湖北省武漢市重點中學4G+聯(lián)合體2022-2023學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題(學生版+解析)

2022-2023學年度上學期武漢市重點中學聯(lián)合體期末考試高二數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列{an}中的首項a1＝2，且滿足，則此數(shù)列的第三項是()A.1 B. C. D.2.已知三棱錐中，點、分別為、的中點，且，，，則()A. B. C. D.3.已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，滿足，若的面積為9，則()A.1 B.2 C. D.34.意大利數(shù)學家斐波那契在1202年著《計算之書》中記載了斐波那契數(shù)列，此數(shù)列滿足：，且從第三項開始，每一項都是它的前兩項的和，即，則在該數(shù)列的前2022項中，奇數(shù)的個數(shù)為()A.672 B.674 C.1348 D.20225.已知空間直角坐標系中點，，，則點Р到直線AB的距離為()A. B. C. D.6.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，是充分體現(xiàn)我國勞動人民智慧的一種計數(shù)方法.在算籌計數(shù)法中，用一根根同樣長短和粗細的小棍子(用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成)以不同的排列方式來表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數(shù)(小木棍全部用完)，那么這兩個數(shù)的和不小于9的概率為()A. B. C. D.7.在等差數(shù)列中，是的前項和，滿足，，則有限項數(shù)列，，…，，中，最大項和最小項分別為()A.； B.； C.； D.；8.已知雙曲線：的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列結(jié)論中正確的是()A.該試驗樣本空間共有個樣本點 B.C.與為互斥事件 D.與為相互獨立事件10.等差數(shù)列的前n項和分別為，則下列說法正確的有()A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.11.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設(shè)點的軌跡為圓，則下列說法正確的是()A.圓的方程是B.以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為C.過點作直線，若圓上恰有三個點到直線的距離為，則該直線的斜率為D.過直線上的一點向圓引切線、，則四邊形的面積的最小值為12.拋物線的光學性質(zhì)為：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點處的切線．已知拋物線上任意一點處的切線為，直線交拋物線于，，拋物線在，兩點處的切線相交于點．下列說法正確的是()A.直線方程B.記弦中點，則平行軸或與軸重合C.切線與軸的交點恰在以為直徑的圓上D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若雙曲線的一個焦點為，兩條漸近線互相垂直，則______.14.甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨立，則恰好進行了4局結(jié)束比賽的概率為______．15.在直三棱柱中，，，，M是中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，若，則異面直線與夾角的余弦值為__________.16.已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于，兩點．若的周長為，則橢圓的方程為____．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項和為,且滿足，．(1)求和；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c．18.已知兩直線，(1)求過兩直線的交點，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；(2)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)的值.19.如圖，點，，在拋物線上，且拋物線的焦點是的重心，為的中點.(1)求拋物線的方程和點的坐標；(2)求點的坐標及所在的直線方程.20.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點，分別為，的中點．(1)取的中點，連接，若平面平面，求證：；(2)已知，，若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面的夾角的余弦值．21.已知點M(1，0)，N(1，3)，圓C：，直線l過點N．(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；(2)若直線l與圓C交于不同的兩點A，B，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：為定值．22.已知點為坐標原點，，，為線段AB上一點，點滿足平分，.(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)直線與曲線的一個交點為(異于點)，求面積的最大值.2022-2023學年度上學期武漢市重點中學聯(lián)合體期末考試高二數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列{an}中的首項a1＝2，且滿足，則此數(shù)列的第三項是()A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推公式直接求解即可.【詳解】因為，且，令，得，令可得,故此數(shù)列第三項為.故選：A2.已知三棱錐中，點、分別為、的中點，且，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算可得出關(guān)于的表達式.【詳解】，所以，.故選：D.3.已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，滿足，若的面積為9，則()A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用化簡得到之間的關(guān)系，即可求得.【詳解】解：；①又，②①-②得：，的面積為，.故選：D4.意大利數(shù)學家斐波那契在1202年著的《計算之書》中記載了斐波那契數(shù)列，此數(shù)列滿足：，且從第三項開始，每一項都是它的前兩項的和，即，則在該數(shù)列的前2022項中，奇數(shù)的個數(shù)為()A.672 B.674 C.1348 D.2022【答案】C【解析】【分析】先考慮前6項的奇偶性，從而可得各項奇偶性的周期性，故可得正確的選項.【詳解】，故，，故各項奇偶性呈現(xiàn)周期性(奇奇偶)，且周期為3，因為，故奇數(shù)的個數(shù)為，故選：C.5.已知空間直角坐標系中的點，，，則點Р到直線AB的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.詳解】，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D．6.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，是充分體現(xiàn)我國勞動人民智慧的一種計數(shù)方法.在算籌計數(shù)法中，用一根根同樣長短和粗細的小棍子(用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成)以不同的排列方式來表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數(shù)(小木棍全部用完)，那么這兩個數(shù)的和不小于9的概率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)兩種情況組成不同的兩個數(shù)，求出總的組合數(shù)，并求出各個組合中兩數(shù)的和，根據(jù)古典概型概率計算方法計算即可．【詳解】用五根小木棍擺成兩個數(shù)，共有兩種擺放方法：第一種是用1根和4根小木棍可以組成：1與4、1與8，其和分別為5、9，共2種；第二種是用2根和3根小木棍可以組成：2與3、2與7、6與3、6與7，其和分別為5、9、9、13，共4種；故用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數(shù)，有2+4=6種不同組合，其中兩個數(shù)的和不小于9的有4種，故所求概率為．故選：A．7.在等差數(shù)列中，是的前項和，滿足，，則有限項數(shù)列，，…，，中，最大項和最小項分別為()A.； B.； C.； D.；【答案】C【解析】【分析】先判斷出，從而得到最小，結(jié)合前者得到給定新數(shù)列中的最大項和最小項.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，，故，，故，公差，，，而，故，，由不等式性質(zhì)可得即同理，故，而，故，，…，，中最大項和最小項分別為；.故選：C.【點睛】，本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的最大項、最小項等，注意把數(shù)列的前和的符號轉(zhuǎn)化為中間項的符號，另外注意不等式性質(zhì)的正確使用，本題屬于難題.8.已知雙曲線：的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若左焦點，連接，由題意知為矩形，設(shè)，則，，，在直角△、直角△中應(yīng)用勾股定理列方程可得，且得到關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可得離心率.【詳解】如下圖，若左焦點，連接，因為A、B關(guān)于原點對稱且，所以為矩形，設(shè)，則，，，在直角△中，即，所以，在直角△中，即，所以故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列結(jié)論中正確的是()A.該試驗樣本空間共有個樣本點 B.C.與為互斥事件 D.與為相互獨立事件【答案】ABD【解析】【分析】由題可得樣本空間及事件樣本點，結(jié)合互斥事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.【詳解】對于A：試驗的樣本空間為：正，正，正，反，反，正，反，反，共個樣本點，故A正確對于B：由題可知正，正，正，反，正，反，反，反，顯然事件，事件都含有“正，反這一結(jié)果，故，故B正確；對于C：事件，事件能同時發(fā)生，因此事件不互斥，故C不正確；對于D：，，，所以，故D正確．故選：ABD.10.等差數(shù)列的前n項和分別為，則下列說法正確的有()A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，等差數(shù)列前項和公式對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】，所以是遞增數(shù)列，A選項正確.，所以，B選項正確.，C選項錯誤當時，，D選項錯誤.故選：AB11.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設(shè)點的軌跡為圓，則下列說法正確的是()A.圓的方程是B.以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為C.過點作直線，若圓上恰有三個點到直線的距離為，則該直線的斜率為D.過直線上的一點向圓引切線、，則四邊形的面積的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，利用求動點的軌跡方程的步驟即可求解；對于B，利用圓的直徑式方程及兩圓的方程直接相減即可求解兩圓相交公共弦所在的直線；對于C，根據(jù)已知條件及直線的點斜式方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解；對于D，將求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積，利用勾股定理及點到直線間的距離公式即可求解.【詳解】對于A，因為，點滿足，設(shè)，則，化簡得，即，故A正確；對于B，以為直徑的圓的方程為，即，所以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為,即，故B錯誤；對于C，易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，因為圓上恰有三個點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得四邊形，故只需求的最小值即可，的最小值為點到直線的距離，即，所以四邊形的面積的最小值為，故D正確.故選：AD.12.拋物線的光學性質(zhì)為：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點處的切線．已知拋物線上任意一點處的切線為，直線交拋物線于，，拋物線在，兩點處的切線相交于點．下列說法正確的是()A.直線方程為B.記弦中點為，則平行軸或與軸重合C.切線與軸的交點恰在以為直徑的圓上D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)為，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理用表示出，即可判斷A項；根據(jù)已知可推出，是一元二次方程的兩組解，又直線方程為，兩式比較可得，，即可判斷B項；通過求出、點坐標，推導以及，即可判斷C項；根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，結(jié)合已知條件，可推出∽，進而推得.【詳解】設(shè)為，，與拋物線聯(lián)立得，必有，，，∴，，代回方程整理得：，A項錯誤；由已知，拋物線在點處的切線切線：，在兩點處的切線，設(shè)點，則滿足方程組，則可知，是一元二次方程的兩組解，由經(jīng)過兩點，的直線有且僅有一條，故方程為，變形為，又直線方程為，兩式對應(yīng)系數(shù)得，，所以平行軸或與軸重合，B項正確；如圖，記切線與軸的交點，，，∴，∴，同理切線與軸交點，亦有，故，所以，，，四點共圓，且為直徑，C項正確；如圖，記切線與軸的交點為，過作軸平行線，由拋物線光學性質(zhì)，，由等腰、直角、，，，四點共圓(對同弦圓周角相等)，可得如圖五個角相等；同理，五個角相等．則∽，∴，D項正確．故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若雙曲線的一個焦點為，兩條漸近線互相垂直，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線相互垂直求得的關(guān)系式，結(jié)合求得.【詳解】依題意，由于雙曲線兩條漸近線互相垂直，所以，由于，所以.故答案為：14.甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨立，則恰好進行了4局結(jié)束比賽的概率為______．【答案】【解析】【分析】分兩種情況討論，(1)甲第一局贏，第二局輸，第三、四局贏；(2)乙第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，即得解.【詳解】由題得恰好進行了4局結(jié)束比賽，有兩種情況：(1)甲第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，此時；(2)乙第一局贏，第二局輸，第三、四局贏，此時；所以恰好進行了4局結(jié)束比賽的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查獨立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15.在直三棱柱中，，，，M是的中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，若，則異面直線與夾角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合，求，再利用空間向量求異面直線夾角.【詳解】設(shè)，則，，，，，可得：，，∵，則，得，故，，∴，故異面直線與夾角的余弦值為.故答案為：.16.已知橢圓的離心率為，右焦點為，點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于，兩點．若的周長為，則橢圓的方程為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率化簡橢圓方程，由兩點間距離公式與勾股定理計算的周長后求解【詳解】橢圓的離心率為,則，橢圓方程為設(shè)，連接OM，OP，由相切條件知：，，，同理得，由題意得PF2Q的周長為∴橢圓C的方程為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項和為,且滿足，．(1)求和；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件得到是方程的兩實根，從而求出；再利用等差數(shù)列的通項公式求，，從而求和；(2)根據(jù)求出，，，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列得到，從而求出的值.【詳解】(1)因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又，所以是方程的兩實根，又公差，所以，所以，所以，，所以，所以，.(2)由(1)知，所以，所以，，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，解得或(舍)，所以.18.已知兩直線，(1)求過兩直線的交點，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；(2)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)的值.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)求出交點坐標，分直線過原點和不過原點兩類情況求直線方程；(2)三條直線不能構(gòu)成三角形分類：某兩條直線斜率相等或者三條直線交于一點.【詳解】(1)聯(lián)立直線方程解得，交點坐標，當直線過原點時，在兩坐標軸上截距相等均為0，直線方程，當直線不過原點時，設(shè)其方程，過得，所以直線方程綜上：滿足題意的直線方程為，(2)直線與，不能構(gòu)成三角形當與平行時：當與平行時：當三條直線交于一點，即過點，則綜上所述實數(shù)的值為【點睛】此題考查求直線交點坐標，截距問題，兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用，易錯點在于截距相等時忽略掉截距為0，三條直線不能構(gòu)成三角形情況討論不全面導致漏解.19.如圖，點，，在拋物線上，且拋物線的焦點是的重心，為的中點.(1)求拋物線的方程和點的坐標；(2)求點的坐標及所在的直線方程.【答案】(1)；(2)；【解析】【分析】(1)將代入求得值，得到點的坐標；(2)設(shè)點的坐標為，根據(jù)即可求出線段中點的坐標；由得,再求出直線所在直線的方程.【小問1詳解】由點在拋物線上，有，解得.所以拋物線方程為，焦點的坐標為.【小問2詳解】由于是的重心，是線段的中點，所以，設(shè)點的坐標為，則，，解得，所以點的坐標為，由得，因為為為的中點，故，所以，因此所在直線的方程為，即.20.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點，分別為，的中點．(1)取的中點，連接，若平面平面，求證：；(2)已知，，若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過證明平面來證得.(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】平面平面，且交線為，過點作的垂線，垂足記為，由于平面，所以平面，由于平面，所以，又平面，平面，所以，由于是平面內(nèi)的相交直線，所以平面，由于平面，所以.【小問2詳解】由于，，所以，所以，由于平面，平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標原點，向量，，方向分別為，，軸建立空間直角坐標系．設(shè)，則，，，故，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，故，易得平面的一個法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．21.已知點M(1，0)，N(1，3)，圓C：，直線l過點N．(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；(2)若直線l與圓C交于不同的兩點A，B，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：為定值．【答案】(1)或