專題6.1 等差數(shù)列及其前n項和【九大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁專題6.1等差數(shù)列及其前n項和【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量計算】 2【題型2等差中項及其應(yīng)用】 3【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用】 4【題型4等差數(shù)列的判定與證明】 6【題型5等差數(shù)列通項公式的求解】 8【題型6等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】 11【題型7求等差數(shù)列的前n項和】 13【題型8求等差數(shù)列的前n項和的最值】 15【題型9等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】 171、等差數(shù)列及其前n項和等差數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數(shù)列的基本量計算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項性質(zhì)、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等；高考中數(shù)列內(nèi)容一般設(shè)置一道選擇題和一道解答題，需要靈活求解.【知識點1等差數(shù)列的基本運算的解題策略】1.等差數(shù)列的基本運算的兩大求解思路：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【知識點2等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論】1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.【知識點3等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用】1.項的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，Sn為其前n項和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項和的最值的常用方法：(1)鄰項變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【題型1\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"等差數(shù)列通項公式的基本量計算"等差數(shù)列的基本量計算】【例1】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)an為等差數(shù)列，若a3+2a1=1,a4=5，則公差d=（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【解題思路】由等差數(shù)列的基本量法列方程組求解．【解答過程】由題意得3a1+2d=1故選：D.【變式1-1】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足：?m，n∈N*，am+n=amA．1 B．2 C．3 D．2022【解題思路】令m=1，則an+1=a【解答過程】令m=1，則a故an+1?a故數(shù)列an∴∴a故選：A.【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程組，解方程求出a1,d，即可求出a【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．由條件可知a1所以an=?1+2n?1由Sn?2an=6，得n2?2n?2故選：B．【變式1-3】（2023·浙江杭州·校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an，記Sn為數(shù)列an的前n項和，若a1=1，S7=5A．1 B．2 C．?1 D．?2【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及通項公式可得出關(guān)于d的等式，解之即可.【解答過程】在等差數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n由S7=5a5可得7a故選：D.【題型2等差中項及其應(yīng)用】【例2】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+A．?12 B．12 C．2【解題思路】利用等差中項求解即可.【解答過程】因為數(shù)列{a所以a2+a所以cosa故選：A.【變式2-1】（2023·四川涼山·三模）在等差數(shù)列an中，a2+a4=2，A．3 B．5 C．7 D．9【解題思路】由等差中項性質(zhì)得a3=1，利用等差數(shù)列通項公式求基本量公差d，進而寫出通項公式，即可得【解答過程】由題設(shè)a2+a4=2若等差數(shù)列公差為d，則d=a所以，an通項公式為an=故選：C.【變式2-2】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項a1=1，公差d>0，數(shù)列bn滿足bn=aA．14 B．12 C．1【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及定義可得結(jié)果.【解答過程】易知an=dn?d+1，d>0，又因為bn所以b1,b2,化簡得d=14，此時an=14n+故選：A.【變式2-3】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列an中，a2=2，當n≥3時，an?1，12an，aA．k B．k?1 C．2k D．k?2【解題思路】依題意可得數(shù)列an的遞推關(guān)系a【解答過程】當n≥3時，an?1，12an，由于a2=2，則故選：D.【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用】【例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知遞增數(shù)列an是等差數(shù)列，若a4=8，3a2A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【解題思路】設(shè)數(shù)列an的公差為d（d>0），解法一：根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求a1,d，即可得結(jié)果；解法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并以a【解答過程】解法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d（d>0因為a4=8，則a1+3d=23所以a2024解法二：設(shè)數(shù)列an的公差為d（d>0由3a2+又因為a4=8，即48=8?2d所以a2024故選：C．【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，則“m=4”是“a2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知可得充分性成立；舉例即可說明必要性不成立.【解答過程】當m=4時，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2當an為常數(shù)列時，有a由a2+am+因此“m=4”是“a2故選：A．【變式3-2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a3+a5=14，A．33 B．16 C．13 D．12【解題思路】由等差數(shù)列的性質(zhì)，a2+a6=a3得解.【解答過程】由等差數(shù)列的性質(zhì)，a2+a6=a3+a5=14，又a∴a故選：C.【變式3-3】（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3a9=8，1A．22 B．4 C．43 【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到1a【解答過程】1a3+故選：C.【題型4等差數(shù)列的判定與證明】【例4】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列an各項為正數(shù)，bn滿足an2=A．bn是等差數(shù)列 B．bC．bn是等差數(shù)列 D．b【解題思路】分析可知數(shù)列bn的每一項都是正數(shù)，由已知條件可得出b【解答過程】因為數(shù)列an各項為正數(shù)，bn滿足an故對任意的n∈N?，bn+1所以，數(shù)列bn所以，bnbn+1由等差中項法可知，數(shù)列bn故選：C.【變式4-1】（2023上·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（

①a2n

②an+an+1

A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷．【解答過程】設(shè){an}對于①，a2a2n對于②，anan對于③，3an+1?(3對于④，若an=n?5，則故選：C．【變式4-2】（2023上·天津薊州·高二校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列an滿足a(1)求an(2)證明：數(shù)列2kan（【解題思路】（1）由數(shù)列遞推式求出首項，再得出n≥2時，a1+3a（2）由（1）的結(jié)果可得2ka【解答過程】（1）由題意知數(shù)列an滿足a則n=1時，a1當n≥2時，a1則②-①得：2n?1an=2，故a故an（2）由（1）得2kan=k(2n?1)則bn+1故數(shù)列2kan（【變式4-3】（2023上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，Tn為數(shù)列Sn的前(1)求S1，S(2)求證：數(shù)列1S(3)求數(shù)列an【解題思路】（1）直接令1Tn=Sn（2）通過1Tn=Sn（3）當n≥2時，通過an=Sn?【解答過程】（1）由1Tn=Sn當n=1時，1T1=當n=2時，1T2=（2）對于1T當n≥2時，1T①÷②得Tn?1即Sn?1=S又1S∴數(shù)列1S（3）由（2）得1S∴S當n≥2時，an又n=1時，a1=S∴a【題型5等差數(shù)列通項公式的求解】【例5】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數(shù)列an前n項的乘積，若a1【解題思路】（1）利用a6+a（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進行分情況討論，從而求解.【解答過程】（1）設(shè)an的公差為d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通項公式為an=2（2）因為a1<0，所以：得：當n≤5時，an<0；當n≥6時，從而T1又因為：T2=a1a故Tn的最大值為945【變式5-1】（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，且a1=1(1)當d取最大值時，求通項an(2)在（1）的條件下，求數(shù)列15n+1an的前n【解題思路】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得d=am?a1m?1=an（2）裂項相消即可.【解答過程】（1）由已知得d>0，數(shù)列an單調(diào)遞增，不防設(shè)am=16,∴d=am?a1∵m與n越小，d越大，∴n?1=5m?1=3，∴m=4n=6，∴d=5（2）由（1）知：an=5n?4，∴15n+1∴S=1【變式5-2】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且an(1)求an(2)若bn=3anan+1，數(shù)列b【解題思路】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“an=S（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和推理作答即可.【解答過程】（1）解：當n=1時，a1因為an>0，所以當n≥2時，an即an因為an>0，所以所以an是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，故a（2）證明：因為bn所以Tn因為n∈N?，所以，Tn【變式5-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知常數(shù)λ≠0，數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)若cn=3n+【解題思路】（1）由a1=1和ann?1=Sn（2）根據(jù)數(shù)列cn是單調(diào)遞增數(shù)列，得到3n+(?1)n【解答過程】（1）因為ann?1=因為an+1所以an+1化簡得：an+1?a在an當n=2時，得a2∴數(shù)列{an}是以1故an=1+2λ(n?1)，（2）∵cn=3即3n+(?1)①當n是奇數(shù)時，?1+(2n?1)λ<3n，令f(n)=?3n+1f(n+2)?f(n)=?3f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…，且f(1)=?4，故λ>?4；②當n是偶數(shù)時，1+(2n?1)λ<3n，λ<3令g(n)=3n?1因為g(n+2)?g(n)=3所以g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…，且g(2)=83，所以綜上可得：實數(shù)λ的取值范圍是?4,8【題型6等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例6】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S9=18,SA．9 B．212 C．12 D．【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得S3，S6?【解答過程】由已知S3，S6?S3，S所以2×S6?3故選：A．【變式6-1】（2023上·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）在等差數(shù)列{an}中，a1=?2024，其前n項和為Sn，若A．2023 B．-2023 C．-2024 D．2024【解題思路】設(shè){an}公差為d【解答過程】由{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為所以Snn=a1由S1010?所以S所以S20242024故選：C.【變式6-2】（2023上·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an與等差數(shù)列bn的前n項和分別為Sn與Tn,且SnA．2921 B．2911 C．5821【解題思路】由等差數(shù)列性質(zhì)可得a3b11+a9b11=【解答過程】因為數(shù)列an、bn都是等差數(shù)列,所以又S11=11故a6=S1111在SnT2n?1=5n+3故a3故選：D.【變式6-3】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)等差數(shù)列an的公差為d，共前n項和為Sn，已知S16>0，A．a(chǎn)1>0，d<0 B．S8與SC．a(chǎn)8+a【解題思路】由等差中項性質(zhì)與等差數(shù)列前n項和公式即可求解.【解答過程】依題意，因為S16S17所以a8由a8+a所以d=a9由a8=a所以a1對于B：因為S9=S因此，S8與S9不可能同為故選：B.【題型7\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差數(shù)列中的最大（?。╉?求等差數(shù)列的前n項和】【例7】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a2(1)求an及S(2)若bn=an+1Sn?【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據(jù)裂項求和即可求解.【解答過程】（1）設(shè)公差為d，則由a2=3，a1+d=35所以an=1+2（2）bn故Tn【變式7-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知各項均不為零的數(shù)列an的前n項和為Sn，a1(1)求an(2)若Sk≤2023恒成立，求正整數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)題意，當n=1時，求得a2=2，當n≥2時，得到2Sn?1=（2）由（1）求得Sn=nn+12，結(jié)合當k≤63時，S【解答過程】（1）解：由題意，各項均不為零的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a1當n=1時，2a1=當n≥2時，2Sn?1=因為數(shù)列an中各項均不為零，即a所以數(shù)列an中奇數(shù)項是以a偶數(shù)項是以a2當n=2k時，a2k=a當n=2k?1時，a2k?1=a綜上，數(shù)列an的通項公式為a（2）解：由（1）知數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可得S因為Sk≤2023，所以當k≤63時，Sk當k=64時，Sk故正整數(shù)k的最大值為63.【變式7-2】（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，其中a2(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項和為T【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出an（2）由等差數(shù)列的求和公式求出Sn，討論當n≤7時，an=?an，Tn=?【解答過程】（1）設(shè){an}則a2=a所以an（2）因為an=2n?14，所以當n≤7時，an=2n?14≤0，此時Tn當n>7時，an=2n?14>0，此時T=?S綜上所述：Tn【變式7-3】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an前n項和Sn，a1=1，滿足(1)求數(shù)列an(2)記bn=n+1SnSn+2，設(shè)數(shù)列b【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合裂項相消法進行求解即可.【解答過程】（1）依題意有2a∵a1=1又an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d∴d=a2?（2）由（1）可得Sn∴b1=1411?13∴T【題型8\t"/gzsx/zj165996/_blank"\o"求等差數(shù)列中的最大（?。╉?求等差數(shù)列的前n項和的最值】【例8】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且?n∈N?，都有SnA．Sn的最小值是S9 B．SC．Sn的最大值是S9 D．S【解題思路】由Snn<Sn+1n+1結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式可知數(shù)列an為遞增的等差數(shù)列，由S5=【解答過程】由Snn<Sn+1所以數(shù)列an因為S5=S13，所以則a9<0，a10>0，所以當n≤9且當n≥10且n∈N?時，an>0.因此，故選：A.【變式8-1】（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若S12<0，a5+aA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式，可推得a6>0，【解答過程】因為等差數(shù)列an中，S12=所以a1因為a5+a所以a7由an為等差數(shù)列，得n≤6時，an>0；n>6所以當n=6時，Sn故選：D.【變式8-2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差為d，若S10<0，S11>0，則下列四個命題正確個數(shù)為（

）①S5為Sn的最小值

②a6>0

A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得a6>0，a5【解答過程】等差數(shù)列an中，S11=又S10=a1+a10于是可得等差數(shù)列an滿足an+1?an=d>0，其為遞增數(shù)列，則a1則四個命題正確個數(shù)為3.故選：C.【變式8-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S15=30，A．當n=15時，Sn最大 B．當n=16時，SC．數(shù)列Sn中存在最大項，且最大項為S8 D．數(shù)列【解題思路】根據(jù)題意分析可得a1=2?7d，d<?4.對A：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對B：分類討論判斷S15與S【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵S15=15a8=30又∵S16=S對A：∵an為等差數(shù)列，則可設(shè)S由二次函數(shù)可知Sn對B：因為S16當d<?314時，S16當d=?314時，S16當?314<d<?4時，?30<對C、D：∵d<?4<0，則數(shù)列an且a8所以對?n≤8,n∈N*，均有an>0；對所以Sn中，S8最大，故選：C.【題型9等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例9】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）《張丘建算經(jīng)》是我國南北朝時期的一部重要數(shù)學(xué)著作，書中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列，同類結(jié)果在三百年后在印度才首次出現(xiàn)，卷中記載“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”，其意思為：“現(xiàn)有一善于織布的女子，從第二天開始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個月（30天）共織390尺布”，假如該女子1號開始織布，則這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為（

）A．26 B．130 C．4213 【解題思路】根據(jù)題意得：該女子每天的織布量構(gòu)成等差數(shù)列an,該等差數(shù)列的前30項和為390，首項a1=5，設(shè)公差為d，代入等差數(shù)列的前n項和公式，求出d【解答過程】設(shè)第n天的織布量為an,根據(jù)題意得：該女子每天的織布量構(gòu)成等差數(shù)列a該等差數(shù)列的前30項和為390，首項a1=5，設(shè)公差為所以S30=30×5+30×29所以a11所以這個月中旬（第11天到第20天）的織布量為130.故選:B.【變式9-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“均輸”一章有如下問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少．”意思是“今有竹9節(jié)，下部分3節(jié)總?cè)萘?升，上部分4節(jié)總?cè)萘?升，且自下而上每節(jié)容積成等差數(shù)列，問中間二節(jié)容積各是多少？”按此規(guī)律，中間二節(jié)（自下而上第四節(jié)和第五節(jié)）容積之和為（

）A．4722 B．13166 C．12766【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的第5項a5及公差d【解答過程】依題意，令九節(jié)竹子從下到上的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為{an},n∈于是得：a1+a2+所以中間二節(jié)容積之和為a4故選：A.【變式9-2】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50【解題思路】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項為an，首項為a1，公差為d=2，前n項和為Sn，由已知S16=432【解答過程】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項為an，首項為a1，公差為d=2，前n項和為Sn所以S16=16×(所以a16故選：C．【變式9-3】（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2個，這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前10個數(shù)的和為（

）A．754 B．755 C．756 D．757【解題思路】由題意可得除以三余二且除以五余三的正整數(shù)是以8為首項，15為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式即可得解.【解答過程】設(shè)除以三余二的正整數(shù)為數(shù)列an，則a除以五余三的正整數(shù)為數(shù)列bn，則b除以三余二且除以五余三的正整數(shù)為數(shù)列cn而3和5的最小公倍數(shù)為15，則數(shù)列cn是由數(shù)列an和數(shù)列cn是以8為首項，15則cn所以前10個數(shù)的和為10×8+143故選：B.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若a2+aA．25 B．22 C．20 D．15【解題思路】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列an的公差和首項，再根據(jù)前n方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列an的公差，再根據(jù)前n【解答過程】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項為aa2+a又a4a8所以S5故選：C.方法二：a2+a6=2a4從而d=a8?所以S5故選：C.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列an的公差為2π3，集合S=cosann∈NA．－1 B．?12 C．0 【解題思路】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【解答過程】依題意，等差數(shù)列{an}顯然函數(shù)y=cos[2π3n+(a則在cosa1,cosa于是有cosθ=cos(θ+2π所以k∈Z，ab=故選：B.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【解答過程】方法1，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為則Sn因此{S反之，乙：{Snn}為等差數(shù)列，即即nan+1?Sn兩式相減得：an=nan+1?(n?1)因此an所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：an為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列an的首項a1，公差為d則Snn=反之，乙：{Snn即Sn=nS當n≥2時，上兩式相減得：Sn?S于是an=a因此an所以甲是乙的充要條件.故選：C.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)an是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當n>N0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，記x為不超過x若an為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0若a1≥0，則當n≥2時，an>a由an=a1+n?1d>0可得n>1?所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當n>N若存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0，取k∈假設(shè)d<0，令an=ak+當n>k?akd+1時，a所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當n>N所以，“an是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當n>N故選：C.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和．若2S3=3S【解題思路】轉(zhuǎn)化條件為2a【解答過程】由2S3=3S2即2a1+2故答案為：2.6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知an為等差數(shù)列，bn=an?6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記Sn(1)求an(2)證明：當n>5時，Tn【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，用a1,d表示S（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數(shù)列前【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1+6d=32所以數(shù)列an的通項公式是a（2）方法1：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數(shù)時，bn?1Tn當n>5時，Tn?S當n為奇數(shù)時，Tn當n>5時，Tn?S所以當n>5時，Tn方法2：由（1）知，Sn=n(5+2n+3)當n為偶數(shù)時，Tn當n>5時，Tn?S當n為奇數(shù)時，若n≥3，則T=32n2+52當n>5時，Tn?S所以當n>5時，Tn7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>1．令bn=n2+na(1)若3a2=3(2)若bn為等差數(shù)列，且S99?【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；（2）由{bn}為等差數(shù)列得出a1=d【解答過程】（1）∵3a2=3a1∴S又T3∴S即2d2?7d+3=0，解得d=3∴a（2）∵{b∴2b2=∴6(1a2?1a3∵d>1，∴a又S99?T99=99∴a50?2550a50=1當a1=2d時，a50=a當a