專題10.1 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【十一大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁(yè)專題10.1概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1條件概率、全概率公式、貝葉斯公式】 3【題型2求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望】 5【題型3超幾何分布與二項(xiàng)分布】 9【題型4正態(tài)分布及其應(yīng)用】 12【題型5概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題】 14【題型6期望與方差的實(shí)際應(yīng)用】 19【題型7統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題】 26【題型8回歸分析】 29【題型9獨(dú)立性檢驗(yàn)】 34【題型10決策型問(wèn)題】 40【題型11獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合運(yùn)用】 441、概率統(tǒng)計(jì)綜合概率與統(tǒng)計(jì)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，概率統(tǒng)計(jì)專題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，在高考考查中一般情況會(huì)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查.從近幾年的高考情況來(lái)看，題量通常為“兩小一大”，選擇題、填空題考查比較全面；解答題重點(diǎn)考查概率統(tǒng)計(jì)主干知識(shí)，主要涉及古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等內(nèi)容；試題難度中等，二輪復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握這些內(nèi)容，加強(qiáng)練習(xí).【知識(shí)點(diǎn)1古典概型中基本事件的求解方法】1.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).【知識(shí)點(diǎn)2條件概率與全概率公式的解題策略】1.求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得.2.利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)合事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算.【知識(shí)點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量及其分布的解題策略】1.離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義；(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率；(3)畫(huà)表格：按規(guī)范要求形式寫(xiě)出分布列；(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確.2.求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能的全部值.(2)求ξ取每個(gè)值的概率.(3)寫(xiě)出ξ的分布列.(4)由均值的定義求E(ξ).(5)由方差的定義求D(ξ).【知識(shí)點(diǎn)4二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布的解題策略】1.判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.2.超幾何分布的關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.2.解決正態(tài)分布問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)對(duì)稱軸x=μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間：利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ,，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.【知識(shí)點(diǎn)5頻率分布直方圖中的數(shù)字特征】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際需要選擇使用.2.頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來(lái)表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.【知識(shí)點(diǎn)6回歸分析的常用結(jié)論】1.回歸分析的三大常用結(jié)論(1)求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心.(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.(3)根據(jù)的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.【知識(shí)點(diǎn)7獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題策略】1.變量相關(guān)性的判斷在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad-bc≈0.|ad-bc|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題的解題策略解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計(jì)算；(3)通過(guò)比較與臨界值的大小關(guān)系來(lái)作統(tǒng)計(jì)推斷.【題型1條件概率、全概率公式、貝葉斯公式】【例1】（2024·河南信陽(yáng)·二模）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問(wèn)題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為13，13，13，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為14，15，16，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（

）A．1237 B．1537 C．35【解題思路】設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，利用全概率公式以及條件概率公式即可得到答案.【解答過(guò)程】設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，由題意可知：P(A)=P(B)=P(C)=1則P(D)=P(A)PD|AP(AD)=P(A)PD|A若小明遲到了，則他自駕去上班的概率是P(A∣故選：B.【變式1-1】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：PAB=PBAPA．0.1% B．0.4% C．2.4%【解題思路】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】記“視頻是AI合成”為事件A，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則PA由貝葉斯公式得：PA故選：C．【變式1-2】（2024·山東臨沂·一模）長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有15的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人近視率約為12，其余學(xué)生的近視率約為3A．15 B．716 C．25【解題思路】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.【解答過(guò)程】設(shè)事件A為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過(guò)1h”，事件B則PA=1所以PA=1?P則PB故選：C.【變式1-3】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”.如：3和5，5和7……，在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了23個(gè)問(wèn)題，其中第8個(gè)就是大名鼎鼎的孿生素?cái)?shù)猜想：即存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù).我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張益唐2013年在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的難題，證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式.那么，如果我們?cè)诓怀^(guò)30的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A，這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件B：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則PBA=A．1115 B．3745 C．1315【解題思路】根據(jù)條件概率的計(jì)算方法求得正確答案.【解答過(guò)程】不超過(guò)30的自然數(shù)有31個(gè)，其中素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個(gè)，孿生素?cái)?shù)有3和5，5和7，11和13，17和29，共4組.所以PA=C所以PB故選：D.【題型2求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望】【例2】（2024·山東煙臺(tái)·一模）聯(lián)合國(guó)新聞部將我國(guó)農(nóng)歷二十四節(jié)氣中的“谷雨”定為聯(lián)合國(guó)中文日，以紀(jì)念“中華文字始祖”倉(cāng)頡的貢獻(xiàn).某大學(xué)擬在2024年的聯(lián)合國(guó)中文日舉行中文知識(shí)競(jìng)賽決賽，決賽分為必答?搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)依次進(jìn)行.必答環(huán)節(jié)，共2道題，答對(duì)分別記30分?40分，否則記0分；搶答環(huán)節(jié)，包括多道題，設(shè)定比賽中每道題必須進(jìn)行搶答，搶到并答對(duì)者得15分，搶到后未答對(duì)，對(duì)方得15分；兩個(gè)環(huán)節(jié)總分先達(dá)到或超過(guò)100分者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲?乙兩人參加決賽，且在必答環(huán)節(jié)，甲答對(duì)兩道題的概率分別45,13，乙答對(duì)兩道題的概率分別為23,12，在搶答環(huán)節(jié)，任意一題甲?乙兩人搶到的概率都為12(1)在必答環(huán)節(jié)中，求甲?乙兩人得分之和大于100分的概率；(2)在搶答環(huán)節(jié)中，求任意一題甲獲得15分的概率；(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分，乙得分為40分，設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過(guò)X道題搶答后比賽結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算即得.（2）甲獲得15分的事件是甲搶到答正確與乙搶到答錯(cuò)的事件和，再列式求出概率.（3）求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【解答過(guò)程】（1）兩人得分之和大于100分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三種情況，所以得分大于100分的概率p=1（2）搶答環(huán)節(jié)任意一題甲得15分的概率p=1（3）X的可能取值為2，3，4，5，由搶答任意一題甲得15分的概率為13，得搶答任意一題乙得15分的概率為2P(X=2)=(13P(X=4)=CP(X=5)=C所以X的分布列為：X2345P142832數(shù)學(xué)期望E(X)=2×1【變式2-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為34和1(1)隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率；(2)操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無(wú)人機(jī)的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作；方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無(wú)論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作.假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.【解題思路】（1）利用條件概率公式，即可求解；（2）首先確定兩種方案成功次數(shù)X,Y的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求概率，再比較其數(shù)學(xué)期望.【解答過(guò)程】（1）用事件A1表示選擇甲種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)，用事件A用事件B表示“選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功”則P(B)=P(A=（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為X，Y，則X，Y的所有可能取值均為0，1，2，方案一：PX=0PX=1PX=2所以EX方案二：PY=0PY=1PY=2所以EY所以EX【變式2-2】（2024·山東泰安·一模）某學(xué)校為了緩解學(xué)生緊張的復(fù)習(xí)生活，決定舉行一次游戲活動(dòng)，游戲規(guī)則為：甲箱子里裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，且每次游戲結(jié)束后將球放回原箱，摸出一個(gè)紅球記2分，摸出一個(gè)黑球記?1分，得分在5分以上（含5分）則獲獎(jiǎng)．(1)求在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率；(2)求在1次游戲中，得分X的分布列及均值．【解題思路】（1）利用組合應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合古典概率公式求出摸到3個(gè)或4個(gè)紅球的概率，再利用互斥事件求出概率.（2）求出X的可能值，及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【解答過(guò)程】（1）設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)紅球”為事件Ai設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B=A3∪PA3=所以在1次游戲中，獲獎(jiǎng)的概率PB（2）依題意，X所有可能取值為?4,?1,2,5,8，由（1）知，PX=?4=PAPX=2PX=5=PA所以X的分布列為：X?4?1258P11731數(shù)學(xué)期望EX【變式2-3】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）猜燈謎，是我國(guó)獨(dú)有的民俗文娛活動(dòng)，是從古代就開(kāi)始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng).每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語(yǔ)寫(xiě)在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動(dòng)中，若甲?乙兩名同學(xué)分別獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為23，乙同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為1(1)甲?乙任選1個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，求甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率；(2)活動(dòng)規(guī)定：若某人任選2個(gè)進(jìn)行有獎(jiǎng)競(jìng)猜，都猜對(duì)則可以在A箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是23；沒(méi)有都猜對(duì)則在B箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是1(3)甲?乙各任選2個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，設(shè)甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)全概率概率公式計(jì)算可得；（3）依題意可得X的可能取值為0，1，2，3，4，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【解答過(guò)程】（1）設(shè)A=“甲猜對(duì)一個(gè)燈謎”，B=“乙猜對(duì)一個(gè)燈謎”，則P因?yàn)榧?乙恰有一人猜對(duì)的事件為AB所以P(A=P(A)P(=2所以，甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率為12（2）設(shè)C=“甲猜對(duì)兩道題”，D=“甲中獎(jiǎng)”，則P==8所以，甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率47108（3）由（1）知PA=2易知甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和X的可能取值為0，1，2，3，4.則PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4所以X的分布列為X01234P111311因此，X的數(shù)學(xué)期望E【題型3超幾何分布與二項(xiàng)分布】【例3】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知某種疾病的某種療法的治愈率為90%．若有1000位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為X，P(X=k)>P(X=1000?k)，則（

A．k≤499 B．k≤500C．k≥500 D．k≥501【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率列出P(X=k),P(X=1000?k)的表達(dá)式，由題意可得不等式，化簡(jiǎn)并結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【解答過(guò)程】由題意知X～B(1000,0.9),故P(X=k)=C1000k由P(X=k)>P(X=1000?k)得C1000即0.92k?1000>0.12k?1000，即由于k∈N?，故故選：D.【變式3-1】（2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）某人在n次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～Bn,p，其中n∈N?,0<p<1，擊中奇數(shù)次為事件A．若n=10,p=0.8，則PX=k取最大值時(shí)B．當(dāng)p=12時(shí)，C．當(dāng)0<p<12時(shí)，PAD．當(dāng)12<p<1時(shí)，P(A)隨著【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)X～B10,0.8直接寫(xiě)出PX=k，然后根據(jù)PX=k取最大值列式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)X～Bn,p，直接寫(xiě)出【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，在10次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)X～B10,0.8當(dāng)X=k時(shí)對(duì)應(yīng)的概率PX=k因?yàn)镻X=k取最大值，所以P即C10即k+1≥410?k411?k因?yàn)閗∈N且0≤k≤10，所以k=8，即k=8時(shí)概率P(X=8)對(duì)于選項(xiàng)B，DX=np1?p=n?對(duì)于選項(xiàng)C、D，∵PX=k∴PA1?P(A)=C∴PA當(dāng)0<p<12時(shí)，0<1?2p<1,1?1?2pn當(dāng)12<p<1時(shí)，?1<1?2p<0，1?2pn為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)列，所以P(A)故選：C.【變式3-2】（22-23高二下·江蘇南京·期中）口袋中有6個(gè)球（除顏色外其他屬性都相同），其中3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，1個(gè)白球，ξ表示有放回的摸球3次，每次摸一個(gè)，取出紅球的數(shù)目，η表示不放回的摸球3次，每次摸一個(gè)，取出黑球的數(shù)目，則下列結(jié)論成立的是（

）A．Eξ<EηC．Eξ=E【解題思路】分別求得Eξ與E【解答過(guò)程】ξ表示有放回的摸球3次，每次摸一個(gè)，取出紅球的數(shù)目，ξ的可能取值為0，1，2，則ξ～B(3,13)η表示不放回的摸球3次，每次摸一個(gè)，取出黑球的數(shù)目，η的可能取值為0，1，2，3，η滿足超幾何分布，則Eη=3×故選：A.【變式3-3】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤(pán)比賽，每盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝．已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為13，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為14，若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為（A．24 B．25 C．26 D．27【解題思路】由二項(xiàng)分布及其期望計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X，選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為Y；設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為n，則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-n．X所有可能的取值為0，1，2，???，n，則X~Bn,13Y所有可能的取值為0，1，2，???，32-n，則Y?B32?n,14所以獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望EX+Y=EX故選：A．【題型4正態(tài)分布及其應(yīng)用】【例4】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N6,σ2，若Pξ<3a?4=PA．9 B．7 C．5 D．4【解題思路】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可列方程求解.【解答過(guò)程】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N6,σ2所以3a?4+?a+2=6×2=12，解得故選：B.【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某快遞公司的200名快遞員每人每月派送的快遞件數(shù)X服從正態(tài)分布，且X~N3000,σ2A．40 B．60 C．70 D．80【解題思路】先求得每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員所占比例為0.3，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解.【解答過(guò)程】由題意知，每月派送的快遞件數(shù)不低于4000的快遞員所占比例為60200故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員所占比例為1?0.3×22故每月派送的快遞件數(shù)在2000,3000的快遞員人數(shù)為200×0.2=40人．故選：A.【變式4-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若X～Nμ,σ2，記p1=Pμ?σ<X<μ+σ，p2=Pμ?2σ<X<μ+2σ，pA．1?p12 B．1?p22【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得所求.【解答過(guò)程】由題意知，X～N30,25，則μ=30，σ=5，∴μ?2σ=20，μ+2σ=40結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得PX>40故選：C.【變式4-3】（2023·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)、新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場(chǎng)景也隨之加速拓展，某報(bào)社開(kāi)展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿意度調(diào)查，某縣人口約為50萬(wàn)人，從該縣隨機(jī)選取5000人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)滿意度得分分成以下5組：50,60、60,70、?、90,100，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿意度得分X（單位：分）近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，且Pμ?σ<X<μ+σ≈0.6826，Pμ?2σ<X<μ+2σ≈0.9544，Pμ?3σ<X<μ+3σ≈0.9974，其中μ近似為樣本平均數(shù)，

A．由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為74.5B．由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為75C．由正態(tài)分布估計(jì)全縣X≥98.5的人數(shù)約為2.3萬(wàn)人D．由正態(tài)分布估計(jì)全縣62.5≤X<98.5的人數(shù)約為40.9萬(wàn)人【解題思路】由頻率分布直方圖所給數(shù)據(jù)可計(jì)算出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)，即可判斷AB選項(xiàng)；由PX≥98.5=1?Pμ?2σ<X<μ+2σ2由此即可判斷C選項(xiàng)；由P62.5≤X<98.5【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)為x=55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.01×10=74.5對(duì)于B選項(xiàng)，滿意度得分在50,70之間的頻率為0.015+0.02×10=0.35<0.5滿意度得分在50,80之間的頻率為0.015+0.02+0.03×10=0.65>0.5設(shè)樣本的中位數(shù)為m，則m∈70,80由中位數(shù)的定義可得0.35+m?70×0.03=0.5，解得m=75，對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)棣?74.5，σ=12，98.5=μ+2σ，所以，PX≥98.5所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣X≥98.5的人數(shù)約為50×0.0228≈1.14萬(wàn)人，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?2.5=μ?σ，98.5=μ+2σ，所以，P=P所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣62.5≤X<98.5的人數(shù)約為50×0.8185≈40.9萬(wàn)人，D對(duì).故選：C.【題型5概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題】【例5】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩醫(yī)院到某醫(yī)科大學(xué)實(shí)施“小小醫(yī)生計(jì)劃”，即通過(guò)對(duì)畢業(yè)生進(jìn)行筆試，面試，模擬診斷這3項(xiàng)程序后直接簽約一批畢業(yè)生，已知3項(xiàng)程序分別由3個(gè)部門(mén)獨(dú)立依次考核，且互不影響，當(dāng)3項(xiàng)程序全部通過(guò)即可簽約．假設(shè)該?？谇会t(yī)學(xué)系170名畢業(yè)生參加甲醫(yī)院的“小小醫(yī)生計(jì)劃”的具體情況如下表（不存在通過(guò)3項(xiàng)程序考核后放棄簽約的現(xiàn)象）．性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計(jì)男生582785女生424385合計(jì)10070170(1)判斷是否有95%(2)該校口腔醫(yī)學(xué)系準(zhǔn)備從專業(yè)成績(jī)排名前5名的畢業(yè)生中隨機(jī)挑選2人去參加乙醫(yī)院的考核，求專業(yè)排名第一的小華同學(xué)被選中的概率．參考公式與臨界值表：K2=np0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【解題思路】（1）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入K2（2）列出所有的基本事件，再由古典概型的概率公式即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镵2所以有95%（2）分別記專業(yè)成績(jī)排名前5名的畢業(yè)生依次為A,B,C,D,E,則從這5人中隨機(jī)選取2人的基本事件有：A,B,其中選出的這2人中包含專業(yè)成績(jī)排名第一的基本事件有A,B,故所求概率為P=【變式5-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國(guó)家開(kāi)始大力推行科技特長(zhǎng)生招生扶持政策，教育部也出臺(tái)了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進(jìn)教育信息化工作的指導(dǎo)意見(jiàn)（征求意見(jiàn)稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備.某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了A?B兩個(gè)參加國(guó)內(nèi)學(xué)科競(jìng)賽的中學(xué)，從未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次A中學(xué)116B中學(xué)349(1)試判斷是否有90%(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)倪@5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來(lái)自B中學(xué)的概率.附：K2=nP0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635【解題思路】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算K2（2）利用古典概型求解.【解答過(guò)程】（1）補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計(jì)A中學(xué)11617B中學(xué)34943總計(jì)451560所以K2故沒(méi)有90%（2）由題知，用分層抽樣抽取的5人中，來(lái)自A中學(xué)的有2人，記為a,b，來(lái)自B中學(xué)的有3人，記為A,B,C，從這5人中任選3人進(jìn)行深度調(diào)研，所有的結(jié)果有abA,abB,abC,aAB,aAC,aBC,bAB,bAC,bBC,ABC，共10種，其中恰有2人來(lái)自B中學(xué)的結(jié)果有aAB,aAC,aBC,bAB,bAC,bBC，共6種，故所求概率P=6【變式5-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）某學(xué)校為學(xué)生開(kāi)設(shè)了一門(mén)模具加工課，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明、小紅打算報(bào)名參加大賽．賽前，小明、小紅分別進(jìn)行了為期一周的封閉強(qiáng)化訓(xùn)練，下表記錄了兩人在封閉強(qiáng)化訓(xùn)練期間每天加工模具成功的次數(shù)，其中小明第7天的成功次數(shù)a忘了記錄，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分別表示小明、小紅第第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天序號(hào)x1234567小明成功次數(shù)y162020253036a小紅成功次數(shù)z16222526323535(1)求這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率；(2)根據(jù)小明這7天內(nèi)前6天的成功次數(shù)，求其成功次數(shù)y關(guān)于序號(hào)x的線性回歸方程，并估計(jì)小明第七天成功次數(shù)a的值．參考公式：回歸方程y=b=i=1n參考數(shù)據(jù)：1×16+2×20+3×20+4×25+5×30+6×36=582；12【解題思路】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）先利用最小二乘法求出回歸方程，再令x=7即可得解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?6≤a≤55，且a∈Z，所以a的取值共有55?36+1=20yi、zi分別表示小明、小紅第又當(dāng)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時(shí)，在i=16即16+20+20+25+30+36+a≥16+22+25+26+32+35+35，得a≥44，又36≤a≤55，所以44≤a≤55，且a∈Z所以小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時(shí)，a的取值共有55?44+1=12情況，所以這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率為1220（2）由題設(shè)可知i=16x=1+2+3+4+5+66所以b=582?6×7所以y關(guān)于序號(hào)x的線性回舊方程為y=當(dāng)x=7時(shí)，y=估計(jì)小明第7天成功次數(shù)a的值為38.【變式5-3】（2024·四川瀘州·二模）某校為了讓學(xué)生有一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，特制定學(xué)生滿意度調(diào)查表，調(diào)查表分值滿分為100分．工作人員從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表將其分值作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出頻率分布直方圖如圖．(1)估計(jì)此次滿意度調(diào)查所得的平均分值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)在選取的100位學(xué)生中，男女生人數(shù)相同，規(guī)定分值在（1）中的x以上為滿意，低于x為不滿意，據(jù)統(tǒng)計(jì)有32位男生滿意．據(jù)此判斷是否有95%(3)在（2）的條件下，學(xué)校從滿意度分值低于x分的學(xué)生中抽取部分進(jìn)行座談，先用分層抽樣的方式選出8位學(xué)生，再?gòu)闹须S機(jī)抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．附：K2=nP(0.100.050.0100.0050.001K2.7063.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法求解即可；（2）利用（1）的結(jié)論及給定信息得到2×2列聯(lián)表，再計(jì)算K2（3）求出8位業(yè)主中男女人數(shù)，利用列舉法及古典概率公式即可得解.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)頻率分布直方圖知，x=(45×0.012+55×0.016+65×0.020+75×0.024+85×0.018+95×0.010)×10=70所以此次滿意度調(diào)查中物業(yè)所得的平均分值為70分.（2）由（1）及已知得2×2列聯(lián)表如下：不滿意滿意總計(jì)男183250女302050總計(jì)4852100則K2的觀測(cè)值為：K所以有95%（3）由（2）知滿意度分值低于70分的業(yè)主有48位，其中男士18位，女士30位，用分層抽樣方式抽取8位業(yè)主，其中男士3位，女士5位，記男士為a，b，c，記女士為1，2，3，4，5，從中隨機(jī)抽取兩位為監(jiān)督員事件為：ab,ac,a1,a2,a3,a4,a5,bc,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共計(jì)28個(gè)基本事件，其中抽到男女各一人有a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5，共15個(gè)基本事件，所以恰好抽到男女各一人為監(jiān)督員的概率為P=15【題型6期望與方差的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2024·北京延慶·一模）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時(shí)間安排如下表：12月16日星期六9:30單人雪橇第1輪10:30單人雪橇第2輪15:30雙人雪橇第1輪16:30雙人雪橇第2輪12月17日星期日9:30單人雪橇第3輪10:30單人雪橇第4輪15:30團(tuán)體接力(1)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；(2)若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場(chǎng)，記X為看到雙人雪橇的次數(shù)，求X的分布列及期望E(X)；(3)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，用“ξ1=1”表示小明在周六看到單人雪橇，“ξ1=0”表示小明在周六沒(méi)看到單人雪橇，“ξ2=1”表示小明在周日看到單人雪橇，“【解題思路】（1）根據(jù)分類乘法計(jì)數(shù)原理及古典概型求解；（2）根據(jù)題意求出概率，列出分布列，求出期望即可；（3）分別計(jì)算Dξ【解答過(guò)程】（1）記“小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件A.

由表可知，每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，共有4×3=12種不同方法，其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有2×2=4種不同方法．所以P(A)=4（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2．根據(jù)題意，P(X=0)=CPX=1PX=2隨機(jī)變量X的分布列是：X012P241數(shù)學(xué)期望EX（3）由題意，Pξ1=0所以Eξ1=0×因?yàn)镻ξ2=0所以Eξ2=0×所以Dξ【變式6-1】（2023·北京東城·二模）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的7名學(xué)生在一次考試后調(diào)整了學(xué)習(xí)方法，一段時(shí)間后又參加了第二次考試．兩次考試的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆M分100分）：學(xué)生1學(xué)生2學(xué)生3學(xué)生4學(xué)生5學(xué)生6學(xué)生7第一次82897892926581第二次83907595936176(1)從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組7名學(xué)生中隨機(jī)選取1名，求該名學(xué)生第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)的概率；(2)設(shè)xi(i=1,2,?,7)表示第i名學(xué)生第二次考試成績(jī)與第一次考試成績(jī)的差.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組7名學(xué)生中隨機(jī)選取2名，得到數(shù)據(jù)xi,xj（i）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX（ii）設(shè)隨機(jī)變量X，Y的的方差分別為DX，DY，試比較DX【解題思路】（1）利用古典概型直接計(jì)算即可；（2）（i）列出變量X的取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，利用公式直接求解數(shù)學(xué)期望即可；（ii）計(jì)算方差，利用方差的含義直接判斷即可.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可知這7名學(xué)生中有4名學(xué)生的第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)，分別是學(xué)生1，學(xué)生2，學(xué)生4，學(xué)生5，則從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組7名學(xué)生中隨機(jī)選取1名，該名學(xué)生第二次考試成績(jī)高于第一次考試成績(jī)的概率為4（2）（i）隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2.這7名學(xué)生第二次考試成績(jī)與第一次考試成績(jī)的差分別為1，1，?3，3，1，?4，?5.X=0時(shí)，若xi?xj=0，有(1,1)若xi?xj=1若xi?xj=2，有(1,3)，(1,3)故PX=0X=1時(shí)，若xi?xj=4，有(1,?3)若xi?xj=5，有(1,?4)故PX=1X=2時(shí)，若xi?xj=6，有(1,?5)，(1,?5)若xi?x若xi?x故PX=2則隨機(jī)變量X的分布列為：X012P322所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×3（ii）由（i）知DX這7名學(xué)生第二次考試成績(jī)與第一次考試成績(jī)的差分別為1，1，?3，3，1，?4，?5.隨機(jī)變量Y可能的取值為0，1，2，3.Y=0時(shí)，若xi?xj=0，有(1,1)若xi?xj=1故PY=0Y=1時(shí)，若xi?xj=2，有(1,3)，(1,3)故PY=1Y=2時(shí)，若xi?xj=4，有(1,?3)若xi?xj=5，有(1,?4)故PY=2Y=3時(shí)，若xi?xj=6，有(1,?5)，(1,?5)若xi?x若xi?x故PY=3則隨機(jī)變量Y的分布列為：Y0123P5422所以Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=0×5所以DY因?yàn)?449<1<11886【變式6-2】（2023·山東泰安·一模）某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過(guò)抓鬮兌獎(jiǎng)的方式對(duì)所有員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金額.(1)若袋中所裝的4個(gè)鬮中有1個(gè)所標(biāo)的面值為800元，其余3個(gè)均為200元，求①員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為1000元的概率；②員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)鬮的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.【解題思路】（1）①根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可；②寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式計(jì)算期望即可；（2）先根據(jù)題意可確定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分別求出兩種方案的期望與方差，比較兩者即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，①PX=1000∴員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元的概率為12②X所有可能的取值為400，1000，PX=400=C∴X的分布列為X4001000P11∴員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為EX（2）根據(jù)公司預(yù)算，每個(gè)員工的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案，對(duì)于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇（200，200，200，800）的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元，如果選擇（800，800，800，200）的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是（800，800，200，200）記為方案1，對(duì)于面值600元和400元的情況，同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，所以可能的方案是（400，400，600，600）記為方案2，對(duì)于方案1，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，X1可取PX=400=C22∴X1的期望為E方差DX對(duì)于方案2，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，X1可取PX=800=C22∴X2的期望為E方差DX由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合預(yù)算要求，但方案2的方差比方案1小，所以應(yīng)選擇方案2.【變式6-3】（2023·北京石景山·一模）某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）4,77,1010,1313,16第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為7,10厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增量為7,10厘米，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；(3)用“ξk=1”表示第k組雞冠花的株高增量為4,10，“ξk=0”表示第k組雞冠花的株高增量為10,16厘米，k=1,2,3，直接寫(xiě)出方差Dξ【解題思路】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得7,10厘米的總數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）首先估計(jì)各組雞冠花增量為7,10厘米的概率，然后可確定X所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；（3）由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得Dξ1，Dξ【解答過(guò)程】（1）設(shè)事件A為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為7,10厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為7,10厘米,所以PA估計(jì)為20（2）設(shè)事件B為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為7,10厘米”，設(shè)事件C為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為7,10厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，PB估計(jì)為1640=25根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.3，且PX=0PX=1PX=2PX=3則X的分布列為：X0123P2111293所以EX=0×21（3）D理由如下：Pξ1=1Pξ2=1Pξ3=1所以Dξ【題型7統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題】【例7】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知由小到大排列的4個(gè)數(shù)據(jù)1、3、5、a，若這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】根據(jù)極差和中位數(shù)概念得到關(guān)于a的方程，再利用百分位數(shù)的概念即可.【解答過(guò)程】由小到大排列的4個(gè)數(shù)據(jù)1、3、5、a，則a≥5，這四個(gè)數(shù)為極差為a?1，中位數(shù)為3+52因?yàn)檫@4個(gè)數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的2倍，則a?1=2×4，解得a=9，所以，這四個(gè)數(shù)由小到大依次為1、3、5、9，因?yàn)?×0.75=3，故這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是5+92故選：A.【變式7-1】（2024·遼寧·一模）下圖是2022年5月一2023年5月共13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量及增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖（單位：萬(wàn)輛），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛B．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的中位數(shù)為61.5萬(wàn)輛C．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的眾數(shù)為52.2萬(wàn)輛D．和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減【解題思路】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)一一分析即可.【解答過(guò)程】2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量為28.7+37.6+49+47.1+52.2=214.6萬(wàn)輛，即2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛，故A正確；將這13個(gè)月純電動(dòng)汽車的月度銷量由小到大依次排列為28.7,34.7,37.6,45.7,47.1，47.6,49,52.2,52.2,53.9,54.1,61.5,62.4，則中位數(shù)為其中第7個(gè)數(shù)據(jù)，即49萬(wàn)輛，故B錯(cuò)誤；這些數(shù)據(jù)中只有52.2出現(xiàn)2次，其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為52.2萬(wàn)輛，故C正確；2023年1月的同比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)，其它月份的同比增長(zhǎng)率為正數(shù)，故和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減，故D正確.故選：B.【變式7-2】（2024·重慶·一模）2023年10月31日，神舟十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天的熱愛(ài).某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（

）

A．x=88,y=90 B．x=83,y=90C．x=83,y=85 D．x=88,y=85【解題思路】首先a=0.05，再根據(jù)百分位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法即可.【解答過(guò)程】由題意得0.005+0.03+a+0.015×10=1，解得a=0.05因?yàn)?.05+0.3=0.35，0.05+0.3+0.5=0.85，則0.35<0.75<0.85，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于80,90，則0.35+x?80×0.05=0.75，解得因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績(jī)80,90之間最多，則眾數(shù)為y=80+90故選：D.【變式7-3】（2024·四川攀枝花·二模）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾FlorenceNightingale設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大?。硻C(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加B．2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增D．2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍【解題思路】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，由圖可知，2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B和C，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96?0.48=0.48；2017年，1.88?0.96=0.92；2018年，2.95?1.88=1.07；2019年，3.56?2.95=0.61；2020年，4.15?3.56=0.59；2021年，4.77?4.15=0.62；2022年，5.27?4.77=0.5；則知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說(shuō)法正確，C說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于D，由5.27>10×0.48，則2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故D說(shuō)法正確.綜上，說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)為C.故選：C.【題型8回歸分析】【例8】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀荆鸩饺〈鷤鹘y(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號(hào)x123456銷售金額y／萬(wàn)元15.425.435.485.4155.4195.4若y與x的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問(wèn)題：(1)試求變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）；(2)試求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a，其中樣本相關(guān)系數(shù)r=i=1參考數(shù)據(jù)：i=16xi【解題思路】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得x,y以及（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得b,【解答過(guò)程】（1）x=i=16所以r=i=1（2）由題意b=所以a=85.4?所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=38.3x?48.7，所以預(yù)測(cè)2024年2月份該公司的銷售金額為y=38.3×7?48.7=219.4萬(wàn)元.【變式8-1】（2024·四川巴中·一模）下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無(wú)害化處理量y（單位：萬(wàn)噸）與年份t的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷變量y與t是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2024年該市生活垃圾無(wú)害化處理量.參考數(shù)據(jù)：i=17yi=9.06，i=17參考公式：b=i=1nti【解題思路】（1）求出t以及相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)最小二乘法的估計(jì)公式，求得b,【解答過(guò)程】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷變量y與t線性相關(guān)，說(shuō)明如下：由題意得t=i=17i=17故r=3.09由y與t的相關(guān)系數(shù)約為0.97表明，y與t線性相關(guān)，相關(guān)程度相當(dāng)高；（2）由y=9.067則a=故y關(guān)于t的回歸方程為y=0.85+0.11t將2024年對(duì)應(yīng)的年份代碼t=9代入回歸方程得y故預(yù)測(cè)2024年該市生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.84萬(wàn)噸.【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）黨的十八大以來(lái)，全國(guó)各地區(qū)各部門(mén)持續(xù)加大就業(yè)優(yōu)先政策實(shí)施力度，促進(jìn)居民收入增長(zhǎng)的各項(xiàng)措施持續(xù)發(fā)力，居民分享到更多經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展紅利，居民收入保持較快增長(zhǎng)，收入結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化，隨著居民總收入較快增長(zhǎng)，全體居民人均可支配收入也在不斷提升.下表為重慶市20142022年全體居民人均可支配收入，將其繪制成散點(diǎn)圖（如圖1），發(fā)現(xiàn)全體居民人均可支配收入與年份具有線性相關(guān)關(guān)系.（數(shù)據(jù)來(lái)源于重慶市統(tǒng)計(jì)局2023-05-06發(fā)布）.年份201420152016201720182019202020212022全體居民人均可支配收入（元）183522011022034241532638628920308243380335666參考數(shù)據(jù)：i=19y參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u2(1)設(shè)年份編號(hào)為x（2014年的編號(hào)為1，2015年的編號(hào)為2，依此類推），記全體居民人均可支配收入為y（單位：萬(wàn)元），求經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=(2)為進(jìn)一步對(duì)居民人均可支配收入的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，某分析員從2014～2022中任取3年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將選出的人均可支配收入超過(guò)3萬(wàn)的年數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）利用最小二乘法計(jì)算回歸方程，并計(jì)算預(yù)測(cè)值即可；（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】（1）由題意得x=i=19i=19故b=故回歸方程為y=0.22x+1.57又2023年的年份編號(hào)為10，將x=10代入y=0.22x+1.57得y=3.77（2）由圖表知，人均可支配收入超過(guò)3萬(wàn)的年份有3年，故X的可能取值為0,1,2,3，則PX=0=CPX=2=C故隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P2045181故EX【變式8-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后的下一代顛覆性的核心技術(shù)．區(qū)塊鏈作為“信任的機(jī)器”，將可能徹底改變整個(gè)人類社會(huì)價(jià)值傳遞的方式．2018年至2022年五年期間，中國(guó)的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長(zhǎng)，居世界前列．現(xiàn)收集我國(guó)近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表：年份20182019202020212022編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y=a+bx與y=cedx（其中(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程．（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請(qǐng)甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽，比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場(chǎng)比賽獲勝的公司與未參加此場(chǎng)比賽的公司進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為13，甲勝丙的概率為35，乙勝丙的概率為附：線性回歸方程y=bx+參考數(shù)據(jù)：z=【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)速度逐漸加快得到答案.（2）變換得到lny=lnc+dx（3）考慮A：甲與乙；B：甲與丙；C：丙與乙三種比賽情況，分別計(jì)算概率，再比較大小得到答案.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可知區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量增加的速度逐漸變快，所以回歸方程y=ce（2）對(duì)y=cedx兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dxi=15所以b=a=所以z關(guān)于x的回歸直線方程為z=0.752x?0.060則y關(guān)于x的回歸方程為y=（3）對(duì)于首場(chǎng)比賽的選擇有以下三種情況：A：甲與乙；B：甲與丙；C：丙與乙．由于在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為13，甲勝丙的概率為35，乙勝丙的概率為則甲公司獲勝的概率分別是：PAPBPC因?yàn)?25所以甲與丙兩公司進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大．【題型9獨(dú)立性檢驗(yàn)】【例9】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）作為一個(gè)基于大型語(yǔ)言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面.百度的文心一言?阿里的通義千問(wèn)?華為的盤(pán)古?騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線.現(xiàn)有某大模型給出了會(huì)員有效期30天的兩種不同費(fèi)用，100次的使用費(fèi)為6元，500次的使用費(fèi)為24元.后臺(tái)調(diào)取了購(gòu)買(mǎi)會(huì)員的200名用戶基本信息，包括個(gè)人和公司兩種用戶，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)24元的用戶數(shù)是140，其中個(gè)人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購(gòu)買(mǎi)6元的公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的一半.(1)完成如下用戶類別與購(gòu)買(mǎi)意向的2×2列聯(lián)表；購(gòu)買(mǎi)6元購(gòu)買(mǎi)24元總計(jì)個(gè)人用戶公司用戶總計(jì)(2)能否有99.5%附：K2臨界值表如下：P0.100.050.0250.010.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題思路】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)24元的個(gè)人用戶數(shù)為x，購(gòu)買(mǎi)6元的公司用戶數(shù)為y，列出方程求得x,y的值，即可得到2×2列聯(lián)表；（2）由（1）中2×2列聯(lián)表，利用公式求得K2【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)24元的個(gè)人用戶數(shù)為x，則購(gòu)買(mǎi)24元的公司用戶數(shù)為x+20，設(shè)購(gòu)買(mǎi)6元的公司用戶數(shù)為y，則購(gòu)買(mǎi)6元的個(gè)人用戶數(shù)為2y，則有2x+20=140y+2y=60，解得x=60,y=20所以用戶類別與購(gòu)買(mǎi)意向2×2列聯(lián)表如下：購(gòu)買(mǎi)6元購(gòu)買(mǎi)24元總計(jì)個(gè)人用戶4060100公司用戶2080100總計(jì)60140200（2）解：由（1）中2×2列聯(lián)表，可得K2所以有99.5%【變式9-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知某校高一有600名學(xué)生（其中男生320名，女生280名）.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門(mén)全新的校本課程A,B，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛(ài)好在這兩門(mén)課程中任選一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的選課情況，得到如下的2×2列聯(lián)表.選擇課程A選擇課程B總計(jì)男生200女生60總計(jì)(1)請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%(2)在所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況采用分層抽樣的方法抽出8名男生，再?gòu)倪@8名男生中抽取3人做問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程A的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：K2P0.010.0050.001k6.6357.87910.828【解題思路】（1）根據(jù)題意，得出2×2的列聯(lián)表，利用公式求得K2（2）根據(jù)題意，得到選擇課程A的人數(shù)為3人，選擇課程B的人數(shù)為5人，得到X的所有可能取值，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）解：由男生320名，女生280名，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，2×2列聯(lián)表，如圖所示，選擇課程A選擇課程B總計(jì)男生120200320女生60220280總計(jì)180420600可得K2所以有99.9%（2）解：抽出8名男生中，選擇課程A的人數(shù)為：8×120選擇課程B的人數(shù)為：8×200隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，可得PX=0PX=2則X的分布列為X0123P515151所以EX【變式9-2】（2024·山東淄博·一模）為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表.

年齡次數(shù)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在[20,40)的鍛煉者稱為青年，年齡在[40,60]的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過(guò)2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在[30,40)與[50,60]的人數(shù)分別為X,Y,ξ=X?Y，求ξ(3)已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為13參考公式：χ附：α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)步驟列出分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【解答過(guò)程】（1）零假設(shè)：H0由題得2×2列聯(lián)表如下：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷H0即認(rèn)為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在[30,40),[50,60]內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，ξ的所有可能取值分別為為0，1，2，所以P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=CP(ξ=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=2)=CP(ξ=2)=P(X=0,Y=2)=C所以ξ的分布列：：ξ012P20315所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×20（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件D，則P(A)=1P(D∣A)=1所以P(D)=P(A)P(D∣A)+P(B)P(D∣B)+P(C)P(D∣C)=所以小明星期天選擇跑步的概率為715【變式9-3】（2024·陜西西安·一模）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計(jì)會(huì)吸引億萬(wàn)球迷觀看.為了了解某校大學(xué)生喜愛(ài)觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中女生喜愛(ài)觀看足球比賽的占女生人數(shù)的14，男生有10(1)完成下面2×2列聯(lián)表，試根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有99.90男女合計(jì)喜愛(ài)看足球比賽不喜愛(ài)看足球比賽合計(jì)60(2)在不喜愛(ài)觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，求抽到的男生人數(shù)為1人的概率.附：K2=nP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解題思路】（1）根據(jù)題意計(jì)算即可完善列聯(lián)表，代入公式計(jì)算可得χ2（2）結(jié)合分層抽樣的定義求出男生2人，女生6人，然后列舉所有的基本事件及所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解即可.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知抽取的女生共40人，喜歡觀看足球比賽的女生為40×1可得得2×2列聯(lián)表如下：男女合計(jì)喜愛(ài)看足球比賽501060不喜愛(ài)看足球比賽103040合計(jì)6040100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2所以有99.90（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，根據(jù)抽樣比可知其中男生2人，女生6人，記男生為a，b，女生為1，2，3，4，5，6，從8人中抽2人，所以可能結(jié)果如下：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28種結(jié)果，設(shè)事件A表示“抽到男生人數(shù)為1人”，共12種結(jié)果，故P(A)=12【題型10決策型問(wèn)題】【例10】（2024·江西南昌·一模）甲公司現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，投資有25%的收益率，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，投資有10%的損益率；如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃，損失為1萬(wàn)元.現(xiàn)有兩個(gè)方案，方案一：執(zhí)行投資計(jì)劃；方案二：聘請(qǐng)投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，聘請(qǐng)費(fèi)用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，則執(zhí)行投資計(jì)劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)不一定正確，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是40%(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率；(2)根據(jù)獲得利潤(rùn)的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個(gè)方案？說(shuō)明理由.【解題思路】（1）由全概率公式即可得解；（2）方案一服從兩點(diǎn)分布，由此求出對(duì)應(yīng)的概率可得期望；方案二有三種情況，分別算出相應(yīng)的概率，結(jié)合期望公式算出期望，比較兩個(gè)期望的大小即可得解.【解答過(guò)程】（1）記投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件B1，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好為事件B投資咨詢公司預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件A，則PB因此PA（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤(rùn)值X萬(wàn)元的分布列是X50?20P0.40.6E(X)=50×0.4?20×0.6=8萬(wàn)元；若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤(rùn)值為Y萬(wàn)元，有以下情況，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，Y=49.5，其發(fā)生的概率為：PB投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，Y=?1.5，其發(fā)生的概率為：PB投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，Y=?20.5，其發(fā)生的概率為：PB投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，Y=?1.5，其發(fā)生的概率為：PB因此，隨機(jī)變量Y的分布列為：Y?20.5?1.549.5P0.180.50.32因此，E(Y)=?20.5×0.18?1.5×0.5+49.5×0.32=?3.69?0.75+15.84=11.4萬(wàn)元，因?yàn)镋(X)<E(Y)，所以甲公司應(yīng)該選擇方案二.【變式10-1】（2024·陜西西安·一模）某班組織投籃比賽，比賽分為A,B兩個(gè)項(xiàng)目.比賽規(guī)則是：①選手在每個(gè)項(xiàng)目中投籃5次，每個(gè)項(xiàng)目投中3次及以上為合格；②第一個(gè)項(xiàng)目投完5次并且合格后才可以進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目，否則該選手結(jié)束比賽；③選手進(jìn)入第二個(gè)項(xiàng)目后，投籃5次，無(wú)論投中與否均結(jié)束比賽.已知選手甲在A項(xiàng)目比賽中每次投中的概率都是0.5.(1)求選手甲參加A項(xiàng)目合格的概率；(2)已知選手甲參加B項(xiàng)目合格的概率為0.6.比賽規(guī)定每個(gè)項(xiàng)目合格得5分，不合格得0分.設(shè)累計(jì)得分為X，為使累計(jì)得分X的期望最大，選手甲應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的比賽（每個(gè)項(xiàng)目合格的概率與次序無(wú)關(guān)）？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）由題意選手甲需要在5次投籃中投中3，4或5次及格，再求解概率和即可；（2）分別分析先進(jìn)行A項(xiàng)目和B項(xiàng)目的得分?jǐn)?shù)學(xué)期望，再判斷即可.【解答過(guò)程】（1）由題意選手甲需要在5次投籃中投中3，4或5次，每次中與不中的概率均為0.5，故合格的概率為C5（2）選手甲應(yīng)選擇先進(jìn)行B項(xiàng)目，理由如下：由題意，若選手甲先參加A項(xiàng)目，則X的所有可能取值為0，5，10，則PX=0=1?0.5=0.5，PX=5所以累計(jì)得分X的期望EX若選手甲先參加B項(xiàng)目，則X的所有可能取值為0，5，10，則PX=0=1?0.6=0.4，PX=5所以累計(jì)得分X的期望EX所以為使累計(jì)得分的期望最大，選手甲選擇先進(jìn)行B項(xiàng)目比賽.【變式10-2】（2023·山東濟(jì)寧·三模）某學(xué)校組織“學(xué)習(xí)黨的二十大”知識(shí)競(jìng)賽，某班要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一人參賽，選拔方案如下：甲、乙兩名同學(xué)各自從給定的5個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答，在這5個(gè)問(wèn)題中，已知甲能正確作答其中3個(gè)，乙能正確作答每個(gè)問(wèn)題的概率都是35，甲、乙兩名同學(xué)作答問(wèn)題相互獨(dú)立.記甲答對(duì)題的個(gè)數(shù)為X，乙答對(duì)題的個(gè)數(shù)為Y(1)求甲、乙恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；(2)若讓你投票選擇一名發(fā)揮較穩(wěn)定的同學(xué)參賽，你會(huì)選擇哪名同學(xué)？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）由已知得X所有可能的取值為1，2，3，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出EX，DX，在由Y~B3,35【解答過(guò)程】（1）設(shè)“甲、乙恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率”為事件A，則P(A)=P(X=1)?P(Y=1)+P(X=2)?P(Y=0)==3（2）由已知得X所有可能的取值為1，2，3，所以P(X=1)=C31?C所以X的分布列為X123P331所以E(X)=1×3D(X)=1?由已知得Y~B3,35，所以E(Y)=3×因?yàn)镋X=EY所以選擇甲同學(xué)參賽.【變式10-3】（2023·上海閔行·二模）隨著五一黃金周的到來(lái)，各大旅游景點(diǎn)熱鬧非凡，為了解A、B兩個(gè)旅游景點(diǎn)游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得關(guān)于A旅游景點(diǎn)的問(wèn)卷100份，關(guān)于B旅游景點(diǎn)的問(wèn)卷80份.問(wèn)卷中，對(duì)景點(diǎn)的滿意度等級(jí)為：非常滿意、滿意、一般、差評(píng)，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：4分、3分、2分、1分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：非常滿意滿意一般差評(píng)A景點(diǎn)5030515B景點(diǎn)353078假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且游客對(duì)A，B兩個(gè)旅游景點(diǎn)的滿意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立.(1)從所有（人數(shù)足夠多）在A旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，從所有（人數(shù)足夠多）在B旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取2人，估計(jì)這4人中恰有2人給出“非常滿意”的概率；(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會(huì)選擇A、B哪個(gè)旅游景點(diǎn)?說(shuō)明理由.【解題思路】（1）求出游客在A，B景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率，再利用互斥事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式計(jì)算作答.（2）列出游客對(duì)A，B景點(diǎn)評(píng)分的分布列，并求出期望和方差，再比較大小作答.【解答過(guò)程】（1）設(shè)“這4人中恰有2人給出“非常滿意”的評(píng)價(jià)”為事件C，由表中數(shù)據(jù)可知，游客在A景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率為50100游客在B景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率為3580則P(C)=(（2）設(shè)一位游客對(duì)A景點(diǎn)的滿意度評(píng)分為X，一位游客對(duì)B景點(diǎn)的滿意度評(píng)分為Y，由數(shù)表中數(shù)據(jù)得X的分布為：X1234P3131Y的分布為：Y1234P1737則E(X)=4×0.5+3×0.3+2×0.05+1×0.15=3.15，D(X)=0.85E(Y)=4×7D(Y)=0.85顯然E(X)=E(Y),D(X)>D(Y)，所以選擇Y景點(diǎn).【題型11獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合運(yùn)用】【例11】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績(jī)好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖.記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100(1)請(qǐng)完成2×2列聯(lián)表.并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與體育鍛煉有關(guān)；(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列.附：χ2=n【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出分?jǐn)?shù)優(yōu)秀的人數(shù)，繼而完成2×2列聯(lián)表，計(jì)算出χ2（2）由分層抽樣法得到抽取的10人中的合格、優(yōu)秀人數(shù)，從而確定從這10人中隨機(jī)抽取5人中的優(yōu)秀人數(shù)X的可能值，運(yùn)用超幾何分布概率公式計(jì)算即得X的分布列.【解答過(guò)程】（1）依題意，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在600分以上優(yōu)秀的有100×(0.0125+0.0025)×20=30人，故經(jīng)常鍛煉且成績(jī)優(yōu)秀的有30?10=20人，由表知經(jīng)常鍛煉的共有45人.根據(jù)題意，可得到2×2列聯(lián)表為：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100由上表數(shù)據(jù)，可得χ2所以有99%的把握認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為0.0125+0.0025×20=0.3,小于600分的頻率為1?0.3=0.7所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有10×0.7=7人，優(yōu)秀的為10×0.3=3人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)X服從超幾何分布，由題意X的可能值為0，1，2，3.PX=0=C75C3所以隨機(jī)變量X分布列為：X0123P1551【變式11-1】（2024·陜西西安·一模）體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，體育承載著國(guó)家強(qiáng)盛、民族振興的夢(mèng)想.某學(xué)校從參加體育知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出200名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)圖形，回答下列問(wèn)題.

(1)求m；(2)估計(jì)這次體育知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)、平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)在抽出的200位學(xué)生中，若規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于80分的學(xué)生為獲獎(jiǎng)學(xué)生，已知這200名學(xué)生中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人獲獎(jiǎng)，請(qǐng)補(bǔ)充2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“體育知識(shí)競(jìng)賽是否獲獎(jiǎng)與性別有關(guān)”男生女生合計(jì)獲獎(jiǎng)20未獲獎(jiǎng)合計(jì)附：K2=nP0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求參數(shù)即可.

（2）利用中位數(shù)，眾數(shù)的求解公式計(jì)算即可.（3）列出列聯(lián)表。求卡方判斷即可.【解答過(guò)程】（1）m+0.015+0.025+0.035+m+0.005×10=1，所以m=0.01故m值為0.01.（2）平均數(shù)為：45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5易知眾數(shù)為：75（3）列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)獲獎(jiǎng)201030未獲獎(jiǎng)8090170合計(jì)100100200K2所以沒(méi)有99%的把提認(rèn)為“體育知識(shí)競(jìng)賽是否獲獎(jiǎng)與性別有關(guān)”.【變式11-2】（2024·陜西寶雞·一模）隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的迅速發(fā)展，人工智能也滲透到生活的方方面面，如：線上繳費(fèi)、指紋識(shí)別、動(dòng)態(tài)導(dǎo)航等，給人們的生活帶來(lái)極大的方便，提升了生活質(zhì)量，為了了解市場(chǎng)需求，某品牌“掃地機(jī)器人”公司隨機(jī)調(diào)查了1000人，記錄其年齡與是否使用“掃地機(jī)器人”得到如下統(tǒng)計(jì)圖表：（分區(qū)間[20,30)，[30,40)，……[60,