數(shù)算方法總結(jié)

瓶子問題：1、5個空瓶子可以換1瓶可樂喝，那么200個空瓶子最多可以喝到多少瓶可樂？

卡卡西解析：

200÷(5-1)=50

公式一：N個換1瓶，總共M個可以換：M÷〔N-1〕

瓶子問題變式：

“紅星”啤酒開展“7個空瓶換1瓶啤酒”的優(yōu)惠促銷活動?，F(xiàn)在張先生在活動促銷期間共喝掉347瓶“紅星”啤酒，問張先生最少用錢買了多少瓶啤酒？

A.296瓶B.298瓶C.300瓶D.302瓶

設(shè)需要買A瓶啤酒

A+A÷(7-1)=347

公式二：

A+A/(N-1)=M。?！踩绻霈F(xiàn)小數(shù)就進(jìn)1〕

A至少買水瓶數(shù)

M喝水瓶數(shù)

N換一瓶水空瓶數(shù)

數(shù)字推理問題1、23，89，57，31，1，〔〕A0B3C5D6

2、20，21，33，-2，〔〕A.0B.5C.9D.11

3、8，0，0，2，3/2，〔〕A5/4B3/7C4/9D3

4、3302912〔〕A92B7C8D10

前面四個題目看似很難！其實(shí)不然，每個題的數(shù)字的變化趨勢都是，由小到大，再由大到??！〔一般都是次方問題〕

我個人習(xí)慣叫它“次方的倒置”。

這種題目還是有突破口的：即小數(shù)字的大次方到大數(shù)字的小次方

如：3^4------------------4^3

"小------大-----小-----小"

如：2133-2

23，89，57，31，1，〔〕

A0B3C5D6

23----89----57----31-----1

和次方數(shù)離得不遠(yuǎn)，而且最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：規(guī)律滿足〔由小到大，再由大到小！一般都是次方問題〕不妨試試“次方倒置”

2^5-9=23；3^4+8=89；4^3-7=57；5^2+6=31；

6^1-5=1；7^0+4=5

左邊是小數(shù)字為底

右邊是大數(shù)字為冪

這個題參加了搖擺數(shù)列，有一定難度

20，21，33，-2，〔〕A.0B.5C.9D.11

-------------------------------------------

2^4+43^3-65^2+87^1-911^0+10=11

8，0，0，2，3/2，〔〕A5/4B3/7C4/9D3

----------------------------------------------

-1*〔-2〕^30*〔-1〕^21*0^1

2*1^03*2^(-1)4*3^-2=4/9

3302912〔〕A92B7C8D10

----------------------------------------------

1^4+23^3+35^2+47^1+59^0+6=7

行程問題軌跡追蹤法解行程問題〔原創(chuàng)〕

所謂軌跡追蹤法就是畫圖抓住運(yùn)動軌跡與S的關(guān)系而解出答案的一種方法。

用例題來說明這個問題

例題1：甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，當(dāng)他們第一次相遇時甲離B地相距l(xiāng)04米，然后兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)?shù)竭_(dá)目的地后都立即返回，當(dāng)?shù)诙蜗嘤鰰r，乙離B地相距40米。問AB兩地相距多少米?

A.176米B.144米C.168米D.186米

解析：

此題為最根底的屢次相遇問題：抓住相遇時間是解題的關(guān)鍵。

這個必須會：第一次相遇走了一個相遇時間t,第二次相遇走了3個相遇時間3t.

軌跡追蹤法：

A---------------------C----------D-----------------B

設(shè)C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)

由題中“第一次相遇時甲離B地相距l(xiāng)04米”，即一個相遇時間t內(nèi)乙走了104里

追蹤乙的軌跡：BC------CA----AD

我們發(fā)現(xiàn)，第二次相遇的時候乙比2個全程S少走了BD段，而BD段恰好是40米。根據(jù)第二次相遇走了3個相遇時間可以知道，乙走了104*3

所以104*3+40=2SS=176

估計(jì)有局部新Q友會問：“為什么第二次相遇走了3個相遇時間？為什么不是2個相遇時間？”。下面我來推導(dǎo)下這個問題

A------------------C----------D-------------------B

設(shè)C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1個相遇時間t內(nèi)共走了1S.

第二次相遇時，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因?yàn)樗俣炔蛔儯宰叩臅r間為3t

推廣下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)個S，花了(2N-1)個相遇時間t。

例題2：兩艘輪船甲、乙分別從南北兩岸相向開出，離北岸260千米處第一次相遇，繼續(xù)行駛，返回時又在南岸200千米處相遇，求河寬。

解析：

畫圖：南------------C--------------D------------北

同樣C表示第一次相遇，D表示第二次相遇。

根據(jù)：“離北岸260千米處第一次相遇”，所以追蹤乙的軌跡為

北C+C南+南D，觀察發(fā)現(xiàn)比1S多走了南D段

所以：3*260-200=S

多項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的數(shù)推比方：5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

上面?zhèn)€數(shù)列有8項(xiàng)，我習(xí)慣把項(xiàng)數(shù)多余6項(xiàng)的數(shù)列叫做“多項(xiàng)數(shù)列”。

這種多項(xiàng)數(shù)列的解題思路一般有三種

1、分組，2個一組或者3個一組〔有時間甚至是4個一組〕

2、隔項(xiàng)〔分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，或者是質(zhì)數(shù)列項(xiàng)和合數(shù)列項(xiàng)〕

3、考慮是不是和數(shù)列及A、B、C之間的關(guān)系

例題1〔06湖南〕、5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

A7，15B8，12C9，12D10，16

--------------------------------------

此題數(shù)項(xiàng)比擬多，考慮隔項(xiàng)發(fā)現(xiàn)沒規(guī)律！只要有點(diǎn)數(shù)字敏感度就很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：分組

即：5*24=6*20=X*15=10*Y

所以X=8Y=12

例題2〔07黑龍江〕

11，12，12，18，13，28，〔〕，42，15，〔〕

A15，55B14，60C14，55D15，60

-----------------------------

此題比擬簡單

奇數(shù)項(xiàng)是11，12，13，14，15〔等差1〕

偶數(shù)項(xiàng)是12，18，28，42，60〔二級等差4〕

克隆題：

07上海、6，8，10，11，14，14，〔〕----------------隔項(xiàng)

06湖南、40，3，35，6，30，9，〔〕，12，20，〔〕--------------------隔項(xiàng)

例題3〔和數(shù)列〕

〔07江西〕、2，3，7，12，22，41，75，〔〕

A128B130C138D140

----------------------------------------------------

做差：

1，4，5，10，19，34--------

--------該數(shù)列為一個和數(shù)列，即：

1+4+5=10

4+5+10=19

5+10+19=34

A+B+C=D

克隆題：

05中央、0，1，1，2，4，7，13，〔〕-------------------A+B+C=D

06廣東、-8，15，39，65，94，128，170，〔〕----------------二次做差之后滿足A+B=C

真題3、

34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

-----------------------------------------

項(xiàng)數(shù)多考慮分組、各項(xiàng)、和數(shù)列。

滿足〔A+B〕/2=C

追擊問題追擊問題的兩點(diǎn)重要思路

1、設(shè)間隔距離看作單位1

2、路程差＝速度差×?xí)r間

講解幾個例題：

1、某人沿電車線路行走,每12分鐘有一輛電車從后面追上,每4分鐘有一輛電車迎面而來.2個起點(diǎn)站的發(fā)車間隔相同,那么這個間隔是多少????

-------------------

1、設(shè)間隔距離看作單位1

2、路程差＝速度差×?xí)r間

畫個簡單的圖幫助大家理解

后面追上：------A------>-----B------>---------〔速度差〕

迎面而來：-----A------>-------<---B----------〔速度和〕

所以根據(jù)圖我們可以得到下面的方程

(1)后面追：(V電－V人)=1/12

(2)迎面來：(V電+V人)=1/4

(1)+(2)==>2V電=1/12+1/4=1/3〔問題是算發(fā)車間隔，所以我們要計(jì)算車的速度〕

V電=1/6

根據(jù)時間=路程÷速度

間隔=1÷1/6

T=6

PS：做熟悉了直接就是1/[(1/12+1/4)/2]=6

2、一條街上，一個騎車人和一個步行人同向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？

A10B8C6D4

-----------------------------------------------------

1、設(shè)間隔距離看作單位1

2、路程差＝速度差×?xí)r間

所以有下面的方程：

(1)(V汽－V步)=1/10(2)(V汽－3V步)=1/20

算出V汽=1/8T=1/(1/8)=8

數(shù)字推理一、三位數(shù)的數(shù)字推理的思路

〔1〕數(shù)和數(shù)之間的差不是很大的時候考慮做差

〔2〕很多三位數(shù)的數(shù)字推理題都用“自殘法”

如：252，261，270，279，297，〔〕

252+2+5+2=261

261+2+6+1=270

270+2+7+0=279

。。。

二：題目中有分?jǐn)?shù)和整數(shù)的思路

〔1〕將分?jǐn)?shù)看成是負(fù)次方，其實(shí)就是負(fù)次方的問題〔最常見〕

如：1，32，81，64，25，6，1，1/8

---------------------------------

4^3

5^26^17^08^-1此題如果熟悉了，1/8=8^-16=6^1此題就迎刃而解！

又如288100-1/8-1/18〔〕

A、-3/64B.-3/32C.-3/25D.-3/16

2x12^2=2881x10^1=100x9^0=0-1x8^-1=-1/8

-2x6^-2=-2/36=-1/18

-3x4^-3=-3/64----------先從分?jǐn)?shù)和10入手，題目就好解了

〔2〕考慮是A+B)/N或者A+C)/2。N最常見的是取值2

如：34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

(A+B)/2=C

行程問題軌跡追蹤法解行程問題〔原創(chuàng)〕

所謂軌跡追蹤法就是畫圖抓住運(yùn)動軌跡與S的關(guān)系而解出答案的一種方法。

用例題來說明這個問題

例題1：甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，當(dāng)他們第一次相遇時甲離B地相距l(xiāng)04米，然后兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)?shù)竭_(dá)目的地后都立即返回，當(dāng)?shù)诙蜗嘤鰰r，乙離B地相距40米。問AB兩地相距多少米?

A.176米B.144米C.168米D.186米

解析：此題為最根底的屢次相遇問題：抓住相遇時間是解題的關(guān)鍵。

這個必須會：第一次相遇走了一個相遇時間t,第二次相遇走了3個相遇時間3t.

軌跡追蹤法：

A-------------C----------D-------------------B

設(shè)C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)

由題中“第一次相遇時甲離B地相距l(xiāng)04米”，即一個相遇時間t內(nèi)乙走了104里

追蹤乙的軌跡：BC------CA----AD

我們發(fā)現(xiàn)，第二次相遇的時候乙比2個全程S少走了BD段，而BD段恰好是40米。根據(jù)第二次相遇走了3個相遇時間可以知道，乙走了104*3

所以104*3+40=2SS=176

估計(jì)有局部新Q友會問：“為什么第二次相遇走了3個相遇時間？為什么不是2個相遇時間？”。下面我來推導(dǎo)下這個問題

A---------------C----------D-------------------B

設(shè)C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1個相遇時間t內(nèi)共走了1S.

第二次相遇時，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因?yàn)樗俣炔蛔?，所以走的時間為3t

推廣下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)個S，花了(2N-1)個相遇時間t。

例題2：兩艘輪船甲、乙分別從南北兩岸相向開出，離北岸260千米處第一次相遇，繼續(xù)行駛，返回時又在南岸200千米處相遇，求河寬。

解析：

畫圖：南---------C--------------D---------------北

同樣C表示第一次相遇，D表示第二次相遇。

根據(jù)：“離北岸260千米處第一次相遇”，所以追蹤乙的軌跡為

北C+C南+南D，觀察發(fā)現(xiàn)比1S多走了南D段

所以：3*260-200=S

多項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的數(shù)推

比方：5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

上面?zhèn)€數(shù)列有8項(xiàng)，我習(xí)慣把項(xiàng)數(shù)多余6項(xiàng)的數(shù)列叫做“多項(xiàng)數(shù)列”。

這種多項(xiàng)數(shù)列的解題思路一般有三種

1、分組，2個一組或者3個一組〔有時間甚至是4個一組〕

2、隔項(xiàng)〔分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，或者是質(zhì)數(shù)列項(xiàng)和合數(shù)列項(xiàng)〕

3、考慮是不是和數(shù)列及A、B、C之間的關(guān)系

例題1〔06湖南〕、5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

A7，15B8，12C9，12D10，16

--------------------------------------

此題數(shù)項(xiàng)比擬多，考慮隔項(xiàng)發(fā)現(xiàn)沒規(guī)律！只要有點(diǎn)數(shù)字敏感度就很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：分組

即：5*24=6*20=X*15=10*Y

所以X=8Y=12

例題2〔07黑龍江〕

11，12，12，18，13，28，〔〕，42，15，〔〕

A15，55B14，60C14，55D15，60

-----------------------------

此題比擬簡單

奇數(shù)項(xiàng)是11，12，13，14，15〔等差1〕

偶數(shù)項(xiàng)是12，18，28，42，60〔二級等差4〕

克隆題：

07上海、6，8，10，11，14，14，〔〕----------------隔項(xiàng)

06湖南、40，3，35，6，30，9，〔〕，12，20，〔〕--------------------隔項(xiàng)

例題3〔和數(shù)列〕

〔07江西〕、2，3，7，12，22，41，75，〔〕

A128B130C138D140

----------------------------------------------------

做差：

1，4，5，10，19，34--------

--------該數(shù)列為一個和數(shù)列，即：

1+4+5=10

4+5+10=19

5+10+19=34

A+B+C=D

克隆題：

05中央、0，1，1，2，4，7，13，〔〕-------------------A+B+C=D

06廣東、-8，15，39，65，94，128，170，〔〕----------------二次做差之后滿足A+B=C

真題3、

34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

-----------------------------------------

項(xiàng)數(shù)多考慮分組、各項(xiàng)、和數(shù)列。

滿足〔A+B〕/2=C

三、要學(xué)會觀察變化趨勢

〔1〕數(shù)變化很大，一般和乘法和次方有關(guān)。如：2，5，13，35，97〔〕-------------Ax2+1392781=B

又如：1，1，3，15，323，〔〕---------------數(shù)跳很大，考慮是次方和乘法。此題-------------〔A+B)^2-1=c

再如：1，2，3，35〔〕------------(axb)^2-1=c

0.41.6856560〔〕

A、2240B、3136C、4480D、7840

(2)數(shù)差〔數(shù)跳不大，考慮是做差〕

〔3〕數(shù)項(xiàng)多考慮1分組2隔項(xiàng)3和數(shù)列

〔4〕要對次方附近的數(shù)字特別敏感補(bǔ)充：1.兩項(xiàng)和為質(zhì)數(shù)或者合數(shù)

如：021438〔5〕

2.不同數(shù)列組合

等差與等比數(shù)列的結(jié)合〔相加〕：

153179227321533〔1079〕

150+3170+9200+27240+81290+243350+729=1079

質(zhì)數(shù)列與合數(shù)列的結(jié)合〔相加〕

如：69131621〔25〕

23571113+

46891012

質(zhì)數(shù)列與合數(shù)列做差：

如：2332-1〔-1〕

46891012-

235711133.N次方的問題

根本的N次方

如：1427256〔3125〕分別是12345的12345次方

N次方的稍微變形：

如：241388(1035)

0^11^22^33^44^5+

235711

如：9586595431(30)

1008164493625

-5+5-5+5-5+5

4.隔項(xiàng)

隔項(xiàng)和為質(zhì)數(shù)，為合數(shù)，為平方數(shù)

如：

1202914〔16〕

A+C=1491625

時針問題時針問題的解法。

時針問題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個

1分針每分走6°；時針每分走0.5°〔或者是分針每分走1格，時針每分走1/12格〕

2分針每分比時針多走5.5°〔或者11/12格〕；把時針的追擊問題當(dāng)成是度數(shù)的追擊問題。例題1

在14點(diǎn)16分這個時刻，鐘表盤面上時針和分針的夾角是()度。

解析：這個題可以看成一個追擊問題：14點(diǎn)時，分針和時針之間有一段距離，再求16分鐘后分針與時針之間的距離。

14點(diǎn)整時，分針與時針成60°

再過16分鐘，分針在16分鐘內(nèi)比時針多走：16x5.5=88

88-60=28°例題2

4點(diǎn)多，當(dāng)分針和時針重合的時候，應(yīng)該是4點(diǎn)〔〕分？

A21x9/11B21x8/11C21x7/11D21x6/11

----------------------------------------

解析：4點(diǎn)，分鐘與時針成120度角，每分鐘分針追及時針6-0.5=5.5度

想當(dāng)與總路程是120速度差是5.5

所以時間就是120÷5.5=21又9/11例題3

現(xiàn)在是2點(diǎn)15分，再過〔〕分鐘，時針和分針第一次重和

A60/11B.14/11C.264/11D.675/11

參考答案：2點(diǎn)15分時分鐘與時針已在1點(diǎn)與2點(diǎn)之間重合，故下次重合應(yīng)在3點(diǎn)以后，于3點(diǎn)過90/5.5=180/11分重合，所以再過45+180/11=671/11。也可這樣：可以看成是2點(diǎn)開始，時針分針第二次重合的時間，然后減去15分鐘，2點(diǎn)整分針時針角度差60度。到第二次重合，追擊路程為360+60=420度，角速度差為5.5度/分，420/5.5-15=840/11-165/11=675/11。也可直算：〔2x30+360〕/5.5-15=675/11分鐘

個人解法：2點(diǎn)15分，時針和分針之間的度數(shù)是90-〔60+15x0.5〕=22.5度

但是時針追擊的路程是360-22.5=337.5度〔因?yàn)槭琼槙r針追擊〕

337.5/5.5=675/11

比例問題比例法在行程問題中可以表示為

當(dāng)路程一定，時間和速度成反比

當(dāng)時間一定，路程和速度成正比

在一般的題目中，比例點(diǎn)增加了N，對用的數(shù)目增加了M個?？倲?shù)就是MxN關(guān)鍵是找到增加的比例點(diǎn)和增加的數(shù)目之間的關(guān)系

光明小學(xué)體育館保管室的籃球和排球共30個,其比例為7:3,現(xiàn)購入排球x個后,排球占總數(shù)的百分之40,那么x=()

A5B7C10D12

-----------------------------------------------------

最開始籃球：排球是7：3=21：9〔即21個籃球和9個排球

購入X個球后，比例變成3：2=21：14

14-9=5個

甲乙兩人分別從AB兩地同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度比是3：2，他們第一次相遇后，甲的速度提高了百分之20，乙的速度提高了百分之30，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A還有14千米，那么AB兩地間的距離是多少千米？

---------------------------

原來速度比為3：2=27：18

現(xiàn)在速度比為3.6：2.6=18：13

甲走了27+18=45〔恰好是一個全程〕，這時乙走了31份，還差14個比例點(diǎn)〔也就是14千米〕

所以1個比例點(diǎn)就是1千米

45-31=14

1x45=45甲乙二人分別從相距假設(shè)干公里的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇后各自繼續(xù)前進(jìn)，甲又經(jīng)1小時到達(dá)B地，乙又經(jīng)4小時到達(dá)A地，甲走完全程用了幾小時

A．2B．3C.4D．6

設(shè)X小時他們相遇，所以甲X小時走的路程相當(dāng)于乙4小時走的路程，乙X小時走的路程相當(dāng)于甲1小時走的路程

根據(jù)他們的速度比不變可以得出：

1：X=X：4

X=2

2+1=3

小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準(zhǔn)時到校。問：小明家到學(xué)校多遠(yuǎn)？

----------------------------------------------------

時間比是30：24=5：4

所以速度就是時間比的反比4：5

5-4=1，1個比例點(diǎn)對應(yīng)25米，所以4個比例點(diǎn)對應(yīng)4x25=100米〔正常的速度〕

所以S=100x30=3000米

甲乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，并在A、B兩地間不間斷往返行駛，甲車的速度是15千米/小時，乙車的速度是每小時35千米，甲乙兩車第三車相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)差100千米，求A、B兩地的距離

A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米

-----------------------------------------------------

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3x〔2x2+1〕=15份

第四次甲行的路程是：3x〔2x3+1〕=21份

兩次相距5-1=4份，對應(yīng)100KM

所以10份對應(yīng)的就是250KM走樓梯問題1.商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒鐘向上走3個梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。那么當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有〔〕

比例法真是無所不在，這種類型的題也可以用比例法來做，設(shè)定三者速度之比，男孩：女孩：電梯=2：1.5：x

當(dāng)人從底到頂?shù)臅r候，自己本身走，加上電梯往上走，一共就是電梯裸露在外面的階梯數(shù)

男孩用40秒，女孩用50秒

所以就是

40x2+40xx=50x1.5+50xx解得x=0.5那么所有階梯40x2+40xx=80+40x0.5=80+20=1002.自動扶梯以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)頂部，問扶梯露在外面的局部有多少級？

這道同樣道理，設(shè)定速度是2：1：x

27/2xx+27=18/1xx+18解得x=2，所以一共有54級牛吃草問題

關(guān)鍵有三點(diǎn)

1設(shè)一頭牛1天吃1份草

2算出草增加或者減少的速度

3算出總量例題1

牧場上有一片青草，每天牧草都勻速生長，這片草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問可供25頭牛吃多少天？

解析：設(shè)1頭牛1天吃1份草，原有草量M，草長的速度為X

10頭牛20天吃的草量=原有草量+20天長出來的草量

15頭牛10天吃的草量=原有草量+10天長出來的草量

觀察上面的式子發(fā)現(xiàn)：原有草量M是不變的

所以：10x20-15x10=〔20-10〕X

X=5

再來算原有草量：10x20-20x5=100〔或者15x10-10x5=100〕

設(shè)25頭?？梢猿訷天

所以

100+5Y=25Y----------------------Y=5

一般做熟悉了，直接就是

〔10x20-15x10〕/〔20-10〕=5--------------草長的速度

10x20-5x20=100---------------------------------原有量

100+5X=25XX=5

例題2

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果10人淘水，3小時淘完；如果5人淘水，8小時淘完，如果要求2小時淘完，要安排多少人？

此題是牛吃草問題的變型！

設(shè)每人每小時淘水量為“1”

每小時漏進(jìn)船的水量為：〔5x8-10x3〕/〔8-3〕=2

發(fā)現(xiàn)時船內(nèi)的水量為：5x8-2x8=24

24+2x2=2xX

X=14〔人〕

例題3

超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊(duì)付款，每一個收銀臺每小時能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設(shè)一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排除了，問如果當(dāng)時開設(shè)兩個收銀臺，那么付款開始幾小時就沒有顧客排隊(duì)了

A.2小時B.1.8小時C.1.6小時D.0.8小時

此題和牛吃草的題類似

一個收銀臺4小時接收的顧客為80x4=320

每小時排隊(duì)的顧客是4x60=240

所以沒開收銀臺時已經(jīng)有320-240=80人排隊(duì)

80+60X=2x80XX=0.8

難度較大的牛吃草題：

有三塊草地,面積分別是5,15,24畝,草地上的草一樣厚,而且長得一樣快,第一塊草地可供10頭牛吃30天,第二塊草地可供28頭牛吃45天,問第三塊草地可供多少頭牛吃80天?

設(shè)1頭牛1天吃的草為“1”

〔1〕第一塊草地中的草和30天長出來的草一共是：10x30=300

所以一畝地中原有草及30天長出來的草為：300/5=60

〔2〕同理算第二塊草地

28x45/15=84

〔3〕因此1公畝草地每天新長出的草量：〔84-60〕/〔45-30〕=8/5

〔4〕1公畝地原有草量為：60-30x8/5=12

第三塊草地原有草為12x24=288

24畝80天新長草量為24x1.6x80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42〔頭〕解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15木，可以推出15畝每天新長草量〔28x45-30x30〕/〔45-30〕=24；15畝原有草量：1260-24x45=180；15畝80天所需牛180/80+24〔頭〕24畝需牛：〔180/80+24〕x〔24/15〕=42頭

數(shù)字運(yùn)算技巧1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143+1/195+1/255的值？

A6/17B6/19C8/17D8/19

觀察分母：3，15，35

只要把他們分解，此題就比擬簡單：3=3x1；15=5x3

1/3=1/2(1/1-1/3)

1/15=1/2(1/3-1/5)

上面兩個式子加起來就是1/2(1/1-1/51)....

1/1x3=1/2(1/1-1/3)1/3x5=1/2(1/3-1/5).......

=1/2(1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/15-1/17)=8/17

原式=1/2〔1/1-1/17)=8/172006×20072007-2007×20062006

-----------------------------------------------------

20072007=2007x10001

所以原式=2006×2007×10001-2007×2006×10001

=0173×173×173-162×162×162=〔〕？

A926183B936185C926187D926189

尾數(shù)法，只看尾數(shù)

3x3x3=72x2x2=87-8=9循環(huán)冪尾數(shù)類型

自然數(shù)N次方的尾數(shù)值具有以下特點(diǎn)：

1、1，5，6的N次方尾數(shù)保持不變，以1為周期

2、4，9的N次方尾數(shù)以2為周期

3、2，3，7，8的N次方尾數(shù)以4為周期

所有的自然數(shù)的N次方都可以看成以4為周期，上面的規(guī)律沒必要死記！1989^1988+1988^1989的個位數(shù)是〔〕？

1988/4=497........0〔余數(shù)0相當(dāng)于9^0=1〕

1989/4=497........1〔余數(shù)1相當(dāng)于8^1=8〕

1+8=9文氏圖問題文氏圖，這類題型的關(guān)鍵就是畫圖！

兩種的：N(0)=N-N(A)-N(B)+N(AB)

三種的：N(0)=N-N(A)-N(B)-N(C)+N(AB)+N(AC)+N(BC)-N(ABC)

其中N表示總數(shù)N〔ab)表示既A又B的

某班56名學(xué)生都參加了奧數(shù)或者作文課外興趣小組的活動，其中參加奧數(shù)的有32人，參加作文的有35人，問兩種活動都參加的有多少人？

32+35-56=11

根底的文氏圖類型題

某工作組有12名外國人，其中6人會說英語，5人會說法語，5人會說西班牙語；有3人既會說英語又會說法語，有2人既會說法語又會說西班牙語，有2人既會說西班牙語又會說英語；有1人這三種語言都會說。那么只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多？

按照題意畫圖如下：

只會一種語言的是2+1+2=5

一種都不會的是2

5-2=3

某班有35個學(xué)生，每個學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個課外小組，參加語文小組的有30人，參加英語小組的有17人，參加數(shù)學(xué)小組的有13。如果有5個學(xué)生三種都參加了，問有多少個學(xué)生只參加了一個小組？

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根據(jù)題意畫圖：

A+B+C+2D=17+30+13-35=25A+B+C+D=25-5=2035-20=15

路程問題屢次相遇的關(guān)鍵就是速度比和路程的倍數(shù)關(guān)系

第一次相遇，兩人共走了1S

第二次相遇，兩人共走了3S

第三次相遇，兩人共走了5S

..............

第N次相遇，兩人共走了2xN-1個S，經(jīng)過了2xN-1個相遇時間“為什么第二次相遇走了3個相遇時間？為什么不是2個相遇時間？”。下面我來推導(dǎo)下這個問題

A------------------------C----------D-------------------B

設(shè)C為第一次相遇的地點(diǎn)，D為第二次相遇的地點(diǎn)

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1個相遇時間t內(nèi)共走了1S.

第二次相遇時，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因?yàn)樗俣炔蛔?，所以走的時間為3t

推廣下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)個S，花了(2N-1)個相遇時間t。甲乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，并在A、B兩地間不間斷往返行駛，甲車的速度是15千米/小時，乙車的速度是每小時35千米，甲乙兩車第三車相遇地點(diǎn)與第四次相遇地點(diǎn)差100千米，求A、B兩地的距離

A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米

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畫個草圖A----------C--------D------------B

C表示第三次相遇的地方，D表示第四次相遇的地方。

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3x〔2x2+1〕=15份〔相當(dāng)于1.5S〕

第四次甲行的路程是：3x〔2x3+1〕=21份

兩次相距5-1=4份，對應(yīng)100KM

所以10份對應(yīng)的就是250KM給你說下21份和15份

A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B

←C

D→

D和C分別表示第三次相遇和第四次相遇

箭頭表示方向

余定理問題一：剩余定理的特殊情況核心根底公式：被除數(shù)=除數(shù)x商+余數(shù)

同余問題核心口訣：“余同取余。和同加和，差同減差，公倍數(shù)作周期”

①余同：例：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因?yàn)橛鄶?shù)都是1，那么取1，公倍數(shù)作周期，那么表示為：60N+1②和同：例：“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因?yàn)?+3=5+2=6+1=7，那么取7，公倍數(shù)做周期：那么表示為60N+7③差同：例：“一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因?yàn)?-1=5-2=6-3=3，那么取3，公倍數(shù)做周期：那么表示為60N-3例題1：有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余數(shù)是幾？

A、4B、5C、6D、7

〔當(dāng)然可以用特殊值法〕

因?yàn)?+2=4+1=5

所以取12+5=17

17/12=1余5

剩余定理的一般情況：

一個數(shù)，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求滿足這些條件的所有三位數(shù)。

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〔7，8〕=56〔5，8〕=40〔5，7〕=35〔5，7，8〕=280

為了使56除以5余156/5=11余1滿足

為了使40除以7余1120/7=17余1滿足

為了使35除以8余1105/8=13余1滿足

所以有：56x2+120x3+105x6=1102

1102-280xN=262〔N取最大取3〕

所以1000以內(nèi)滿足條件的數(shù)是3個：分別為262、542、822〔他們之間差是最小公倍數(shù)數(shù)算題型問題1、甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？

解析：先畫示意圖：A---------C-------------D----------B

可以看到它們到第二次相遇時共走了3個AB全程。當(dāng)甲、乙兩車共同走完一個AB全程時，乙車走了64千米，因此，我們可以理解為乙車一共走了3個64千米，再由上圖可知：乙車一共走過的路程減去一個48千米后，正好等于一個AB全程。

①AB間的距離是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.

②兩次相遇點(diǎn)的距離為144—48－64＝32〔千米〕.

2、甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時.在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

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解析：甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時的路，甲只要2小時就可以了，因此，甲走100千米所需的時間為〔4—1＋4÷2〕＝5小時.這樣就可求出甲的速度.

甲的速度為：100÷〔4－1＋4÷2〕＝10O÷5＝20〔千米/小時〕.

乙的速度為：20÷2＝10〔千米/小時〕

3、在一條直的公路上，甲、乙兩個地點(diǎn)相距600米，張明每小時行4公里，李強(qiáng)每小時行5公里.8點(diǎn)整，張李二人分別從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再經(jīng)過3分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1，3，5，…〔連續(xù)奇數(shù)〕分鐘數(shù)調(diào)頭行走，那么張、李二人相遇時是8點(diǎn)幾分？

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解析無論相向還是反向，張李二人每分鐘都共走4000÷60+5000÷60=150〔米〕.如果兩人一直相向而行，那么從出發(fā)經(jīng)過600÷150=4〔分鐘〕兩人相遇.

畫圖可知：在16分鐘〔=1+3+5+7〕之內(nèi)兩人不會相遇.在這16分鐘之內(nèi)，他們相向走了6分鐘〔=1+5〕，反向走了10分鐘〔=3+7〕，此時兩人相距600+[150×〔3+7-1-5〕]=1200米，因此，再相向行走，經(jīng)過1200÷150=8〔分鐘〕就可以相遇.

所以是600+150×〔3+7-1-5〕=1200〔米〕

1200÷〔4000÷60+5000÷60〕=8〔分鐘〕

1+3+5+7+8=24〔分鐘〕

兩人相遇時是8點(diǎn)24分.

4、姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米？〔〕

A、600B、800C、1200D、1600

解析：由于小狗的運(yùn)動規(guī)律不規(guī)那么，但速度保持不變，故求出小狗跑的總時間即可。

由于姐姐和小狗同時出發(fā)，同時終止，小狗跑的時間也就是姐姐追弟弟的時間。

這個時間為80÷〔60-40〕=4分鐘

小狗跑了150×4=600米5、小明放學(xué)后，沿某路公共騎車路線以不變的速度不行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行。每隔30分鐘就有輛公共騎車從后面超過他，每隔20分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？〔〕

A、20B、24C、25D、30

解析：設(shè)兩輛車間距為S。有

S=〔V車+V人〕×20

S=〔V車-V人〕×30

求得V車=5V人

故發(fā)車間隔為：T=S/V車=24分鐘6、商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。那么當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：

A．80級B．100級C．120級D．140級

-----------------------------------------------------

解析；總路程為“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個單位向上運(yùn)動的級數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時的速度為X，那么可列方程如下，

〔X+2〕×40=〔X+3/2〕×50

解得X=0.5也即扶梯靜止時可看到的扶梯級數(shù)=〔2+0.5〕×40=100

7、甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點(diǎn)A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那么，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是

A．166米B．176米C．224米D．234米

-----------------------------------------------------

解析，此題為典型的速度和問題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/分，那么依題意可列方程

8X+8Y=400×3

X-Y=6〔速度差0.1米/秒=6米/分〕

從而解得X=78Y=72

由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點(diǎn)的最短距離為176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖邊散步，同時從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)，甲按順時針方向行走，乙與丙按逆時針方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘第二次遇到乙。乙的速度是甲的2/3，湖的周長為600米，那么丙的速度為；

A．24米／分B．25米／分C26米／分D．27米／分

『解析』解題關(guān)鍵點(diǎn)為“相遇問題的核心是‘速度和’的問題”可設(shè)甲的速度為

，那么乙的速度為2x/3，又根據(jù)“甲第一次遇到乙后1又1/4分鐘遇到丙，再過3又3/4分鐘第二次遇到乙”，可知〔＋2x/3〕×〔1+1/4＋3+3/4〕＝600，那么＝72，如果設(shè)丙的速度為，那么有〔＋〕×〔1+1/4＋3+3/4＋1+1/4〕＝600，從而解得＝24。9、某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?

A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍〔2003年中央B類〕

解析，如果接勞模往返需1小時，而實(shí)際上汽車2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度〔時間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分〕走的距離和汽車所行的距離〔2點(diǎn)到2點(diǎn)15分〕相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，那么可列方程

5/4A=1/4AX

解得X=5

所以，正確答案為A。

10、某時刻鐘表時針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間