2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第15講 函數(shù)模型及其應(yīng)用含解析

2023年新高考一輪復(fù)習(xí)講義第15講函數(shù)模型及其應(yīng)用

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)

收集了7組觀測數(shù)據(jù)（%其）（，=1,2,乙,7）得到下面的散點(diǎn)圖：

35o

30o

25o

20o

15o

10o

5O

0

^

222263236

24283CO34

S/0

由此散點(diǎn)圖，在20℃至36℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方

程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+b\nx

x

2.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）2021年10月16日，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十

三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，載人飛船精準(zhǔn)進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將3名宇航員送入太

空，發(fā)射取得圓滿成功.已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式u=%-ln絲計(jì)算火

m

箭的最大速度v（m/s）,其中%（m/s）是噴流相對速度，機(jī)（kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（kg）是推

M

進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，一稱為“總質(zhì)比若某型火箭的噴流相對速度為l（XX）m/s,當(dāng)總質(zhì)比為625時，

m

該型火箭的最大速度約為（）（附：Ige=0.434,Ig2=0.301）

A.5790m/sB.6219m/sC.6442m/sD.6689m/s

3.（2022?海南?？?二模）在核酸檢測時，為了讓標(biāo)本中OM4的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測到的閾值，通常

采用PCR技術(shù)對。M4進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量.在此過程中，OM4的數(shù)量X“（單位：〃g/〃L）與PCR擴(kuò)

增次數(shù)〃滿足X“=X°xl.6",其中X。為的初始數(shù)量.已知某待測標(biāo)本中DM4的初始數(shù)量為

O」Mg/〃L,核酸探針能檢測到的數(shù)量最低值為10〃g/ML,則應(yīng)對該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少

為（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.6?0.20,In1.6?0.47）

A.5B.10C.15D.20

4.（2022?北京?二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）

與時間/（單位：h）間的關(guān)系為P=E,e",其中乙，氏是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

5.（2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、

分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)

價值，力爭物盡其用.進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源

的消耗，具有社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益.已知某種垃圾的分解率v與時間「（月）滿足函數(shù)關(guān)系式

丫=〃方（其中。力為非零常數(shù)）.若經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為5%,經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解

率為10%,那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)lg2B0.3）

A.40個月B.32個月

C.28個月D.20個月

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一

塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如圖所示），若圍墻厚度不計(jì)，則圍成的矩形

最大面積為（）

A.2500m2B.2750m2

C.3000m2D.3500m2

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為了預(yù)防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內(nèi)部空間進(jìn)行全面消

毒.出于對顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，顧客方

可進(jìn)入商場.已知從噴灑藥物開始，商場內(nèi)部的藥物濃度）'（毫克/立方米）與時間，（分鐘）之間的函數(shù)

0.k,0<^<10

關(guān)系為y=出，，>|。,函數(shù)的圖象如圖所示.如果商場規(guī)定9:30顧客可以進(jìn)入商場，那么開始噴灑藥

物的時間最遲是（）

A.9:00B.8:40C.8:30D.8:00

8.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知某電子產(chǎn)品電池充滿時的電量為3000毫安時，且在待機(jī)狀態(tài)

下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電300毫安時；模式8：電量呈指

數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時刻算起，f小時后的電量為當(dāng)前電量的/倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時

開啟A模式，并在x小時后，切換為8模式，若使其在待機(jī)10小時后有超過5%的電量，則x的取值范圍

是（）

A.l<x<2B.1cx<2C.8cx<9D.8<x<9

9.（多選）（2022?全國?高三專題練習(xí)）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地

震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級例之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M,

則下列說法正確的是（）

A.地震釋放的能量為1063焦耳時，地震里氏震級約為七級

B.八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍

C.八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級為〃5=1,2,…，9,10）,地震釋放的能量為s,則數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列

10.（多選）（2022?山東日照?三模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限廠（廠>0）,勞累

程度7（0<丁<1）,勞動動機(jī)相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10，，」"，已知甲、乙為該公司

的員工，則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

B.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率低

C.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱

D.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)

11.（2022?河北?模擬預(yù)測）勞動實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會、回報

社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件

時，售價為s元/件，且滿足s=82O-2x,每天的成本合計(jì)為600+20X元，請你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

12.（2022?全國?模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效，而低于500mg病人就有

危險.現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮

藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過小時內(nèi)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附：

lg2?0.3010,1g3?0.4771,精確到O.lh）

13.（2022?北京東城?三模）某超市在“五一”活動期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元

（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律

享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購

物，分別挑選了原價為70元和280元的商品，如果兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比

他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價的比例分配，則小敏需要給小昭元.

14.（2022?重慶?模擬預(yù)測）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于

20mg/100ml,己知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量V（單位：mg）與時間x（單

位：h）的關(guān)系是：當(dāng)0<x<?時，y=-第/+曙x；當(dāng)x2與時:j=—,那么該駕駛員在飲酒后

至少要經(jīng)過h才可駕車.

15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話

亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，

其中A8=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲線段CO是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的面積

為S,周長為L,則，的最大值為.（本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算）

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定

成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)

,、400x--x\（0<x<400）_

R（x）=2l）,其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

80000,（x>400）

（1）將利潤./U）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

17.（2022?上海?華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，某街道擬設(shè)立一占地面積為。平方米的

常態(tài)化核酸采樣點(diǎn)，場地形狀為矩形.根據(jù)防疫要求，采樣點(diǎn)周圍通道設(shè)計(jì)規(guī)格要求為：長邊外通道寬5

米，短邊外通道寬8米，采樣點(diǎn)長邊不小于20米，至多長28米.

（1）設(shè)采樣點(diǎn)長邊為x米，采樣點(diǎn)及周圍通道的總占地面積為S平方米，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指

明定義域；

⑵當(dāng)3004aV700時，試求S的最小值，并指出取到最小值時x的取值.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生

態(tài)水果特色小鎮(zhèn)經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料尤（單位：千克）滿足

5（X2+3）,0<X<2

如下關(guān)系：卬。）=50x，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

——,2<x<5

1+九

費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為f（x）（單

位：元）

⑴寫單株利潤加）（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；

（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方形A3CD中，|AB|=2,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-?8TC->￡>TA

方向，以每秒2個單位的速度在正方形4BC。的邊上運(yùn)動：點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿BTC—O—A方向，以每

秒1個單位的速度在正方形ABCO的邊上運(yùn)動.點(diǎn)M與點(diǎn)N同時出發(fā)，運(yùn)動時間為，（單位：秒），&AMN

的面積為了（，）（規(guī)定A,M,N共線時其面積為零，則點(diǎn)M第一次到達(dá)點(diǎn)A時，）可（。的圖象為

（）

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)移雕精致細(xì)膩、氣

韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形。鉆所得部分.已知扇環(huán)周

長=300cm,大扇形半徑”>=100cm,設(shè)小扇形半徑04=Acm,=e弧度，則

①。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式6（x）=

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為Mx）=lOx+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為

DA

第15講函數(shù)模型及其應(yīng)用

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?遼寧葫蘆島?二模）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)

收集了7組觀測數(shù)據(jù)（%其）（，=1,2,乙,7）得到下面的散點(diǎn)圖：

35o

3OO

4-25o

、

s敘20o

t15o

10o

5O

°2022263236

24283OC34

S/0

由此散點(diǎn)圖，在20c至36℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方

程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+b\nx

x

【答案】C

【解析】由散點(diǎn)圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)），隨著溫度x的增長速度越來越快，

所以），=“+加'最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型.

故選：C

2.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）2021年10月16H,搭載神舟十三號載人飛船的長征二號尸遙十

三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，載人飛船精準(zhǔn)進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將3名宇航員送入太

M

空，發(fā)射取得圓滿成功.已知在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式口=%小一計(jì)算火

m

箭的最大速度Wm/s）,其中%（m/s）是噴流相對速度，皿kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（kg）是推

M

進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，一稱為“總質(zhì)比若某型火箭的噴流相對速度為1000m/s,當(dāng)總質(zhì)比為625時，

m

該型火箭的最大速度約為（)(附：Ige?0.434,1g2?0.301)

A.5790m/sB.6219m/sC.6442m/sD.6689m/s

【答案】C

【解析】V=vnIn—=1000XIn625=1000=1000X^^^?6442m/s

mIgeIge

故選：c.

3.（2022?海南?？?二模）在核酸檢測時，為了讓標(biāo)本中0M4的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測到的閾值，通常

采用PCR技術(shù)對LWA進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量.在此過程中，的數(shù)量X,,（單位：〃g/〃L）與PCR擴(kuò)

增次數(shù)n滿足X,,=X。X16,其中X。為DNA的初始數(shù)量.已知某待測標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為

0.1〃g/〃L,核酸探針能檢測到的LWA數(shù)量最低值為10〃g/z/L,則應(yīng)對該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少

為（）（參考數(shù)據(jù)：lgl.6?0.20,In1.6?0.47）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】由題意知由=0」,X“=10,令10=0.1x1.6"，得1.6"=100,取以10為底的對數(shù)得〃lgL6=2,

2

所以“二

1g1.6

故選：B.

4.（2022?北京?二模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：mg/L）

與時間t（單位：h）間的關(guān)系為P=4e*,其中庶，上是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么

再過5h后污染物還剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

【答案】D

【解析】由題設(shè)，（1-19%）/>=/>e-10*,可得析*=0.9,

再過5個小時,P=（1-19%）/e』=（0.81x0.9）4=0.7296，

所以最后還剩余72.9%.

故選：D

5.（2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、

分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動的總稱.分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)

價值，力爭物盡其用.進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源

的消耗，具有社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益.已知某種垃圾的分解率V與時間/（月）滿足函數(shù)關(guān)系式

v=a-h'（其中。力為非零常數(shù)）.若經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為5%,經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解

率為10%,那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)lg2B0.3）

A.40個月B.32個月

C.28個月D.20個月

【答案】B

【解析】依題意v（6）=有ah6=/0.解05,得—?，

61=0.025,故Mf)=0.025x2%.令貝，)=1,得

1Vlg40_l+21g26x(l+0.6)

故，Tog「°==32

2%=40,/g。3

7

故選B.

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）有一批材料可以建成200m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一

塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形（如圖所示），若圍墻厚度不計(jì)，則圍成的矩形

B.2750m2

C.3000m2D.3500m2

【答案】A

【解析】設(shè)矩形的寬為加>,則該矩形的長為（200-4x）m,

所以，矩形的面積為S=x（200-4x）=-4（x2—50x）=-4（x-25）2+2500,其中0<x<50,

故當(dāng)x=25時，S取得最大值25001/.

故選：A.

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為了預(yù)防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內(nèi)部空間進(jìn)行全面消

毒.出于對顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，顧客方

可進(jìn)入商場.已知從噴灑藥物開始，商場內(nèi)部的藥物濃度）’（毫克/立方米）與時間「（分鐘）之間的函數(shù)

0.k,0<^<10

關(guān)系為y"門體-”函數(shù)的圖象如圖所示.如果商場規(guī)定9:30顧客可以進(jìn)入商場，那么開始噴灑藥

h）

物的時間最遲是（）

A.9:00B.8:40C.8:30D.8:00

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的圖象過點(diǎn)（KM）,

0.K0<Z<10

代入函數(shù)的解析式，可得=1，解得。=1，所以J。，

、J

令”0.25,可得0.1Y0.25或（丁40.25，

解得0<Y2.5或d30,

所以如果商場規(guī)定9：30顧客可以進(jìn)入商場，那么開始噴灑藥物的時間最遲是9:00.

故選：A.

8.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知某電子產(chǎn)品電池充滿時的電量為3000毫安時，且在待機(jī)狀態(tài)

下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電300毫安時；模式8：電量呈指

數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時刻算起，「小時后的電量為當(dāng)前電量的g倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時

開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機(jī)10小時后有超過5%的電量，則x的取值范圍

是（）

A.l<x<2B.\<x<2C.8<x<9D.8<x<9

【答案】C

【解析】由題意得，x小時后的電量為（3（XX）-300x）毫安，此時轉(zhuǎn)為B模式，

可得10小時后的電量為（3000-300x）?擊，則由題意可得

（3000-300x）->3000x0.05,

化簡得（10-X），，；7>0.5,

即10-X>29T

令m=10-x,則%

由題意得0cx<10,則0cm<10,

令加分別為1,2時，這個不等式左右兩邊大小相等,

由函數(shù)y=x和y=2*T的圖象可知，

該不等式的解集為l<m<2,

所以l<10—x<2,得8Vx<9,

故選：C

9.（多選）（2022?全國?高三專題練習(xí)）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地

震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級例之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M,

則下列說法正確的是（）

A.地震釋放的能量為1063焦耳時，地震里氏震級約為七級

B.八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍

C.八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍

D.記地震里氏震級為〃（〃=1,2,…，9,10）,地震釋放的能量為則數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列

【答案】ACD

【解析】對于A：當(dāng)E=10'53時，由題意得1g103=4.8+1.5M,

解得M=7,即地震里氏震級約為七級，故A正確;

對于B：八級地震即M=8時，lg&=4.8+1.5*8=16.8,解得片=10a,

r1小6.8

所以幺=—^=1（）15>10力6.3,

EIO153

所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的10,5倍，故B錯誤；

對于C：六級地震即M=6時，1g￡2=4.8+1.5x6=13.8,解得4=10”3,

E10,61,18

所以『鏟=1()3=1000

即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍，故C正確;

對于D：由題意得lga“=4.8+1.5〃("=1,2,9,10),

所以％=104-8+L5n,所以%=1048+L"”M>=[06.3+1.5”

1063+15M

所以3=群訪=1°"，即數(shù)列｛m｝是等比數(shù)列，故D正確；

故選：ACD

10.（多選）（2022?山東日照?三模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限r(nóng)（r>0）,勞累

程度T（O<T<1）,勞動動機(jī)/1<人<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10廣，"'，已知甲、乙為該公司

的員工，則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

B.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率低

C.甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱

D.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)

【答案】AC

【解析】設(shè)甲與乙的工人工作效率月，與，工作年限小4,勞累程度ZZ，勞動動機(jī)目也,

4,|4

對于A,b,=b2,rt>r2yTt<T2,i<b<5,0<b^'<]：,b^>^\7；>7；>0,

0

則￡,-￡2=10-107；?燈°”“一(10-10n?)=io(7；-T,?圻叫)>0,

E,>E2,即甲比乙工作效率高，故A正確；

044r

對于B,1=(，4>占仄>b2,Al>b；'>*”>b^>b^''

4r4rA4r

則￡,-￡2=10-107；-b^''-(10-107；-b^'-)=107；(b^-b^')>0,

/.Et>E2,即甲比乙工作效率高，故B錯誤:

對于C,b'=4，&>￡，4<G，

??.&-石2=10伍?小I,攵-4力”4"）>0,豈％0」如>工.婕叫

T人-0.14”

Z葉4I"

所以石>7；,即甲比乙勞累程度弱，故C正確；

對于D,r,=r2,Et>E2,b,<b2,0<^-<\,

b2

T14/j

4r2Mr

E,-E2=10（7；-b^'-T}-b^'）>0,心.靖>7；力嚴(yán)4“.?.上>餐建.=伯）4%-->],

Z比'

所以《>7；,即甲比乙勞累程度弱，故D錯誤.

故選：AC

11.（2022?河北?模擬預(yù)測）勞動實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會、回報

社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件

時，售價為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計(jì)為600+20X元，請你幫他計(jì)算日產(chǎn)量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【答案】2007.94

【解析】由題意易得日利潤y=sxx-（600+20x）=x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400,

故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，

故答案為：200,7.94.

12.（2022?全國?模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有療效，而低于500mg病人就有

危險.現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg,如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮

藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過小時內(nèi)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附：

1g2?0.3010,lg3?0.4771,精確到O.lh）

【答案】6.6

【解析】設(shè)xh后血液中的藥物量為mg,

則有y=20000-10%）',

令y21000得：x<lg2?-0-3010?6.6

yl-21g31-2x0.4771

故從現(xiàn)在起經(jīng)過6.6h內(nèi)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.

故答案為：6.6

13.（2022?北京東城?三模）某超市在“五一”活動期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元

（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律

享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購

物，分別挑選了原價為70元和280元的商品，如果兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比

他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價的比例分配，則小敏需要給小昭元.

【答案】61.6

【解析】由題可得兩人把商品合并由小昭一次性付款實(shí)際付款為（70+280）x0.8=280元，

他們分別支付應(yīng)付款為70+280x0.9=322元，故節(jié)省322-280=42元，

70

故小敏需要給小昭70-42x70+280=61.6元.

故答案為：61.6.

14.（2022?重慶?模擬預(yù)測）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于

20mg/100ml,已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量?。▎挝唬簃g）與時間x（單

位：h）的關(guān)系是：當(dāng)0<x<1時，>=_當(dāng)/+等x；當(dāng)時，y=—,那么該駕駛員在飲酒后

3II113x

至少要經(jīng)過h才可駕車.

【答案】5.5

，初上.、“11a27021080x=270,…1080

［解析】當(dāng)0cx<§時，>>=--—x+—^-__—（x-2）-+-p）-,

當(dāng)x=2時，函數(shù)有最大值等>20,所以當(dāng)0<x<?時，飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量小于

20mg/100ml,

當(dāng)當(dāng)xN1時，函數(shù)y="單調(diào)遞減，令y=L3=20=x=5.5,因此飲酒后5.5小時體內(nèi)每100ml血液中

的酒精含量等于20mg/100ml,

故答案為：5.5

15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話

亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，

3

其中AB=AE=],ZA=ZB=Z￡=90°,曲線段CO是圓心角為90。的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的面積

為S,周長為心則，的最大值為.(本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算)

【答案】6-3月

33

【解析】設(shè)圓弧的半徑為x(0<x<5),根據(jù)題意可得：BC=DE=AB-x=--x

S=—阻+=|x(|—x)+g-x卜=；-犬+等

2萬Y7TX

L=2AB+BC+DE+——=6-2x+—

42

Q-Y21

乃=3「.5=二^,L=6--x

42

?S-9~x2

'L-12-2x

根據(jù)基本不等式，行=36，當(dāng)卻僅當(dāng)；=§,即r=6石時取

673G[9,12),.」=6G時，1=6-

LJmax

故答案為：6-3百.

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定

成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)

,、400%——X2,(0<X<400)

R(x)=2'',其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量.

[80000,(x>400)

(1)將利潤火x)表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？(總收益=總成本+利潤)

【解】⑴由題意，當(dāng)囑上400時.，/(x)=400x-0.5x2-20000-100.r=300A--0.5x2-20000;

當(dāng)X〉400時，/(x)=80000-100x-20000=60000-100x；

---x2+300x-20000,(0M400)

故f(x)T2；

-100x+60000,(%>400)

(2)當(dāng)面*400時，f(x)=300x-0.5x2-20000；

當(dāng)x=300時，/(x),用=『(300)=25000(元)

當(dāng)X>400時，f(X)M</(400)=20000(元)

25000>20000,

二當(dāng)x=300時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元.

17.(2022?上海?華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí))如圖，某街道擬設(shè)立一占地面積為。平方米的

常態(tài)化核酸采樣點(diǎn)，場地形狀為矩形.根據(jù)防疫要求，采樣點(diǎn)周圍通道設(shè)計(jì)規(guī)格要求為：長邊外通道寬5

米，短邊外通道寬8米，采樣點(diǎn)長邊不小于20米，至多長28米.

(1)設(shè)采樣點(diǎn)長邊為x米，采樣點(diǎn)及周圍通道的總占地面積為S平方米，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指

明定義域；

(2)當(dāng)3004aW700時，試求S的最小值，并指出取到最小值時x的取值.

【解】(1)由題意采樣點(diǎn)及周圍通道構(gòu)成的矩形的長是(x+16)m,寬是(4+10)m,

X

故S=(x+16)(g+10)=比+10x+a+160,xe[20,28]；

XX

(2)由(1)知，5=—+10x+a+160,xe[20,28],

X

當(dāng)300Va4490時，S=—+10x+a+160>2./--10x+a+l60=8Vi0a+a+160,

當(dāng)且僅當(dāng)幽=10x即x=

時取等號，此時e[20,28],且滿足

X

故此時S的最小值為8y誠+“+160,此時

當(dāng)490<aS700時，令穴0=幽+10田+。+160,*可20,28],

X

則f'M=-摩+10=亞丁。,[20,28],

JTXxe

>28,故小)=*普<?！盵2。,28],

由于廣。）=0時，x=

即/(x)=3^+10x+a+160,xe[20,28]單調(diào)遞減,

X

故/(x)mM=/(28)=￥+440,止匕時x=28,滿足尤>色

7x

故S的最小值為華+440,此時x=28.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生

態(tài)水果特色小鎮(zhèn)經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料尤（單位：千克）滿足

5（X2+3）,0<X<2

如下關(guān)系:W(x)=?50%，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

-------,2<xW5

1+x

費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為f（x）（單

位：元）

⑴寫單株利潤/（x）（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式;

（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

5(X2+3),0<X<2

【解】⑴依題意/(x)=15W(x)-10x-20x,又W(x)=,

50/。=

-------,2<x?5

ll+x

75x2-30x+225,0giJr2

/(x)=〈750x

-30x,2<A;,5

U+x

（2）當(dāng)噫!k2時，/（X）=75x2-30x+225,開口向上，對稱軸為*=『

???/（x）在［0,§上單調(diào)遞減，在g,2］上單調(diào)遞增,

??J(x)在[0,2]上的最大值為f(2)=465.

當(dāng)2c%,5時，/(x)=780-30(F+1+x),,780-30x2J6?(1+x)=480,

當(dāng)且僅當(dāng)‘2土5=1+》時，即x=4時等號成立.

\+x

V465<480,.?.當(dāng)x=4時，/(^)_=480.

/.當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在正方形A8CD中，\AB\=2,點(diǎn)”從點(diǎn)A出發(fā)，沿A—BTC—DTA

方向，以每秒2個單位的速度在正方形A8CO的邊上運(yùn)動：點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿BTCTOTA方向，以每

秒1個單位的速度在正方形ABCD的邊上運(yùn)動.點(diǎn)M與點(diǎn)N同時出發(fā)，運(yùn)動時間為1（單位：秒），4AMN

的面積為/"）（規(guī)定4,M,N共線時其面積為零，則點(diǎn)M第一次到達(dá)點(diǎn)A時，何⑺的圖象為

（）

【答案】A

【解析】①OStSl時,

f(r)=^\AM\-\BN\=^-2t-t=t2；

②1<&2時，

③2<Y3時，

/(r)-l|M2V|-|BC|=|M?V|=|2(r-2)-(r-2)|=r-2;

④3cd4時，

2

/(f)=1|AM|-|D7V|=l[2-2(r-3)].[2-(r-2)]=(Z-4);

一溺1

所以,其圖象為選項(xiàng)A中的圖象,

t-2,2<t?3

（f-4了,3<f”4

故選：A.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣

韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形08截去同心扇形所得部分.已知扇環(huán)周

長=300cm,大扇形半徑。力=100cm,設(shè)小扇形半徑。4=Acm,NAO8=6弧度，則

①e關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。（幻=

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于X的解析式為W"）=10X+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為

100+2x

【答案】xe（0,100）；3

100+無

【解析】由題意可知，ZAOB=0,OA=x,00=100,

所以4B="x，AD=BC=\00-x,。。=1006>,

扇環(huán)周長AB+AD+BC+DC=3》+200-2》+100。=300,

解得，=^^,xe(0,100),

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S,

則埸形.

S=s-SIIMAOB=^ODDC--OAAB

=1x100x1000」.Xe=50000-紇2=(5000-口股2

2222)100+x

即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為〃?，

_5_(10000-x2)(100+2x)_(100-x)(50+x)

以龍)2(100+X)(10A-+1700)10(X+170)

令f=x+170,則x=-170,

（270-Z）（r-120）-產(chǎn)+390,-120x270J^Z2+39

..772--=--

IOrlOr10t

1227

<-2J--X+39=-36+39=3,當(dāng)且僅當(dāng)，=180時（即x=10）取等號,

V10tO

所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為3.

故答案為：制,㈣；3

第16講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)“xhem+lMx+l）,/'（0）=4,則“=（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（耳=①”上產(chǎn)，其導(dǎo)函數(shù)記為了'（X）,則

/（389）+/-（389）+/（-389）-f（-389）=（）

A.2B.-2C.3D.-3

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為（）

①（3。'=3"log,e;@（log,4=-^7:③1*）'=/；④=x;⑤1e、j=d+l.

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?湖南?長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)y=21n（x+l）+sinx的圖象在x=0處的切線對應(yīng)的傾斜角

為。，則sin2。=（）

3「3「3-3

A.—B.土—C.-D.±—

101055

14

5.（2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知〃，6為正實(shí)數(shù)，直線>=尤一。與曲線y=ln（x+A）相切，則一+工

ab

的最小值為（）

A.8B.9C.10D.13

6.（2022?湖北?襄陽五中模擬預(yù)