2：線性回歸分析與獨立性檢驗在實際問題中的應(yīng)用

1.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)利用散點圖可以初步判斷兩個變量之間是否線性相關(guān).如果散點圖中的點從

整體上看大致分布在一條直線的附近，我們說變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)用最小二乘法求回歸直線的方程

i=iz=l

八一可(y—7)Yx^-nxy

b=--------------------=--------------

設(shè)線性回歸方程為9=,則＜-X)2加2.

a=y-bx

注意：回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(反①，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計算問

題.

2.回歸分析

1=1

2(--元)(％-歹)

rf叫做相關(guān)系數(shù).

JZ(x,-x)2Z(y,-y)2

Vnn

相關(guān)系數(shù)用來衡量變量X與y之間的線性相關(guān)程度；|r|<L且|廠|越接近于1,相

關(guān)程度越高，|廠|越接近于0,相關(guān)程度越低.

3.獨立性檢驗

假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛XI,X2｝和｛N，券｝,其樣本頻數(shù)

列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為

V總計

XIaba+b

X2Cdc~\~d

總計a+cb+dc~\~d

(a+b+c+d)(ad-be)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若K2>3.841,則有95%的把握說兩個事件有關(guān)；

若K2>6.635,則有99%的把握說兩個事件有關(guān)；

若K2<2.706,則沒有充分理由認為兩個事件有關(guān).

『解題技巧」

1.正確理解計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵.其中線性

回歸方程必過樣本中心點(京亍).

2.在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量

之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)

測變量的值.

3.進行獨立性檢驗的步驟

⑴假設(shè)兩個分類變量x與y無關(guān)；

(2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2X2列聯(lián)表；

2

(3)由公式K=--------咆/蛆)2-----------------

（其中〃=a+ZrHc+d）計算出片的直

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（4）將Q的值與臨界值進行對比，進而做出統(tǒng)計推斷.

提醒：片的觀測值越大，對應(yīng)假設(shè)事件成立的概率越小，假設(shè)事件不成立的概

率越大.

［典型例題］

1.為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，得到

5組數(shù)據(jù)（%,yJ,（%,%）,?,%），?,%），?，”）.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知

玉+/+工3+%+%=150,由最小二乘法求得回歸直線方程為a=0.67x+54.9，則

M+%+%+”+%的值為（）

A.75B.155.4C.375D.466.2

［答案］:C

［解析］由題意可得：；/+&+；+-+$=30,

線性回歸方程過樣本中心點，則：j=0.67xx+54.9=75,

據(jù)此可知：%+%+%+%+%=5'=375.

本題選擇C選項.

［變式訓(xùn)練］

2.第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京舉辦.為了解某城市居民對冰雪

運動的關(guān)注情況，隨機抽取了該市100人進行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下2x2列聯(lián)表.

男女合計

關(guān)注冰雪運動352560

不關(guān)注冰雪運動152540