4卷積積分及其性質(zhì)

§2.3卷積積分

信號的時域分解與卷積積分

卷積的圖解法第一頁，共三十頁。2.3卷積積分2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預(yù)備知識問

f1(t)=?

p(t)直觀看出第二頁，共三十頁。2.3卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)第三頁，共三十頁。2.3卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yzs(t)卷積積分第四頁，共三十頁。2.3卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。第五頁，共三十頁。2.3卷積積分例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：采用定義法卷積。當(dāng)t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=0第六頁，共三十頁。2.3卷積積分用定義法計算卷積積分步驟：（1）換元：f1(t)

→f1(τ)，f2(t)→f2(t－τ)（2）視情況變積分限：

f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ

)

或ε

(t－τ)，如果有ε(τ

)

，則將積分下限換為0，如果有ε

(t－τ)，則將積分上限換為t(注意：t為參變量，τ為自變量)。（3）積分：與普通函數(shù)積分一致。第七頁，共三十頁。2.3卷積積分二、卷積的圖解法（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)，然后右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。

注意：t為參變量。用圖解法計算卷積積分步驟：第八頁，共三十頁。2.3卷積積分例：f(t),h(t)

如圖，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：采用圖解法卷積。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t<0時,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0②0≤t≤1

時,h(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0f(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為f(τ)。

h(t)換元h(τ)④2≤t≤3

時0h(t－τ)h(－τ)f(τ)h(t－τ)第九頁，共三十頁。2.3卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）第十頁，共三十頁?！?.4卷積積分的性質(zhì)

卷積代數(shù)運算與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積微分積分性質(zhì)卷積的時移特性

卷積積分是一種數(shù)學(xué)運算，它有許多重要的性質(zhì)（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。第十一頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數(shù)滿足乘法的三律：交換律：2.分配律：系統(tǒng)并聯(lián)運算結(jié)合律：系統(tǒng)級聯(lián)運算證明：第十二頁，共三十頁。系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。2.4卷積積分的性質(zhì)第十三頁，共三十頁。系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

2.4卷積積分的性質(zhì)第十四頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)二、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)第十五頁，共三十頁。3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=？2.4卷積積分的性質(zhì)注意區(qū)分：tε(t)特例：第十六頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2

(–∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)第十七頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得

f2(t)*f1(t)=

注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第十八頁，共三十頁。例2:圖(a)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并畫出它的波形。(a)(b)解：如圖（c）所示

(c)第十九頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)利用時移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第二十頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據(jù)時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)第二十一頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)求卷積是本章的重點與難點。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進(jìn)行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質(zhì)。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。第二十二頁，共三十頁。

相關(guān)函數(shù)是研究一個函數(shù)和另一個函數(shù)經(jīng)過一個延時τ后的相似程度，它被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)回波的識別、通信同步信號的識別等領(lǐng)域，是鑒別信號的有力工具。相關(guān)是一種與卷積類似的運算。與卷積不同的是沒有一個函數(shù)的反轉(zhuǎn)。

相關(guān)函數(shù)的定義相關(guān)與卷積的關(guān)系相關(guān)函數(shù)的圖解五、相關(guān)函數(shù)2.4卷積積分的性質(zhì)第二十三頁，共三十頁。1.實能量有限信號相關(guān)函數(shù)的定義兩個實能量有限函數(shù)f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為

由上式可得，R12(τ)=R21(–τ)。（2）自相關(guān)函數(shù)：顯然，R(-τ)=R(τ)

，R(τ)為偶函數(shù)。2.4卷積積分的性質(zhì)在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t)，得自相關(guān)函數(shù)（1）互相關(guān)函數(shù)：第二十四頁，共三十頁。2.相關(guān)與卷積的關(guān)系可見，R12(t)=f1(t)*f2(–t)，同理，R21(t)=f1(–t)*f2(t)。特別地，若f1(t)和f2(t)均為實偶函數(shù)，則卷積與相關(guān)完全相同。2.4卷積積分的性質(zhì)第二十五頁，共三十頁。PPT內(nèi)容概述§2.3卷積積分?！?.3卷積積分。2.3卷積積分。2.3卷積積分。f(△)△p(t-△)。f(-△)△p(t+△)。h(t-τ)。①t<0時,h(t-τ)向左移。②0≤t