山東省濟(jì)寧市2023屆高三二模擬數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

山東省濟(jì)寧市2023年高考二模擬考試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

i

z--------_

1.若復(fù)數(shù)1-2i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A={2,5,m2-,B={2,m+3],若AB=B,則m=（）

A.-3B.-1C.2D.3

3."a=1■"是“直線(xiàn)x+2ay-l=0與直線(xiàn)（a-l）x-qy—1=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，

激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加

學(xué)校4x100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不

同棒次安排方案總數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

5.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)2（3,0）作圓。：（%-1）2+（丁—20）2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A3.則

直線(xiàn)A3的方程為（）

A.x—>/3_y+3—0B.x+-\/3y+3-0

C.y/3x—y+3=0D.y/3x+_y+3=0

6._ABC的內(nèi)角A5C的對(duì)邊分別為a,4c,若AB邊上的高為2c,A=二，貝|cosC=（）

3A/10D.6

105

jr

7./、/'為兩條直線(xiàn)，。,尸為兩個(gè)平面，滿(mǎn)足：/c/'=O,/與/的夾角為一,a///?,/，/。與月之間的

6

距離為2.以/為軸將/'旋轉(zhuǎn)一周，并用名。截取得到兩個(gè)同頂點(diǎn)。（點(diǎn)O在平面。與月之間）的圓錐.設(shè)

這兩個(gè)圓錐的體積分別為X、％,則匕+匕的最小值為（）

*兀2n

A.—B,注C.—D.

339~9~

、13TC.1-.、

8.設(shè)a——,/?=In—,c=—sin—,貝(J()

2222

A.b<a<cB.a<b<

C.c<b<aD.b<c<a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測(cè)試中的分?jǐn)?shù)及班級(jí)平均分表.下列敘述中正

確的是（）

測(cè)試序號(hào)

學(xué)生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同學(xué)138127131132128135

乙同學(xué)130116128115126120

丙同學(xué)108105113112115123

班級(jí)平均分128.2118.3125.41203115.7122.1

A.甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平

B.乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不穩(wěn)定，總在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)

C.丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終低于班級(jí)平均水平

D.通過(guò)與班級(jí)平均分的對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高

10.已知機(jī)>0,〃>0,且機(jī)+〃=2/也1,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>1B.m+n<42C.m2+H2>2D.2m+n>3+2A/2

11.若點(diǎn)e（cos&sina）,Q“（sin&cosQ）（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，^eR,HeN*）,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.|心2|的最大值為2

B.△。匕?！懊娣e的最大值為g

C.OR-O&G(-1,1)

2023

D.若數(shù)列濕｝是以了為首項(xiàng)，工為公差的等差數(shù)列，則￡由2|=674百

43j=i

12.已知正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,M為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()

兀兀

A.若M為線(xiàn)段AC上任一點(diǎn)，則?！芭c用q所成角的范圍為

B.若M為正方形AD24的中心，則三棱雉Af—A3D外接球的體積為8兀

C.若M在正方形。CC12內(nèi)部，且|班|=#，則點(diǎn)M軌跡長(zhǎng)度為立兀

2

471

D.若三棱雉的體積為一,NM￡>C=—恒成立，點(diǎn)M軌跡的為橢圓的一部分

36

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線(xiàn)。：儼=6%的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M(x,y)(y>0)為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，若|MF|=g,則點(diǎn)M的

坐標(biāo)為.

14.已知aeR,函數(shù)=貝ija=.

15.在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制.甲、乙兩隊(duì)小組賽中相見(jiàn)，積分規(guī)則如下：

以3:0或3:1獲勝的球隊(duì)積3分，落敗的球隊(duì)積0分；以3:2獲勝的球隊(duì)積2分，落敗的球隊(duì)積1分.若

甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為0.6,則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下，甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概

率是.(用分?jǐn)?shù)表示)

16.已知向量4、/?不共線(xiàn)，夾角為6，且卜卜2,忖=1,卜+20+,一40=4收，若

遞<2<2應(yīng)，則Icos。|的最小值為.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.己知函數(shù)/(x)=cos4x-sin4x+sin[2x-巳].

IT

(1)求函數(shù)/(x)在0,-上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移。。J個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)

于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在-：,口上的值域?yàn)?g,l,求夕的取值范圍.

18.己知數(shù)列｛a.｝的前幾項(xiàng)和為+a“+i=2an(H>2,neN*),且％=1,65=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

[a,〃為奇數(shù)()

⑵若勿=；,求數(shù)列出｝的前2〃項(xiàng)和心.

〃為偶數(shù)

19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)

(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

1頻率

\組距

0.030.............1-?

0.004[--------1…+……~~?_

?！?5右5565758595初殺成績(jī)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；

(2)若所有學(xué)生初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，

a-14.初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)

不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)人了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為第三道題答對(duì)的概率為b.若

他獲得一等獎(jiǎng)的概率為！，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為尸，求尸的最小值.

8

附：若隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),則P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

尸(A-2cr<X<〃+2cr)b0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

20.如圖，圓柱的軸截面A3CD是邊長(zhǎng)為6的正方形，下底面圓的一條弦E尸交CD于點(diǎn)G,其中

DG=2,DE=DF.

(1)證明：平面AEF_L平面ABCD;

4

(2)判斷上底面圓周上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角P-跖-A的余弦值為二.若存在，求”的長(zhǎng);若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

21.已知雙曲線(xiàn)C:二-斗=1(4>0,6>0)的離心率為g",c的右焦點(diǎn)口到其漸近線(xiàn)的距離為卡.

ab

(1)求該雙曲線(xiàn)。的方程；

(2)若直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C第一象限交于A3兩點(diǎn)，直線(xiàn)x=3交線(xiàn)段A3于點(diǎn)Q,且

SFAO：SFBO=|1%|：|￡四，證明：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn).

22.已知函數(shù)/'(X)="ltlnx,85)=3e』+1,a為實(shí)數(shù).

x

(1)若/(x)<e恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若方程/(x)=g(x)恰有3個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的值

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1

Z——

1.若復(fù)數(shù)l—2i,貝i]z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出I從而求出其所在的象限即可.

ii(l+2i)-2+i--2i

【詳解】z=z=---------

l-2i(l-2i)(l+2i)555

_(21

故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)I-j,--

則三在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.

故選:C.

2.已知集合A={2,5,n?—加},B={2,m+3},若AB=B,則機(jī)=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)A3=5得出m+3=5或加+3=H?一加，分別求出加的值，并檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足集合中元素

的互異性，即可得出，”的值.

【詳解】因?yàn)锳B=B,

所以〃z+3=5或m+3=根？—根,

當(dāng)加+3=5時(shí)，即加=2,

則4={2,5,2},不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)W2+3=一加時(shí)，“2=3或機(jī)=-1,

當(dāng)機(jī)=T時(shí)，A={2,5,2},不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，A={2,5,6},§={2,6}滿(mǎn)足題意，

所以7篦=3,

故選：D.

3.!■"是"直線(xiàn)》+2紗-1=0與直線(xiàn)(a-l)x-金一1=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由兩直線(xiàn)平行得出。的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

/、1x(―。)=2a?(a—1),

【詳解】若直線(xiàn)x+2ay—1=0與直線(xiàn)(a—l)x—?dú){—1=0平行，則有〈〉/(；：解得

。=0或。=；,所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)x+2ay—1=0與直線(xiàn)(a—l)x—ay—1=0平行，當(dāng)直線(xiàn)

x+lay—1=0與直線(xiàn)(a—l)x—?dú){一1=0平行時(shí)，a=0或a=,.

故選：A

4.為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，

激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加

學(xué)校4x100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不

同棒次安排方案總數(shù)為()

A.48B.36C.24D.12

【答案】B

【解析】

【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類(lèi)求解可得.

【詳解】當(dāng)甲排第1棒時(shí)，乙可排第2棒或第4棒，共有A；A：=24種；

當(dāng)甲排第2棒時(shí)，乙只能排第4棒，共有A；=12.

故甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為24+12=36種.

故選：B

5.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P(3,0)作圓O：(x-If+U—2百)2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A3.則

直線(xiàn)A3的方程為()

A.x-回+3=0B.x+y/3y+3=0

C.y/3x—y+3=0D.+y+3=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出以P(3,0)、。(1,2g)為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦A3所在直線(xiàn)的

方程.

【詳解】圓O:(x—l)2+(y—26)2=4的圓心為。(1,2指)，半徑為2,

以尸(3,0)、。(1,2石)為直徑，則PO的中點(diǎn)坐標(biāo)為N(2,/),|PO\=^(3-1)2+(2A/3-0)2=4.

...以N為圓心，PO為直徑的圓的方程為(1—2)2+(y—=4,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)尸(3,0)圓O:(x—+(y—2百)2=4的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)分別為A,B,

所以A3是兩圓的公共弦，

將兩圓方程相減可得公共弦A3所在直線(xiàn)的方程為：x-3y+3=0.

故選：A.

7T

6.ABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,4c,若A3邊上的高為2c,A=—,貝|cosC=()

4

AVwR3M「3石nV5

A.----D.-----C.----D.

1010105

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知，用c表示出。、b,然后由余弦定理可得.

【詳解】如圖，A5邊上的高為C2

JTTT

因?yàn)锳=—，所以AD=2c,2c=bsin—

44

所以BD=c,b=2Oc,

由勾股定理可得5C=而+4c2=超，

5c2+8。2-c23A/10

由余弦定理可得cosZACB=

2XV5CX2A/2C10

jr

7./、，為兩條直線(xiàn)，戊,尸為兩個(gè)平面，滿(mǎn)足：/C/'=。/與/'的夾角為二,。//，,/，。,。與夕之間的

距離為2.以/為軸將，旋轉(zhuǎn)一周，并用名尸截取得到兩個(gè)同頂點(diǎn)。（點(diǎn)。在平面戊與夕之間）的圓錐.設(shè)

這兩個(gè)圓錐的體積分別為匕、%,則K+匕的最小值為（）

【答案】D

【解析】

【分析】?jī)蓚€(gè)圓錐的軸截面如下圖所示，設(shè)=九OQ=2-力，由題意表示出

1I-n-

再由圓錐的體積公式求出K+%,令〃//）=—兀川+（2一域，0〈丸＜2,對(duì)/（與求導(dǎo)，即可求出了（S

9--

的最小值即K+匕的最小值.

【詳解】?jī)蓚€(gè)圓錐的軸截面如下圖所示，01,Q分別為兩圓錐的底面圓的圓心，設(shè)半徑分別為名為，

0。2,DE,OR±BC,直線(xiàn)DE,BC分別為兩圓錐與a,尸的交線(xiàn)，

因?yàn)閍與夕之間的距離為2,所以設(shè)OO]=/z,OQ=2—九，

TT7T

因?yàn)?與/'的夾角為乙，所以/DOE=g,由圓錐的性質(zhì)知，OB=OC,OD=OE,

63

所以_ODE,_O3C為等邊三角形，所以tan/O3C=襄=2二2=百，

BO2r2

所以弓=早=#（2—力），同理4=岑丸，

所以X+匕=!兀,2丸+g71G2(2_")=:兀力h+Ln%2一垃(2-A)

1r3一

=—7i川+(2—/z),0</z<2>

9——

1ro-

令§兀［"+(2—

/=B兀［3/i2_3(2_/z)〔=g兀(_4+4/i)=0,解得：h=l,

所以當(dāng)/ze(O,l)時(shí)，(伍)<0,當(dāng)/ie(l,+”)時(shí)，/'(//)>0,

所以/(/?)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

2

所以小L=/⑴=鏟?

所以v+匕的最小值為甘.

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造g(x)=xTTnM%>。)，對(duì)g(x)求導(dǎo)，可得g(x)單調(diào)性和最值，可知x—12Inx,得

7T

出。>〃，同理構(gòu)造/(x)=5sinx—x,可得c>。，即可得出答案.

1X—}

［詳解］4g(x)=x-l-lnx(x>0),g'(x)=l――==——,

JVJC

令g'(x)>0,解得：x>l；令g'(x)<0,解得：0<%<1；

所以g(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(D=°，所以X—l?lnX，

由x-lNlnx可知a>人

jrjr(7T|

設(shè)/(x)=—sinx-x,則—(%)=—cos%-1在區(qū)間0,—上是減函數(shù).

2216J

后-4

>0.

4-

所以函數(shù)"X）在區(qū)間0,個(gè)上是增函數(shù)?

所以/（：］〉/（0）=0，即巴sin^>J.即：C>a.

（2）222

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測(cè)試中的分?jǐn)?shù)及班級(jí)平均分表.下列敘述中正

確的是（）

測(cè)試序號(hào)

學(xué)生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同學(xué)138127131132128135

乙同學(xué)130116128115126120

丙同學(xué)108105113112115123

班級(jí)平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1

A.甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平

B.乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不穩(wěn)定，總在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)

C.丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終低于班級(jí)平均水平

D.通過(guò)與班級(jí)平均分的對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高

【答案】ABD

【解析】

【分析】將每位同學(xué)的成績(jī)與班級(jí)平均分比較，判斷正誤.

【詳解】甲同學(xué)每次成績(jī)都高于平均分，故A正確；

乙同學(xué)3次成績(jī)高于平均分，3次成績(jī)低于平均分，故B正確；

丙同學(xué)第6次成績(jī)高于平均分，故C正確；

丙同學(xué)成績(jī)逐漸提升，且第6次成績(jī)高于平均分，故D正確.

故選：ABD.

10.已知m>0,〃>0,且帆+〃=2/m1,則下列結(jié)論中正確的是()

A.mn>1B.m+n<\[2C.m2+n2>2D.2m+n>3+2A/2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式可得7加21，可判斷A,C選項(xiàng),特殊值法判斷B,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】因m>0,n>0,m+n=2mn>

2mn—m+n>2yjmn>所以〃當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=1等號(hào)成立，故A正確，

當(dāng)m="=1,m+"=27”〃，則相+九=1+1>0,故8錯(cuò)誤；

因?yàn)?加121,所以加2+"222”加22，故c正確；

當(dāng)加=〃=1時(shí)，則2帆+〃=3<3+2虛，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.若點(diǎn)匕(cosQ,sinq),0(sinQ,cosQ)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，QeR,“eN*),則下列結(jié)論中正確的是

()

A.的最大值為2

B.△。巴2面積的最大值為T(mén)

C.O￡JOQH(-1,1)

2023

D.若數(shù)列也,｝是以巴為首項(xiàng)，g為公差的等差數(shù)列，則X由21=674,

43i=i

【答案】AB

【解析】

【分析】匕,?！瓣P(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，且都在圓爐+產(chǎn)=1上，根據(jù)圖象結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算判斷AC；當(dāng)點(diǎn)匕

在了軸正半軸上時(shí)，OPnLOQn,此時(shí)△。匕Q的面積取最大值，從而判斷B；由三角恒等變換得出

|^e?|=2sin(|H-1),結(jié)合周期性判斷D.

【詳解】易知片,?！瓣P(guān)于直線(xiàn)丁=%對(duì)稱(chēng)，且都在圓x2+/=i上，

對(duì)于AC：由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)C2,過(guò)原點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)y=x時(shí)，I月2/取最大值，

此時(shí)山,2,1=2,0Pn0Qn=-\0Pn[\0Qn\=-l,故A正確，C錯(cuò)誤;

對(duì)于B：由于匕xO2,sinNQ,0匕，

所以當(dāng)sinNQ〃Cq=l時(shí)，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)匕在y軸正半軸上時(shí)，OPnLOQn,△。5Q的面積取最大值,

此時(shí)△。匕?！钡拿娣e為gxlxl=g,故B正確；

JT7T

對(duì)于D：由題意e=—?—(〃—1),

"43

\P?Q?\=J(cos%_sinq)2+(sin%—cos%_sin26?“，

2

sin23n=sin[W+g(“-1)]=cos^-^-(H-1)^=l-2sin]?(〃一1)],

則因Q|=2sind"?),因?yàn)楹瘮?shù),=sin(殳〃-工)的周期為2兀X9=6,

3333兀

所以函數(shù)y=2sin(：〃—號(hào)的周期為3,因?yàn)槌觥?|=0,|鳥(niǎo)。2|=6,區(qū)。3|=百，

2023

所以Z由q=674（由0+IRQ|+區(qū)QI）+674X2近+0=13486，

Z=1

故D錯(cuò)誤；

故選：AB

12.已知正方體ABC?！狝4G2的棱長(zhǎng)為2,M為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）

7171

A.若M為線(xiàn)段AC上任一點(diǎn)，則。/與瓦G所成角的范圍為

B.若M為正方形AD24的中心，則三棱雉Af—A3。外接球的體積為8兀

C.若加在正方形。CC1A內(nèi)部，且|MB|=痛，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度為交兀

2

471

D.若三棱雉"-3DG的體積為一，/〃℃=—恒成立，點(diǎn)用軌跡的為橢圓的一部分

36

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)異面直線(xiàn)夾角分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得AC與的交點(diǎn)。即為三棱錐

4-A3D的外接球的球心，結(jié)合錐體的體積公式分析運(yùn)算；對(duì)于C：分析可得“。=虛，結(jié)合圓的周長(zhǎng)

分析運(yùn)算；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：過(guò)點(diǎn)、M作MNHBC交DC于點(diǎn)、N,連接

則ND[MN即為DXM與所成角的平面角，且MN"N.

當(dāng)點(diǎn)M由點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)N由點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng),

線(xiàn)段2N逐漸變長(zhǎng)，逐漸變短，

DN

所以tan4D[MN=逐漸變大.

MN

ITTT

又當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A處時(shí)，加押=工；當(dāng)點(diǎn)加在點(diǎn)。處時(shí)，ADXMN=~.故A正確.

對(duì)于B：由題意可知：A3/平面AD2A，。同,聞0<=平面4。24,

則AB_LDW,AB，AM,

又因?yàn)锳MLDW,ABAM=A,4民聞0<=平面48",

所以DM1平面ABM,

BMu平面MM,則。

故AMAD和△A3。均為直角三角形.

所以AC與6D的交點(diǎn)。即為三棱錐M-ABD的外接球的球心，半徑R=-BD=41,

2

此外接球的體積丫=3兀?（亞了=手7r.故B不正確.

對(duì)于C：由題意可知：CMu平面。CG2，

則

點(diǎn)M在側(cè)面DCG2內(nèi)，滿(mǎn)足MC=1MB2—BC?=拒，

故點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C為圓心，半徑為夜的四分之一圓弧，

所以點(diǎn)知的軌跡的長(zhǎng)度為;?2兀?（魚(yú)）=#兀，c正確.

對(duì)于D：設(shè)三棱錐”―5DC的高為〃，

由三棱錐”―的體積為工丸x^x2jlx2拒x走=±，解得/7=m,

32233

即點(diǎn)M到平面BDC1的距離為28.

3

對(duì)于三棱錐C-3DC1，設(shè)高為4,

由體積可得g4xx2A/2x2A/2x=^-x2x-^-x2x2,解得九=~^~

即點(diǎn)C到平面BDC］的距離為正,

3

可得：點(diǎn)4到平面MRC的距離為2叵，平面與與平面5。。］的距離為2回,

33

故點(diǎn)M在平面BRC或?yàn)辄c(diǎn)C,

TT

若NMD1C=7,空間點(diǎn)M的軌跡為以為軸的圓錐表側(cè)面，

顯然點(diǎn)C不滿(mǎn)足題意，

4百_

設(shè)2c與平面耳2c所成的角為。，則.A3瓜1，

sin8==——>—

2V232

故平面用2c與圓錐側(cè)面相交，且平面與2。與不垂直，故平面與圓錐的截面為橢圓,

顯然點(diǎn)2不合題意，所以點(diǎn)M的軌跡為橢圓的一部分，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線(xiàn)、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間

軌跡與探求平面軌跡類(lèi)似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化.對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，

注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.對(duì)每一道軌跡命題必

須特別注意軌跡的純粹性與完備性.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線(xiàn)C:/=6x的焦點(diǎn)為b，點(diǎn)M（羽y）（y>0）為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，若|MF|=g,則點(diǎn)M的

坐標(biāo)為.

【答案】（1，遙）

【解析】

【分析】利用條件和拋物線(xiàn)的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C:/=6x,所以2=3,又

所以由拋物線(xiàn)定義知|MP|=X+K=%+—=—,得到x=l,

11222

又由_/=6,y〉0,得到y(tǒng)=#,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,C），

故答案為：（1,76）.

14.已知aeR,函數(shù)/（x）=3）,X〉2,3）=2,貝ija=______.

V+a,x<2'\"

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)自變量的大小帶入相應(yīng)解析式列方程可解.

【詳解】因?yàn)橹稹?,所以/（百）=log2（5—3）=1W2,

所以/（/（逐））=AD=3+a=2,解得。=一1.

故答案為：-1

15.在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制.甲、乙兩隊(duì)小組賽中相見(jiàn)，積分規(guī)則如下：

以3:0或3:1獲勝的球隊(duì)積3分，落敗的球隊(duì)積。分；以3:2獲勝的球隊(duì)積2分，落敗的球隊(duì)積1分.若

甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為0.6,則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下，甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概

率是.（用分?jǐn)?shù)表示）

7

【答案】—

11

【解析】

【分析】設(shè)“甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分”為事件A,“甲隊(duì)前2局比賽都獲勝”為事件5,分甲隊(duì)以

3:0或3:1獲勝，求得尸（A）,P（AB）,再由條件概率公式求解即可.

【詳解】甲隊(duì)以3:0獲勝，即三局都是甲勝，概率是[9]=—,

甲隊(duì)以3:1獲勝，即前三局有兩局甲勝，第四局甲勝，概率是=這，

設(shè)“甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分”為事件A,“甲隊(duì)前2局比賽都獲勝”為事件8,

甲隊(duì)以3:1獲勝，即前2局都是甲勝，第4局甲勝，概率是

55625

271622754189

則P(A)=---1-------1----

125625HI，0（期二125625625

則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下,

189

甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概率P（B|A）=,北=297=^7=H,

625

7

故答案為：—.

16.已知向量6不共線(xiàn)，夾角為8,且「|=2,忖=1,卜+2囚+卜—九0=4近，若

延<幾<2亞，則Icos81的最小值為.

3

【答案】顯

2

【解析】

【分析】依題意作出如下圖形，令FQ=a,月4=無(wú)?，根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則及橢圓的定義得到點(diǎn)

P的軌跡，求出其軌跡方程，由彳的取值范圍，得到|OP|=羊時(shí)，|cosq的值最小，此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

,再代入橢圓方程計(jì)算可得.

【詳解】如圖耳。24及。8PA為平行四邊形，耳（一2,0）,7^（2,0）,

令Fq=a,F^Ab,則耳P=a+4b,F2P=OA=-^a-Ab）,

因?yàn)椴?叫+卜_叫=40,即歸耳|+|P閭=40,

由橢圓的定義可知點(diǎn)尸的軌跡是以耳（一2,0）,耳（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓其中口=20、c=2,

22

所以其軌跡方程為三+—=1,

84

因?yàn)槿軦<242,所以當(dāng)4A/3,即|。耳=乎時(shí)，|cos6|的值最小,

3

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為cos0,—sin

3

7

才22

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代人橢圓L+y1得

8Tb__Lb__Ll

84

6

解得|cose|=.

故答案為：叵

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則及橢圓的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算..

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

4?4?|r\兀

17.己知函數(shù)/(x)=cosx-sinx+sin2x——

I6

,JT

(1)求函數(shù)/(x)在0,-上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/*)的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)

于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在-：,夕上的值域?yàn)?g,l,求々的取值范圍.

71

【答案】(1)0,-

o

715兀

(2)—,—

\_1212]

【解析】

【分析】(1)先化簡(jiǎn)〃幻，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得出答案；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱(chēng)性求出9、g(x),再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

f(%)=cosx—sinx+sin|2x~j=―cos2xH-----sin2%—sin\2xH—

I6；22I6

因?yàn)閤e0,g,所以2x+/e

_2」666

TT

所以當(dāng)2x+?e,即:xe0,-時(shí)，函數(shù)/(九)單調(diào)遞增.

oo26

71

所以函數(shù)八幻的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-

o

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：g(x)=sin[^2x+2^+^

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn),o]成中心對(duì)稱(chēng).

JTJTSJTk

所以2X—+2°+—=E,Z：￡Z.解得：(p=----\--Ti.keZ.

36122

jrjr

因?yàn)镺<0<一,所以左=1,夕=—.所以g(x)=sin

412

兀71717tIT]

當(dāng)工￡一~1a時(shí)，2x+—e——.'la+—.因?yàn)間Cr)在7,a上的值域?yàn)橐淮蟆?/p>

436342

jrjr7冗jrSjrjr5兀

所以彳＜2。+彳＜^.解得：?所以夕的取值范圍為—.

2361212L1212J

18.已知數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S",a“_]+a“+i=2%("22,〃eN*),且q=1,S5=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

7〃為奇數(shù)()

⑵若a=為俾將，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和

2%,〃為偶數(shù)

【答案】(1)an=n

r\2n+\?

2

⑵T2n=n+-——

-3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解，

(2)由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由4-1+a“+i=2a”(n＞2),得an+l-an=an-a,T(n,2)

所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.所以S5=5X%^=5%=15,得％=3.

所以公差〃=發(fā)二幺=1.所以?！?”.

3-1

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，b“=a“=n.當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)用=2如=2力.

所以心"=(4+2++^2?-1)+(^2+^4++處)=(1+3++2〃-1)+(2+23+.+22"T)

3

19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)

(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

O-35455565758595

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；

(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，

a-14.初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)

不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)人了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為第三道題答對(duì)的概率為6.若

他獲得一等獎(jiǎng)的概率為:，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為尸，求尸的最小值.

附：若隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布N(〃,b2),則P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

「(A-2cr<X<〃+2cr)a0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

【答案】(1)62(2)182

【解析】

【分析】(1)由頻率直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；

(2)由分析知〃=62,(7土14,則〃+2(729。，由3o■原則求解即可；

13

(3)由題意可得出P=/+--------,對(duì)求導(dǎo)P,得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出答案.

4a8

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為了

貝ij元=10(40x0.01+50x0.02+60x0.03+70x0.024+80x0.012+90x0.004).

解得:元=62.所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)X近似