邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

關(guān)于邏輯代數(shù)基礎(chǔ)教學(xué)要求1.理解邏輯代數(shù)的基本概念。2.掌握邏輯代數(shù)的運(yùn)算。3.掌握邏輯函數(shù)的表達(dá)。4.熟練掌握卡諾圖對(duì)邏輯函數(shù)的化簡。第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)——教學(xué)要求第2頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)邏輯代數(shù)基本概念第二節(jié)邏輯代數(shù)第四節(jié)硬件描述語言基礎(chǔ)第三節(jié)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)——目錄第3頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)邏輯代數(shù)基本概念2.1.1邏輯常量和邏輯變量常量變量（1）用字母表示或字母加數(shù)字。如：A、A50

無效低電平關(guān)（斷開）燈滅無電流1

有效高電平開（閉合）燈亮有電流Z

高阻態(tài)X

不確定（2）原變量

A若A＝0則＝1

反變量（）若A＝1則＝0第4頁,共83頁，2024年2月25日，星期天邏輯變量原變量

A、B、…Z反變量

只有0、1兩種取值，常常不是數(shù)，反映狀態(tài)。例如：電位高低，開關(guān)斷合脈沖有無等。第5頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.1.2基本邏輯和復(fù)合邏輯真值表符號(hào)圖例條件A無效，則Y有效A或者B有效，則Y有效條件A、B同時(shí)有效，則Y有效意義Y=Y=A+BY=AB表達(dá)式備注非或與基本邏輯圖1圖2圖3表2表1表3“與”符號(hào)“非”符號(hào)“或”符號(hào)第6頁,共83頁，2024年2月25日，星期天基本邏輯（邏輯運(yùn)算）1、與運(yùn)算（邏輯乘） “·”or“∧”（1）概念

只有當(dāng)決定某一事件的條件全部具備時(shí)，這一事件才會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為與邏輯。第7頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（2）真值表用“0”、“1”分別表示不同狀態(tài)而列出的輸入與輸出關(guān)系的表格。

A：“0”—斷，“1”—合

B：“0”—斷，“1”—合

Y：“0”—滅，“1”—亮（3）邏輯函數(shù)表達(dá)式

Y=A·B=AB=A∧B（4）運(yùn)算規(guī)則

0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1。

一般地：A·0=0，A·1=A，A·A=A。（5）邏輯符號(hào)

GB舊GB美國第8頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2、或運(yùn)算（邏輯加） “+”or“∨”（1）概念 在決定某一事件的各種條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件得到滿足，這一事件就會(huì)發(fā)生，這種因果關(guān)系稱或邏輯。（2）真值表（3）表達(dá)式

Y=A+B=A∨B（4）運(yùn)算規(guī)則

0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。

一般地：A+0=A，A+1=1，A+A=A。（5）邏輯符號(hào)

GB舊GB美國

第9頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3、非運(yùn)算（邏輯非）（1）概念 事件發(fā)生的條件具備時(shí)，事件不會(huì)發(fā)生，條件不具備時(shí)，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系稱為邏輯非。（2）真值表（3）表達(dá)式

Y=（4）運(yùn)算規(guī)則一般地：（5）邏輯符號(hào)

GB舊GB美國

第10頁,共83頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合邏輯Y=A⊙B符號(hào)真值表表達(dá)式同或異或與或非或非與非表4表5表6表7表8符號(hào)4符號(hào)5符號(hào)6符號(hào)7符號(hào)8第11頁,共83頁，2024年2月25日，星期天復(fù)合邏輯運(yùn)算（1）與非運(yùn)算（2）或非運(yùn)算（3）與或非運(yùn)算（4）異或和同或運(yùn)算Y=A⊙B運(yùn)算優(yōu)先順序：括號(hào)—非—與—或。第12頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

如果一個(gè)邏輯變量Z由其他一個(gè)或多個(gè)邏輯變量（如：A、B、C…）的取值所決定，當(dāng)A、B、C…確定后，Z也就唯一的確定了，則把Z稱為A、B、C…的邏輯函數(shù)，表示為Z=F(A，B，C，…）。2.1.3邏輯函數(shù)的表示方法Y=AB在數(shù)字電路中，邏輯函數(shù)的表示方法有五種：

真值表、函數(shù)表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖、波形圖第13頁,共83頁，2024年2月25日，星期天邏輯函數(shù)表達(dá)式的書寫

最小項(xiàng)法由真值表推導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式的方法有：最大項(xiàng)法第14頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.1.4邏輯函數(shù)的相等

假設(shè)F(A1，A2，…An)為變量A1，A2，…An的邏輯函數(shù)。G（A1，A2，…An)為變量A1，A2，…An的另一邏輯函數(shù)。如果對(duì)應(yīng)于A1，A2，…An的任意一組狀態(tài)組合，F(xiàn)和G的值都相同。則稱F和G是相等的，記作F=G。 亦即：真值表相同的邏輯函數(shù)相等。第15頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)F(A,B,C)=A(B+C)，

G(A,B,C)=AB+AC。證明：F=G形式不同功能相同第16頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2邏輯代數(shù)的運(yùn)算法則2.2.1邏輯代數(shù)的基本公式一、常用公式（1）1=0 0=1（2）1·1=1 0+0=0（3）1·0=0·1=0 0+1=1+0=1（4）0·0=0 1+1=1（5）A≠0，則A=1 A≠1，則A=0第17頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（6）重疊（同一）律A·A=A A+A=A（7）反演律（德·摩根定理）A·B=A+B A+B=A·B（8）還原律

A=A二、基本定律（1）交換律

AB=BA A+B=B+A（2）結(jié)合律

A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C（3）分配律

A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)（4）01律

1·A=A 0+A=A 0·A=0 1+A=1（5）互補(bǔ)律

A·A=0 A+A=1第18頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.2三個(gè)規(guī)則（定理）1、代入規(guī)則 在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方都代之以一個(gè)函數(shù)，則等式仍然成立。

e.g.已知A·B=A+B，以Z=AC代A，則有：

A·C·B=A·C+B=A+B+C

——擴(kuò)大了公式的應(yīng)用范圍第19頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2、反演規(guī)則（互補(bǔ)規(guī)則）（3變2不變）

對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果Y中所有的“·”換成“+”；“+”換成“·”；“0”換成“1”；“1”換成“0”；原變量換成反變量；反變量換成原變量，則得到的表達(dá)式就是Y的反函數(shù)Y。3變：“·”換成“+”；“+”換成“·”“0”換成“1”；“1”換成“0”

原變量換成反變量；反變量換成原變量2不變：大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量的非號(hào)）運(yùn)算的順序不變第20頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例：已知Y=A·B+C·D，求Y

Y=(A+B)(C+D)

Y=A+B+C·D+E

則 Y=A·B(C+D·E)

Y=A·B+C·D+0 則 Y=(A+B)(C+D)·1注意：（1）優(yōu)先順序。先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外，先乘后加。 （2）包含兩個(gè)變量或以上的非號(hào)在變換中不變。第21頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3、對(duì)偶規(guī)則（2變2不變）

對(duì)于任意一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果Y中所有的“·”換成“+”；“+”換成“·”；“0”換成“1”；“1”換成“0”；則得到一新的表達(dá)式Y(jié)′（或Y*），Y′稱為Y的對(duì)偶式。例： Y=A(B+C) Y′=A+B·C

Y=A+B·C Y′=A(B+C)

Y=A+B+C Y′=ABC練習(xí)：Y=ABC Y′=A+B+C注意：優(yōu)先順序和大非號(hào)。一般地，Y′≠Y推論：若F(A,B,C…)=G(A,B,C…)，則F’=G’。第22頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2變：“·”換成“+”；“+”換成“·”“0”換成“1”；“1”換成“0”2不變：大非號(hào)不變（包含兩個(gè)或者兩個(gè)以上的變量的非號(hào)）運(yùn)算的順序不變對(duì)偶變化規(guī)則：第23頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.3常用公式（1）A+AB=A（消乘積項(xiàng)）

A(A+B)=A證：A+AB=A(1+B)=A－－有一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子是另一個(gè)乘積項(xiàng)的全部，則該乘積項(xiàng)是多余的（2）AB+AB=A

（合并公式） (A+B)(A+B)=A證：AB+AB=A(B+B)=A·1=A－－乘積項(xiàng)有公有因子，不同的因子互補(bǔ)，則合并為由公有因子組成的乘積項(xiàng)（3）A+AB=A+B消反公式）

A(A+B)=AB證：A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B——分配律′:A+BC=(A+B)(A+C)證2、A+AB=A+AB+AB=A+B

－－一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子恰好是另一個(gè)乘積項(xiàng)的補(bǔ)，則該乘積項(xiàng)的這部分因子是多余的。第24頁,共83頁，2024年2月25日，星期天4、AB+AC+BC=AB+AC

(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)證：左=（消第三項(xiàng)的公式）AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=右推論：AB+AC+BCDE…=AB+AC

－－兩個(gè)乘積項(xiàng)部分的因子互補(bǔ)，其余的因子都是第三項(xiàng)的因子，則第三項(xiàng)是多余的。第25頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.4異或運(yùn)算的公式（1）交換律 A⊕B=B⊕A（2）結(jié)合律 (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)（3）分配律

A(B⊕C)=AB⊕AC

證：A(B⊕C)=A(BC+BC)=ABC+ABCAB⊕AC=ABAC+ABAC=(A+B)AC+AB(A+C)=ABC+ABC（4）常量與變量之間的異或運(yùn)算（由定義直接推出）

A⊕1=A A⊕0=A A⊕A=0 A⊕A=1第26頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（5）因果互換 若A⊕B=C，則：A⊕C=B，B⊕C=A證：把A⊕B=C兩邊同時(shí)異或A，A⊕B⊕A=C⊕A

則：0⊕B=A⊕C，∴A⊕C=B，

同理可證B⊕C=A（6）多變量異或運(yùn)算 在多變量異或運(yùn)算中，若“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則結(jié)果為“1”；若“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則結(jié)果為“0”，與變量為“0”的個(gè)數(shù)無關(guān)。第27頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.5邏輯函數(shù)的表達(dá)式一、邏輯函數(shù)常用表達(dá)式邏輯函數(shù)的常用表達(dá)式包括與或式、與非與非式、或與式、或非或非式和或非式。1、與或式

F=AB+CD2、與非與非式

第28頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3、或與式

F=(A+B)(C+D)4、或非或非式5、與或非式

第29頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.6邏輯函數(shù)的公式化簡法一、化簡的意義和方法1、意義：設(shè)備簡單，成本低。2、方法（1）公式法：適于任意多個(gè)變量的函數(shù)的化簡。沒有統(tǒng)一的步驟，靠靈活熟練，難于判定是否最簡。（2）卡諾圖法（圖解法）：適于6個(gè)以下變量的函數(shù)簡化。直觀、簡單。（3）系統(tǒng)化簡法（Q-M）：適于任意多變量的函數(shù)的簡化。繁瑣，但有一定規(guī)律可循，適于計(jì)算機(jī)輔助。第30頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3、最簡與或式的含義

常用五種類型表達(dá)式（以Y=AB+AC）

與或表達(dá)式與門和或門 或與表達(dá)式或門和與門

與或式對(duì)偶-展開-對(duì)偶 與非與非式與非門

與或式兩次取反 或非或非式或非門

與或式-或與式-兩次取反 與或非式與或非門

或非或非式-反演律第31頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于不同類型的表達(dá)式，最簡的標(biāo)準(zhǔn)不同。最簡與或式：（1）乘積項(xiàng)最少。－－門數(shù)少（2）每一個(gè)乘積項(xiàng)中的因子最少。輸入端數(shù)少

——針對(duì)中小規(guī)模門電路。

CPLD——與或陣列結(jié)構(gòu)，輸入端數(shù)不是主要問題。

FPGA——常用四輸入數(shù)據(jù)選擇器結(jié)構(gòu)。

以與或式為例。任何F可化為與或式；最簡與或式可變換為任何其它形式。第32頁,共83頁，2024年2月25日，星期天二、公式化簡法（代數(shù)法）公式化簡常用的5個(gè)公式：分配律：A+BC=(A+B)(A+C)

反演律：常用公式3：A+AB=A+B

常用公式4：AB+AC+BC=AB+AC

推論：1、常用方法（1）合并項(xiàng)法（并項(xiàng)法） 二合一e.g.第33頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（2）吸收法 消去多余項(xiàng)e.g.（3）消去法（消因子法） 消去多余因子e.g.（4）配項(xiàng)法 一拆二， 增加BCe.g.另：

第34頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2、舉例e.g.1

（合并和吸收） （吸收） （消去）e.g.2

（吸收） （消去） （合并） （吸收）e.g.3

（配項(xiàng)）試探性第35頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.4

e.g.5

用對(duì)偶公式直接化簡——（不熟練；先展開后化簡——繁瑣）第36頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.3卡諾圖化簡1、最小項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（1）最小項(xiàng)定義 對(duì)于n個(gè)變量，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，在m中每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式作為一個(gè)因子出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的一個(gè)最小項(xiàng)。

n個(gè)變量一共有2n個(gè)最小項(xiàng)2.3.1邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的第37頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)

a.只有一組變量取值組合使其值為“1”。

——（等于“1”的機(jī)會(huì)最小）

b.任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為“0”。

c.全體最小項(xiàng)之和恒為“1”。（3）最小項(xiàng)的編號(hào) 把使最小項(xiàng)為“1”的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最小項(xiàng)的編號(hào)。

——（m0，m1，m2，…。）對(duì)于三個(gè)變量A、B、C，有：第38頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(4)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式（最小項(xiàng)表達(dá)式，標(biāo)準(zhǔn)積之和） 全部由最小項(xiàng)相加構(gòu)成的函數(shù)與或表達(dá)式。

任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，且是唯一的。

可由真值表得出，或由表達(dá)式變換得到。e.g.1，e.g.2，第39頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2、最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式(1)最大項(xiàng)定義 對(duì)于n個(gè)變量，若M為n個(gè)變量之和，在M中每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式作為一項(xiàng)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的一個(gè)最大項(xiàng)。

n個(gè)變量一共有2n個(gè)最大項(xiàng)對(duì)于三個(gè)變量A、B、C，有：第40頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(2)最大項(xiàng)的性質(zhì)

a.只有一組變量取值組合使其值為“0”。

——(等于“1”的機(jī)會(huì)最大)b.任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和恒為“1”。

c.全體最大項(xiàng)之積恒為“0”。(3)最大項(xiàng)的編號(hào) 把使最大項(xiàng)為“0”的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為該最大項(xiàng)的編號(hào)。

——（M0，M1，M2，…。）(4)標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式（最大項(xiàng)表達(dá)式） 全部由最大項(xiàng)相乘構(gòu)成的函數(shù)或與表達(dá)式。

任何邏輯函數(shù)都可以表示成標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，且是唯一的。第41頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.第42頁,共83頁，2024年2月25日，星期天最小項(xiàng)法：輸出為1的輸入組合寫成乘積項(xiàng)的形式，其中取值為1的輸入用原變量表示，取值為0的輸入用反變量表示，然后把這些乘積項(xiàng)相加即可。最大項(xiàng)法：輸出為0的輸入組合寫成和項(xiàng)的形式，其中取值為0的輸入用原變量表示，取值為1的輸入用反變量表示，然后把這些和項(xiàng)相乘即可。第43頁,共83頁，2024年2月25日，星期天真值表與表達(dá)式

樓梯路燈控制問題開關(guān)：A、B：上——“1”；下——“0”。燈：Y：亮——“1”；滅——“0”?；颍旱?4頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例題：三人表決器用A、B、C代表三個(gè)人：用1表示同意用0表示反對(duì)用F表示最后表決結(jié)果：用1表示通過用0表示否決遵守“少數(shù)服從多數(shù)”的原則。11111011110100011110001001000000FCBA寫真值表第45頁,共83頁，2024年2月25日，星期天用最小項(xiàng)寫表達(dá)式輸出為1的輸入組合項(xiàng)：011、101、110、111

輸入為1的用原變量表示，輸入為0的用反變量表示則有：ABC、ABC、ABC、ABC所以：F＝ABC+ABC+ABC+ABC第46頁,共83頁，2024年2月25日，星期天邏輯圖（以最小項(xiàng)表達(dá)式為例）

F＝ABC+ABC+ABC+ABC畫邏輯圖時(shí)，應(yīng)遵守“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序第47頁,共83頁，2024年2月25日，星期天波形圖第48頁,共83頁，2024年2月25日，星期天用最大項(xiàng)寫表達(dá)式輸出為0的輸入組合項(xiàng)：000、001、010、100

輸入為0的用原變量表示，輸入為1的用反變量表示則有：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C所以：F＝(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)第49頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)計(jì)一個(gè)奇較驗(yàn)電路（假設(shè)輸入端有4位代碼）。要求輸入用A、B、C、D表示，輸出用F表示。輸入端的取值選擇只有0、1兩種。輸出端用“0”表示輸入有偶數(shù)個(gè)1；用“1”表示輸入有奇數(shù)個(gè)1；第50頁,共83頁，2024年2月25日，星期天ABCDF00000000110010100110010010101001100011111000110010101001011111000110111110111110函數(shù)表達(dá)式：最小項(xiàng)表達(dá)式

最大項(xiàng)表達(dá)式

第51頁,共83頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):

設(shè)計(jì)一位全加器，要求寫出真值表，最小項(xiàng)表達(dá)式，最大項(xiàng)表達(dá)式，并將S的最小項(xiàng)表達(dá)式化簡。

真值表1111101011011011000101110100101010000000SCOBACI最小項(xiàng)表達(dá)式：最大項(xiàng)表達(dá)式：第52頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法一、卡諾圖由真值表按一定規(guī)則畫出的方格圖。變量取值：兩兩相鄰，首尾相鄰。（按循環(huán)碼排列）特點(diǎn)（1）幾何相鄰←→邏輯相鄰 ——便于化簡（2）對(duì)于變量數(shù)n＞5的邏輯函數(shù)，復(fù)雜少用。二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1、給出真值表

在對(duì)應(yīng)變量取值組合的每一個(gè)小方格中，函數(shù)值為“1”的填“1”，為“0”填“0”。第53頁,共83頁，2024年2月25日，星期天ABCD0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111ABCD00000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110008421碼循環(huán)碼第54頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.

或

2、給出最小項(xiàng)表達(dá)式在對(duì)應(yīng)于函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)的小方格中填“1”，其它填“0”。e.g.Y(A,B,C,D)=∑(0,3,5,6,9,10,12,15)0格可為空第55頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3、給出非標(biāo)準(zhǔn)形式（1）配項(xiàng)→標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式→填圖 （繁瑣）（2）觀察法e.g.4、給出其它形式表達(dá)式

先變換→與或式→填圖e.g.第56頁,共83頁，2024年2月25日，星期天三、卡諾圖的性質(zhì)和運(yùn)算1、全“0”格對(duì)應(yīng)Y=02、全“1”格對(duì)應(yīng)Y=13、卡諾圖相加、相乘、異或——對(duì)應(yīng)格相加、相乘、異或。

+=4、卡諾圖反演 “1”格→“0”格 “0”格→“1”格四、用卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)律

2個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去1個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；

4個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去2個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；

8個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去3個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量；

2i個(gè)相鄰1格可合并成一個(gè)乘積項(xiàng)，消去i個(gè)有01變化的變量，保留無變化的變量。第57頁,共83頁，2024年2月25日，星期天五、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、簡化原則（1）圈盡量大； ——變量數(shù)少（2）圈數(shù)盡量少； ——乘積項(xiàng)少（3）每一個(gè)“1”格都被圈到，沒有“0”格被圈；（4）全部是必要項(xiàng)，沒有多余項(xiàng)。必要項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中至少有一個(gè)“1”格只被圈一次。

——有新“1”格多余項(xiàng)：對(duì)應(yīng)圈中的每一個(gè)“1”格都被圈2次或2次以上。2、化簡步驟（1）畫卡諾圖。（2）按簡化原則化簡函數(shù)。——先圈只有一種圈法的圈（3）檢查是否全部“1”格被圈，沒有“0”格被圈。（4）寫出相應(yīng)的簡化式。第58頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.1Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解

第一步：填寫卡諾圖（為了敘述方便，這里填寫最小項(xiàng)的編號(hào)，平常應(yīng)該在對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)方格中填1）。

第二步：畫包圍圈。

第三步：化簡包圍圈。000111100001ABCD

1110111111111第59頁,共83頁，2024年2月25日，星期天Eg2.化簡函數(shù)：1011010010110100ABCD卡諾圖為：11111111用三個(gè)圈覆蓋：最簡與或式為：1可重復(fù)使用要圈兩個(gè)1(1)第60頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右;圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多余的。避免畫多余圈的方法：1.畫完圈后注意檢查；2.先圈只有一種方法可圈的1。(2)(3)

當(dāng)最簡式不唯一時(shí)，畫圈的方法也不唯一第61頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(4)Y=AD+BCD+ABC+ACD+ABD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+BDY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111這種情況可通過圈0求Y來解決：Y=ADY=A+D(5)第62頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（6）F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+D)F為或與式，可先對(duì)F求對(duì)偶式F’即F’=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+AD畫出F’的卡諾圖1011010010110100ABCD11111111F’=AD+ADF=(F’)’=(A+D)(A+D)=AD+AD第63頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.3

第64頁,共83頁，2024年2月25日，星期天e.g.4Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)注：每一項(xiàng)都是必要項(xiàng)構(gòu)成的函數(shù)表達(dá)式不一定最簡！圈“1”→與或式→或與式；反函數(shù)圈“1”→與或式，再求非→或與式；直接圈“0”格→或與式?！畲箜?xiàng)概念第65頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于輸入變量的每一組取值組合，邏輯函數(shù)都有確定的值，則這類邏輯函數(shù)稱為完全描述的邏輯函數(shù)。對(duì)于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數(shù)值不確定（可以為1，也可以為0），這類邏輯函數(shù)稱為非完全描述的邏輯函數(shù)。對(duì)應(yīng)輸出函數(shù)值沒有確定值的最小項(xiàng)（最大值）稱為無關(guān)項(xiàng)，任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。函數(shù)值可以為1，也可以為0（記為Ф或×）。六、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡第66頁,共83頁，2024年2月25日，星期天無關(guān)項(xiàng)：在一個(gè)邏輯函數(shù)中，變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)（約束項(xiàng)）；或者函數(shù)在變量的某些取值組合時(shí)，輸出可以是“0”，也可以時(shí)“1”（任意項(xiàng)）。有些教材不區(qū)分約束項(xiàng)和任意項(xiàng)，統(tǒng)稱為任意項(xiàng)、約束項(xiàng)、隨意項(xiàng)。含無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)——非完全描述的邏輯函數(shù)。無關(guān)項(xiàng)的表示：∑d(…)；∑φ(…)；AB+AC=0；d=AB+AC。無關(guān)項(xiàng)在化簡時(shí)取“0”還是“1”——依據(jù)對(duì)化簡是否有利。第67頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（一）無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的總稱。

1、約束項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使該最小項(xiàng)的值為1的輸入變量取值不允許輸入，則稱該最小項(xiàng)為約束項(xiàng)。

例如，四舍五入函數(shù)——用A,B,C,D組成的四位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)，當(dāng)該數(shù)大于4時(shí)輸出為1。ABCDY

0000000010001000011001000010110110101111100011001110101011

1100

1101

1110

1111

真值表為：1010——1111六個(gè)值不允許輸入。將m10～m15稱為約束項(xiàng)。在真值表和卡諾圖中都用表示。第68頁,共83頁，2024年2月25日，星期天在函數(shù)式中約束項(xiàng)的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符號(hào)表示上式：將約束項(xiàng)之和等于0稱為約束條件因此四舍五入函數(shù)可表示為

把這類邏輯函數(shù)稱為有約束的邏輯函數(shù)。1011010010110100ABCD11111第69頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.任意項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使其值為1的變量取值輸入時(shí)，函數(shù)值可為0，也可為1，則稱該最小項(xiàng)為任意項(xiàng)。

任意項(xiàng)很少遇到，這里不作討論。（二）約束項(xiàng)在化簡中的應(yīng)用約束項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可為0，也可為1。原則是將函數(shù)化到最簡。1011010010110100ABCD11111第70頁,共83頁，2024年2月25日，星期天解填寫卡諾圖，畫包圍圈，化簡?；喗Y(jié)果為：經(jīng)比較，合理利用任意項(xiàng)，確實(shí)能使邏輯函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)一步化簡。00011110(a)

不利用任意項(xiàng)1100011110ABCD111××××××(b)

利用任意項(xiàng)000111101100011110ABCD111××××××Eg6.第71頁,共83頁，2024年2月25日，星期天化簡Y(A,B,C,D)=Σm(1,4,9,13)+Σd(5,6,7,10)畫出卡諾圖，標(biāo)出多余項(xiàng)1011010010110100ABCD1111××××可得化簡結(jié)果：Y=AB+CD第72頁,共83頁，2024年2月25日，星期天七、多變量卡諾圖的化簡0101101