專題04 統(tǒng)計(jì)概率（解答題11種考法）專練（解析版）

專題04統(tǒng)計(jì)概率（解答題11種考法）1．（2023·陜西咸陽·?？既＃┠炒笮推髽I(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為個(gè)等級(jí)，為了解這批產(chǎn)品的等級(jí)分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了件進(jìn)行檢測、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分:檢測到級(jí)到級(jí)的評(píng)為優(yōu)秀，檢測到級(jí)到6級(jí)的評(píng)為良好，檢測到級(jí)到級(jí)的評(píng)為合格，檢測到級(jí)的評(píng)為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計(jì)表:等級(jí)12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，請(qǐng)估計(jì)這件產(chǎn)品評(píng)分為優(yōu)良的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，設(shè)這件產(chǎn)品中評(píng)分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）記事件A：產(chǎn)品的評(píng)分為優(yōu)秀，事件：產(chǎn)品的評(píng)分為良好.根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以用樣本來估計(jì)總體，由統(tǒng)計(jì)表得，

.因?yàn)榛コ?，所以可以估?jì)該件產(chǎn)品為優(yōu)良的概率為.（2）由(1)知，評(píng)分為優(yōu)秀的概率為，由題意得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的分布列為01234數(shù)學(xué)期望.2．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某區(qū)在高中階段舉行的物理實(shí)驗(yàn)技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進(jìn)行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進(jìn)行操作，操作完后正確操作超過兩題的（否則終止比賽），才能進(jìn)行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進(jìn)行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類題操作正確得20分.以兩步總分和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎(jiǎng)，100分為一等獎(jiǎng).某校選手李明類7題中有5題會(huì)操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.(1)求李明被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；(3)求李明獲二等獎(jiǎng)的概率.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【解析】（1）解：設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會(huì)操作或3題會(huì)操作，故李明被終止比賽的概率.（2）解：設(shè)李明在競賽中，類題全部操作正確后得分為，則的取值為，且類題正確操作題數(shù)，可得；；；所求的分布列406080100.（3）解：設(shè)李明獲二等獎(jiǎng)的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，所以李明獲二等獎(jiǎng)的概率為.3．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）2022年的男足世界杯在卡塔爾舉辦，參賽的32支球隊(duì)共分為8個(gè)小組，每個(gè)小組有4支球隊(duì)，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每支球隊(duì)都要和同組的其他3支球隊(duì)各比賽一場.每場比賽獲勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分.若打平則雙方各積1分，三輪比賽結(jié)束后，積分從多到少排名靠前的2支球隊(duì)小組出線（如果積分相等，還要按照其他規(guī)則來排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球隊(duì)分在同一個(gè)組，且甲隊(duì)與乙、丙、丁3支球隊(duì)比賽獲勝的概率分別為，，，與三支球隊(duì)打平的概率均為，每場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)某人對(duì)甲隊(duì)的三輪小組賽結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測，他認(rèn)為三場都會(huì)是平局，記隨機(jī)變量X＝“結(jié)果預(yù)測正確的場次”，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)各隊(duì)先后對(duì)陣順序完全隨機(jī)，記甲隊(duì)至少連續(xù)獲勝兩場的概率為p，那么甲隊(duì)在第二輪比賽對(duì)陣哪個(gè)對(duì)手時(shí)，p的取值最大，這個(gè)最大值是多少？【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】（1）由于甲隊(duì)每場比賽平局的概率都是，所以甲隊(duì)三場比賽打平的場次，即隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，由題意得，其分布列如下：，，，，X0123P數(shù)學(xué)期望.（2）由已知得不同的對(duì)陣情況共有種，每種可能性出現(xiàn)的概率均為.設(shè)甲隊(duì)第二輪對(duì)陣乙隊(duì)至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，甲隊(duì)第二輪對(duì)陣丙隊(duì)至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，甲隊(duì)第二輪對(duì)陣丁隊(duì)至少連續(xù)獲勝兩場的概率為，則；；；因?yàn)?，所以甲?duì)在第二輪對(duì)陣乙隊(duì)時(shí)，p的取值最大，最大值為.4．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某地區(qū)舉行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評(píng)，要求以學(xué)校為單位參賽，最終學(xué)校和學(xué)校進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱；環(huán)節(jié)二：由學(xué)校和學(xué)校分別派出一名代表進(jìn)行比賽．兩個(gè)環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定名次．(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道從學(xué)校抽取12人，其答對(duì)題目的平均數(shù)為1，方差為1，從學(xué)校抽取8人，其答對(duì)題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對(duì)題目的均值與方差；(2)環(huán)節(jié)二，學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后學(xué)校代表再從乙箱中抽取題目，已知學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．【答案】(1)這20人答對(duì)題目的均值為，方差為(2)【解析】（1）設(shè)學(xué)校答對(duì)題目的樣本數(shù)據(jù)為，學(xué)校答對(duì)題目的樣本數(shù)據(jù)為，由題意得，由題意得，所以這20人答對(duì)題目的均值為，由，得，由，得，，，這20人答對(duì)題目的方差為.（2）記“學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一道題是選擇題”，“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道選擇題”，“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了一道選擇題，一道填空題”，“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道填空題”，易知彼此互斥，，，，，，，，，.所以學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率為.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┕信e行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）新高考改革后廣西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生5000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試?滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布.①估計(jì)5000名學(xué)生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】(1)種(2)①4093人；②不可信【解析】（1）甲乙兩個(gè)學(xué)生必選語文?數(shù)學(xué)?外語，若另一門相同的選擇物理?歷史中的一門，有種，在生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學(xué)?化學(xué)?思想政治?地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)共種方法；（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測試的成績記為，則，由題知，，，則，所以，所以估計(jì)5000名學(xué)生中成績介于120分到300分之間有4093人；②不可信.，則，5000名學(xué)生中成績大于430分的約有人，這說明5000名考生中，會(huì)出現(xiàn)約7人的成績高于430分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有10名同學(xué)獲得430分以上的高分”，說法錯(cuò)誤，此宣傳語不可信.7．（2023·福建廈門·廈門一中校考二模）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購買一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動(dòng)不超過.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這k個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量，利用該結(jié)論解決下面問題.（i）假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買25個(gè)面包，記隨機(jī)購買25個(gè)面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.【答案】(1)（i）；（ii）理由見解析(2)分布列見解析，【解析】（1）（i）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以；（ii）由第一問知，龐加萊計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；（2）設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學(xué)期望.8．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著《2023年中國詩詞大會(huì)》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時(shí)代精神相結(jié)合，使古詩詞綻放出新時(shí)代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級(jí)全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測試成績（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)若該校高二學(xué)生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會(huì)”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內(nèi)“詩詞大會(huì)”.該“詩詞大會(huì)”共有三個(gè)環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對(duì)抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，在前兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩詞大會(huì)”中的累計(jì)得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)74分(2)159人(3)分布列見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為：（分）（2）由題意可得測試成績X近似服從正態(tài)分布所以，則所以人故該校高二年級(jí)學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為：，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望.9．（2023·福建寧德·福鼎市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失?。?/p>

(1)求圖中的值；(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為能否晉級(jí)成功與性別有關(guān)；晉級(jí)情況性別晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男16女50總計(jì)(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)(2)列聯(lián)表見解析，有(3)分布列見解析，3【解析】（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，可知，解得．（2）由頻率分布直方圖，知晉級(jí)成功的頻率為，所以晉級(jí)成功的人數(shù)為，填表如下：晉級(jí)情況性別晉級(jí)成功晉級(jí)失敗總計(jì)男163450女94150總計(jì)2575100所以，所以有的把握認(rèn)為能否晉級(jí)成功與性別有關(guān)．（3）由（2）知晉級(jí)失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，此人晉級(jí)失敗的概率為，易知，則，，，，．所以的分布列為01234則．10．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會(huì)導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對(duì)于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（）47891412新增感就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，(1)已知第一天新增感冒就的學(xué)生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)取2位，其中男生人數(shù)記為X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率為，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù).參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)的分布列見解析；(2)15【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，解得，即第一天新增患感冒而就診的學(xué)生有9位，其中男生4位，女生5位，則隨機(jī)變量X的可能取值為，且服從超幾何分布，其中，，，，的分布列為012數(shù)學(xué)期望為；（2）因?yàn)?，所以，所以，由于，所以，所以，因?yàn)?，，解得，所以，所以，?dāng)時(shí)，，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù)為.11．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司是一家集無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類型的無人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立．(1)該公司分別收集了甲型無人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測試的兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，（），數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)24568甲型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)34445試求與間的相關(guān)系數(shù)，并利用說明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）(2)操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進(jìn)行操作．方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值．附：參考公式及數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)，是(2)方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值【解析】（1），，，，相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?，所以與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．（2）設(shè)方案一和方案二操作成功的次數(shù)分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，方案一：，，，所以．方案二：選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，所以，即方案一操作成功的次數(shù)的期望值大于方案二操作成功的次數(shù)的期望值．12．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中）660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開采成本最大？【答案】(1)(2)（i）；（ii）(3)10【解析】（1）因?yàn)榈木€性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，，更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型.（2）（i）依題意，可得，，，關(guān)于的回歸方程為.（ii）當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為.（3）因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值，此時(shí)取得最大值，故為10時(shí)，開采成本最大.13．（2023·江西·校聯(lián)考二模）2023年高考進(jìn)入倒計(jì)時(shí)，為了幫助學(xué)子們?cè)诰o張的備考中放松身心，某重點(diǎn)高中通過開展形式多樣的減壓游戲，確保同學(xué)們以穩(wěn)定心態(tài)，良好地狀態(tài)迎戰(zhàn)高考，游戲規(guī)則如下：盒子中初始裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的兩個(gè)球都是紅球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)白球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功.(1)如果某同學(xué)進(jìn)行該抽球游戲時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過，假設(shè)有1000名學(xué)生獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234512062332015求關(guān)于的回歸方程，并通過回歸方程預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（取整數(shù)部分）；(3)證明：．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．【答案】(1)分布列見解析，；(2)，270；(3)證明見解析.【解析】（1）依題意，X的取值可能為1，2，3，則；；，所以X的分布列為：X123P所以數(shù)學(xué)期望為．（2）令，則，依題意，，于是，則，所以所求的回歸方程為：，估計(jì)t=6時(shí)，；估計(jì)t=7時(shí)，；估計(jì)t=8時(shí)，；估計(jì)t=9時(shí)，；估計(jì)t≥10時(shí)，，從而，所以預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為270．（3）依題意，在前n輪就成功的概率為，又因?yàn)樵谇皀輪沒有成功的概率為，則，所以．14（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長.從中國信息通信研究院發(fā)布的《云計(jì)算白皮書（2022年）》可知，我國2017年至2021年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x12345云計(jì)算市場規(guī)模y/億元692962133420913229經(jīng)計(jì)算得：=36.33，=112.85.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(2)云計(jì)算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本?提升產(chǎn)品質(zhì)量提供了強(qiáng)大助推力.某企業(yè)未引入云計(jì)算前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差，其中m為單件產(chǎn)品的成本（單位：元），且=0.6827；引入云計(jì)算后，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差.若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則將會(huì)變成多少？若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變（即誤差的概率分布不變），則單件產(chǎn)品的成本將會(huì)下降多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為=，.若，則，，【答案】(1)(2)，成本下降3元.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所?（2）未引入云算力輔助前，，所以，又，所以，所以.引入云算力輔助后，，所以，若保持產(chǎn)品成本不變，則，所以若產(chǎn)品質(zhì)量不變，則，所以，所以單件產(chǎn)品成本可以下降元.15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動(dòng)開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號(hào)的實(shí)時(shí)開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗(yàn)證了超高海拔地區(qū)5G信號(hào)覆蓋的可能性，在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號(hào)的穩(wěn)定性，在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號(hào)的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價(jià)值體系的理想是為人類服務(wù).”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認(rèn)為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，5G經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）(3)從前6個(gè)月的收入中抽取2個(gè)，記收入超過20百萬元的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設(shè)（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（，）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)更適宜(2)，65.35百萬元(3)分布列見解析，1【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型；（2）因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以所?所以，即，所以.令，得，故預(yù)測該公司7月份的5G經(jīng)濟(jì)收入大約為65.35百萬元.（3）前6個(gè)月的收入中，收入超過20百萬元的有3個(gè)，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點(diǎn)整到達(dá)，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過4個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨(dú)立.已知每遇到紅燈的平均等候時(shí)長皆為1分鐘，若沒有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達(dá)公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點(diǎn)幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點(diǎn)48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時(shí)長.【答案】(1)7點(diǎn)47分(2)(3)12【解析】（1）根據(jù)題意可知若7點(diǎn)46分出門，則一定不會(huì)遲到；若7點(diǎn)47分出門，僅當(dāng)遇到4個(gè)紅燈時(shí)才會(huì)遲到，則遲到的概率為，不遲到的概率為，若7點(diǎn)48分出門，則遇到3個(gè)或4個(gè)紅燈會(huì)遲到，遲到的概率為，遲到的概率為，所以若保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在7點(diǎn)47分從家出發(fā).（2）由（1）可知，小李7點(diǎn)48分從家出發(fā)遲到的概率為，不遲到的概率為，所以若兩天都是7點(diǎn)48分出發(fā)，則恰有一天遲到的概率為.（3）方法1：根據(jù)題意可知小李每天上班時(shí)長可能得取值為，11，12，13，14（分鐘），則，，，的分布列為所以上班路平均時(shí)長為（分鐘）.方法2：設(shè)小李每天上班時(shí)長，11，12，13，14（分鐘），易知遇到的紅燈個(gè)數(shù)，1，2，3，4服從，所以，所以（分鐘）.17．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某班從6名男生和4名女生中，隨機(jī)抽取5人組成數(shù)學(xué)興趣小組，另5人組成物理興趣小組．(1)求數(shù)學(xué)興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的概率；(2)用X表示物理興趣小組中的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1).(2)分布列見解析，.【解析】（1）從6名男生和4名女生中，隨機(jī)抽取5人組成數(shù)學(xué)興趣小組，另5人組成物理興趣小組，共有種，其中數(shù)學(xué)興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的有種，所以所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為：01234.18．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）國內(nèi)某大學(xué)想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取2000人，調(diào)查他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)表明該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是，記平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，少于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.整理分析數(shù)據(jù)得到下面的列聯(lián)表：單位：人性別運(yùn)動(dòng)時(shí)間合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人男生11003001400女生400200600合假設(shè)為：運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則認(rèn)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.(1)如果將表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)語言解釋其中的原因.(2)采用樣本性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：男生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為2.5，方差為1；女生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為1.5，方差為0.5，求這20名同學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的均值與方差.附：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析(2)均值為2.2，方差為1.06【解析】（1）解法一：改變數(shù)據(jù)之后的列聯(lián)表為：性別運(yùn)動(dòng)時(shí)間合計(jì)運(yùn)動(dòng)達(dá)人非運(yùn)動(dòng)達(dá)人男生1103060女生4020200合計(jì)15050則調(diào)整后的.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)與之前結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會(huì)越高.解法二：調(diào)整后的，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)，與之前結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會(huì)越高.（2）男生抽取人，女生抽取人，由已知男生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為，樣本方差為；女生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為，樣本方差為.所以樣本均值為，記樣本方差為，則，所以這名同學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的均值為，方差為.19．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┳闱蜻\(yùn)動(dòng)的發(fā)展離不開足球文化與足球運(yùn)動(dòng)興趣的培養(yǎng).2022年世界杯的開賽像春風(fēng)一樣吹暖了大地，某足球隊(duì)的訓(xùn)練趁機(jī)搞得熱火朝天.同時(shí)又開展“贏積分換獎(jiǎng)勵(lì)”的趣味活動(dòng)：將球門分為9個(gè)區(qū)域（如圖），在點(diǎn)球區(qū)將球踢中①、③、⑦、⑨號(hào)區(qū)域積3分，踢中②、④、⑥、⑧號(hào)區(qū)域積2分，踢中⑤號(hào)區(qū)域積1分，末踢中球門區(qū)域不積分.有甲乙兩名球員踢中①、③、⑦、⑨號(hào)區(qū)域的概率都是，踢中②、④、⑥、⑧號(hào)區(qū)域的概率都是，踢中⑤號(hào)區(qū)域的概率為.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨(1)設(shè)甲連踢3球的積分和為，求的概率；(2)設(shè)甲乙各踢一球的積分和為，求的分布列與期望值.【答案】(1)；(2)分布列見解析，3.4.【解析】（1）由題意知，每位球員踢球一次積3分的概率為，積2分的概率為，積1分的概率為，積0分的概率為，，，，，則.（2）因?yàn)榈目赡苤禐?，則，；；；；；；所以的分布列為：0123456.20．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）中日圍棋擂臺(tái)賽是由中國圍棋隊(duì)與日本圍棋隊(duì)各派若干名棋手，以擂臺(tái)制形式舉行的圍棋團(tuán)體賽.這是中國和國外開設(shè)的最早的圍棋對(duì)抗賽，由中國圍棋協(xié)會(huì)、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺(tái)賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進(jìn)行了11屆，結(jié)果中國隊(duì)以7比4的總比分獲勝.該賽事對(duì)中國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認(rèn)為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺(tái)賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊(duì)伍，兩隊(duì)各設(shè)一名主帥，采用打擂臺(tái)的形式，決出最后的勝負(fù).比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順序?qū)?，勝者坐擂，?fù)方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設(shè)中、日兩國圍棋隊(duì)各有名隊(duì)員，按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，中國隊(duì)的名隊(duì)員按出場的先后順序記為；日本隊(duì)的名隊(duì)員按出場的先后順序記為.假設(shè)勝的概率為（為常數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，若每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，求中國隊(duì)有四名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊(duì)的概率；(2)記中國隊(duì)被淘汰人且中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率為，求的表達(dá)式；(3)寫出中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率的表達(dá)式（不用說明理由）.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）方法一：由于每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，則每場比賽勝的概率均為，列舉出中國隊(duì)的出場且獲得勝利的所有對(duì)陣形式，共分五種情況：①負(fù)于，只有一種情況，獲勝的概率為；②負(fù)于，此前共淘汰4人，及，共進(jìn)行4場比賽，而日本隊(duì)負(fù)1場，有種情況，獲勝的概率為；③負(fù)于，此前共進(jìn)行5場比賽，日本隊(duì)負(fù)2場，共有種情況，獲勝的概率為；④負(fù)于，此前共進(jìn)行6場比賽，日本隊(duì)負(fù)3場，共有種情況，獲勝的概率為；⑤負(fù)于，此前共進(jìn)行7場比賽，日本隊(duì)負(fù)4場，共有種情況，獲勝的概率為，這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：.方法二：由于兩隊(duì)的實(shí)力相當(dāng)，則可認(rèn)為與（）比賽時(shí)，獲勝的概率為，而每進(jìn)行一場比賽淘汰一人，中國隊(duì)的出場且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進(jìn)行了9場比賽，且最后一場是中國隊(duì)勝，在此之前的8場比賽中，中國隊(duì)必勝4場，負(fù)4場（若勝5場，則不必出場），所以所求事件的概率為.（2）中國隊(duì)被淘汰人且中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利，則共進(jìn)行了場比賽，前場比賽中，中國隊(duì)被淘汰了人，負(fù)了場，所以.（3）中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的事件是勝的個(gè)互斥事件的和，由（2）知，勝的概率為，所以中國隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率.21．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）有一大批產(chǎn)品等待驗(yàn)收，驗(yàn)收方案如下：方案一：從中任取6件產(chǎn)品檢驗(yàn)，次品件數(shù)大于1拒收；方案二：依次從中取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗(yàn)收.(1)若本批產(chǎn)品次品率為，選擇“方案二”，求需要抽取次數(shù)X的均值；(2)若本批產(chǎn)品次品率為，比較選擇哪種方案容易通過驗(yàn)收？【答案】(1)均值為(2)答案見解析【解析】（1）隨機(jī)變量需要抽取次數(shù).其分布列為：，，，；.需要抽取次數(shù)的均值為.（2）按照方案一：通過驗(yàn)收的概率為：

按照方案二：通過驗(yàn)收的概率為：

當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)選擇方案一更容易通過驗(yàn)收；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)選擇方案一、方案二結(jié)果相同；

當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)選擇方案二更容易通過驗(yàn)收；22．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)?？寄M預(yù)測）一場始于煙火，歸于真誠的邂逅，讓無數(shù)人赴山趕海“進(jìn)淄趕烤”，淄博某燒烤店趁機(jī)推出150元燒烤套餐.某同學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設(shè)備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數(shù)（單位：份）的關(guān)系如下：

1346756.577.58與可用回歸方程（其中為常數(shù)）進(jìn)行模擬．參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)，則線性回歸直線中，．0.546.81.530.45(1)試預(yù)測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元．（利潤=售價(jià)-成本，結(jié)果精確到1元）(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為淄博配送的箱數(shù)的頻率分布直方圖，用這16天的情況來估計(jì)相應(yīng)的概率．供貨商擬購置輛小貨車專門運(yùn)輸該品牌飲料，一輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車每天平均虧損200元．若或4，請(qǐng)從每天的利潤期望角度給出你的建議．【答案】(1)3236元(2)答案見解析【解析】（1）根據(jù)題意，，所以，所以，又，所以，所以時(shí)，（千元），即賣出份的成本為元，故利潤（元）．（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為：箱數(shù)設(shè)該運(yùn)輸戶購輛車和購輛車時(shí)每天的利潤分別為、元，則的可能取值為1500，800，100，其分布列為：故，則的可能取值為2000，1300，600，，其分布列為故，因?yàn)椋促徶?輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車．23．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）十四屆全國人大一次會(huì)議于2023年3月5日在北京順利召開，會(huì)議過后，某市宣傳部組織市民積極參加“學(xué)習(xí)十四大”知識(shí)競賽，并從所有參賽市民中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)了他們的競賽成績，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這100位市民競賽成績的第75百分位數(shù)；(2)該市某企業(yè)贊助了本次知識(shí)競賽，并對(duì)每位參賽市民給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：按競賽成績進(jìn)行分類獎(jiǎng)勵(lì)：當(dāng)時(shí)，每人獎(jiǎng)勵(lì)60元；當(dāng)時(shí)，每人獎(jiǎng)勵(lì)120元；當(dāng)時(shí)，每人獎(jiǎng)勵(lì)180元.方案二：利用抽獎(jiǎng)的方式獲得獎(jiǎng)金，其中競賽成績低于樣本中位數(shù)的只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，競賽成績不低于樣本中位數(shù)的有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率如表.獎(jiǎng)金60120概率若該市某社區(qū)的所有參賽市民決定選擇同一種獎(jiǎng)勵(lì)方案，試?yán)脴颖镜念l率估計(jì)總體的概率，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，該社區(qū)參賽市民選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案更有利？【答案】(1)79.75(2)方案二更有利【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：，，故第75百分位數(shù)位于之間，，故這100位市民的競賽成績的第75百分位數(shù)是79.75；（2）方案一、設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)為X，則X的可能取值為60，120，180，結(jié)合頻率分布直方圖可知，，故X的分布列為：X60120180P0.360.560.08則，方案二、設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)為Y，則Y的可能取值為60，120，180，240，則，故Y的分布列為：Y60120180240P則,顯然103.2＜120，故方案二更有利.24．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開2號(hào)箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲的選擇之外的一個(gè)空箱子.(1)計(jì)算主持人打開4號(hào)箱的概率；(2)當(dāng)主持人打開4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）【答案】(1)(2)甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.【解析】（1）設(shè)分別表示1，2，3，4號(hào)箱子里有獎(jiǎng)品，設(shè)分別表示主持人打開號(hào)箱子，則，且兩兩互斥.由題意可知，事件的概率都是，，，，.由全概率公式，得.（2）在主持人打開4號(hào)箱的條件下，1號(hào)箱?2號(hào)箱?3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的條件概率分別為，，，通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.25．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某微型電子集成系統(tǒng)可安裝3個(gè)或5個(gè)元件，每個(gè)元件正常工作的概率均為且各元件是否正常工作相互獨(dú)立．若有超過一半的元件正常工作，則該系統(tǒng)能穩(wěn)定工作．(1)若該系統(tǒng)安裝了3個(gè)元件，且，求它穩(wěn)定工作的概率；(2)試比較安裝了5個(gè)元件的系統(tǒng)與安裝了3個(gè)元件的系統(tǒng)哪個(gè)更穩(wěn)定．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）設(shè)安裝3個(gè)元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為P，則3個(gè)元件中至少2個(gè)元件正常工作．又因?yàn)楦髟欠裾９ぷ飨嗷オ?dú)立，所以．所以安裝3個(gè)元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為．（2）由（1）知，安裝3個(gè)元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率．設(shè)安裝5個(gè)元件的系統(tǒng)穩(wěn)定工作的概率為，則．所以．當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性相同；當(dāng)時(shí)，，3個(gè)元件的系統(tǒng)比5個(gè)元件的系統(tǒng)更穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，，5個(gè)元件的系統(tǒng)比3個(gè)元件的系統(tǒng)更穩(wěn)定．26．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，其中對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為．最初分組時(shí)同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？【答案】(1)；；(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．【解析】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，對(duì)于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊(duì)伍獲得冠軍的概率更大，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變大，綜上可知：雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．27．（2023·廣東東莞·東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)實(shí)踐能力，某中學(xué)開展了舊物義賣活動(dòng)，所得善款將用于捐贈(zèng)“圓夢(mèng)困境學(xué)生”計(jì)劃.活動(dòng)共計(jì)50多個(gè)班級(jí)參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當(dāng)屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學(xué)有購買意向.假設(shè)三個(gè)班的人數(shù)比例為.(1)現(xiàn)從三個(gè)班中隨機(jī)抽取一位同學(xué)：（i）求該同學(xué)有購買意向的概率；（ii）如果該同學(xué)有購買意向，求此人來自2班的概率；(2)對(duì)于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計(jì)了一種有趣的“擲骰子叫價(jià)確定購買資格”的競買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價(jià)，通過擲骰子確定新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)大于2，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)小于3，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價(jià)；重復(fù)上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價(jià)格的購買資格，未出現(xiàn)叫價(jià)為10元的情況則失去購買資格，并結(jié)束叫價(jià).若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計(jì)其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.【答案】(1)（i）；（ii）(2)0.75.【解析】（1）（i）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.由題意可知，，所以，由全概率公式可得：.（ii）由條件概率可得.（2）由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為，每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為，叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為；②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.于是得到，易得，由于，于是當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.于是于是，甲同學(xué)能夠獲得筆記本購買資格的概率約為0.75.28（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在新高考的數(shù)學(xué)試卷中，有4道題為多項(xiàng)選擇題，在每個(gè)試題所給的4個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，其評(píng)分規(guī)則為：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分．(1)若某兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中分別有2個(gè)和3個(gè)正確選項(xiàng)．如果小茗同學(xué)不能判斷兩個(gè)題中任何一個(gè)選項(xiàng)是否符合題目要求．他每個(gè)題均隨機(jī)選取了2項(xiàng)，記他這兩題的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若某個(gè)多項(xiàng)選擇題所給的四個(gè)選項(xiàng)中有3個(gè)符合題目要求，小茗同學(xué)只能判斷其中的一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，不能判斷其它選項(xiàng)是否符合題目要求，若你是小茗同學(xué)，除了能判斷的符合題目要求的選項(xiàng)外，從得分均值的角度分析，你是否再隨機(jī)選取1個(gè)或2個(gè)選項(xiàng)作為答題結(jié)果？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)分布列見解析，(2)不再選取，理由見解析【解析】（1）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，2，5，7．則，，，，所以X的分布列為：X0257P所以．（2）不再選取，理由如下：如果小茗同學(xué)只選擇能判斷符合題目要求的那個(gè)選項(xiàng)為解答結(jié)果，則他本題得分為2分，若他再隨機(jī)選取1個(gè)，則他本題的得分Y可能為：0或2，，，，因?yàn)?，所以不再隨機(jī)選取一個(gè)選項(xiàng)作為答題結(jié)果.若他再隨機(jī)選取2個(gè)，則他本題的得分Z可能為：0或5，，，，因?yàn)?，所以不再隨機(jī)選取2個(gè)選項(xiàng)作為答題結(jié)果.綜上，除了能判斷的正確選項(xiàng)外，不再隨機(jī)選取1個(gè)或2個(gè)選項(xiàng)作為答題結(jié)果.29．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）某考生在做高考數(shù)學(xué)模擬題第12題時(shí)發(fā)現(xiàn)不會(huì)做．已知該題有四個(gè)選項(xiàng)，為多選題，至少有兩項(xiàng)正確，至多有3個(gè)選項(xiàng)正確．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選到錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分．設(shè)此題正確答案為2個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該考生隨機(jī)選擇若干個(gè)（至少一個(gè)）．(1)若，該考生隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)，求得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為使他此題得分?jǐn)?shù)學(xué)期望最高，請(qǐng)你幫他從以下三種方案中選一種，并說明理由．方案一：隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；方案二：隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)；方案三：隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)．【答案】(1)分布列見解析，(2)選擇方案一，理由見解析【解析】（1）設(shè)多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”為事件，正確答案是“選三項(xiàng)”為事件，則．考生得0分，2分，5分為事件，，，，．當(dāng)時(shí)，，則正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選2項(xiàng)，全對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選2項(xiàng)，選出了2個(gè)正確選項(xiàng)得2分，有選錯(cuò)得0分．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，．所以，得分X的分布列為：X025P得分X的數(shù)學(xué)期望．（2）（2）方案一：隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選1項(xiàng)，選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選1項(xiàng)，選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以所以，隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．方案二：隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)；，，．所以，隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．方案三：隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)．正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選3項(xiàng)，得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選3項(xiàng)，選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分．，，所以，隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．因?yàn)?，．所以選擇方案一．30．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）某校承接了2023年某大型考試的筆試工作，考試前，學(xué)校將高二年級(jí)的201~205五個(gè)班級(jí)內(nèi)部的墻壁裝飾畫取下后打包，統(tǒng)一放置，考試結(jié)束后再恢復(fù)原位.學(xué)校安排了三位校工甲、乙、丙進(jìn)行該項(xiàng)工作，每位校工至少負(fù)責(zé)一個(gè)班級(jí)的裝飾畫復(fù)原工作.已知每位校工能夠完全還原一個(gè)班級(jí)裝飾畫的概率均為，并且他們之間的工作相互獨(dú)立.(1)求校工甲將自己負(fù)責(zé)的所有班級(jí)的裝飾畫完全還原的概率；(2)設(shè)校工乙能夠完全還原的班級(jí)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）設(shè)事件：甲分的班級(jí)數(shù)為個(gè)（，2，3），事件：甲完成班級(jí)的裝飾畫復(fù)原.∴，，，又，所以.（2）又題意可知的可能取值為0，1，2，3所以的分布列為：0123.31．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，投壺禮來源于射禮．投壺的橫截面是三個(gè)圓形，投擲者站在距離投壺一定距離的遠(yuǎn)處將箭羽投向三個(gè)圓形的壺口，若箭羽投進(jìn)三個(gè)圓形壺口之一就算投中．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某次文化活動(dòng)進(jìn)行了投壺比賽，比賽規(guī)定投進(jìn)中間較大圓形壺口得分，投進(jìn)左右兩個(gè)小圓形壺口得分，沒有投進(jìn)壺口不得分．甲乙兩人進(jìn)行投壺比賽，比賽分為若干輪，每輪每人投一支箭羽，最后將各輪所得分?jǐn)?shù)相加即為該人的比賽得分，比賽得分高的人獲勝．已知甲每輪投一支箭羽進(jìn)入中間大壺口的概率為，投進(jìn)入左右兩個(gè)小壺口的概率都是，乙每輪投一支箭羽進(jìn)入中間大壺口的概率為，投進(jìn)入左右兩個(gè)小壺口的概率分別是和，甲乙兩人每輪是否投中相互獨(dú)立，且兩人各輪之間是否投中也互相獨(dú)立．若在最后一輪比賽前，甲的總分落后乙分，設(shè)甲最后一輪比賽的得分為，乙最后一輪比賽的得分為．(1)求甲最后一輪結(jié)束后贏得比賽的概率；(2)求的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)甲一輪的得分為，則，，；設(shè)乙一輪的得分為，則，，；則甲最后一輪反敗為勝的概率.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；；的數(shù)學(xué)期望.32．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┨剿骱棋钪妫l(fā)展航天事業(yè)，建設(shè)航天強(qiáng)國，是我們不懈追求的航天夢(mèng)．某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，組織開展航天知識(shí)競賽活動(dòng)．本次活動(dòng)中有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)答題環(huán)節(jié)，競賽規(guī)則如下：風(fēng)險(xiǎn)題分為10分、20分、30分三類，答對(duì)得相應(yīng)分?jǐn)?shù)，答錯(cuò)扣相應(yīng)分?jǐn)?shù)，每位選手可以從中任選三道題作答．甲選手在回答風(fēng)險(xiǎn)題時(shí)，答對(duì)10分題的概率為0.9，答對(duì)20分題的概率為0.8，答對(duì)30分題的概率為0.5．(1)若甲選手選三道題，第一道選擇了10分題，第二道選擇了20分題，第三道選擇了30分題，求最終得分為0的概率．(2)若甲選手第一道題選擇30分風(fēng)險(xiǎn)題，第二道題和第三道題都選擇20分的風(fēng)險(xiǎn)題作答，記他的最終得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】（1）由已知，得甲選手最終得分為0有兩種情況：①第一次和第二次答錯(cuò)，第三次答對(duì)，其概率．②第一次和第二次答對(duì)，第三次答錯(cuò)，其概率．所以甲選手最終得分為0的概率．（2）由已知，得X的所有可能取值為，，，10，30，70．①三道題全答錯(cuò)，，此時(shí)．②第一道題答錯(cuò)，第二道題和第三道題有一道題答對(duì)，另一道題答錯(cuò)，，此時(shí)．③第一道題答對(duì)，第二道題和第三道題都答錯(cuò)，，此時(shí)．④第一道題答錯(cuò)，第二道題和第三道題全答對(duì)，，此時(shí)．⑤第一道題答對(duì)，第二道題和第三道題有一道題答對(duì)，另一道題答錯(cuò)，，此時(shí)．⑥三道題全答對(duì)，，此時(shí)．所以的分布列為X103070P0.020.160.020.320.160.32所以X的數(shù)學(xué)期望．33．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.34．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利【解析】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調(diào)遞增.該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.35．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┠硵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的7名學(xué)生在一次考試后調(diào)整了學(xué)習(xí)