重難點(diǎn)專題22 解三角形大題十四大題型匯總（原卷版）

重難點(diǎn)專題22解三角形大題十四大題型匯總題型1正余弦定理的應(yīng)用 1題型2余弦定理求最值與取值范圍 2題型3正弦定理求最值與取值范圍 4題型4不對(duì)稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題 5題型5三角形中線問題 7題型6三角形角平分線問題 8題型7三角形高線垂線問題 10題型8普通多三角形問題 12題型9四邊形問題 13題型10面積最值取值范圍問題 15題型11與三角函數(shù)結(jié)合 16題型12三角形個(gè)數(shù)問題 18題型13證明問題 19題型14實(shí)際應(yīng)用題 21題型1正余弦定理的應(yīng)用1.若式子含有a，b，c的2次齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，"角化邊"2.面積和a，b，c2次齊次式，可構(gòu)造余弦定理【例題1】（2022秋·新疆伊犁·高三?？茧A段練習(xí)）已知a、b、c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，a(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面積為3，求b、【變式1-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a(1)求角C的大??；(2)若sinA,sinC【變式1-1】2.（2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=2，內(nèi)角A，B，C(1)求a的值；(2)求sin(2C【變式1-1】3.（2023秋·廣東揭陽·高三普寧市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，設(shè)A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b(1)求角B；(2)若b=5，△ABC的內(nèi)切圓半徑r=【變式1-1】4．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)求角A；(2)若a=7，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=3，求【變式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a(1)求角B的大??；(2)在①a,b,c成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，題型2余弦定理求最值與取值范圍”齊次對(duì)稱結(jié)構(gòu)”余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；【例題2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足：(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為233，求【變式2-1】1.（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┰凇鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2(1)求角A；(2)若△ABC的面積為1，求a的最小值【變式2-1】2.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考期末）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，且2(1)求C的值．(2)若△ABC的面積為1，求△【變式2-1】3.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2(1)求角C；(2)若c=2，求△【變式2-1】4.（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知tan(1)求角B；(2)若△ABC是鈍角三角形，且a=c+2題型3正弦定理求最值與取值范圍采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；【例題3】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)求角A；(2)若a=43，求【變式3-1】1.（2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在①b2+c2在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，(1)求角A；(2)若a=43，求【變式3-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c(1)求角A的大??；(2)若b=22，求(3)求b+【變式3-1】3.（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tan(1)求角C的大??；(2)若△ABC是銳角三角形，且其面積為3，求邊c的取值范圍【變式3-1】4.（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b(1)求A；(2)若a=6，求△ABC【變式3-1】5.（2024秋·山東臨沂·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin(1)若B=π3(2)求C的最大值．【變式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足a(1)求角A；(2)若△ABC為銳角三角形，求4sin題型4不對(duì)稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.【例題4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①2sinA-sinB=2sin問題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若c=2，求2【變式4-1】1.（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，a,b,c分別是角A(1)若△ABC的面積為34，求(2)求c-2【變式4-1】2.（2023秋·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且4(1)求cosB(2)求b2a【變式4-1】3.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且c(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，求a【變式4-1】4.（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a(1)求角A的大小；(2)若D為BC上一點(diǎn)，∠BAD=∠CAD，AD=3【變式4-1】5.（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a(1)求A的值；(2)若BC邊上的中線AD=1，求△ABC【變式4-1】6.（2023秋·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量p=2b,2c-(1)求B的大??；(2)求aca【變式4-1】7.（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學(xué)考試）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C(1)若A=π3(2)求cosA+題型5三角形中線問題1.可以利用向量法2.倍長中線：中線可延長，補(bǔ)成對(duì)稱圖形3.中線可借助補(bǔ)角.【例題5】（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，cos(1)求A的大小；(2)若a=7，c=3，D為BC【變式5-1】1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，且滿足a(1)求B；(2)若b=3，且△ABC的面積為3，BD是△ABC的中線，求【變式5-1】2.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C(1)證明：ba(2)點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，且CD=6,【變式5-1】3.（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c①2acosB+b-2在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，并作答．(1)求角A；(2)已知△ABC的面積為3，AD是BC邊上的中線，求AD【變式5-1】4.（2023秋·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a(1)求角A；(2)若sinBsinC=23，題型6三角形角平分線問題角平分線如圖，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c技巧1：內(nèi)角平分線定理：AB技巧2：等面積法S?技巧3：邊與面積的比值：AB技巧4:角互補(bǔ)：∠ABD+∠在△ABD中，在△ADC中，【例題6】（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為(1)求角B；(2)若b=6，D為AC邊上一點(diǎn)，BD為角B的平分線，且BD=4，求△【變式6-1】1.（2023·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=3,AC=2,D為BC(1)若BC=3，求CD與AD(2)若∠ADC=60°，設(shè)∠BAD【變式6-1】2.（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為邊BC上一點(diǎn)，AD(1)若△ABC的面積S=2,∠ADB(2)若D為∠BAC的角平分線與邊BC的交點(diǎn)，c=2,【變式6-1】3.（2023秋·浙江紹興·高三浙江省上虞中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a(1)求角C；(2)若b=2，角C的平分線CD=3，求【變式6-1】4.（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？家荒＃┰冖賑=12；②a問題：已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,(1)求b的值；(2)若∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E，求線段AE的長注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．題型7三角形高線垂線問題【例題7】（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)求sinC(2)若D是BC上一點(diǎn)，AC⊥AD，求△【變式7-1】1.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC

(1)求BC的長；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求(3)求sinB【變式7-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊長分別為a，b，c，∠B=π

(1)求sinC(2)點(diǎn)D在BC上，AD⊥AC，AD【變式7-1】3.（2023秋·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）已知H為銳角△ABC的垂心，AD,BE(1)求cosAcos(2)求cos∠CAB【變式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2sin2B(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求【變式7-1】5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）△ABC中，角A,B,C(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC題型8普通多三角形問題高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如S2.三角函數(shù)法：在Δ【例題8】（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C(1)求A；(2)若D是BC上的一點(diǎn)，且BD:DC=1:2,【變式8-1】1.（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a，b，c，且有：sin(1)求角B的大??；(2)設(shè)AC=9，若點(diǎn)M是邊AC上一點(diǎn)，且AM=12MC【變式8-1】2.（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且5(1)求sinB(2)若a=5,c=2,D是線段AC【變式8-1】3.（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3(1)求A；(2)點(diǎn)D在線段AC上，且AD=13AC，若△ABD的面積為3【變式8-1】4.（2024秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，A+B(1)若cosA=4(2)若A=2C，D為AB延長線上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且AE=3，【變式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos(1)求角B的大?。?2)若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，∠EDF=π3，b=c=4.設(shè)∠BDE題型9四邊形問題四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對(duì)角線，分解為有公共邊倆三角形.如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對(duì)角互補(bǔ)這個(gè)隱形條件【例題9】（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校考開學(xué)考試）如圖，已知平面四邊形ABCD存在外接圓（即對(duì)角互補(bǔ)），且AB=5，BC=2，(1)求△ABC(2)若DC=DA，求△【變式9-1】1.（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)

(1)求∠ABE及BD(2)若∠BCD=60°，求【變式9-1】2.（2022秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ACB=∠ADC=90°，

(1)若CD=3，求(2)若∠CBD=30°，求【變式9-1】3.（2023秋·湖南永州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，△ABC外一點(diǎn)D（D與△ABC在同一平面內(nèi)）滿足∠BAC=∠

(1)求B；(2)若△ABC的面積為2，求線段AD的長【變式9-1】4.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△BCD為等腰三角形，BC=3，點(diǎn)A，E在△BCD外，且DE

(1)求BE的長度；(2)求AB+題型10面積最值取值范圍問題【例題10】（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=4，且(1)求cosC(2)求△ABC面積的最大值【變式10-1】1.（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）△ABC的內(nèi)角A、B、C(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△【變式10-1】2.（2023秋·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD=90°，D=60°，AC

(1)求cos∠(2)若AB=5【變式10-1】3.（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)校考二模）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b．c．已知a(1)求A；(2)若a=3，求【變式10-1】4.（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c(1)求sin2(2)若a=2，求△ABC題型11與三角函數(shù)結(jié)合【例題11】（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω(1)求fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=π3，a=fA，且【變式11-1】1.（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）已知向量m=cosx,sinx(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若fA=2，b+c=22【變式11-1】2.（2023秋·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，fx=4(1)求角A；(2)若點(diǎn)D在BC上，滿足BC=3DC，且AD=7【變式11-1】3.（2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+(1)求函數(shù)fx(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若afC2+π6+【變式11-1】4.（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx(1)求fx(2)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a【變式11-1】5．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ

(1)求gx(2)在△ABC中，若gA=-3，AB=2題型12三角形個(gè)數(shù)問題【例題12】（2022秋·山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：43S-b2=c2-a2,【變式12-1】1.（2022·河南開封·統(tǒng)考三模）已知△ABC中，∠B=60°，∠(1)求AC；(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，給出三種數(shù)值方案：①AD=3；②AD=15；③AD=21.判斷上述三種方案所對(duì)應(yīng)的△ABD【變式12-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acosC+ccos(1)求a；(2)請(qǐng)從下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，探究滿足條件的△ABC的個(gè)數(shù)，并說明理由條件：①S=312a2+c注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【變式12-1】3.（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，記△OBC，△OAC，△OAB的面積分別為S1，S2(1)在①acosC+ccosA=1；②4sinBsinA+(2)若△ABC為銳角三角形，求△ABC題型13證明問題【例題13】（2024秋·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a(1)求A；(2)若D為邊BC上一點(diǎn)，且BD=13BC，AD【變式13-1】1.（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(1)證明：b=(2)若cosB=34，c【變式13-1】2.（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面積為103，D為BC的中點(diǎn)，DE

(1)求△DEF(2)若AD=1292，求【變式13-1】3.（2023秋·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A,B(1)證明：cosC(2)若b2=ac【變式13-1】4.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3acos(1)證明：tanA(2)若a2+b【變式13-1】5.（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2(1)求證：sinB，sinA，(2)求tanA【變式13-1】6.（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點(diǎn)D、E、F．

(1)試證明：BD(2)若P為重心，AD=5,BE=4,題型14實(shí)際應(yīng)用題【例題14】（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）天門山，古稱嵩梁山，位于湖南省張家界市永定區(qū)大庸中路11號(hào)，屬武陵山脈向東進(jìn)入洞庭湖平原的余脈.為了測(cè)量天門山的海拔，某人站在海拔600米的點(diǎn)A處，他讓無人機(jī)從點(diǎn)A起飛，垂直向上飛行400米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得天門山的最高點(diǎn)C處的仰角為45°，他遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)B處移動(dòng)到點(diǎn)D處（BD平行于地平面），已知B與D之間的距離為518米，從點(diǎn)D處測(cè)得天門山的最高點(diǎn)C處的仰角為α（tanα=2

(1)設(shè)平面β過BD且平行于地平面，點(diǎn)C到平面β的距離為h米，求BC與CD的長（用h表示）；(2)已知cos∠BCD【變式14-1】1.（2023秋·山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）為美化校園，某學(xué)校將一個(gè)半圓形的空地改造為花園.如圖所示，O為圓心，半徑為aa>0米，點(diǎn)A，B，P都在半圓弧上，設(shè)∠NOP=∠POA

(1)若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀線路，由線段NA，AB，BM三部分組成，則當(dāng)θ取何值時(shí)，參觀線路最長？(2)若在花園內(nèi)的扇形ONP和四邊形OMBA內(nèi)種滿杜鵑花，則當(dāng)θ取何值時(shí)，杜鵑花的種植總面積最大？【變式14-1】2.（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北α角方向的OB，位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=313km，且∠AOM=β.現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)M，其中tan

(1)求大學(xué)M與站A的距離AM；(2)求鐵路AB段的長AB.【變式14-1】3.（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿AB和橫檔CD構(gòu)成，并且E是CD的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng)．十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從A點(diǎn)觀察．滑動(dòng)橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時(shí)視線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，DE的影子恰好是AE．然后，通過測(cè)量AE的長度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角∠CAD

(1)在某次測(cè)量中，AE=40，橫檔的長度為20(2)在桿AB上有兩點(diǎn)A1，A2滿足AA1=12AA2．當(dāng)橫檔CD的中點(diǎn)E位于【變式14-1】4.（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長AB，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到∠ACB=∠DCB，∠ACD為鈍角，AC=5

(1)求sin∠(2)若測(cè)得∠BDC=∠BCD1.（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，b(1)求∠A(2)若BC邊上一點(diǎn)D，滿足BD=2CD且AD=2.（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C(1)求a+c(2)若a<b