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文檔簡介
§2.3卷積積分
信號的時域分解與卷積積分
卷積的圖解法第一頁,共三十頁。2.3卷積積分2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預(yù)備知識問
f1(t)=?
p(t)直觀看出第二頁,共三十頁。2.3卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△,用p(t)表示為:f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△,用p(t-△)表示為:
f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△,用p(t+△)表示為:f(-△)△p(t+△)第三頁,共三十頁。2.3卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義:δ(t)
h(t)由時不變性:δ(t
-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t
-τ)由齊次性:f(τ)h(t-τ)由疊加性:‖f(t)‖yzs(t)卷積積分第四頁,共三十頁。2.3卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間(–∞,∞)上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t),則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分,簡稱卷積;記為
f(t)=f1(t)*f2(t)注意:積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的,τ為積分變量,t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。第五頁,共三十頁。2.3卷積積分例:f(t)=et,(-∞<t<∞),h(t)=(6e-2t–1)ε(t),求yzs(t)。解:采用定義法卷積。當(dāng)t<τ,即τ>t時,ε(t-τ)=0第六頁,共三十頁。2.3卷積積分用定義法計算卷積積分步驟:(1)換元:f1(t)
→f1(τ),f2(t)→f2(t-τ)(2)視情況變積分限:
f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ
)
或ε
(t-τ),如果有ε(τ
)
,則將積分下限換為0,如果有ε
(t-τ),則將積分上限換為t(注意:t為參變量,τ為自變量)。(3)積分:與普通函數(shù)積分一致。第七頁,共三十頁。2.3卷積積分二、卷積的圖解法(1)換元:t換為τ→得f1(τ),f2(τ)(2)反轉(zhuǎn)平移:由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ),然后右移t→f2(t-τ)(3)乘積:f1(τ)f2(t-τ)(4)積分:τ從–∞到∞對乘積項積分。
注意:t為參變量。用圖解法計算卷積積分步驟:第八頁,共三十頁。2.3卷積積分例:f(t),h(t)
如圖,求yzs(t)=f(t)*h(t)。解:采用圖解法卷積。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t<0時,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0,故
yzs(t)=0②0≤t≤1
時,h(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時h(t-τ)f(τ)=0,故
yzs(t)=0f(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為f(τ)。
h(t)換元h(τ)④2≤t≤3
時0h(t-τ)h(-τ)f(τ)h(t-τ)第九頁,共三十頁。2.3卷積積分圖解法一般比較繁瑣,但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。例:f1(t)、f2(t)如圖所示,已知f(t)=f2(t)*f1(t),求f(2)=?f1(-τ)f1(2-τ)解:(1)換元(2)f1(τ)得f1(–τ)(3)f1(–τ)右移2得f1(2–τ)(4)f1(2–τ)乘f2(τ)(5)積分,得f(2)=0(面積為0)第十頁,共三十頁?!?.4卷積積分的性質(zhì)
卷積代數(shù)運算與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積微分積分性質(zhì)卷積的時移特性
卷積積分是一種數(shù)學(xué)運算,它有許多重要的性質(zhì)(或運算規(guī)則),靈活地運用它們能簡化卷積運算。第十一頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的(或存在的)。一、卷積代數(shù)滿足乘法的三律:交換律:2.分配律:系統(tǒng)并聯(lián)運算結(jié)合律:系統(tǒng)級聯(lián)運算證明:第十二頁,共三十頁。系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián),框圖表示:
結(jié)論:子系統(tǒng)并聯(lián)時,總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。2.4卷積積分的性質(zhì)第十三頁,共三十頁。系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián),框圖表示:
結(jié)論:子系統(tǒng)級聯(lián)時,總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。
2.4卷積積分的性質(zhì)第十四頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)二、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證:f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證:f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)第十五頁,共三十頁。3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=?2.4卷積積分的性質(zhì)注意區(qū)分:tε(t)特例:第十六頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.證:上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證:上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2
(–∞)=0的前提下,
f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)第十七頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)例1:f1(t)=1,f2(t)=e–tε(t),求f1(t)*f2(t)
解:通常復(fù)雜函數(shù)放前面,代入定義式得
f2(t)*f1(t)=
注意:套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2:f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t),求f1(t)*f2(t)解法一:f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ
(t)–δ
(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第十八頁,共三十頁。例2:圖(a)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構(gòu)成,已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng),并畫出它的波形。(a)(b)解:如圖(c)所示
(c)第十九頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)解:f1(t)=ε
(t)–ε
(t–2)f1(t)*f2(t)=ε
(t)*f2(t)–ε
(t–2)*f2(t)
ε
(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t),則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例:f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t),求f1(t)*f2(t)利用時移特性,有ε
(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第二十頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)例:f1(t),f2(t)如圖,求f1(t)*f2(t)解:f1(t)=2ε
(t)–2ε
(t–1)f2(t)=ε
(t+1)–ε
(t–1)f1(t)*f2(t)=2
ε
(t)*ε
(t+1)–2
ε
(t)*ε
(t–1)–2ε
(t–1)*ε
(t+1)+2ε
(t–1)*ε
(t–1)由于ε
(t)*ε
(t)=tε
(t)據(jù)時移特性,有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε
(t+1)-2(t–1)ε
(t–1)–2tε
(t)+2(t–2)ε
(t–2)第二十一頁,共三十頁。2.4卷積積分的性質(zhì)求卷積是本章的重點與難點。求解卷積的方法可歸納為:(1)利用定義式,直接進(jìn)行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù),多項式函數(shù)等。(2)圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。(3)利用性質(zhì)。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。第二十二頁,共三十頁。
相關(guān)函數(shù)是研究一個函數(shù)和另一個函數(shù)經(jīng)過一個延時τ后的相似程度,它被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)回波的識別、通信同步信號的識別等領(lǐng)域,是鑒別信號的有力工具。相關(guān)是一種與卷積類似的運算。與卷積不同的是沒有一個函數(shù)的反轉(zhuǎn)。
相關(guān)函數(shù)的定義相關(guān)與卷積的關(guān)系相關(guān)函數(shù)的圖解五、相關(guān)函數(shù)2.4卷積積分的性質(zhì)第二十三頁,共三十頁。1.實能量有限信號相關(guān)函數(shù)的定義兩個實能量有限函數(shù)f1(t)和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為
由上式可得,R12(τ)=R21(–τ)。(2)自相關(guān)函數(shù):顯然,R(-τ)=R(τ)
,R(τ)為偶函數(shù)。2.4卷積積分的性質(zhì)在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t),得自相關(guān)函數(shù)(1)互相關(guān)函數(shù):第二十四頁,共三十頁。2.相關(guān)與卷積的關(guān)系可見,R12(t)=f1(t)*f2(–t),同理,R21(t)=f1(–t)*f2(t)。特別地,若f1(t)和f2(t)均為實偶函數(shù),則卷積與相關(guān)完全相同。2.4卷積積分的性質(zhì)第二十五頁,共三十頁。PPT內(nèi)容概述§2.3卷積積分?!?.3卷積積分。2.3卷積積分。2.3卷積積分。f(△)△p(t-△)。f(-△)△p(t+△)。h(t-τ)。①t<0時,h(t-τ)向左移。②0≤t
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