專題8.3 雙曲線綜合【九大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁(yè)專題8.3雙曲線綜合【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙曲線的定義及應(yīng)用】 3【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】 5【題型3雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】 10【題型4求雙曲線的離心率或其取值范圍】 12【題型5雙曲線中的最值問題】 16【題型6雙曲線的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問題】 18【題型7雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】 24【題型8雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題】 27【題型9雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】 341、雙曲線綜合圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，雙曲線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考查雙曲線的定義、方程、性質(zhì)以及直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，選擇、填空題中難度中等，解答題中難度偏大，需要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1雙曲線方程的求解方法】1．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為.【知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論】1．雙曲線的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，,為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為.【知識(shí)點(diǎn)3雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.【知識(shí)點(diǎn)4雙曲線中的最值問題的解題策略】1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.【知識(shí)點(diǎn)5雙曲線的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦問題”】1．弦長(zhǎng)問題①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.2．“中點(diǎn)弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.【題型1雙曲線的定義及應(yīng)用】【例1】（2023·四川達(dá)州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則F1P+FA．5 B．6 C．8 D．12【解題思路】由雙曲線的定義知F1P?PF2=2a=4【解答過程】雙曲線C：x24?y2由雙曲線的定義知：F1P?PQ=所以F=F故選：C.【變式1-1】（2023·江西吉安·一模）已知A為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn),F1為C的右焦點(diǎn),過點(diǎn)A的直線與圓O:A．2asinθ B．sinθ4a C．【解題思路】畫出圖像，根據(jù)條件解兩個(gè)三角形即可.【解答過程】設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)P,在Rt△APF1中,sin∠BA在Rt△PBF1中,sin(π?θ)=故選:A.【變式1-2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C：x2?y224=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程求出a,b,c的值，由雙曲線的定義可得AF1+【解答過程】由雙曲線C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由雙曲線的定義可得AF1?所以AF由雙曲線的性質(zhì)可知：AF2≥c?a=4，令A(yù)所以AF1+所以當(dāng)t=4時(shí)，取得最小值4+44+2=7，此時(shí)點(diǎn)A即AF1+故選：C.【變式1-3】（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知雙曲線x29?y24=1，F(xiàn)1,F2A．10 B．15 C．25 D．【解題思路】先由題意得出a，b，c，PF1?PF2，利用余弦定理計(jì)算出【解答過程】

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為xp由題意可知a2=9，b2則a=3，b=2，c=13，P在△F1P即?35=因?yàn)閏os∠F1因?yàn)镾△所以12×5×4又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x29?則PO=故選：A.【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1A．y24?C．y23?【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理得出P?abc【解答過程】設(shè)F1為雙曲線的下焦點(diǎn)，F(xiàn)如圖所示，過點(diǎn)P作PH⊥F1F

因?yàn)镻F1=3因?yàn)镻O=b,所以PF22故12OP?因?yàn)镠O|2+HP|將P?abc即b2c2b4解得b2a2=2或故選：B.【變式2-1】（2023·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A．x29?C．x26?【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出F2A,F1A，在△AF【解答過程】因?yàn)镕1A=2又因?yàn)辄c(diǎn)A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°則S△AF1則F1F2所以b2所以C的方程為x2故選：B.【變式2-2】（2023·四川樂山·三模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線H：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)．過F1作圓O：x2+y2=b2的一條切線FA．x22?C．x2?y【解題思路】由雙曲線定義，△OMT的面積，直角△OTF1中的銳角三角函數(shù)和△F1MF2【解答過程】由圓O的方程x2+y又∵OT⊥F1T，∴在直角△OT且sin∠T在△OMT中，OT⊥MT，△OMT的面積S△OMT∴MT=在△F1M由正弦定理，F(xiàn)1∴MF∴由雙曲線定義，MF又∵F1T=a，MT∴5b2?2a=a?2∵∠F1TO為直角，∴易知∠F1在△F1M∴4c∴4a2+4∴b=a.又∵3a=5b2+2b∴雙曲線H的方程為：x2故選：D.【變式2-3】（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過F1作圓O：x2+y2=b2的一條切線A．x22?C．x2?y【解題思路】由雙曲線定義，△OPT的面積，直角△OTF1中的銳角三角函數(shù)和△F1PF2中的正弦定理、余弦定理建立【解答過程】

由圓O的方程x2+y又OT⊥F1T，在直角△OT且sin∠T在△OPT中OT⊥PT，則S△OPT=OT在△F1PF由正弦定理，F(xiàn)1F2∴由雙曲線定義，PF1=PF2?2a=∴5b2?2a=a?1∵∠F1TO為直角，易知∠F1在△F1PF∴4c∴4a2+4∴b=a.又3a=5b2+1b∴雙曲線C的方程：x2故選：A.【題型3雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】【例3】（2023·廣西南寧·一模）設(shè)F1、F2是雙曲線C:x28?y210=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A．5 B．8 C．10 D．12【解題思路】由題意可知P在以F1F2為直徑的圓上，由雙曲線的定義與三角形面積公式可求得S【解答過程】由題可知，F(xiàn)1?32因?yàn)镺P=所以|OP|=1所以點(diǎn)P在以F1即△F1F故PF12又||PF所以32=||PF解得PF所以S△則△PF故選：A.【變式3-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A?2,0，A′2,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足4kAP?kA′P=1，圓E：x2+y2=5與點(diǎn)A．5+6 C．5+26 【解題思路】根據(jù)題意先求出點(diǎn)P的軌跡方程，再畫出圖像，進(jìn)而利用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)得到△MBC的周長(zhǎng).【解答過程】設(shè)Px,y，根據(jù)4kAP?kA′P=1所以由4kAP?kA′P=1得第二步：設(shè)MC=d，由題意不妨令B?5,0，C5,0，則不妨設(shè)M在第一象限，MC=d，則MB=4+d，根據(jù)圓的性質(zhì)可知所以4+d2+d故MC+MB=4+2d=26,故選：D.【變式3-2】（2023·四川·一模）已知雙曲線E:x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A2,3是E上一點(diǎn)，直線AF【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，|BF2|?BF1=2，AF1?|AF2|=2【解答過程】由題意，點(diǎn)A2,3在雙曲線E的右支上，點(diǎn)B在雙曲線E根據(jù)雙曲線的定義，|BF2|?從而|BF2|=2+BF1，又|AB|=AF1?B所以△ABF2的周長(zhǎng)故答案為：10．【變式3-3】（2023·廣東韶關(guān)·一模）已知雙曲線C:x23?y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，以F1F2【解題思路】設(shè)MF2=n，MF1【解答過程】設(shè)MF2=n由M在以F1F2故MF12由雙曲線C:x23即m2又因?yàn)閙?n=23，則m可得mn=2,(m+n)則p2所以p2故答案為：40.【題型4求雙曲線的離心率或其取值范圍】【例4】（2023·新疆·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、A．3 B．2 C．5 D．6【解題思路】由題意結(jié)合勾股定理的逆定理可得∠OAF1=90°，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可得2∠OF1【解答過程】由F1B=2b，F(xiàn)則有F1A=b、OA=a、故∠OAF1=90°，又F則∠OF1A=∠OBA∠AOF1=90°?∠O即∠OF1A=30°即ba=tan故選：B.【變式4-1】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上除頂點(diǎn)外的一點(diǎn)，PF1=3A．72,2 B．72,3 C．【解題思路】設(shè)出PF2=m(m>0),PF1=3m,∠F1【解答過程】

設(shè)PF2=m(m>0),則F1所以C的離心率e=ca=所以cosθ∈?1,12，所以故選：A.【變式4-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過A．273 B．233 C．【解題思路】求出直線與漸近線交點(diǎn)，利用AF2=2【解答過程】聯(lián)立y=33x?cy=b所以AFAF由AF2=2即b=2a2+又因?yàn)閏2=a所以雙曲線的離心率e=c故選：C．【變式4-3】（2023·湖南·一模）如圖，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與CA．102 B．253 C．30【解題思路】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長(zhǎng)定理與余弦定理即可求解.【解答過程】設(shè)AB=x，內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓在BF2則BU=由BF1=a故四邊形IUF得AF2⊥B故x2=9a于是cos∠F1由余弦定理可得F1從而4c2=故選：D.【題型5雙曲線中的最值問題】【例5】（2023·青海玉樹·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【解題思路】利用雙曲線的定義表示PF【解答過程】因?yàn)镕1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24所以PF所以P=PF2+16因?yàn)閏=a2+b2=6故選：A.【變式5-1】（2023·河南鄭州·一模）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23?y2=1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A．3?2 B．3+2 C．【解題思路】結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷QF1+PQ取最小值時(shí)，P,Q,F2三點(diǎn)共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出【解答過程】由雙曲線定義得QF故Q如圖示，當(dāng)P,Q,F2三點(diǎn)共線，即Q在M位置時(shí)，∵F22,0,P(0,2)，故聯(lián)立x23?y2=1，解得點(diǎn)故|QF故選：A.【變式5-2】（2023·山東泰安·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，其一條漸近線方程為x+3y=0，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．3?62,1?C．3+32,1+【解題思路】根據(jù)三角形F1AB的面積結(jié)合漸近線方程可得a,b,c的值，再根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得當(dāng)且僅當(dāng)P,B,F2共線且B在P,F【解答過程】設(shè)F1?c,0,F2c,0，則由三角形F1AB的面積為1+32可得12a+c×1=1+32，即a+c=2+3，又雙曲線一條漸近線方程為又由雙曲線的定義可得PF1?PB=23+此時(shí)直線BF2的方程為y=13?2x?2，即y=x?2，聯(lián)立x23?y2=1y=x?2可得2x2?12x+15=0故選：B.【變式5-3】（2023·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為y=±A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】先根據(jù)題意得雙曲線的方程為x29?y2=1，再結(jié)合雙曲線的定義得MF2=2a+MF【解答過程】由題意可得2a=6，即a=3，漸近線方程為y=±13x，即有ba=焦點(diǎn)為F1?10,0，由圓E:x2+y+62=1連接EF1，交雙曲線于M，交圓于此時(shí)MN+MF則MN+MF故選：B.

【題型6雙曲線的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問題】【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2?y23=1，直線l經(jīng)過點(diǎn)0,3且與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn)．點(diǎn)P為A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】設(shè)直線l的方程為y=kx+3，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出A,B的中點(diǎn)N，可得PN的直線方程，求出可得P點(diǎn)坐標(biāo)可得OP2，再求出AB、點(diǎn)P到直線l的距離d，再由PA2=d【解答過程】雙曲線C:x2?由已知直線l的斜率存在，且k<0，k≠?3設(shè)直線l的方程為y=kx+3y=kx+3x2?y所以x1+x則A,B的中點(diǎn)N3所以PN的直線方程為y?3令x=0，得y=433?所以O(shè)P2AB=23點(diǎn)P到直線l的距離d=?所以PA2所以O(shè)P2故選：D.【變式6-1】（2023·山東青島·三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過C的右焦點(diǎn)F2且傾斜角為π3的直線交C右支于A．a(chǎn)＝3 B．雙曲線C的漸近線方程為y=±C．AB=9 D．【解題思路】運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、雙曲線定義及兩點(diǎn)間距離公式可求得a、b的值，進(jìn)而代入計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過程】如圖所示，

由題意知，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2設(shè)直線AB方程為y=3聯(lián)立y=3設(shè)A(x1,則x1+x則b所以|AB|=1+由雙曲線定義知，|AF所以△F1AB所以|AB|=6?2a②，由①②得：a3又因?yàn)閃為AB的中點(diǎn)，所以xW=x所以W(3所以|F2W|=由③④可得：a=b=1，所以雙曲線方程為x2所以雙曲線漸近線方程為y=±x，故A項(xiàng)錯(cuò)誤、B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，|AB|=6?2a=4，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閍=b=1，所以c=2所以W(3所以|OW|=(故選：D.【變式6-2】（2023·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【解題思路】（1）根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線方程公式，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、雙曲線弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有a2又因?yàn)殡x心率為2，所以有ca=2?ac=∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為y=±3所以直線l的斜率為±33，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為33方程為y=3x2設(shè)Ax1,AB【變式6-3】（2023·陜西咸陽(yáng)·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線m：y=kx?1與雙曲線C的左、右兩支分別交于P,Q兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于M,【解題思路】（1）由通徑長(zhǎng)、離心率列方程組求得a,b,c得雙曲線方程；（2）直線m方程y=kx?1代入雙曲線方程，利用直線與雙曲線左右相交求得k的范圍，由韋達(dá)定理得xP+xQ,xPxQ【解答過程】（1）由題可知，AB=2b2a=2e=（2）由題可知，直線m:y=kx?1與雙曲線C的左、右兩支分別交于P,聯(lián)立x2?y2=1所以1?k2≠0且xP所以|PQ|==1+聯(lián)立y=x,y=kx?1,可得xM=所以|MN|=1+k2所以|PQ||MN|其中k∈(?1,1)，則k2【題型7雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】【例7】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F5,0，過點(diǎn)F的直線交雙曲線E于AA．x25?C．x29?【解題思路】設(shè)Ax1,【解答過程】解：設(shè)Ax則x12a即0??25?6=又c=5,c2=所以雙曲線的方程為：x2故選：D.【變式7-1】（2023·河南·三模）已知直線l:4x?2y?7=0與雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)AA．233 B．5?12 C．【解題思路】首先求出AB的垂直平分線的方程，即可求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Ax1,y1【解答過程】因?yàn)橹本€l:4x?2y?7=0，所以kl由題可知AB的垂直平分線的方程為y=?1將y=?12x?3與4x?2y?7=0聯(lián)立可得x=2y=1設(shè)Ax1,y1，Bx2兩式作差可得x1即y1+y則雙曲線C的離心率為1+b故選：D.【變式7-2】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P1,1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB【解題思路】（1）由漸近線方程求得一個(gè)a,b關(guān)系，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，若P1,1是線段AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出直線l【解答過程】（1）由題雙曲線C:x2a2?y2所以?22a2解得a=1,b=2所以雙曲線C的方程為：x2（2）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，直線l的方程為x=1，此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)Ax所以x1兩式作差得x1即x1若P1,1是線段AB的中點(diǎn)，則x則x1所以直線l的斜率k=y則直線l的方程為y=2x?1將直線l與雙曲線聯(lián)立y=2x?1x2?Δ=所以這樣的直線不存在，即點(diǎn)P不能是線段AB的中點(diǎn).【變式7-3】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程(1)求雙曲線方程；(2)過點(diǎn)Q(1,1)能否作直線m，使m與已知雙曲線交于兩點(diǎn)P1、P2，且Q是線段P1【解題思路】（1）求出直線l的方程，根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離求出a,b的關(guān)系式，再結(jié)合雙曲線的漸近線方程求出a,b，即可得解；（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)Q是線段P1P2的中點(diǎn)，且P1(【解答過程】（1）解：因?yàn)橹本€l過A(a,0)、B(0,?b)兩點(diǎn)，所以方程為bx?ay?ab=0，因?yàn)樵c(diǎn)到直線l的距離為63，所以ab因?yàn)殡p曲線C:x2a所以ba=2，解得a=1所以雙曲線方程為x2（2）解：假設(shè)直線m存在，設(shè)Q是線段P1P2的中點(diǎn)，且P則x1+x因?yàn)镻1、P則x12?所以4(x1?所以直線l的方程為y?1=2(x?1)，即2x?y?1=0，聯(lián)立2x?y?1=0x2?y2因?yàn)棣?16?4×3×2=?8<0所以直線m與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以直線m不存在．【題型8雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題】【例8】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A3,455在雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上，且C的離心率為(1)求直線l的斜率；(2)若tan∠PAQ=43，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N【解題思路】（1）由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求出橢圓方程，設(shè)直線l的方程為y=kx+m,Px1,y1,Qx（2）由直線AP，AQ的斜率之和為0，得它們的傾斜角互補(bǔ)，從而由已知正切值求得兩直線斜率，得直線方程，從而求得M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可計(jì)算出三角形面積．【解答過程】（1）由題意得9a2?所以雙曲線C的方程為x2由題意直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m,Px聯(lián)立x25?則Δ=100k2x1由kAP得y1?4即kx整理得2kx則2k??5整理得15k即5k+3因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)A，所以455≠3k+m所以5k+3=0，所以k=?即直線l的斜率為?3（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為α，β0<α<因?yàn)閗AP所以α+β=π，則β=π?α因?yàn)閠an∠PAQ=所以tan2α=即2tan2α+3tanα?2=0所以直線AP:y=1直線AQ:y=?1在直線AP:y=12x?3+4所以M0,同理得N0,所以MN=3所以△AMN的面積為12【變式8-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的漸近線方程為y=±33x，F(xiàn)為雙曲線E(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l：x=32，分別過A，B作l的垂線，垂足分別為C，D，直線AD，BC交于點(diǎn)H，求【解題思路】（1）首先根據(jù)題意建立關(guān)于a，b的方程，然后解方程得a，b的值，即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）首先設(shè)直線AB的方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，其次求直線BC的方程，得到直線BC過定點(diǎn)，然后由對(duì)稱性得到直線AD過定點(diǎn)，進(jìn)一步得點(diǎn)H的坐標(biāo)，最后寫出△HAB面積的表達(dá)式，并根據(jù)m的范圍求三角形面積的最值.【解答過程】（1）由題意得雙曲線E的漸近線方程為y=±bax=±而AB的最小值在AB垂直于x軸時(shí)取得，聯(lián)立x2a2?y所以2b2a所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)Ax1,易知F2,0，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x=my+2由于直線AB交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，所以kAB<?3所以?3由x=my+2x23所以Δ=16易知直線BC的斜率存在，則kBC故直線BC的方程為y?y令y=0，得x=?易得?my所以x=y所以直線BC過定點(diǎn)74同理由代數(shù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可得直線AD過定點(diǎn)74所以直線AD，BC的交點(diǎn)H為點(diǎn)74易知S△HAB=1令m2+1=t，則1≤t<4，易知函數(shù)y=1t+16所以m2+1m2?3【變式8-2】（2023·浙江·二模）已知雙曲線C:x2?y22=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)2,0的直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（不與A，B重合），直線AP，AQ(1)記直線AP，QB的斜率分別為k1，k2，求(2)記△APQ，△AMN的面積分別為S1，S2，當(dāng)S1【解題思路】（1）設(shè)直線l的方程為x=ny+2，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理和直線的斜率公式，計(jì)算k1（2）根據(jù)S1=9S2可得y1?【解答過程】（1）由題意知，A(?1,0)，B(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=ny+2，P(x1,y1聯(lián)立x2?y∴y1+y2=?8n∴ny∵直線PA的斜率k1=y1x∴k1（2）設(shè)T2,0,則S1=由于S1=9S設(shè)直線PA:y=y1x設(shè)直線QA:y=y2x所以y=3所以由y1?y當(dāng)n2y2y1+3ny當(dāng)n2y2y1+3n故直線方程為x=2或y=x?2或y=?x+2【變式8-3】（2023·浙江·三模）已知雙曲線x23?y2=1,F(1)若P的坐標(biāo)為3,2，求證：l為∠(2)過F1,F2分別作l的平行線l1,l2，其中l(wèi)1交雙曲線于A?B【解題思路】（1）易得點(diǎn)3,2處的切線方程l:x?2y=1，根據(jù)l:x?2y=1交x（2）過Px0,y0的切線l:x03x?y0?y=1，由【解答過程】（1）解：由題意點(diǎn)Px0,所以過點(diǎn)3,2處的切線方程為l:x?l:x?2y=1交x軸于點(diǎn)Q1,0即QF1QF2（2）過Px0,當(dāng)y0≠0時(shí)，即P不為右頂點(diǎn)時(shí)，即k2（或由直線與單支有兩個(gè)交點(diǎn)，則k>聯(lián)立l設(shè)Ax1所以AB又d所以S△PAB=3k當(dāng)y0=0時(shí)，即點(diǎn)P為右頂點(diǎn)時(shí)，所以S△PAB所以S△PAB?S【題型9雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例9】（2023·廣東汕頭·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的實(shí)軸長(zhǎng)為22，C的一條漸近線斜率為?2(1)若直線l過C的右焦點(diǎn)，且斜率為?1，求△PMQ的面積；(2)設(shè)P，Q為雙曲線C上異于點(diǎn)M2a,b的兩動(dòng)點(diǎn)，記直線MP，MQ的斜率分別為k1，k2，若【解題思路】（1）根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合雙曲線焦距定義求出雙曲線的方程聯(lián)立進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）如圖：

因?yàn)殡p曲線C:x2a所以2a=22，即a=2.又因?yàn)镃的一條漸近線斜率為所以?ba=?22則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為3,0，因?yàn)橹本€l過C的右焦點(diǎn)，且斜率為?1所以直線l的方程為：y=?x+3，設(shè)Px1聯(lián)立y=?x+3x2所以由韋達(dá)定理得：x1+x所以PQ=點(diǎn)M2,1到直線l的距離為：d=所以S△PMQ（2）證明：如圖

設(shè)直線PQ的方程為：x=my+n，設(shè)Px1,聯(lián)立x=my+nx22Δ=4m所以：y1+y而M2,1，則k1=因?yàn)閗1+整理的：y1所以y1所以：y1所以y1整理得：2m?2y代入韋達(dá)定理得：2m?2n所以2m?2n整理得：m2即m?nm+n?2=0，則m=n或當(dāng)m=n時(shí)，直線線PQ的方程為：x=ny+n=ny+1，所以過定點(diǎn)0,?1當(dāng)m=2?n時(shí)，直線線PQ的方程為：x=2?ny+n=n1?y即為M2,1，因?yàn)镻，Q為雙曲線C上異于點(diǎn)M故直線PQ過的定點(diǎn)為0,?1.【變式9-1】（2023·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，直線MF1，MF2分別交C于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M），且MF【解題思路】（1）利用焦距求c，利用漸近線與直線y=?33x垂直求出a、b（2）設(shè)直線MF1的方程與雙曲線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，利用點(diǎn)M在曲線上滿足x02?【解答過程】（1）因?yàn)镕1F2因?yàn)殡p曲線C的漸近線與直線l：y=?3所以ba又c2解得a=1，b=3所以雙曲線C的方程為x2（2）設(shè)Mx0,y0，則設(shè)Ax1,所以MF1=因?yàn)镸F1=λF1同理可得μ=?y0y直線MF1的方程為聯(lián)立雙曲線的方程可得3x所以y0y1=9因?yàn)閤02?y同理y0λ+μ=?y所以λ+μ是定值，定值為?10【變式9-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若△ABD的頂點(diǎn)都在C上，點(diǎn)D在第四象限且縱坐標(biāo)為?1，直線DA，DB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，且原點(diǎn)O平分線段MN.試判斷直線AB是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的漸近線方程，并將C的方程化為x22b（2）直線AB的斜率存在，設(shè)出直線AB方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由直線DA,DB的方程求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理及已知計(jì)算推理即得.【解答過程】（1）由雙曲線C:x2a2?即有a2=2b2，c2=a2+b2設(shè)Qx0,y0則點(diǎn)Q到C的兩條漸近線的距離之積為|x0+所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2（2）直線AB過定點(diǎn).依題意，D(6,?1)，設(shè)A(x顯然直線AB的斜率存在，否則，由雙曲線的對(duì)稱性及點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，得D必在x軸上，矛盾，設(shè)直線AB的方程為y=mx+n，由y=mx+nx24?y則1?2m2≠0，且(?4mn)2?4(1?2于是x1+x直線DA的方程為y+1=y1+1x1即M(0,?1?6y1+6x1得?1?6整理得(26即(26則n2+6當(dāng)n+2=0，即n=?2時(shí)，直線AB的方程為y=mx?2，此時(shí)直線AB過定點(diǎn)0,?2；當(dāng)n+6m+1=0時(shí)，直線AB的方程為y=m(x?6)?1，此時(shí)直線所以直線AB過定點(diǎn)0,?2.【變式9-3】（2023·山西·二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0經(jīng)過點(diǎn)D4,3，直線l1、l2分別是雙曲線C的漸近線，過D分別作l1和l2的平行線l′1和(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A1、A2分別是雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線C于P、Q兩個(gè)不同點(diǎn)，直線A1P與A2【解題思路】（1）求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于a、b的方程組，解出a2、b2的值，即可得出雙曲線（2）分析可知直線PQ不與x軸重合，設(shè)Px1,y1、Qx2,y2，直線PQ的方程為x=my+7【解答過程】（1）解：由題意得16a2?不妨設(shè)直線l1的方程為y=bax，則直線在直線l′1的方程中，令y=0可得x=4?3ab，即點(diǎn)∴OM由16b2?9a2=a（2）證明：由（1）得A1?2,0、A2若直線PQ與x軸重合，則P、Q為雙曲線的頂點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)Px1,y1、Q聯(lián)立x=my+73x所以，3m2?4≠0∴y1+直線A1P的方程為y=y1x聯(lián)立直線A1P與A2所以，x+2=9m因?yàn)閤+2x?2=?因此，點(diǎn)G在定直線x=41．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓A．55 B．255 C．3【解題思路】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).【解答過程】由e=5，則c解得ba所以雙曲線的一條漸近線為y=2x，則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2?3|所以弦長(zhǎng)|AB|=2r故選：D.2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線x2?y29A．1,1 B．?1,2 C．1,3 D．?1,?4【解題思路】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得kAB【解答過程】設(shè)Ax1,y1可得kAB因?yàn)锳,B在雙曲線上，則x12?所以kAB對(duì)于選項(xiàng)A：可得k=1,kAB=9聯(lián)立方程y=9x?8x2?y2此時(shí)Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得k=?2,kAB=?聯(lián)立方程y=?92x?52此時(shí)Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得k=3,kAB由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：k=4,kAB=聯(lián)立方程y=94x?74此時(shí)Δ=1262故選：D.3．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．x28?C．x24?【解題思路】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出b，設(shè)∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，【解答過程】如圖，

因?yàn)镕2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b所以PF所以b=2.設(shè)∠POF2=θ,則tanθ=P因?yàn)?2ab=12c?yP所以Pa因?yàn)镕1所以kP所以2a2+2所以雙曲線的方程為x故選：D.4．（2022·全國(guó)·高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且cosA．52 B．32 C．132【解題思路】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點(diǎn)為G，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N【解答過程】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D所以O(shè)B⊥F1N，因?yàn)閨OB|=a，|OF1|=c，|F1||52b選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏os∠F1所以|OB|=a，|OF1|=c由cos∠F1NF||3所以2b=3a，即ba所以雙曲線的離心率e=選C[方法二]：答案回代法A選項(xiàng)e特值雙曲線x2過F1且與圓相切的一條直線為y∵兩交點(diǎn)都在左支,∴N∴|NF則cos∠C選項(xiàng)e特值雙曲線x2過F1且與圓相切的一條直線為y∵兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，∴N∴|NF則cos∠[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點(diǎn)為G若M,N分別在左右支，因?yàn)镺G⊥NF1，且cos∠又|OG|=a，|OF1|=c設(shè)∠F1N在△F1N故|NF1|?|N所以asin而cosα=35，sinβ=a代入整理得到2b=3a，即ba所以雙曲線的離心率e=若M,N均在左支上，同理有|NF2|sinβ故|NF2|?|N代入cosα=35，sinβ=a故a=2b，故e=1+故選：AC.5．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(?2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為x22【解題思路】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)，再寫出C的方程作答.【解答過程】令雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為a,b，顯然雙曲線C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距c=2，由雙曲線C的離心率為2，得ca=2，解得a=所以雙曲線C的方程為x2故答案為：x26．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2．點(diǎn)A在【解題思路】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得x0=53c,y0=?2【解答過程】方法一：依題意，設(shè)AF2=2m在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依題意，得F1(?c,0),F因?yàn)镕2A=?23又F1A⊥F1B，所以又點(diǎn)A在C上，則259c2a2所以25c2b整理得25c4?50a2c2又e>1，所以e=355