哥本哈根氣候大會

專題三

動點(面)問題專題三動點(面)問題題型概述方法指導(dǎo)“動點型問題”是指圖形中存在一個或多個動點,它們是在某條線段、射線或弧線上運動的,從而引起另一圖形的變化,從運動變化的角度來研究、探索發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化,在解題過程中滲透空間觀念和合情推理,是一類開放性題目.對考生的觀察能力和創(chuàng)新能力要求較高,題目的難度一般比較大,是安徽省中考試題的熱點題型.預(yù)計這類題仍然是2018年中考的熱點,解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).題型概述方法指導(dǎo)“動點型問題”是指圖形中存在一個或多個動點,題型概述方法指導(dǎo)1.有特殊位置點的動點問題:本類型問題中的動點往往和某些定點構(gòu)成特殊的位置關(guān)系,利用“三角形兩邊之和大于第三邊”“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”等知識進(jìn)行解題.2.幾何圖形中的動點問題:由動點引起某一線段長度變化(自變量),通過題目中提供的其他條件表示出另一線段或某一圖形面積,從而構(gòu)建兩者之間的函數(shù)關(guān)系,再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解題.3.函數(shù)圖象中的動點問題:動點在某一函數(shù)圖象上,當(dāng)點運動到某一特殊位置時,某一線段長度或某一圖形的面積達(dá)到最值,或與某些點構(gòu)成一個特殊的圖形;解題利用函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系,用動點的坐標(biāo)表示出要求圖形的數(shù)量特征(如線段的長度或圖形面積),再利用函數(shù)性質(zhì)或方程進(jìn)行求解.題型概述方法指導(dǎo)1.有特殊位置點的動點問題:本類型問題中的動類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一類型二類型三類型一

有特殊位置點的動點問題例1(2016·安徽安慶一模改編)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點D是邊AC的中點,點E是斜邊AB上的動點,將△ADE沿DE所在的直線折疊得到△A1DE.連接A1B,當(dāng)點E在邊AB上移動時,求A1B長的最小值.分析:由圖可知動點A1和定點B,D構(gòu)成一個三角形,當(dāng)A1位于BD上時構(gòu)成一條線段,根據(jù)這種特殊位置關(guān)系可得A1B≥BD-A1D,在Rt△BCD中求出BD的長,由折疊可得A1D=AD=1,便可求出A1B長的最小值.類型一類型二類型三類型一有特殊位置點的動點問題類型一類型二類型三解:如圖,連接BD,DE,在Rt△BCD中,由折疊知△A1DE≌△ADE,所以A1D=AD=1.類型一類型二類型三解:如圖,連接BD,DE,由折疊知△A1D類型一類型二類型三類型二

圖形中的動點問題例2(2018·合肥四十五中一模)如圖(1),已知正方形ABCD,E是線段BC上一點,N是線段BC延長線上一點,以AE為邊在直線BC的上方作正方形AEFG.圖(1)圖(2)(1)連接GD,求證:DG=BE;(2)連接FC,求∠FCN的度數(shù);類型一類型二類型三類型二圖形中的動點問題圖(1)類型一類型二類型三(3)如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=m,BC=n(m、n為常數(shù)),E是線段BC上一動點(不含端點B、C),以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG,使頂點G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點E由B向C運動時,∠FCN的大小是否總保持不變?若∠FCN的大小不變,請用含m、n的代數(shù)式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小發(fā)生改變,請畫圖說明.類型一類型二類型三(3)如圖(2),將圖(1)中正方形ABC類型一類型二類型三(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG,∴△BAE≌△DAG.∴DG=BE.類型一類型二類型三(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEF類型一類型二類型三(2)解:作FH⊥BN于H,∵∠AEF=∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,∴∠FEH=∠BAE,又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AEB,∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH,∴∠FCN=∠CFH=(180°-∠FHC).∵∠FHC=90°,∴∠FCN=45°.類型一類型二類型三(2)解:作FH⊥BN于H,類型一類型二類型三(3)解:當(dāng)點E由B向C運動時,∠FCN的大小總保持不變,理由如下:作FH⊥BN于H,由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,結(jié)合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,又∵G在射線CD上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AGD,△EFH∽△AEB,∴EH=AD=BC=n,∴CH=BE,類型一類型二類型三(3)解:當(dāng)點E由B向C運動時,∠FCN的類型一類型二類型三類型三

函數(shù)圖象中的動點問題例3(2016·安徽,22)見正文P39例1類型一類型二類型三類型三函數(shù)圖象中的動點問題12341.(2018·天津)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點,P為對角線BD上的一個動點,則下列線段的長等于AP+EP最小值的是

(D

)A.AB

B.DEC.BD D.AF12341.(2018·天津)如圖,在正方形ABCD中,E,1234解析:本題考查正方形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),取CD中點E'連接AE'、PE',根據(jù)正方形是軸對稱圖形,可得EP=E'P,AF=AE',結(jié)合圖形由線段構(gòu)成公理可得AE'為AP+EP的最小值,進(jìn)而可得結(jié)果.取CD中點E'連接AE'、PE',由正方形的軸對稱性質(zhì),可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P,∴AP+EP最小值是AE',即AP+EP最小值是AF.故選D.1234解析:本題考查正方形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),取CD中點12342.(2018·山東煙臺)如圖,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度沿A→D→C方向勻速運動,同時點Q從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿A→B→C方向勻速運動,當(dāng)一個點到達(dá)點C時,另一個點也隨之停止.設(shè)運動時間為t(s),△APQ的面積為S(cm2),下列能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是(A

)12342.(2018·山東煙臺)如圖,矩形ABCD中,AB1234解析:由題意得:AP=t,AQ=2t,①當(dāng)0≤t≤4時,Q在邊AB上,P在邊AD上,如圖1,1234解析:由題意得:AP=t,AQ=2t,12343.(2018·四川攀枝花)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有

12343.(2018·四川攀枝花)如圖,在矩形ABCD中,1234解析:設(shè)△PAB中AB邊上的高是h,∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上,如圖,作點A關(guān)于直線l的對稱點A',連接AA',BA',則BA'即為所求的最短距離.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,1234解析:設(shè)△PAB中AB邊上的高是h,∴動點P在與A12344.(2018·合肥高新區(qū)模擬)如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標(biāo)為(2,4).矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).12344.(2018·合肥高新區(qū)模擬)如圖,已知拋物線經(jīng)過1234②設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.解:(1)因所求拋物線的頂點M的坐標(biāo)為(2,4),故可設(shè)其關(guān)系式為y=a(x-2)2+4,又∵拋物線經(jīng)過O(0,0),∴得a(0-2)2+4=0,解得a=-1.∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x.(2)①點P不在直線ME上.根據(jù)拋物線的對稱性可知E點的坐標(biāo)為(4,0),又M的坐標(biāo)為(2,4),1234②設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是1234所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8.②S存在最大值.理由如下:∵點A在x軸的非負(fù)半軸上,且N在拋物線上,∴OA=AP=t.∴點P,N的坐標(biāo)分別為(t,t),(t,-t2+4t),∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t.1234所以