第06講 雙曲線 高頻考點精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練（藝考生基礎版）

第第頁第06講雙曲線(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：雙曲線的定義及其應用角度1：雙曲線定義角度2：利用雙曲線定義求軌跡方程角度3：利用雙曲線定義解決焦點三角形問題題型二：雙曲線的標準方程題型三：雙曲線的簡單幾何性質角度1：漸近線角度2：離心率題型四：與雙曲線有關的最值和范圍問題第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.知識點二：雙曲線的標準方程和簡單幾何性質標準方程（）（）圖形性質范圍或或對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標，,漸近線離心率，，間的關系知識點三：等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識點四：雙曲線與漸近線的關系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：雙曲線的定義及其應用角度1：雙曲線定義典型例題例題1．（2022·四川省綿陽江油中學高二期中（文））雙曲線上的點到左焦點的距離為6，則到右焦點的距離為（

）A． B．10 C．或10 D．【答案】B【詳解】由題知雙曲線，所以，記左，右焦點分別為，所以根據(jù)定義得，因為,所以或，因為時，，即不滿足題意，所以，故選B例題2．（2022·全國·高三專題練習）已知點，，動點滿足，當為3和5時，點的軌跡分別是（

）A．雙曲線的右支 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線【答案】D【詳解】錯解：當a＝3時，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故點P的軌跡為雙曲線的右支；當a＝5時，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故點P的軌跡為雙曲線的右支；故選：A.錯因：忽略了雙曲線定義中2a＜|F1F2|這一條件.正解：依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選：D.例題3．（2022·四川·石室中學高二階段練習（理））雙曲線的左、右焦點分別為?點位于其左支上，則?（

）A．? B．? C．? D．?【答案】D【詳解】由題意得，，，所以.故選：D.例題4．（2022·遼寧·昌圖縣第一高級中學高二期中）設雙曲線的焦點為，點為上一點，，則為_____.【答案】【詳解】將化為，所以，，由雙曲線的定義，得：，即，所以或（舍）.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習）已知平面內兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，因為，所以由雙曲線的定義知，當時，動點的軌跡為雙曲線，故選：C.2．（2022·浙江·桐鄉(xiāng)市茅盾中學高二階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】由雙曲線方程知：；根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.故選：B.3．（2022·全國·高二課時練習）已知，，若點滿足，則P點的軌跡為（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．一條射線【答案】D【詳解】已知，，點滿足，且，即，可知點在線段的延長線上，故P的軌跡方程為一條射線．故選：D．4．（2022·全國·高二課時練習）雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線上，若，則______．【答案】6【詳解】由雙曲線方程得，由雙曲線定義得，故答案為：6．角度2：利用雙曲線定義求軌跡方程典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)學家華羅曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題，結合上述觀點，可得方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得4表示點（x，1）到定點（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，由雙曲線的定義可知，點（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點，的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，令可得，因為，所以，即方程的解是，故選：C.例題2．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學高二階段練習）已知平面內兩定點，，動點滿足，則點的軌跡方程是___________.【答案】【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，設雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.故答案為：.例題3．（2022·全國·高二單元測試）已知圓：和圓：，動圓同時與圓及圓外切，則動圓的圓心的軌跡方程為______．【答案】【詳解】如圖所示，設動圓與圓及圓分別外切于點和點，根據(jù)兩圓外切的條件，得，．因為，所以，即，所以點到兩定點，的距離的差是常數(shù)且小于．根據(jù)雙曲線的定義，得動點的軌跡為雙曲線的左支，其中，，則．故點的軌跡方程為．故答案為：.例題4．（2022·全國·高三專題練習）已知定點和動點，為的中點，為坐標原點，且滿足.求點的軌跡方程.【答案】【詳解】如圖，取連接，，，由雙曲線定義知，點P的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，，，所以點的軌跡方程為：.同類題型歸類練1．（2022·全國·高二單元測試）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1【答案】A【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為______.【答案】【詳解】設動圓圓心的坐標為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．故答案為：3．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）在平面直角坐標系中，已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，設點的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.【答案】.【詳解】因為在線段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：4．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的兩個焦點分別為，雙曲線上一點到的距離之差的絕對值等于，求該雙曲線的標準方程．【答案】【詳解】因為雙曲線的焦點在x軸上，所以可設它的標準方程為，因為，所以，又因為，所以，故雙曲線的標準方程為.角度3：利用雙曲線定義解決焦點三角形問題典型例題例題1．（2022·福建·永安市第九中學高二期中）設，是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，若，，，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A．90° B．45° C．60° D．30°【答案】C【詳解】設，，由雙曲線的定義可知，又，，，可得，，即，解得，，可得雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的夾角為.故選：C例題2．（2022·浙江大學附屬中學高二期中）設，分別是雙曲線的左?右焦點，是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.故選：C.例題3．（2022·全國·高二單元測試）過雙曲線的左焦點作一條直線交雙曲線左支于，兩點，若，是雙曲線的右焦點，則的周長是___________.【答案】24【詳解】由雙曲線定義知：，所以，，而，故，故的周長為.故答案為：24例題4．（2022·江蘇·高二期中）設雙曲線的兩個焦點分別為、，為雙曲線上一點，若，則______．【答案】0【詳解】由題意得，，聯(lián)立，因此，則．故答案為：0.例題5．（2022·江蘇·高二課時練習）已知雙曲線的焦點為，，點在雙曲線上，且，求的面積．【答案】【詳解】因為雙曲線的方程為，所以可得，因為，所以，因為所以，所以的面積為同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）雙曲線的兩個焦點為、，點在雙曲線上，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】設點，由雙曲線可知、，∵，∴，∴，代入雙曲線方程，∴，∴，∴，∴到軸的距離是．故選：B．2．（2022·江蘇泰州·高二期中）橢圓與雙曲線有公共點P，則P與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為_________．【答案】24【詳解】由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點，，由橢圓定義可知：，故P與雙曲線兩焦點的距離之和為14，又，因此P與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為.故答案為：243．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期中）已知雙曲線的焦點為，，過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，若則等于________.【答案】8【詳解】雙曲線的實軸長過左焦點交雙曲線左支于A、B兩點，則，又,則故答案為：84．（2022·河北·高三階段練習）已知雙曲線的左右焦點分別是，，實軸長為4，過的直線與雙曲C線的右支交于A，B兩點，若是和的等差中項，則的周長為______．【答案】24【詳解】解：由是和的等差中項得，根據(jù)雙曲線的定義知，，兩式相加得，即，，故的周長為，因為，所以的周長為24．故答案為：5．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二階段練習（理））已知雙曲線的離心率，左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，若，則__________.【答案】【詳解】由已知得，且，解得，又雙曲線的離心率，所以，即.故答案為：.題型二：雙曲線的標準方程典型例題例題1．（2022·江西撫州·高二期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，，則或.故選：A例題2．（2022·四川·閬中中學高二期中（文））與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的焦點在軸上，且焦點為，所以橢圓的焦點在軸上，且，依題意，橢圓短半軸，則，所以橢圓的方程為.故選：B例題3．（2022·北京市十一學校高二期中）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得：雙曲線的焦點在軸上，設雙曲線方程為，，故，又，故，故雙曲線的標準方程為：.故選：C例題4．（2022·上海市吳淞中學高三開學考試）已知雙曲線的焦距為，點在的一條漸近線上，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為焦距為，故半焦距為，故，因為在一條漸近線上，故，解得，故雙曲線方程為：.故選：B.例題5．（2022·上海市控江中學高二期末）經(jīng)過兩點，的雙曲線的標準方程為______．【答案】【詳解】設雙曲線方程為，依題意有，解得，所以所求雙曲線的標準方程為：.故答案為：同類題型歸類練1．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學高二階段練習）若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【詳解】由題設，，可得.故選：D2．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期中）與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以設所求雙曲線方程為且，雙曲線的漸近線方程為，所以，即聯(lián)立，解得.所以雙曲線方程為.故選：B.3．（2022·山西臨汾·二模（理））已知雙曲線經(jīng)過點，，則其標準方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A【詳解】設雙曲線方程為則，解的所以雙曲線的方程為故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為雙曲線的下、上焦點分別為，，所以設雙曲線的方程為，半焦距為；又因為是雙曲線上一點且，所以，即，則；所以雙曲線的標準方程為.故選：C.5．（2022·上海市控江中學高二期中）已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】根據(jù)題意得，要使表示雙曲線，只需要即可，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型三：雙曲線的簡單幾何性質角度1：漸近線典型例題例題1．（2022·黑龍江·高二期中）已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線的離心率為，得，所以，又雙曲線的漸近線方程為，所以漸近線方程為，即．故選:A．例題2．（2022·江蘇·南京師大附中高二期中）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由雙曲線方程知：，，而漸近線方程為，所以雙曲線漸近線為.故選：B例題3．（2022·吉林長春·模擬預測）已知雙曲線的兩條漸近線與直線分別相交于，兩點，且線段的長等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：雙曲線的兩條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為又兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點，所以則，所以，故漸近線方程為.故選：B.例題4．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）雙曲線，寫出一個與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程______．【答案】（答案不唯一）【詳解】與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線方程可設為，當時，得到雙曲線方程為，顯然該雙曲線與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同，故答案為：同類題型歸類練1．（2022·安徽·蒙城第一中學高二期中）已知雙曲線過點，且與雙曲線：有相同的漸近線，則雙曲線的焦距為（

）A．7 B．14 C． D．【答案】B【詳解】設雙曲線：，將代入可得.故雙曲線：，則，則焦距.故選：B2．（2022·四川省綿陽南山中學高二期中（理））已知雙曲線的右焦點為，過F和兩點的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】右焦點為，則，過F和兩點的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則，，，雙曲線方程為．故選：B．3．（2022·江蘇省儀征中學高二期中）已知雙曲線的焦距為4，焦點到漸近線的距離是1，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為B．的標準方程為C．的漸近線方程為D．直線經(jīng)過的一個焦點【答案】ABD【詳解】由題意得：雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為，即，則，解得：，則，解得：，所以的離心率為，A正確；的標準方程為，B正確；的漸近線方程為，C錯誤；在直線上，故經(jīng)過的一個焦點，D正確.故選：ABD4．（2022·陜西西安·模擬預測（文））若雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)___________．【答案】9【詳解】由題知雙曲線的焦點在軸上，所以即解得故答案為：9.角度2：離心率典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）【答案】C【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，所以雙曲線的離心率．故選：C.例題2．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二期中）設，是雙曲線：的兩個焦點，雙曲線與以為圓心為半徑的圓在第一象限的交點為，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．13 D．【答案】D【詳解】∵，又由雙曲線定義可知，所以，∵P在以為直徑的圓上，則，由，得，故，所以.故選：D．例題3．（2022·江西撫州·高二期中）已知雙曲線：的左焦點為，直線過原點且與雙曲線交于，兩點，若直線與直線：相互垂直，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取雙曲線的右焦點為，連接，作圖如下：因為，易知四邊形為矩形，又直線的斜率，則，故△為等邊三角形，則；在△中，，結合雙曲線的定義可得，解得.故選：C.例題4．（2022·甘肅·蘭州五十一中高三期中（理））過雙曲線的右焦點F作一條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為______．【答案】【詳解】雙曲線的漸近線為，由題意得，則，故答案為：例題5．（2022·湖北·高三期中）設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若過點且斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_______________.【答案】【詳解】由題可知雙曲線的漸近線方程為，由于過點且斜率為的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，則，因此，，又，所以，該雙曲線的離心率為取值范圍是.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·貴州貴陽·模擬預測（理））已知雙曲線的右焦點為，點是其漸近線上的一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【詳解】由題可知，雙曲線漸近線為，則右焦點到漸近線距離為，所以，故選：A．2．（2022·山東德州·高二期中）已知為雙曲線上點．則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為為雙曲線上點，所以，解得或（舍），所以雙曲線的方程為，所以，所以，解得或（舍），所以該雙曲線的離心率為.故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習）以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為______.【答案】2或【詳解】若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為，則漸近線的方程為，∴由題意可得，∴.若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的方程為，則漸近線的方程為，∴由題意可得∴∴綜述：或.故答案為：或.4．（2022·江蘇·海安高級中學高二期中）是坐標原點，是雙曲線右支上的一點，是的右焦點，延長分別交于兩點，已知，且，則的離心率為______．【答案】【詳解】設雙曲線的左焦點為，由對稱性知是的中點，則四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是矩形，設，則，則，所以在直角中，，所以，解得：或（舍去），所以,因為在直角中，所以，得，解得.故答案為：5．（2022·四川·廣安二中高二期中（理））已知點為雙曲線的左支上一點，為坐標原點，為雙曲線的左，右焦點．且，則雙曲線的離心率為______．【答案】##【詳解】由題意得，則，而，，則，由，得，故答案為：題型四：與雙曲線有關的最值和范圍問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線：，點是的左焦點，若點為右支上的動點，設點到的一條漸近線的距離為，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】過作垂直于雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，則，連接與雙曲線的另一個焦點，如下所示：由雙曲線的定義可知，，又雙曲線方程為，故，又點坐標為，雙曲線的漸近線為，故點到漸近線的距離為，故.故選：B.例題2．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的左焦點為，為雙曲線右支上任意一點，點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【詳解】設雙曲線C的實半軸長為，右焦點為，所以，當且僅當M為的延長線與雙曲線交點時取等號.故選：C．例題3．（2022·全國·高二課時練習）已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【詳解】設右焦點為，則，依題意，有，，（當在線段上時，取等號）．故的最小值為9.故選：A.例題4．（2022·全國·高二課時練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為?，點?分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，則取得最小值為___________.【答案】##【詳解】依題意，，，不妨取其中一條漸近線為，由雙曲線的定義知，，，則，當?