東南大學(xué)工程矩陣理論試卷樣卷及答案修改

第頁工程矩陣理論試卷樣卷10a一,假如。1,記。證明：是的子空間。2,若A是單位矩陣，求。3,若，。求這里V（A）的一組基及其維數(shù)。4,假如。問：對上一題中的和，是否為直和？說明理由。解：1,證明子空間，即為證明該空間關(guān)于加法和數(shù)乘封閉。即若有，，。設(shè)，，EMBEDEquation.DSMT4是的子空間。2,若A是單位矩陣，則，因為對單位陣I來說，恒成立，故，。3,若，，設(shè)，有，即，，→有，故=故X的一組基為，維數(shù)為2。4,，即，其基為。下面計算，若，則是直和。。=（,基的極大線性無關(guān)組），為極大線性無關(guān)組（可以不求，從上式即可看出），+不是直和。二,假如，，在上定義變換如下：。1,證明：是上的線性變換。2,求在的基下的矩陣M。3,試求M的jordan標準形，并寫出的最小多項式。4,問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？解：1,有：，有←加法封閉，有←數(shù)乘封閉EMBEDEquation.DSMT4是上的線性變換。2,3,M的若當(dāng)標準形為，的最小多項式為4,，，基礎(chǔ)解系為，，，，基礎(chǔ)解系為這四個基礎(chǔ)解系所對應(yīng)的基均線性無關(guān)，故能找到找到的基，使得的矩陣為對角陣。三,設(shè)的子空間，，求，使得。解：思路：求V的基→由該基生成；V的含義是指在V中找一向量，使得的距離最短，即找尋在V中的正投影。作圖如右側(cè)。V由，得V的基為， 則，，或四,設(shè)，求及矩陣函數(shù)。解：（2重根）時，，故A的jordan標準形為，A的最小多項式為。令，（計算略）令，(太麻煩了，不算啦！)五,已知矩陣A的特征多項式及最小多項式都等于，并且矩陣。1,分別給出A和B的jordan標準形；2,問：A及B是否相像？為什么？解：A的特征多項式及最小多項式都等于，故A的jordan標準形為：A和B有相同的jordan標準形，故A,B相像。六,已知矩陣，求A的廣義逆矩陣。解：對A進行分塊：對進行滿秩分解，對進行滿秩分解，七,證明題：1,假如是歐幾里德空間V中單位向量，V上的線性變換如下：對隨意，（鏡像變換）。證明：是V上的正交變換。證明：要證是V上的正交變換，只要證明下的矩陣是一個正交矩陣即可。將擴充V上的一組標準正交基，可看出，下的矩陣中，全部的行向量或列向量均為單位正交向量，故是V上的正交變換。2,設(shè)H陣A，B均是正定的，并且AB=BA，證明：AB是正定矩陣。證明：A，B均是正定的H陣，故，，且酉矩陣P,Q，st.,要證明AB是正定矩陣，首先要證