4卷積積分及其性質

§2.3卷積積分

信號的時域分解與卷積積分

卷積的圖解法第一頁，共三十頁。2.3卷積積分2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預備知識問

f1(t)=?

p(t)直觀看出第二頁，共三十頁。2.3卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)第三頁，共三十頁。2.3卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應yzs(t)f(t)根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yzs(t)卷積積分第四頁，共三十頁。2.3卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。第五頁，共三十頁。2.3卷積積分例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：采用定義法卷積。當t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=0第六頁，共三十頁。2.3卷積積分用定義法計算卷積積分步驟：（1）換元：f1(t)

→f1(τ)，f2(t)→f2(t－τ)（2）視情況變積分限：

f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ

)

或ε

(t－τ)，如果有ε(τ

)

，則將積分下限換為0，如果有ε

(t－τ)，則將積分上限換為t(注意：t為參變量，τ為自變量)。（3）積分：與普通函數積分一致。第七頁，共三十頁。2.3卷積積分二、卷積的圖解法（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)，然后右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。

注意：t為參變量。用圖解法計算卷積積分步驟：第八頁，共三十頁。2.3卷積積分例：f(t),h(t)

如圖，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：采用圖解法卷積。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t<0時,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0②0≤t≤1

時,h(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0f(t)函數形式復雜換元為f(τ)。

h(t)換元h(τ)④2≤t≤3

時0h(t－τ)h(－τ)f(τ)h(t－τ)第九頁，共三十頁。2.3卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關鍵。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）第十頁，共三十頁?！?.4卷積積分的性質

卷積代數運算與沖激函數或階躍函數的卷積微分積分性質卷積的時移特性

卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。第十一頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數滿足乘法的三律：交換律：2.分配律：系統(tǒng)并聯運算結合律：系統(tǒng)級聯運算證明：第十二頁，共三十頁。系統(tǒng)并聯系統(tǒng)并聯，框圖表示：

結論：子系統(tǒng)并聯時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。2.4卷積積分的性質第十三頁，共三十頁。系統(tǒng)級聯系統(tǒng)級聯，框圖表示：

結論：子系統(tǒng)級聯時，總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。

2.4卷積積分的性質第十四頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質二、函數與沖激函數的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)第十五頁，共三十頁。3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=？2.4卷積積分的性質注意區(qū)分：tε(t)特例：第十六頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質三、卷積的微積分性質1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2

(–∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)第十七頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復雜函數放前面，代入定義式得

f2(t)*f1(t)=

注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第十八頁，共三十頁。例2:圖(a)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應如圖(b)所示。求復合系統(tǒng)的沖激響應，并畫出它的波形。(a)(b)解：如圖（c）所示

(c)第十九頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)利用時移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第二十頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)據時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)第二十一頁，共三十頁。2.4卷積積分的性質求卷積是本章的重點與難點。求解卷積的方法可歸納為：（1）利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數比較有效。如指數函數，多項式函數等。（2）圖解法。特別適用于求某時刻點上的卷積值。（3）利用性質。比較靈活。三者常常結合起來使用。第二十二頁，共三十頁。

相關函數是研究一個函數和另一個函數經過一個延時τ后的相似程度，它被廣泛應用于雷達回波的識別、通信同步信號的識別等領域，是鑒別信號的有力工具。相關是一種與卷積類似的運算。與卷積不同的是沒有一個函數的反轉。

相關函數的定義相關與卷積的關系相關函數的圖解五、相關函數2.4卷積積分的性質第二十三頁，共三十頁。1.實能量有限信號相關函數的定義兩個實能量有限函數f1(t)和f2(t)的互相關函數定義為

由上式可得，R12(τ)=R21(–τ)。（2）自相關函數：顯然，R(-τ)=R(τ)

，R(τ)為偶函數。2.4卷積積分的性質在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t)，得自相關函數（1）互相關函數：第二十四頁，共三十頁。2.相關與卷積的關系可見，R12(t)=f1(t)*f2(–t)，同理，R21(t)=f1(–t)*f2(t)。特別地，若f1(t)和f2(t)均為實偶函數，則卷積與相關完全相同。2.4卷積積分的性質第二十五頁，共三十頁。PPT內容概述§2.3卷積積分。§2.3卷積積分。2.3卷積積分。2.3卷積積分。f(△)△p(t-△)。f(-△)△p(t+△)。h(t-τ)。①t<0時,h(t-τ)向左移。②0≤t