專題04 統(tǒng)計概率（解答題11種考法）專練（解析版）

專題04統(tǒng)計概率（解答題11種考法）1．（2023·陜西咸陽·?？既＃┠炒笮推髽I(yè)生產的產品細分為個等級，為了解這批產品的等級分布情況，從流水線上隨機抽取了件進行檢測、分類和統(tǒng)計，并依據以下規(guī)則對產品進行評分:檢測到級到級的評為優(yōu)秀，檢測到級到6級的評為良好，檢測到級到級的評為合格，檢測到級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計表:等級12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這件產品中隨機抽取件，請估計這件產品評分為優(yōu)良的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機抽取件產品，設這件產品中評分為優(yōu)秀的產品個數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）記事件A：產品的評分為優(yōu)秀，事件：產品的評分為良好.根據統(tǒng)計學原理，可以用樣本來估計總體，由統(tǒng)計表得，

.因為互斥，所以可以估計該件產品為優(yōu)良的概率為.（2）由(1)知，評分為優(yōu)秀的概率為，由題意得，則當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.所以的分布列為01234數(shù)學期望.2．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預測）某區(qū)在高中階段舉行的物理實驗技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的（否則終止比賽），才能進行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類題操作正確得20分.以兩步總分和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分為一等獎.某校選手李明類7題中有5題會操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.(1)求李明被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明獲二等獎的概率.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【解析】（1）解：設“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，故李明被終止比賽的概率.（2）解：設李明在競賽中，類題全部操作正確后得分為，則的取值為，且類題正確操作題數(shù)，可得；；；所求的分布列406080100.（3）解：設李明獲二等獎的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，所以李明獲二等獎的概率為.3．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）2022年的男足世界杯在卡塔爾舉辦，參賽的32支球隊共分為8個小組，每個小組有4支球隊，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每支球隊都要和同組的其他3支球隊各比賽一場.每場比賽獲勝的球隊積3分，負隊積0分.若打平則雙方各積1分，三輪比賽結束后，積分從多到少排名靠前的2支球隊小組出線（如果積分相等，還要按照其他規(guī)則來排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球隊分在同一個組，且甲隊與乙、丙、丁3支球隊比賽獲勝的概率分別為，，，與三支球隊打平的概率均為，每場比賽的結果相互獨立.(1)某人對甲隊的三輪小組賽結果進行了預測，他認為三場都會是平局，記隨機變量X＝“結果預測正確的場次”，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)假設各隊先后對陣順序完全隨機，記甲隊至少連續(xù)獲勝兩場的概率為p，那么甲隊在第二輪比賽對陣哪個對手時，p的取值最大，這個最大值是多少？【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】（1）由于甲隊每場比賽平局的概率都是，所以甲隊三場比賽打平的場次，即隨機變量服從二項分布，由題意得，其分布列如下：，，，，X0123P數(shù)學期望.（2）由已知得不同的對陣情況共有種，每種可能性出現(xiàn)的概率均為.設甲隊第二輪對陣乙隊至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，甲隊第二輪對陣丙隊至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，甲隊第二輪對陣丁隊至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，則；；；因為，所以甲隊在第二輪對陣乙隊時，p的取值最大，最大值為.4．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）某地區(qū)舉行數(shù)學核心素養(yǎng)測評，要求以學校為單位參賽，最終學校和學校進入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱；環(huán)節(jié)二：由學校和學校分別派出一名代表進行比賽．兩個環(huán)節(jié)按照相關比賽規(guī)則分別累計得分，以累計得分的高低決定名次．(1)環(huán)節(jié)一結束后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據，只知道從學校抽取12人，其答對題目的平均數(shù)為1，方差為1，從學校抽取8人，其答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；(2)環(huán)節(jié)二，學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結束后將題目一起放入乙箱中，然后學校代表再從乙箱中抽取題目，已知學校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求學校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．【答案】(1)這20人答對題目的均值為，方差為(2)【解析】（1）設學校答對題目的樣本數(shù)據為，學校答對題目的樣本數(shù)據為，由題意得，由題意得，所以這20人答對題目的均值為，由，得，由，得，，，這20人答對題目的方差為.（2）記“學校代表從乙箱中抽取的第一道題是選擇題”，“學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道選擇題”，“學校代表先從甲箱中依次抽取了一道選擇題，一道填空題”，“學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道填空題”，易知彼此互斥，，，，，，，，，.所以學校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率為.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┕信e行數(shù)學競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學年派出兩名同學，且每名同學都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學才具備參與決賽的資格.高三學年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學所有輪次比賽的結果互不影響.(1)若高三學年獲得決賽資格的同學個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）新高考改革后廣西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生5000名參加語數(shù)外的網絡測試?滿分450分，假設該次網絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】(1)種(2)①4093人；②不可信【解析】（1）甲乙兩個學生必選語文?數(shù)學?外語，若另一門相同的選擇物理?歷史中的一門，有種，在生物學?化學?思想政治?地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學?化學?思想政治?地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)共種方法；（2）①設此次網絡測試的成績記為，則，由題知，，，則，所以，所以估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有4093人；②不可信.，則，5000名學生中成績大于430分的約有人，這說明5000名考生中，會出現(xiàn)約7人的成績高于430分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，說法錯誤，此宣傳語不可信.7．（2023·福建廈門·廈門一中?？级＃┓▏鴶?shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據，記這k個數(shù)據的平均值為Y，則隨機變量，利用該結論解決下面問題.（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據都落在上，并經計算25個面包質量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.【答案】(1)（i）；（ii）理由見解析(2)分布列見解析，【解析】（1）（i）因為，所以，因為，所以，因為，所以；（ii）由第一問知，龐加萊計算25個面包質量的平均值為978.72g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，這就是龐加萊舉報該面包師的理由；（2）設取出黑色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學期望.8．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）隨著《2023年中國詩詞大會》在央視持續(xù)熱播，它將經典古詩詞與新時代精神相結合，使古詩詞綻放出新時代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學習古詩詞的熱情，掀起了學習古詩詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級全部1000名學生學習古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機抽取100名學生，對其測試成績（滿分：100分）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生測試成績的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）(2)若該校高二學生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據此估計該校高二年級學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內“詩詞大會”.該“詩詞大會”共有三個環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，在前兩個環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學生甲在三個環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設學生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨立的.記學生甲在這次“詩詞大會”中的累計得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期.（參考數(shù)據：若，則，，.【答案】(1)74分(2)159人(3)分布列見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為：（分）（2）由題意可得測試成績X近似服從正態(tài)分布所以，則所以人故該校高二年級學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；（3）隨機變量的所有可能取值為：，，，所以的分布列如下：數(shù)學期望.9．（2023·福建寧德·福鼎市第一中學?？寄M預測）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失?。?/p>

(1)求圖中的值；(2)根據已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為能否晉級成功與性別有關；晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計男16女50總計(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)(2)列聯(lián)表見解析，有(3)分布列見解析，3【解析】（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，可知，解得．（2）由頻率分布直方圖，知晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為，填表如下：晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計男163450女94150總計2575100所以，所以有的把握認為能否晉級成功與性別有關．（3）由（2）知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，此人晉級失敗的概率為，易知，則，，，，．所以的分布列為01234則．10．（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會導致自身受到風寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學數(shù)學建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學學生患感冒就診人數(shù)多少之間的關系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（）47891412新增感就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據：，(1)已知第一天新增感冒就的學生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學生中隨機取2位，其中男生人數(shù)記為X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率為，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)已知兩個變量x與y之間的樣本相關系數(shù)，請用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程，據此估計晝夜溫差為15時，該校新增感冒就診的學生人數(shù).參考數(shù)據：，【答案】(1)的分布列見解析；(2)15【解析】（1）因為，所以，所以，解得，即第一天新增患感冒而就診的學生有9位，其中男生4位，女生5位，則隨機變量X的可能取值為，且服從超幾何分布，其中，，，，的分布列為012數(shù)學期望為；（2）因為，所以，所以，由于，所以，所以，因為，，解得，所以，所以，當時，，據此估計晝夜溫差為15時，該校新增感冒就診的學生人數(shù)為.11．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預測）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術服務的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．已知在單位時間內，甲、乙兩種類型的無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設每次操作能否成功相互獨立．(1)該公司分別收集了甲型無人運輸機在5個不同的地點測試的兩項指標數(shù)，（），數(shù)據如下表所示：地點1地點2地點3地點4地點5甲型無人運輸機指標數(shù)24568甲型無人運輸機指標數(shù)34445試求與間的相關系數(shù)，并利用說明與是否具有較強的線性相關關系；（若，則線性相關程度很高）(2)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作．方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．附：參考公式及數(shù)據：，．【答案】(1)，是(2)方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值【解析】（1），，，，相關系數(shù)，因為，所以與具有較強的線性相關關系．（2）設方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，方案一：，，，所以．方案二：選擇其中一種操作設備后，進行2次獨立重復試驗，所以，所以，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值．12．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對原點的距離（單位：）的數(shù)據，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值.（表中）660(1)利用樣本相關系數(shù)的知識，判斷與哪一個更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型？(2)根據（1）的結果回答下列問題：（i）建立關于的回歸方程；（ii）樣本對原點的距離時，金屬含量的預報值是多少？(3)已知該金屬在距離原點米時的平均開采成本（單位：元）與關系為，根據（2）的結果回答，為何值時，開采成本最大？【答案】(1)(2)（i）；（ii）(3)10【解析】（1）因為的線性相關系數(shù)，的線性相關系數(shù)，，更適宜作為平均金屬含量關于樣本對原點的距離的回歸方程類型.（2）（i）依題意，可得，，，關于的回歸方程為.（ii）當時，金屬含量的預報值為.（3）因為，令，則，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，在處取得極大值，也是最大值，此時取得最大值，故為10時，開采成本最大.13．（2023·江西·校聯(lián)考二模）2023年高考進入倒計時，為了幫助學子們在緊張的備考中放松身心，某重點高中通過開展形式多樣的減壓游戲，確保同學們以穩(wěn)定心態(tài)，良好地狀態(tài)迎戰(zhàn)高考，游戲規(guī)則如下：盒子中初始裝有2個白球和1個紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的兩個球都是紅球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個白球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功.(1)如果某同學進行該抽球游戲時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過，假設有1000名學生獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據如下：1234512062332015求關于的回歸方程，并通過回歸方程預測成功的總人數(shù)（取整數(shù)部分）；(3)證明：．附：經驗回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據：，，（其中，）．【答案】(1)分布列見解析，；(2)，270；(3)證明見解析.【解析】（1）依題意，X的取值可能為1，2，3，則；；，所以X的分布列為：X123P所以數(shù)學期望為．（2）令，則，依題意，，于是，則，所以所求的回歸方程為：，估計t=6時，；估計t=7時，；估計t=8時，；估計t=9時，；估計t≥10時，，從而，所以預測成功的總人數(shù)為270．（3）依題意，在前n輪就成功的概率為，又因為在前n輪沒有成功的概率為，則，所以．14（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）云計算是信息技術發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計算市場規(guī)模數(shù)據統(tǒng)計表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345云計算市場規(guī)模y/億元692962133420913229經計算得：=36.33，=112.85.(1)根據以上數(shù)據，建立y關于x的回歸方程（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(2)云計算為企業(yè)降低生產成本?提升產品質量提供了強大助推力.某企業(yè)未引入云計算前，單件產品尺寸與標準品尺寸的誤差，其中m為單件產品的成本（單位：元），且=0.6827；引入云計算后，單件產品尺寸與標準品尺寸的誤差.若保持單件產品的成本不變，則將會變成多少？若保持產品質量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產品的成本將會下降多少？附：對于一組數(shù)據其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為=，.若，則，，【答案】(1)(2)，成本下降3元.【解析】（1）因為，所以，所以，所以，所以.（2）未引入云算力輔助前，，所以，又，所以，所以.引入云算力輔助后，，所以，若保持產品成本不變，則，所以若產品質量不變，則，所以，所以單件產品成本可以下降元.15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實時開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性，在持續(xù)高風速下5G信號的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價值體系的理想是為人類服務.”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認為它是科學技術的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領先技術的支持，5G經濟收入在短期內逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經濟收入y（單位：百萬元）關于月份x的數(shù)據如下表所示，并根據數(shù)據繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0(1)根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的結果及表中的數(shù)據，求出y關于x的回歸方程，并預測該公司7月份的5G經濟收入.（結果保留小數(shù)點后兩位）(3)從前6個月的收入中抽取2個，記收入超過20百萬元的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據（，）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)更適宜(2)，65.35百萬元(3)分布列見解析，1【解析】（1）根據散點圖判斷，更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型；（2）因為，所以兩邊同時取常用對數(shù)，得，設，所以，因為，所以所以.所以，即，所以.令，得，故預測該公司7月份的5G經濟收入大約為65.35百萬元.（3）前6個月的收入中，收入超過20百萬元的有3個，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點整到達，否則視為遲到.小李上班路上需要經過4個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨立.已知每遇到紅燈的平均等候時長皆為1分鐘，若沒有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時長.【答案】(1)7點47分(2)(3)12【解析】（1）根據題意可知若7點46分出門，則一定不會遲到；若7點47分出門，僅當遇到4個紅燈時才會遲到，則遲到的概率為，不遲到的概率為，若7點48分出門，則遇到3個或4個紅燈會遲到，遲到的概率為，遲到的概率為，所以若保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在7點47分從家出發(fā).（2）由（1）可知，小李7點48分從家出發(fā)遲到的概率為，不遲到的概率為，所以若兩天都是7點48分出發(fā)，則恰有一天遲到的概率為.（3）方法1：根據題意可知小李每天上班時長可能得取值為，11，12，13，14（分鐘），則，，，的分布列為所以上班路平均時長為（分鐘）.方法2：設小李每天上班時長，11，12，13，14（分鐘），易知遇到的紅燈個數(shù)，1，2，3，4服從，所以，所以（分鐘）.17．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預測）某班從6名男生和4名女生中，隨機抽取5人組成數(shù)學興趣小組，另5人組成物理興趣小組．(1)求數(shù)學興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的概率；(2)用X表示物理興趣小組中的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1).(2)分布列見解析，.【解析】（1）從6名男生和4名女生中，隨機抽取5人組成數(shù)學興趣小組，另5人組成物理興趣小組，共有種，其中數(shù)學興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的有種，所以所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為：01234.18．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考二模）國內某大學想了解本校學生的運動狀況，采用簡單隨機抽樣的方法從全校學生中抽取2000人，調查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該校學生平均每天運動的時間范圍是，記平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，少于2小時的學生為“非運動達人”.整理分析數(shù)據得到下面的列聯(lián)表：單位：人性別運動時間合計運動達人非運動達人男生11003001400女生400200600合假設為：運動時間與性別之間無關聯(lián).根據列聯(lián)表中的數(shù)據，算得，根據小概率值的獨立性檢驗，則認為運動時間與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于.(1)如果將表中所有數(shù)據都縮小為原來的，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷運動時間與性別之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請用統(tǒng)計語言解釋其中的原因.(2)采用樣本性別比例分配的分層隨機抽樣抽取20名同學，并統(tǒng)計每位同學的運動時間，統(tǒng)計數(shù)據為：男生運動時間的平均數(shù)為2.5，方差為1；女生運動時間的平均數(shù)為1.5，方差為0.5，求這20名同學運動時間的均值與方差.附：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析(2)均值為2.2，方差為1.06【解析】（1）解法一：改變數(shù)據之后的列聯(lián)表為：性別運動時間合計運動達人非運動達人男生1103060女生4020200合計15050則調整后的.根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷運動時間與性別有關與之前結論不一樣，原因是每個數(shù)據都縮小為原來的，相當于樣本容量縮小為原來的，導致推斷結論發(fā)生了變化，當樣本容量越大，用樣本估計總體的準確性會越高.解法二：調整后的，根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷運動時間與性別有關，與之前結論不一樣，原因是每個數(shù)據都縮小為原來的，相當于樣本容量縮小為原來的，導致推斷結論發(fā)生了變化，當樣本容量越大，用樣本估計總體的準確性會越高.（2）男生抽取人，女生抽取人，由已知男生運動時間的平均數(shù)為，樣本方差為；女生運動時間的平均數(shù)為，樣本方差為.所以樣本均值為，記樣本方差為，則，所以這名同學運動時間的均值為，方差為.19．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┳闱蜻\動的發(fā)展離不開足球文化與足球運動興趣的培養(yǎng).2022年世界杯的開賽像春風一樣吹暖了大地，某足球隊的訓練趁機搞得熱火朝天.同時又開展“贏積分換獎勵”的趣味活動：將球門分為9個區(qū)域（如圖），在點球區(qū)將球踢中①、③、⑦、⑨號區(qū)域積3分，踢中②、④、⑥、⑧號區(qū)域積2分，踢中⑤號區(qū)域積1分，末踢中球門區(qū)域不積分.有甲乙兩名球員踢中①、③、⑦、⑨號區(qū)域的概率都是，踢中②、④、⑥、⑧號區(qū)域的概率都是，踢中⑤號區(qū)域的概率為.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨(1)設甲連踢3球的積分和為，求的概率；(2)設甲乙各踢一球的積分和為，求的分布列與期望值.【答案】(1)；(2)分布列見解析，3.4.【解析】（1）由題意知，每位球員踢球一次積3分的概率為，積2分的概率為，積1分的概率為，積0分的概率為，，，，，則.（2）因為的可能值為，則，；；；；；；所以的分布列為：0123456.20．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學?？寄M預測）中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協(xié)會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產生了很大影響，被認為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順序對局，勝者坐擂，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設中、日兩國圍棋隊各有名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的名隊員按出場的先后順序記為；日本隊的名隊員按出場的先后順序記為.假設勝的概率為（為常數(shù)）.(1)當時，若每個隊員實力相當，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊的概率；(2)記中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為，求的表達式；(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率的表達式（不用說明理由）.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）方法一：由于每個隊員實力相當，則每場比賽勝的概率均為，列舉出中國隊的出場且獲得勝利的所有對陣形式，共分五種情況：①負于，只有一種情況，獲勝的概率為；②負于，此前共淘汰4人，及，共進行4場比賽，而日本隊負1場，有種情況，獲勝的概率為；③負于，此前共進行5場比賽，日本隊負2場，共有種情況，獲勝的概率為；④負于，此前共進行6場比賽，日本隊負3場，共有種情況，獲勝的概率為；⑤負于，此前共進行7場比賽，日本隊負4場，共有種情況，獲勝的概率為，這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：.方法二：由于兩隊的實力相當，則可認為與（）比賽時，獲勝的概率為，而每進行一場比賽淘汰一人，中國隊的出場且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進行了9場比賽，且最后一場是中國隊勝，在此之前的8場比賽中，中國隊必勝4場，負4場（若勝5場，則不必出場），所以所求事件的概率為.（2）中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利，則共進行了場比賽，前場比賽中，中國隊被淘汰了人，負了場，所以.（3）中國隊獲得擂臺賽勝利的事件是勝的個互斥事件的和，由（2）知，勝的概率為，所以中國隊獲得擂臺賽勝利的概率.21．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）有一大批產品等待驗收，驗收方案如下：方案一：從中任取6件產品檢驗，次品件數(shù)大于1拒收；方案二：依次從中取4件產品檢驗；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗收.(1)若本批產品次品率為，選擇“方案二”，求需要抽取次數(shù)X的均值；(2)若本批產品次品率為，比較選擇哪種方案容易通過驗收？【答案】(1)均值為(2)答案見解析【解析】（1）隨機變量需要抽取次數(shù).其分布列為：，，，；.需要抽取次數(shù)的均值為.（2）按照方案一：通過驗收的概率為：

按照方案二：通過驗收的概率為：

當時，即，解得，此時選擇方案一更容易通過驗收；

當時，，此時選擇方案一、方案二結果相同；

當時，即，解得，此時選擇方案二更容易通過驗收；22．（2023·上海·上海市七寶中學?？寄M預測）一場始于煙火，歸于真誠的邂逅，讓無數(shù)人赴山趕?！斑M淄趕烤”，淄博某燒烤店趁機推出150元燒烤套餐.某同學調研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數(shù)（單位：份）的關系如下：

1346756.577.58與可用回歸方程（其中為常數(shù)）進行模擬．參考數(shù)據與公式：設，則線性回歸直線中，．0.546.81.530.45(1)試預測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元．（利潤=售價-成本，結果精確到1元）(2)據統(tǒng)計，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為淄博配送的箱數(shù)的頻率分布直方圖，用這16天的情況來估計相應的概率．供貨商擬購置輛小貨車專門運輸該品牌飲料，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．若或4，請從每天的利潤期望角度給出你的建議．【答案】(1)3236元(2)答案見解析【解析】（1）根據題意，，所以，所以，又，所以，所以時，（千元），即賣出份的成本為元，故利潤（元）．（2）根據頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)設該運輸戶購輛車和購輛車時每天的利潤分別為、元，則的可能取值為1500，800，100，其分布列為：故，則的可能取值為2000，1300，600，，其分布列為故，因為，即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車．23．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京順利召開，會議過后，某市宣傳部組織市民積極參加“學習十四大”知識競賽，并從所有參賽市民中隨機抽取了100人，統(tǒng)計了他們的競賽成績，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這100位市民競賽成績的第75百分位數(shù)；(2)該市某企業(yè)贊助了本次知識競賽，并對每位參賽市民給予一定的獎勵，獎勵方案有以下兩種：方案一：按競賽成績進行分類獎勵：當時，每人獎勵60元；當時，每人獎勵120元；當時，每人獎勵180元.方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中競賽成績低于樣本中位數(shù)的只有一次抽獎機會，競賽成績不低于樣本中位數(shù)的有兩次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率如表.獎金60120概率若該市某社區(qū)的所有參賽市民決定選擇同一種獎勵方案，試利用樣本的頻率估計總體的概率，從數(shù)學期望的角度分析，該社區(qū)參賽市民選擇哪種獎勵方案更有利？【答案】(1)79.75(2)方案二更有利【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：，，故第75百分位數(shù)位于之間，，故這100位市民的競賽成績的第75百分位數(shù)是79.75；（2）方案一、設獎勵為X，則X的可能取值為60，120，180，結合頻率分布直方圖可知，，故X的分布列為：X60120180P0.360.560.08則，方案二、設獎勵為Y，則Y的可能取值為60，120，180，240，則，故Y的分布列為：Y60120180240P則,顯然103.2＜120，故方案二更有利.24．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.(1)計算主持人打開4號箱的概率；(2)當主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選1號或3號箱？（以獲得獎品的概率最大為決策依據）【答案】(1)(2)甲應該改選1號或3號箱.【解析】（1）設分別表示1，2，3，4號箱子里有獎品，設分別表示主持人打開號箱子，則，且兩兩互斥.由題意可知，事件的概率都是，，，，.由全概率公式，得.（2）在主持人打開4號箱的條件下，1號箱?2號箱?3號箱里有獎品的條件概率分別為，，，通過概率大小比較，甲應該改選1號或3號箱.25．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）某微型電子集成系統(tǒng)可安裝3個或5個元件，每個元件正常工作的概率均為且各元件是否正常工作相互獨立．若有超過一半的元件正常工作，則該系統(tǒng)能穩(wěn)定工作．(1)若該系統(tǒng)安裝了3個元件，且，求它穩(wěn)定工作的概率；(2)試比較安裝了5個元件的系統(tǒng)與安裝了3個元件的系統(tǒng)哪個更穩(wěn)定．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）設安裝3個元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為P，則3個元件中至少2個元件正常工作．又因為各元件是否正常工作相互獨立，所以．所以安裝3個元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為．（2）由（1）知，安裝3個元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率．設安裝5個元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為，則．所以．當時，，兩個系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性相同；當時，，3個元件的系統(tǒng)比5個元件的系統(tǒng)更穩(wěn)定；當時，，5個元件的系統(tǒng)比3個元件的系統(tǒng)更穩(wěn)定．26．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設四支隊伍分別為，其中對陣其他三個隊伍獲勝概率均為，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質疑的“對強者不公平”？【答案】(1)；；(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質疑是不對的．【解析】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊伍獲得冠軍的概率更大，其他隊伍獲得冠軍的概率會變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊伍獲得冠軍的概率會變大，綜上可知：雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質疑是不對的．27．（2023·廣東東莞·東莞實驗中學校考模擬預測）為倡導公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學生社會實踐能力，某中學開展了舊物義賣活動，所得善款將用于捐贈“圓夢困境學生”計劃.活動共計50多個班級參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學有購買意向.假設三個班的人數(shù)比例為.(1)現(xiàn)從三個班中隨機抽取一位同學：（i）求該同學有購買意向的概率；（ii）如果該同學有購買意向，求此人來自2班的概率；(2)對于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設計了一種有趣的“擲骰子叫價確定購買資格”的競買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價，通過擲骰子確定新叫價，若點數(shù)大于2，則在已叫價格基礎上增加1元更新叫價，若點數(shù)小于3，則在已叫價格基礎上增加2元更新叫價；重復上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價格的購買資格，未出現(xiàn)叫價為10元的情況則失去購買資格，并結束叫價.若甲同學已搶先選中了其中一本筆記本，試估計其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.【答案】(1)（i）；（ii）(2)0.75.【解析】（1）（i）設事件“該同學有購買意向”，事件“該同學來自班”.由題意可知，，所以，由全概率公式可得：.（ii）由條件概率可得.（2）由題意可得每次叫價增加1元的概率為，每次叫價增加2元的概率為.設叫價為元的概率為，叫價出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價為元，且骰子點數(shù)大于2，其概率為；②叫價為元，且骰子點數(shù)小于3，其概率為.于是得到，易得，由于，于是當時，數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故.于是于是，甲同學能夠獲得筆記本購買資格的概率約為0.75.28（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）在新高考的數(shù)學試卷中，有4道題為多項選擇題，在每個試題所給的4個選項中有多項符合題目要求，其評分規(guī)則為：全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．(1)若某兩個多項選擇題中分別有2個和3個正確選項．如果小茗同學不能判斷兩個題中任何一個選項是否符合題目要求．他每個題均隨機選取了2項，記他這兩題的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)若某個多項選擇題所給的四個選項中有3個符合題目要求，小茗同學只能判斷其中的一個選項符合題目要求，不能判斷其它選項是否符合題目要求，若你是小茗同學，除了能判斷的符合題目要求的選項外，從得分均值的角度分析，你是否再隨機選取1個或2個選項作為答題結果？請說明理由．【答案】(1)分布列見解析，(2)不再選取，理由見解析【解析】（1）隨機變量X的所有可能取值為0，2，5，7．則，，，，所以X的分布列為：X0257P所以．（2）不再選取，理由如下：如果小茗同學只選擇能判斷符合題目要求的那個選項為解答結果，則他本題得分為2分，若他再隨機選取1個，則他本題的得分Y可能為：0或2，，，，因為，所以不再隨機選取一個選項作為答題結果.若他再隨機選取2個，則他本題的得分Z可能為：0或5，，，，因為，所以不再隨機選取2個選項作為答題結果.綜上，除了能判斷的正確選項外，不再隨機選取1個或2個選項作為答題結果.29．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）某考生在做高考數(shù)學模擬題第12題時發(fā)現(xiàn)不會做．已知該題有四個選項，為多選題，至少有兩項正確，至多有3個選項正確．評分標準為：全部選對得5分，部分選對得2分，選到錯誤選項得0分．設此題正確答案為2個選項的概率為．已知該考生隨機選擇若干個（至少一個）．(1)若，該考生隨機選擇2個選項，求得分X的分布列及數(shù)學期望；(2)為使他此題得分數(shù)學期望最高，請你幫他從以下三種方案中選一種，并說明理由．方案一：隨機選擇一個選項；方案二：隨機選擇兩個選項；方案三：隨機選擇三個選項．【答案】(1)分布列見解析，(2)選擇方案一，理由見解析【解析】（1）設多選題正確答案是“選兩項”為事件，正確答案是“選三項”為事件，則．考生得0分，2分，5分為事件，，，，．當時，，則正確答案是“選兩項”時，考生選2項，全對得5分，有選錯得0分；正確答案是“選三項”時，考生選2項，選出了2個正確選項得2分，有選錯得0分．因為，所以．因為，所以，．所以，得分X的分布列為：X025P得分X的數(shù)學期望．（2）（2）方案一：隨機選擇一個選項正確答案是“選兩項”時，考生選1項，選對得2分，選錯得0分；正確答案是“選三項”時，考生選1項，選對得2分，選錯得0分．因為，所以．因為，所以所以，隨機選擇一個選項得分的數(shù)學期望．方案二：隨機選擇兩個選項；，，．所以，隨機選擇兩個選項得分的數(shù)學期望．方案三：隨機選擇三個選項．正確答案是“選兩項”時，考生選3項，得0分；正確答案是“選三項”時，考生選3項，選對得5分，有選錯得0分．，，所以，隨機選擇三個選項得分的數(shù)學期望．因為，．所以選擇方案一．30．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）某校承接了2023年某大型考試的筆試工作，考試前，學校將高二年級的201~205五個班級內部的墻壁裝飾畫取下后打包，統(tǒng)一放置，考試結束后再恢復原位.學校安排了三位校工甲、乙、丙進行該項工作，每位校工至少負責一個班級的裝飾畫復原工作.已知每位校工能夠完全還原一個班級裝飾畫的概率均為，并且他們之間的工作相互獨立.(1)求校工甲將自己負責的所有班級的裝飾畫完全還原的概率；(2)設校工乙能夠完全還原的班級數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）設事件：甲分的班級數(shù)為個（，2，3），事件：甲完成班級的裝飾畫復原.∴，，，又，所以.（2）又題意可知的可能取值為0，1，2，3所以的分布列為：0123.31．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，投壺禮來源于射禮．投壺的橫截面是三個圓形，投擲者站在距離投壺一定距離的遠處將箭羽投向三個圓形的壺口，若箭羽投進三個圓形壺口之一就算投中．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某次文化活動進行了投壺比賽，比賽規(guī)定投進中間較大圓形壺口得分，投進左右兩個小圓形壺口得分，沒有投進壺口不得分．甲乙兩人進行投壺比賽，比賽分為若干輪，每輪每人投一支箭羽，最后將各輪所得分數(shù)相加即為該人的比賽得分，比賽得分高的人獲勝．已知甲每輪投一支箭羽進入中間大壺口的概率為，投進入左右兩個小壺口的概率都是，乙每輪投一支箭羽進入中間大壺口的概率為，投進入左右兩個小壺口的概率分別是和，甲乙兩人每輪是否投中相互獨立，且兩人各輪之間是否投中也互相獨立．若在最后一輪比賽前，甲的總分落后乙分，設甲最后一輪比賽的得分為，乙最后一輪比賽的得分為．(1)求甲最后一輪結束后贏得比賽的概率；(2)求的數(shù)學期望．【答案】(1)(2)【解析】（1）設甲一輪的得分為，則，，；設乙一輪的得分為，則，，；則甲最后一輪反敗為勝的概率.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；；的數(shù)學期望.32．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學校考三模）探索浩瀚宇宙，發(fā)展航天事業(yè)，建設航天強國，是我們不懈追求的航天夢．某學校為了了解學生對航天知識的知曉情況，組織開展航天知識競賽活動．本次活動中有一個風險答題環(huán)節(jié)，競賽規(guī)則如下：風險題分為10分、20分、30分三類，答對得相應分數(shù)，答錯扣相應分數(shù)，每位選手可以從中任選三道題作答．甲選手在回答風險題時，答對10分題的概率為0.9，答對20分題的概率為0.8，答對30分題的概率為0.5．(1)若甲選手選三道題，第一道選擇了10分題，第二道選擇了20分題，第三道選擇了30分題，求最終得分為0的概率．(2)若甲選手第一道題選擇30分風險題，第二道題和第三道題都選擇20分的風險題作答，記他的最終得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）由已知，得甲選手最終得分為0有兩種情況：①第一次和第二次答錯，第三次答對，其概率．②第一次和第二次答對，第三次答錯，其概率．所以甲選手最終得分為0的概率．（2）由已知，得X的所有可能取值為，，，10，30，70．①三道題全答錯，，此時．②第一道題答錯，第二道題和第三道題有一道題答對，另一道題答錯，，此時．③第一道題答對，第二道題和第三道題都答錯，，此時．④第一道題答錯，第二道題和第三道題全答對，，此時．⑤第一道題答對，第二道題和第三道題有一道題答對，另一道題答錯，，此時．⑥三道題全答對，，此時．所以的分布列為X103070P0.020.160.020.320.160.32所以X的數(shù)學期望．33．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【解析】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.34．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結束比賽時，比賽的局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調遞增，并根據你的理解說明該結論的實際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利【解析】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數(shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調遞增.該結論的實際意義是：比賽局數(shù)越多，對實力較強者越有利.35．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┠硵?shù)學學習小組的7名學生在一次考試后調整了學習