2021年四川省高考數(shù)學試卷（文科）（甲卷）

2021年四川省高考數(shù)學試卷（文科）（甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合”={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則MCN=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

2.（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.(5分)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()

A.-1-J./B.-\+3.iC.-3+iD.-A-/

2222

4.(5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-xB.f(x)=(―)*C.f(x)=/D.f(x)=五

5.（5分）點（3,0）到雙曲線義￡-工：=1的一條漸近線的距離為（）

169

A.旦B.&C.AD.A

5555

6.（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=

5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

（）（1對5-1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

7.（5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三

棱錐4-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側(cè)視圖是（）

正視圖

8.（5分）在△ABC中，已知8=120°,AC=^/19，AB=2,則BC=（）

A.IB.A/2C.V5D.3

9.（5分）記％為等比數(shù)列｛即｝的前〃項和.若S2=4,S4=6,則*=（）

A.7B.8C.9D.10

10.（5分）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

cosQ

11.(5分)若ae(0,2L),tan2a=則tana=()

22-sinQ

A.運B.2ZLc.遮

D.

15533

12.（5分）設(shè)/（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f(1+x)=f(-x).若f(--

則f(立)=()

A.-1B.-Ac.AD.5

3333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

—?—?

（分）若向量之，滿足討則后尸_______?

13.5E=3,la-bl=5>a?b=l，

14.（5分）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30TT,則該圓錐的側(cè)面積為.

15.（5分）已知函數(shù)f（x）=2cos（3x+（p）的部分圖像如圖所示，則/（-工）=

2

日+￡=1的兩個焦點，P,。為C上關(guān)于坐標原點對

16.（5分）已知尸i，尸2為橢圓C:

164

稱的兩點，且|PQ=|QF2|，則四邊形尸尸|。尸2的面積為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:

共60分。

17.（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩

臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-bc)2

附：K~=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心沁）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（12分）記S”為數(shù)列｛斯｝的前"項和,已知斯＞0,a2=3ai，且數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列,

證明：｛斯｝是等差數(shù)列.

19.（12分）己知直三棱柱ABC-4BC1中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CCi的中點，BF±AiBi.

（1）求三棱錐F-E8C的體積；

（2）已知。為棱4以上的點，證明：BF1.DE.

DBi

c

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)—cPx^+cvc-3lrvc+\,其中”>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.

21.(12分)拋物線C的頂點為坐標原點。，焦點在x軸上，直線/：x=l交C于P,Q兩

點，且。尸_LOQ.已知點M(2,0),且0M與/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)設(shè)Ai，A2,A3是C上的三個點，直線A1A2,4A3均與。M相切.判斷直線A2A3

與。M的位置關(guān)系，并說明理由.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標系X。)，中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，

曲線C的極坐標方程為P=2A/2COS0.

(1)將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)設(shè)點A的直角坐標為(1,0),M為C上的動點，點尸滿足方=加高，寫出P

的軌跡Ci的參數(shù)方程，并判斷C與Ci是否有公共點.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)f(x)=\x-2\,g(x)=|2r+3|-|2x-1|.

(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像：

(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范圍.

?y

2021年四川省高考數(shù)學試卷（文科）（甲卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合例={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則例AN=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【分析】直接根據(jù)交集的運算性質(zhì)，求出MCN即可.

【解答】解：因為N={x|2x>7}={x|x>1},M={1,3,5,7,9),

2

所以MCN={5,7,9）.

故選：B.

2.（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年

收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

，,頻率

組距

020------------------------------————

0.14-----------------------——

0.10---------------------------------------------------——

0.04-----------------------------------------------------------------

0.02-1-------------------------------------------------------------------1------1-------1

okvJ------------------------------1--1---1—

2.53.54.55.56.5758.59510.511.512.513.514.5收入/萬元

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項A,B,D,

利用平均值的計算方法，即可判斷選項C.

【解答】解：對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）X]

=0.06=6%,故選項A正確；

對于8,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為(0.04+0.02X3)X1=0.1=

10%,故選項B正確；

對于C,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8

X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5萬元，故選項C

錯誤；

對于Q,家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為(0.1+0.14+0.2+0.2)XI=0.64

>0.5,

故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項。正

確.

故選：C.

3.(5分)已知(1-02z=3+2i,貝ijz=()

A.-1-3B.-1+.2/C.D.一旦-i

2222

【分析】利用復數(shù)的乘法運算法則以及除法的運算法則進行求解即可.

【解答】解：因為(1-z)2z=3+2i,

所以.3+2i_3+2i(3+2i)i_-2+3i

zTTT7F2母

故選：B.

4.(5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-xB.f(x)=("I")"C.f(x)=/D.f(x)=

【分析】結(jié)合基本初等函數(shù)在定義域上的單調(diào)性分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知=-x在R上是減函數(shù)，不符合題意;

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知/G)=(2)，在R上是減函數(shù)，不符合題意;

3

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)=，在R上不單調(diào)，不符合題意；

根據(jù)幕函數(shù)性質(zhì)可知/(x)=也在R匕單調(diào)遞增，符合題意.

故選：D.

22

5.(5分)點(3,0)到雙曲線三_--=1的一條漸近線的距離為()

169

A.9B.@C.AD.A

5555

【分析】首先求得漸近線方程，然后利用點到直線距離公式，求得點(3,0)到一條漸

近線的距離即可.

22

【解答】解：由題意可知，雙曲線的漸近線方程為1—匚=0,即3x±4_y=0,

169

結(jié)合對稱性，不妨考慮點（3,0）到直線3x-4y=0的距離，

則點（3,0）到雙曲線的一條漸近線的距離

79^165

故選：A.

6.（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=

5+/gV.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

（）（1如^^1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D,0.6

【分析】把L=4.9代入L=5+/gV中，直接求解即可.

【解答】解：在一=5+叱中,L=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得丫=10一°」=1_1=120.8,

To377L259

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

7.（5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三

棱錐A-E尸G后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側(cè)視圖是（）

正視圖

【分析】作出正方體，截去三棱錐A-EFG,根據(jù)正視圖，擺放好正方體，即可求解側(cè)

視圖.

【解答】解：由題意，作出正方體，截去三棱錐A-EFG,根據(jù)正視圖，

可得A-EFG在正方體左側(cè)面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，

可得相應的側(cè)視圖是。圖形，

故選：D.

B'

8.（5分）在△ABC中，已知B=120°,AC=V19>AB=2,則BC=（）

A.1B.A/2C.V5D.3

【分析】設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,利用余弦定理得到關(guān)于。的方程，解

方程即可求得a的值，從而得到BC的長度.

【解答】解：設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,

結(jié)合余弦定理，可得19=/+4-2XaX2Xcosl20°,

BP（^+2a-15=0,解得a=3（“=-5舍去），

所以BC=3.

故選：D.

9.（5分）記外為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若S2=4,64=6,則%=（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得S2,54-S2,S6-S4成等比數(shù)列，從而得到關(guān)于的的方程,

再求出56.

【解答】解：為等比數(shù)列他”｝的前〃項和，52=4,54=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知S2,54-52,S6-S4成等比數(shù)列，

二4,2,S6-6成等比數(shù)列,

.?.22=4（S6-6）,解得S6=7.

故選：A.

10.（5分）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【分析】先計算出3個1和2個0隨機排成一行，2個0相鄰的概率，再利用對立事件概

率之和等于1,即可求解.

【解答】解：將兩個0捆綁在一起，進行插空，故共有A；種方法，

卜4

故2個0不相鄰的概率P=1—―0.6,

人5

A2A3

A2A3

故選：C.

C0S(I

11.(5分)若aE(0,-2L),tan2a=-~-_,則tana=()

22-sinCl

A.運

B.金C.近D.

15533

【分析】把等式左邊化切為弦，再展開倍角公式，求解sina,進一步求得cosa,再由商

的關(guān)系可得tana的值.

［解答］解：由tan2a=cosa,得sin2a=cosCI

2-sinClcos2a2-sinCI.

即2sinaccisacosJ

l-2sin2a2-sinCl

VaG(0,—；.cosa#0,

2

則2sina(2-sina)=1-2sin2a?解得sina=：,

4

2

則cosa=71-sinCl=耳^，

._sina.后

..tana=---———『―=———?

cosCLJ1515

4

故選：A.

12.(5分)設(shè)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且=/(-x).若f(-▲)=1,

33

則/(§)=()

3

A.-AB.-Ac.AD.$

3333

【分析】由已知f(-x)=-f(x)及/(1+x)=-，(x)進行轉(zhuǎn)化得了(2+x)=f(x),

再結(jié)合/(-2)=』從而可求.

33

【解答】解：由題意得/(-X)=-/(X),

又/(1+x)=f(-x)=-f(x),

所以f(2+x)=f(x),

又」=工，

33

則f（A）=/（2-A）=/1（」）=工

,3333

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）若向量a,b滿足lal=3,|a_bl=5,a，b=l，貝”bl=_3^2_-

【分析】由題意首先計算（7一1）2,然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可.

【解答】解：由題意，可得金4）2=；2一22年+32=25，

因為lal=3,a，b=l，所以9-2X1+/二25，

所以$=18,另|=后=3板?

故答案為：次歷.

14.（5分）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30n,則該圓錐的側(cè)面積為39n.

【分析】由題意，設(shè)圓錐的高為〃，根據(jù)圓錐的底面半徑為6,其體積為30n求出〃，再

求得母線的長度，然后確定圓錐的側(cè)面積即可.

【解答】解：由圓錐的底面半徑為6,其體積為30m

設(shè)圓錐的高為/?,則（兀X62）Xh=30兀，解得h］，

所以圓錐的側(cè)面積S=7Trl=兀X6X與=39兀.

故答案為：39TT.

15.（5分）已知函數(shù)/（x）=2cos（3x+（p）的部分圖像如圖所示，則f（2L）=-瓜?

【分析】根據(jù)圖象可得/（X）的最小正周期，從而求得3,然后利用五點作圖法可求得

<p,得到f（x）的解析式，再計算/（匹）的值.

2

【解答】解：由圖可知，/（X）的最小正周期7=匹（132L-2L）=加

3123

所以3=2上=2,因為/（工）=0,

T3

所以由五點作圖法可得2X三+e=三，解得5=-工，

326

所以/（x）=2cos（2r-

所以/（工）=2cos（2X=-2L）--2COS2L=-A/3.

2266

故答案為：-^3?

22

16.（5分）已知Q,尸2為橢圓C：三一+匚=1的兩個焦點，P,。為C上關(guān)于坐標原點對

164

稱的兩點，且尸。尸尸尸2|，則四邊形PFi。/2的面積為8.

【分析】判斷四邊形PQQ改為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.

【解答】解：因為尸，。為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|FIF2|，

所以四邊形PQQF2為矩形，

設(shè)|PFi|=m,\PF2\=n,

由橢圓的定義可得PF1l+IPEI="?+〃=2a=8,

所以“尸+2如?+“2—64,

因為|PQ|2+|PF2|2=|尸1尸2『=402=4（J-廿）=48,

即m2+“2=48,

所以mn=S,

所以四邊形PF1QF2的面積為|PFI||PF2|=/M〃=8.

故答案為：8.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:

共60分。

17.（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩

臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附：壯=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】(1)根據(jù)表格中統(tǒng)計可知甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)和頻數(shù)，再求出頻率值即可;

(2)根據(jù)2X2列聯(lián)表，求出片，再將K2的值與6.635比較，即可得出結(jié)論；

【解答】解：(1)由題意可得，甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，

因為甲的一級品的頻數(shù)為150,所以甲的一級品的頻率為典=3；

2004

因為乙的一級品的頻數(shù)為120,所以乙的一級品的頻率為上型=3；

2005

2

(2)根據(jù)2X2列聯(lián)表，可得K2=7一4a%c)__

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=皿國包園231FO.256>6.635.

270X130X200X200

所以有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.(12分)記S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，已知斯>0,。2=3。1，且數(shù)列｛、同｝是等差數(shù)列,

證明：｛a”｝是等差數(shù)列.

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為“，可用何、偲求出"，得到外的通項公式，

利用an=S?-Sn.i可求出an的通項，從而證明｛斯｝是等差數(shù)列.

【解答】證明：設(shè)等差數(shù)列｛向)的公差為4,

由題意得何=歷；后=亞芯=板；=2e;’

則〃=底一底=2向-百=曰,所以&=6+(而=g?

所以S"=〃2al①；

當”》2時，有8一1=(〃-1)20②.

=_

由①②，得anSnS”.1=〃％|-(?-|)~a\=(2〃-I)ai③，

經(jīng)檢驗，當〃=1時也滿足③.

所以斯=(2?-1)a\,”eN+,

當n》2時，an-an-\=(2?-1)ai-(2n-3)a\=2a\,

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

19.(12分)已知直三棱柱ABC-48C1中，側(cè)面A4B18為正方形，AB=BC=2,E,F

分別為AC和CCi的中點，BFVA\B\.

(1)求三棱錐F-EBC的體積；

(2)已知。為棱481上的點，證明：BFLDE.

【分析】(1)先證明A3,平面BCC\B\,即可得到AB1BC,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

可知CE=M=BE，最后根據(jù)三棱錐的體積公式計算即可；

(2)取BC中點G,連接EG,BiG,先證明EG〃AB〃Bi。，從而得到E、G、8八。四

點共面，再由(1)及線面垂直的性質(zhì)定理可得8/J_EG,通過角的正切值判斷出

NCBF=NBBiG,再通過角的代換可得，BFLB\G,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得8尸

J_平面EG81O,進而得證.

【解答】解：(1)在直三棱柱ABC-481。中，BB\VA\B\,

XBF±AiB\,BBiCBF=B,BB\,8Fu平面BCCiBi，

平面BCC\B\,

'：AB//A\B\,

."B"L平面BCCiBi,

.'.ABIBC,

又AB=BC,i^AC=V22+22=2V21

，CE=V2=BE，

而側(cè)面AA\B\B為正方形，

.11

.?CFaCCiaAB=1，

；，V^SAEBC，CF=4x4X^2x亞Xl],即三棱錐F-EBC的體積碼;

OOoO

(2)證明：如圖，取BC中點G,連接EG,B\G,設(shè)BiGC8F=H,

?.?點E是AC的中點，點G時BC的中點，

：.EG//AB,

：.EG//AB//B]D,

：.E、G、Bi、。四點共面，

由⑴可得AB_L平面BCGBi，

；.EG_L平面BCCiBi，

J.BFLEG,

：tanNCBFtanZBB,且這兩個角都是銳角，

DUN1DD?Z

:.NCBF=NBBiG,

：.ZBHB\=NBGBi+NCBF=ZBGB\+ZBB\G^90Q,

又EGCBiG=G,EG,BiGu平面EG81。，

.\BF_L平面EGB\D,

又QEu平面EGB\D,

：.BF±DE.

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=后內(nèi)5-3/^+1,其中a>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.

【分析】(1)對/(x)求導得f(x)=(2ax+3)(ax-1),分析/(x)的正負，即

X

可得出/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)可知，/(x)(1),由y=/.(x)的圖像與x軸沒有公共點，得3+3/w

a

>0,即可解出〃的取值范圍.

【解答】解：(1)/(x)=2a2x+a-g=2a2x2+ax-3=(2ax+3)(ax-l),x>0(

XXX

因為〃>0,

所以

2aa

所以在(0,A)上，f(X)<0,f(x)單調(diào)遞減，

a

在(_L,+8)上，f(x)>0,f(X)單調(diào)遞增.

a

綜上所述，/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(工，+8)上/(X)單調(diào)遞增.

aa

(2)由(1)可知，f(x)???=/(A)=dx(A)2+axl-3lnl.+\=3+3lna,

aaaa

因為y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點，

所以3+3lna>0,

所以a>—,

所以。的取值范圍為(工，+8).

e

21.(12分)拋物線C的頂點為坐標原點。，焦點在x軸上，直線/：x=l交C于P,。兩

點，KOP1OQ.已知點M(2,0),且。M與/相切.

(1)求C,。"的方程；

(2)設(shè)4,A2,2是C上的三個點，直線4A2,443均與0M相切.判斷直線A2A3

與OM的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)由題意結(jié)合直線垂直得到關(guān)于。的方程，解方程即可確定拋物線方程，然

后利用直線與圓的關(guān)系確定圓的圓心和半徑即可求得圓的方程；

(2)分類討論三個點的橫坐標是否相等，當有兩個點橫坐標相等時明顯相切，否則，求

得直線方程，利用直線與圓相切的充分必要條件和題目中的對稱性可證得直線與圓相切.

【解答】解：(1)因為x=l與拋物線有兩個不同的交點，故可設(shè)拋物線C的方程為：/

=2px(p>0),

令x=l,貝!Jy=±V^，

根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在x軸下方，故

P（l,每），Q（l,-V^）,

因為。P_L。。，故1W2PX（W2P）=0〉P=,'

拋物線C的方程為：，=x,

因為0M與/相切，故其半徑為1,故（DM:（X-2）2+y2=l.

另解：（1）根據(jù)拋物線的對稱性，由題意可得/POx=/QQx=45°,

因此點P,。的坐標為（1,±1）,

由題意可設(shè)拋物線C的方程為：/=2px（p>0）,

可得p=工,

2

因此拋物線C的方程為y2=x.

而圓M的半徑為圓心M到直線/的距離為1,

可得。M的方程為（%-2）2+/=1.

（2）很明顯，對于A02或者AM3斜率不存在的情況以及A2A3斜率為0的情況滿足題

意.否則:

設(shè)4（XI,川），42（X2，”），43（X3，V3）.

當Ai,A2,A3其中某一個為坐標原點時（假設(shè)4為坐標原點時）,

12k|

設(shè)直線4A2方程為履-y=O,根據(jù)點M（2,0）到直線距離為1可得=1,解

71+k2

得無=+返,

-3

聯(lián)立直線A|A2與拋物線方程可得x=3,

此時直線A2A3與OM的位置關(guān)系為相切，

當Ai,A2，A3都不是坐標原點時，即xiWxzWo，直線A1A2的方程為x-（yi+”）>yi”

此時有，』丫途2I=],即（yj_]）y：+2y[丫2+3-4=0,

V1+（yl+y2）

同理，由對稱性可得，（yj-1）yg+2yly3+3-t；=0'

所以”，心是方程t2+2y]t+3-y；=0的兩根,

3-y?

則

麗,y2y3不

依題意有，直線A2A3的方程為x-（”+”）y+y2y3=0,

3-yf22

(2寸

2（2+y2y3產(chǎn)

令M到直線AM3的距離為d,則有d=------------2=i,

］+何2+了3）-2Y12

此時直線AM3與0M的位置關(guān)系也為相切,

綜上，直線A2A3與?！ㄏ嗲?

（2）另解：設(shè)4（v2,H）,i=l,2,3,

Ji

2

由直線的兩點式可知，直線A1A2的方程為（y/_y22）（y-y2）=（川-"）（》-y2）,

化簡可得x-(yi+”)y+yi”=0,

￥22

因為直線4A2與圓M相切，所以7」2+1丫21口=(2+yy)=1+(yi+y2)

V1+(yl+y2)2

整理得(yj-1)yg+2yly2+3-y：=0,

同理有(yf-l)y3+2y1y3+3-yf=0>

所以處”是關(guān)于y的方程（3-1）丫2+2丫產(chǎn)+3_娟=0的兩個根,

,-2713-yf2

WIJy2+y3=_TT>y2y3^7'

y!-1

依題意有，直線AM3的方程為X-（"+）'3））+"）'3=0,

22

(2+y2y3產(chǎn)

2

令M到直線AM3的距離為人則有d='+2

i+(y2y3^.

1+(-21,