19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式-初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)課件

19.2.3一次函數(shù)

與

方程、不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元（二元）一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯(lián)系．會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程和不等式及其解（解集）的意義；2．經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程、不等式解的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表示數(shù)，以數(shù)解釋形”的數(shù)形結(jié)合思想(1)解方程：2x+20=0(2)當(dāng)x為何值時(shí)函數(shù)y=2x+20的值為0?問(wèn)題（1）與（2）有什么關(guān)系呢？（1）解方程

．

（2）當(dāng)自變量x

為何值時(shí)，函數(shù)y=2x+20的值為0？以下兩個(gè)問(wèn)題有什么關(guān)系？解：(1)

2x+20=0

(2)令

y=0，即兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是同一個(gè)問(wèn)題．從函數(shù)圖象看，直線y=2x+20與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-10、0）

說(shuō)明了方程2x+20=0的解是求ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解．

由上面兩個(gè)問(wèn)題的關(guān)系，能進(jìn)一步得到“解方程ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)”與求自變量x

為何值時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b的值為0”有什么關(guān)系？

x為何值時(shí)

函數(shù)y=ax+b的值為0．

從“數(shù)”上看求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解．

求直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

從“形”上看序號(hào)一元一次方程問(wèn)題一次函數(shù)問(wèn)題1解方程3x-2=0

當(dāng)x為何值時(shí)，

y=3x-2的值為0?2解方程8x-3=03

當(dāng)x為何值時(shí)，

y=-7x+2的值為0?4解方程8x-3=2舉一反三當(dāng)x為何值時(shí)，___________的值為0?解方程-7x+2=08x-5=0y=8x-3當(dāng)x為何值時(shí)，___________的值為0?y=8x-5

因?yàn)槿魏我粋€(gè)以x為求知數(shù)的一元一次方程都可以變形為（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值為

時(shí)，求

__的值.0自變量x32121-2Oxy-1-13

例1下面三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這三個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．

用函數(shù)的觀點(diǎn)看：解一元一次方程ax+b=k就是求當(dāng)函數(shù)值為k時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值．2x+1=3的解y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解

1、直線在坐標(biāo)系中的位置如圖，則方程的解是χ=___

-2

2

x

y0-22、直線與軸的交點(diǎn)是（

）

A．（0，-3）

B．（-3，0）

C．（0，3）

D．（0，-3）B3、已知方程ax+b=0的解是-2，下列圖像肯定不是直線y=ax+b的是（）ABCDBx=22解：由圖象可知x+3=0的解為x=?3．3

x

y0-3從“形”上看析：直線y=x+3的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0

），這說(shuō)明方程χ＋3＝0的解是x=-3）4、方程的解是

，則函數(shù)在自變量等于

時(shí)的函數(shù)值是8.5、根據(jù)圖象，你能直接說(shuō)出一元一次方程的解嗎？因?yàn)槿魏我粋€(gè)以為未知數(shù)的一元一次方程都可以變形為

的形式，所以解一元一次方程相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值為0時(shí)，求

的值.自變量x

解一元一次方程ax+b=0

(a

，b為常數(shù))可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。1.直線y=ax+b在坐標(biāo)系中的位置如圖，則方程ax+b=0的解是x=____

0-43xy-42、畫(huà)出一次函數(shù)y=3x+2的圖象。x0y=3x+220思考：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2有什么關(guān)系?問(wèn)題2：自變量為何值時(shí)，函數(shù)y=2x-4的值大于0？問(wèn)題1：解不等式2x-4>01、觀察下面3個(gè)不等式有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？（1）＞2；（2）＜0；（3）＜-13個(gè)不等式相同的特點(diǎn)是：不等號(hào)左邊都是_______；不同點(diǎn)是：不等號(hào)及不等號(hào)右邊分別是____，_____，_____。20-1你能從函數(shù)的角度對(duì)以上3個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？解釋1：解這3個(gè)不等式相當(dāng)于在一次函數(shù)的函數(shù)值分別為_(kāi)____、_____、_____時(shí)，求自變量的取值范圍。大于2小于0小于-1解釋2：在直線上取縱坐標(biāo)分別滿(mǎn)足大于2、小于0、小于-1的點(diǎn)，看他們的橫坐標(biāo)分別滿(mǎn)足什么條件。

當(dāng)y>2時(shí)，則x>0當(dāng)y<0時(shí)，則x<當(dāng)y<-1時(shí)，則x<-1結(jié)論因?yàn)槿魏我粋€(gè)以為求知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)y=ax+b的值_____或_____時(shí)，求自變量x的________。大于0小于0取值范圍-2xy=3x+6y例根據(jù)下列一次函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出下列不等式的解集3x+6>0(3)–x+3≥0xy3y=-x+3(2)3x+6≤0X>-2(4)–x+3<0x≤3X≤-2x>3(即y>0)(即y≤0)(即y<0)(即y≥0)1、已知函數(shù)y=x-3，當(dāng)x____時(shí)，y＞0；當(dāng)x____時(shí)，y＜0。2、已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞-2

B．x＜-2C．x＞-1

D．x＜-1＞3＜3B3、利用y=的圖像，直接寫(xiě)出：y25xy=x+5X=2X<2X>2X<0(即y=0)(即y>0)(即y<0)(即y>5)4、直線y=x-1上的點(diǎn)在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的范圍是（

）A.x>1

B.x≥1C.x<1

D.x≤15、已知直線y=2x+k與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），則關(guān)于x的不等式2x+k<0的解集是（

）A.x>-2

B.x≥-2C.x<-2

D.x≤-2AC可以看出，當(dāng)x<2時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸的下方，解法一：化簡(jiǎn)得3x-6<0，畫(huà)出直線y=3x-6，即這時(shí)y=3x-6<0，所以不等式的解集為x<2例：

用畫(huà)函數(shù)圖象的方法解不等式5x+4<2x+10yx-620Y=3x-6解法二：畫(huà)出函數(shù)y=2x+10y=5x+4圖象

從圖中看出：當(dāng)x<2時(shí)直線y=5x+4在y=2x+10的下方

即5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2Y1=5x+4yx0Y2=2X+102-21.已知直線y=x-2與y=-x+2相交于點(diǎn)(2,0),則不等式x-2≥-x+2的解集是______。2.當(dāng)自變量x為何值時(shí)，函數(shù)y=2x-4的值大于0？解：由題意，得2x-4＞0x＞2∴當(dāng)自變量x＞2時(shí)，函數(shù)y=2x-4的值大于0x≥22、試根據(jù)函數(shù)y=3x-15的性質(zhì)或圖象，確定取何值時(shí)：（1）y＞0;（2）y＜0解：令3x-15=0，解得，x=5

∵函數(shù)y=3x-15中k=3＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴（1）當(dāng)x＞5時(shí)，y＞0；

（2）當(dāng)x＜5時(shí)，y＜0。因?yàn)槿魏我粋€(gè)以x為求知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為_(kāi)__________________________的形式，所以解一元一次不等式相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，求自變量x的_________。ax+b＞0或

ax+b＜0（a≠0）取值范圍

一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

求ax+b>0（或<0）(a,b是常數(shù)，a≠0)的解集函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0（或小于0）時(shí)x的取值范圍直線y=ax+b在X軸上方或下方時(shí)自變量的取值范圍從數(shù)的角度看從形的角度看求ax+b>0（或<0）(a,b是常數(shù)，a≠0)的解集1.直線y=ax+b在坐標(biāo)系中的位置如圖，則方程ax+b>0的解是x____

xy03-4

＞-4251551020x0y2、畫(huà)出一次函數(shù)y=x+5與y=0.5x+15的圖象。解：列表，得x020y=x+5525y=0.5x+151525描點(diǎn)、連線得：y=0.5x+15y=x+53.上圖中兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(，)2025(1)把二元一次方程y-x=1寫(xiě)成一次函數(shù)y=____________的形式2、你能找出方程的幾組解嗎?3、把以這幾組解為坐標(biāo)的點(diǎn)在坐標(biāo)系上描出來(lái)，你發(fā)現(xiàn)了什么?x+11、畫(huà)出一次函數(shù)y=x+1的圖像4、以二元一次方程y-x=1的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)y=x+1的圖像上嗎？探究xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1即:

二元一次方程(數(shù))

相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象一條直線(形)對(duì)應(yīng)結(jié)論:以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上.反過(guò)來(lái),一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是相應(yīng)的二元一次方程的解.問(wèn)題：1號(hào)探測(cè)氣球從海拔5米處出發(fā)，以1米/分的速度上升.與此同時(shí)

，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔15米處出發(fā)，以0.5米/分的速度上升.兩個(gè)氣球都上升了1小時(shí).（1）用式子分別表示兩個(gè)氣球所在位置的海拔（單位：米）關(guān)于上升時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系；（2）在某個(gè)時(shí)刻兩個(gè)氣球能否位于同一高度？如果能，這時(shí)氣球上升了多長(zhǎng)時(shí)間？位于什么高度？分析：(1)氣球上升時(shí)間滿(mǎn)足__________。1號(hào)氣球的函數(shù)解析式為_(kāi)________；2號(hào)氣球的函數(shù)解析式為_(kāi)________。(2)在某個(gè)時(shí)刻兩個(gè)氣球位于同一高度，就是說(shuō)對(duì)于x的某個(gè)值（0≤x≤60），函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15有__________。則只需求出x和y的值。0≤x≤60y=x+5y=0.5x+15相同的y值解：聯(lián)立方程組：

y=x+5y=0.5x+15解二元一次方程組得：

x=_____y=_____答：當(dāng)氣球上升

分鐘時(shí)，兩氣球都位于海拔

米的高度.20252520答:1.一般地，因?yàn)槊總€(gè)含有求知數(shù)和的二元一次方程組，都可以改寫(xiě)為_(kāi)______的形式，所以每個(gè)這樣的方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)________。這條直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都是這個(gè)二元一次方程的解。思考：新課引入中函數(shù)圖象，你能解釋兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（20，25）就是問(wèn)題3的解嗎？y=kx+b一條直線從“數(shù)”的角度看，解二元一次方程組,相當(dāng)于求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值_____，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解二元一次方程組,相當(dāng)于確定________的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此，我們可以用畫(huà)一次函數(shù)圖象的方法得到方程組的解。相等兩條直線1、以方程2x-y=1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在

一次函數(shù)

______的圖像上。2、方程組的解是

，由此可知一次函數(shù)

與

的圖像必有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)是

。x-y=43x-y=16y=2x-1x=6y=2y=x+4

y=-3x+16(6，2)3、根據(jù)下列圖象，你能說(shuō)出它表示哪個(gè)方程組的解？這個(gè)解是什么？11xyoy=2x-1y=-3x+4

4、方程組的解是則函數(shù)與的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是______5、一次函數(shù)y=3x-4的圖象是一條直線，它由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，那么方程3x-y=4的解有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)D2x+y=42x-3y=12用圖象法解方程組：①②解：由①得:由②得:作出圖象：觀察圖象得：交點(diǎn)為(3,-2)∴方程組的解為x=3y=-2xoyy=-2x+4y=2/3x-4二元一次方程組的解與以這兩個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。由此可得:

二元一次方程組的圖象解法.寫(xiě)函數(shù)，作圖象，找交點(diǎn)，下結(jié)論yoxx-y=02x+y=5作出圖象：觀察圖象得：交點(diǎn)(1.7,1.7)∴方程組的解為x=1.7y=1.7精確！圖象法：你有哪些方法？解方程組代數(shù)法：x=5/3y=5/3∴方程組的解為用作圖象的方法可以直觀地獲得問(wèn)題的結(jié)果,但有時(shí)卻難以準(zhǔn)確.為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果,我們一般用代數(shù)方法.近似！y=xy=-2x+5例：老師為了教學(xué)，需要在家上網(wǎng)查資料。電信公司

提供了兩種上網(wǎng)收費(fèi)方式：方式1：按上網(wǎng)時(shí)間以每分鐘0.1元計(jì)費(fèi)；方式2：月租費(fèi)20元，再按上網(wǎng)時(shí)間

以每分鐘0.05元計(jì)費(fèi)。請(qǐng)同學(xué)們幫老師選擇：以何種方式上網(wǎng)更合算？oy/元x/分20400200y1=0.1xy2=0.05x+204030在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像當(dāng)x=400時(shí),

y1=y2當(dāng)

x＞400

時(shí),

y1

＞

y2當(dāng)

0≤x＜400

時(shí),

y1

＜

y2

y1=0.1xy2=0.05x+20解：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為

x分，若按方式1

則收

元；若按方式2

則收

元。

y1=0.1x

y2=0.05x+20由函數(shù)圖像得：當(dāng)

時(shí)，y＞0，即選方式

省錢(qián)；當(dāng)

時(shí)，y=0，即選方式A、B

；當(dāng)

時(shí)，y＜0，即選方式

省錢(qián)；400y=－0.05x+20

200yx解法2：設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為x分，方式B與方式A兩種計(jì)費(fèi)的差額為

y元,則y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式為

.

化簡(jiǎn)得

。在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像。y=(0.05x+20)－0.1xy=－0.05x+200≤x＜400X=400X＞400AB

一樣在一元一次方程一章中，我們?cè)紤]過(guò)下面兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式：方式一方式二月租費(fèi)30元/月0本地通話費(fèi)0.30元/分0.40元/分用函數(shù)方法解答如何選擇計(jì)費(fèi)方式更省錢(qián)方式一費(fèi)用：y1=0.3x+30方式二費(fèi)用：y2=0.4x兩種計(jì)費(fèi)差額為：y=y1－y2

=－0.1x+30當(dāng)x＜300

分時(shí)，y＞0，y1＞y2，方式二省錢(qián)當(dāng)x=300

分時(shí)，y=0，y1=y2，

方式一方式二一樣當(dāng)x＞300分時(shí)，y＜0，y1＜y2

，方式一省錢(qián)300030xy

方程（組）與函數(shù)之的互相聯(lián)系，從函數(shù)的角度可以把它們統(tǒng)一起來(lái)，解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況靈活地把它們結(jié)合起來(lái)考慮。1、當(dāng)自變量取何值時(shí)，函數(shù)與的值相等？這個(gè)函數(shù)值是多少？解：由已知可得：

2.5x+1=5x+17,

解得：x=-6.4

則這個(gè)函數(shù)值y=5×(-6.4)+17=-15