挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)專題08一元一次不等式(組)及其應用(10個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

專題08一元一次不等式（組）及其應用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1不等式的相關定義】 1【考點2不等式的性質】 2【考點3不等式（組）的解集】 3【考點4在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集】 3【考點5解一元一次不等式（組）】 4【考點6一元一次不等式（組）的整數(shù)解】 4【考點7含字母的一元一次不等式（組）的有（無）解問題】 5【考點8不等式與方程的綜合運用】 5【考點9由實際問她抽象出一元一次不等式（組）】 6【考點10一元一次不等式（組）的應用】 6【要點1不等式的相關定義】1.用符號“＜”或“＞”表示大小關系的式子，叫做不等式。用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式。2.含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。3.由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組.【考點1不等式的相關定義】【例1】（2023·河北唐山·三模）下面列出的不等式中，正確的是（）A．“m不是正數(shù)”表示為m＜0B．“m不大于3”表示為m＜3C．“n與4的差是負數(shù)”表示為n﹣4＜0D．“n不等于6”表示為n＞6【變式1-1】（2023·四川南充·模擬預測）“a，b兩數(shù)同號“，可用一個不等式表示為_____．【變式1-2】（2023·河南·模擬預測）若(k+2)x|k|?1+6>0是關于x【變式1-3】（2023·山西·模擬預測）下列不等式組，其中是一元一次不等式組的個數(shù)（

）①x>?2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y?4<0；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【要點2不等式的基本性質】性質1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個性質叫做不等式的傳遞性.性質2：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【考點2不等式的性質】【例2】（2023·浙江杭州·中考真題）已知a，b，c，d是實數(shù)，若a>b，c=d，則（

）A．a(chǎn)+c>b+d B．a(chǎn)+b>c+d C．a(chǎn)+c>b?d D．a(chǎn)+b>c?d【變式2-1】（2023·山東濟南·模擬預測）如圖，A、B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a、b，則下列式子中一定成立的是（

）A．a(chǎn)b<2a B．1?3a<1?3b C．a(chǎn)?b>0 【變式2-2】（2023·廣東·深圳市寶安第一外國語學校三模）已知1<x<2，則下列不等式成立的是(

)A．?10<?2x+3<?8 B．?1<?2x+3<1C．?7<?2x+3<?5 D．8<?2x+3<10【變式2-3】（2023·浙江·杭州北苑實驗中學模擬預測）關于x的不等式(2a?b)x>a?2b的解集是x<52，求關于x的不等式【要點3不等式的解集】1.使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。2.一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。3.幾個不等式的解集的公共部分，叫做由他們所組成的不等式組的解集，當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集?！究键c3不等式（組）的解集】【例3】（2023·湖南益陽·中考真題）若x＝2是下列四個選項中的某個不等式組的一個解，則這個不等式組是（

）A．x<1x<?1 B．x<1x>?1 C．x>1x<?1【變式3-1】（2023·浙江臺州·三模）下列說法正確的是（

）A．5是不等式x?5>0的解 B．6是不等式x+5>10的解集C．x≥3是不等式x?3≥0的解集 D．x>5是不等式x+5≥10的解集【變式3-2】（2023·內蒙古呼和浩特·二模）如果不等式(a?2)x>2a?5的解集是x<4，則不等式2a?5y>1的解集是（

）．A．y<52 B．y<25 C．【變式3-3】（2023·四川·敘州區(qū)雙龍鎮(zhèn)初級中學校模擬預測）不等式組x+2a＞42x?b＜5的解集是0＜x＜2，那么a+bA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考點4在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集】【例4】（2023·遼寧阜新·中考真題）不等式組?x?1≤20.5x?1<0.5的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（

A． B．C． D．【變式4-1】（2023·遼寧錦州·中考真題）不等式12x?1≤7?3A．B．C．D．【變式4-2】（2023·浙江紹興·模擬預測）關于的不等式3x?2a≤?2的解集如圖所示，則a的值為A．1 B．13 C．-1 D．【變式4-3】（2023·浙江麗水·一模）一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（

）A．x?1≥0 B．x+1≥0 C．?2x≤?2 D．2x≤2【考點5解一元一次不等式（組）】【例5】（2023·浙江衢州·中考真題）不等式組3x?2＜2（A．x＜3 B．無解 C．2＜【變式5-1】（2023·遼寧大連·中考真題）不等式4x<3x+2的解集是（

）A．x>?2 B．x<?2 C．x>2 D．x<2【變式5-2】（2023·廣西河池·中考真題）如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是(

)A．?12<m<0 B．m>?12 【變式5-3】（2023·山東臨沂·中考真題）滿足m>10?1的整數(shù)m的值可能是（A．3 B．2 C．1 D．0【考點6一元一次不等式（組）的整數(shù)解】【例6】（2023·山東濟寧·中考真題）若關于x的不等式組x?a>0,7?2x>5僅有3個整數(shù)解，則A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【變式6-1】（2023·青?！ぶ锌颊骖}）不等式組2x+4≥06?x>3【變式6-2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）從不等式組2x+3≤x+92x+4【變式6-3】（2023·湖南邵陽·中考真題）關于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6【考點7含字母的一元一次不等式（組）的有（無）解問題】【例7】（2023·重慶·二模）若關于x的方程ax+1+1=x+ax?1的解為負數(shù)，且關于y的不等式組y?1≥2y?1A．3 B．2 C．1 D．0【變式7-1】（2023·山東省鄆城第一中學模擬預測）若不等式組x+13≤x2?1A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)>2【變式7-2】（2023·福建·莆田擢英中學一模）關于x的不等式組3>2(x?1)x>1?a有解，則aA．a(chǎn)≤?32 B．a(chǎn)<?32 C．【變式7-3】（2023·重慶銅梁·一模）關于x的不等式組x>m?2?2x+1≥4m?3有解，且使關于x的分式方程1x?2?m?x2?xA．-1 B．2 C．-6 D．0【考點8不等式與方程的綜合運用】【例8】（2023·山東聊城·中考真題）關于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【變式8-1】（2023·內蒙古通遼·中考真題）若關于x的分式方程：2?1?2kx?2=12?xA．k<2 B．k<2且k≠0C．k>?1 D．k>?1且k≠0【變式8-2】（2023·四川攀枝花·中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯(lián)方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<0【變式8-3】（2023·重慶·中考真題）關于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【考點9由實際問她抽象出一元一次不等式（組）】【例9】（2023·廣東佛山·二模）某次知識競賽共有15道題，每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要不低于90分，設她答對了x道題，則根據(jù)題意可列不等式為__________．【變式9-1】（2023·廣東廣州·二模）小麗計劃節(jié)省部分零花錢購買一臺學生平板電腦，她已存有750元，并計劃從本月起每月存錢30元，直到她至少存有1080元，設x個月后小麗至少有1080元，則可列出不等式為（）A．30x+750>1080 B．30x?750>1080 C．30x?750≤1080 D．30x+750≥1080【變式9-2】（2023·浙江杭州·一模）為了治理環(huán)境，九年級部分同學去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵；若每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵．若設同學人數(shù)為x人，下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（

）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8C．7x+9?9(x?1)?07x+9?9(x?1)<8 D．【變式9-3】（2023·貴州·仁懷市教育研究室二模）校團委計劃用800元為畢業(yè)生到某超市購買紀念冊，該超市推出優(yōu)惠活動，若一次購買不超過15冊，則按每冊10元付款，若一次性購買15冊以上，則超過部分按八折優(yōu)惠．問最多能購買多少冊？設能購買x冊，則下列不等關系正確的是（

）A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8C．15×10+10×0.8x?15≤800 【考點10一元一次不等式（組）的應用】【例10】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【變式10-1】（2023·廣西梧州·中考真題）梧州市地處亞熱帶，盛產(chǎn)龍眼．新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長時間保存．已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干．(1)若新鮮龍眼售價為12元/kg，在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?(2)在實踐中，小蘇發(fā)現(xiàn)當?shù)卦诩庸堁鄹傻倪^程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農(nóng)的利益，龍眼干的銷售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數(shù)價格．市場調查還發(fā)現(xiàn)，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出100kg，超出部分平均售價是5元/kg，可售完．果農(nóng)們都以這種方式出售新鮮龍眼．設某果農(nóng)有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請寫出w與a【變式10-2】（2023·四川內江·中考真題）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．(1)參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？(2)每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？(3)學校租車總費用最少是多少元？【變式10-3】（2023·湖南湘西·中考真題）為了傳承雷鋒精神，某中學向全校師生發(fā)起“獻愛心”募捐活動，準備向西部山區(qū)學校捐贈籃球、足球兩種體育用品．已知籃球的單價為每個100元，足球的單價為每個80元．(1)原計劃募捐5600元，全部用于購買籃球和足球，如果恰好能夠購買籃球和足球共60個，那么籃球和足球各買多少個？(2)在捐款活動中，由于師生的捐款積極性高漲，實際收到捐款共6890元，若購買籃球和足球共80個，且支出不超過6890元，那么籃球最多能買多少個？專題08一元一次不等式（組）及其應用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1不等式的相關定義】 1【考點2不等式的性質】 3【考點3不等式（組）的解集】 5【考點4在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集】 7【考點5解一元一次不等式（組）】 10【考點6一元一次不等式（組）的整數(shù)解】 11【考點7含字母的一元一次不等式（組）的有（無）解問題】 13【考點8不等式與方程的綜合運用】 16【考點9由實際問她抽象出一元一次不等式（組）】 18【考點10一元一次不等式（組）的應用】 20【要點1不等式的相關定義】1.用符號“＜”或“＞”表示大小關系的式子，叫做不等式。用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式。2.含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。3.由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式叫做一元一次不等式組.【考點1不等式的相關定義】【例1】（2023·河北唐山·三模）下面列出的不等式中，正確的是（）A．“m不是正數(shù)”表示為m＜0B．“m不大于3”表示為m＜3C．“n與4的差是負數(shù)”表示為n﹣4＜0D．“n不等于6”表示為n＞6【答案】C【分析】根據(jù)各個選項的表示列出不等式，與選項中所表示的不等式對比即可.【詳解】A.“m不是正數(shù)”表示為m≤0,故錯誤.B.“m不大于3”表示為m≤3,故錯誤.C.“n與4的差是負數(shù)”表示為n﹣4＜0,正確.D.“n不等于6”表示為n≠6,故錯誤.故選:C.【點睛】考查列不等式，解決本題的關鍵是理解負數(shù)是小于0的數(shù)，非負數(shù)是大于或等于0的數(shù)，不大于用數(shù)學符號表示是“≤”．【變式1-1】（2023·四川南充·模擬預測）“a，b兩數(shù)同號“，可用一個不等式表示為_____．【答案】ab＞0．【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則可知，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負表示即可.【詳解】根據(jù)兩數(shù)相乘同號得正可得不等式．解：由題意得：ab＞0，故答案為：ab＞0.【點睛】本題考查了實數(shù)的運算法則，解決本題的關鍵是熟練掌握實數(shù)運算時，同號得正，異號得負這一法則.【變式1-2】（2023·河南·模擬預測）若(k+2)x|k|?1+6>0是關于x【答案】2【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，|k|?1=1且k+2≠0，分別進行求解即可．【詳解】解：∵不等式(k+2)x∴|k|?1=1k+2≠0解得：k=2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查一元一次不等式定義的“未知數(shù)的最高次數(shù)為1次”這一條件；還要注意，未知數(shù)的系數(shù)不能是0．【變式1-3】（2023·山西·模擬預測）下列不等式組，其中是一元一次不等式組的個數(shù)（

）①x>?2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y?4<0；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式組的概念，對5個式子逐一判斷即可．【詳解】解：①x>?2x<3②x>0x+2>4③x+1>0y?4<0④x+3>0x<?7⑤x2其中是一元一次不等式組的有3個，答案：B．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組的概念，掌握一元一次不等式組的概念是解決本題的關鍵.【要點2不等式的基本性質】性質1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個性質叫做不等式的傳遞性.性質2：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【考點2不等式的性質】【例2】（2023·浙江杭州·中考真題）已知a，b，c，d是實數(shù)，若a>b，c=d，則（

）A．a(chǎn)+c>b+d B．a(chǎn)+b>c+d C．a(chǎn)+c>b?d D．a(chǎn)+b>c?d【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質可判定A正確，舉例能判定B、C、D錯誤．【詳解】解：A、∵a>b，c=d，∴a+c>b+d．故此選項符合題意；B、∵a>b，c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，則a+b=-5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此選項不符合題意；C、∵a>b，c=d，如a=-2,b=-3,c=d=-4，則a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+c<b-d，故此選項不符合題意；D、∵a>b，c=d，如a=-2,b=-3,則a+b=-5,c-d=0，∴a+b<c-d,故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．【變式2-1】（2023·山東濟南·模擬預測）如圖，A、B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a、b，則下列式子中一定成立的是（

）A．a(chǎn)b<2a B．1?3a<1?3b C．a(chǎn)?b>0 【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸可以得到a、b的正負和范圍，利用不等式的性質，即可得到哪個選項是正確的．【詳解】解；由數(shù)軸可得，?2<a<?1，2<b<3，a<b，|a|<|b|，∵b>2，a<0，∴ab<2a，故選項A正確；∵a<b，∴?3a>?3b，則1?3a>1?3b，故選項B錯誤；∵|a|<|b|，∴a?∵a<?1，b>0，∴ab<?b，故選項D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值，解題的關鍵是明確數(shù)軸的特點，不等式的性質，利用數(shù)形結合的思想解答．【變式2-2】（2023·廣東·深圳市寶安第一外國語學校三模）已知1<x<2，則下列不等式成立的是(

)A．?10<?2x+3<?8 B．?1<?2x+3<1C．?7<?2x+3<?5 D．8<?2x+3<10【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質進行計算即可；【詳解】解：∵1<x<2∴2×?2<?2x<1×?2∴?4+3<?2x+故選B．【點睛】本題考查不等式的性質．熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．注意不等式左右兩邊同乘一個小于0的數(shù)，不等號的方向要改變．【變式2-3】（2023·浙江·杭州北苑實驗中學模擬預測）關于x的不等式(2a?b)x>a?2b的解集是x<52，求關于x的不等式【答案】x<?8【分析】由不等式(2a?b)x>a?2b可得x<a?2b2a?b，其解集是x<52，故有a?2b2a?b【詳解】解：不等式(2a?b)x>a?2b系數(shù)化1得x<a?2b2a?b，且∵該不等式的解集為是x<5∴a?2b2a?b∴b=8a，∵2a?b<0，∴2a?8a<0，解得：a>0，將b=8a代入不等式ax+b<0得，ax+8a<0，移項得，ax<?8a，又∵a>0，∴x<?8，即不等式ax+b<0的解集是x<?8．【點睛】當題中有兩個未知字母時，應把關于某個字母的不等式中的字母當成未知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進行判斷，求得另一個字母的值．本題需注意，在不等式兩邊都除以一個負數(shù)時，應只改變不等號的方向，余下運算不受影響，該怎么算還怎么算．【要點3不等式的解集】1.使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。2.一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。3.幾個不等式的解集的公共部分，叫做由他們所組成的不等式組的解集，當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集?！究键c3不等式（組）的解集】【例3】（2023·湖南益陽·中考真題）若x＝2是下列四個選項中的某個不等式組的一個解，則這個不等式組是（

）A．x<1x<?1 B．x<1x>?1 C．x>1x<?1【答案】D【分析】先把不等式組的解集求出來，然后根據(jù)解集判斷x＝2是否是解集一個解．【詳解】解：A、∵不等式組的解集為x＜﹣1，∴x＝2不在這個范圍內，故選項A不符合題意；B、∵不等式組的解集為﹣1＜x＜1，∴x＝2不在這個范圍內，故選項B不符合題意；C、∵不等式組無解，∴x＝2不在這個范圍內，故選項C不符合題意；D、∵不等式組的解集為x＞1，∴x＝2在這個范圍內，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了不等式組的解集，不等式組解集的確定方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了．【變式3-1】（2023·浙江臺州·三模）下列說法正確的是（

）A．5是不等式x?5>0的解 B．6是不等式x+5>10的解集C．x≥3是不等式x?3≥0的解集 D．x>5是不等式x+5≥10的解集【答案】C【分析】先把各個不等式解出，再判斷即可.【詳解】解：A.不等式x?5>0的解集為x﹥5,5不是不等式x?5>0的解，故錯誤；B.不等式x+5>10的解集為x﹥5,6是不等式x+5>10的解，故錯誤C.不等式x?3≥0的解集為x≥3,，故正確；D.不等式x+5≥10的解集為x≥5,故錯誤.故選C.【點睛】此題主要考查了不等式的解和不等式的解集，正確的區(qū)分不等式的解與不等式的解集是解決問題的關鍵.【變式3-2】（2023·內蒙古呼和浩特·二模）如果不等式(a?2)x>2a?5的解集是x<4，則不等式2a?5y>1的解集是（

）．A．y<52 B．y<25 C．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質得出a?2<0，2a?5a?2=4，解得a=3【詳解】解：∵不等式（a-2）x＞2a-5的解集是x＜4，∴a?2<0，∴2a?5a?2解得a=3∴2a=3，∴不等式2a-5y＞1整理為3?5y>1，解得：y<2故選：B．【點睛】本題考查了含字母系數(shù)的不等式的解法，有一定難度，注意不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【變式3-3】（2023·四川·敘州區(qū)雙龍鎮(zhèn)初級中學校模擬預測）不等式組x+2a＞42x?b＜5的解集是0＜x＜2，那么a+bA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【分析】首先解不等式組得到解集為4﹣2a＜x＜b+52，得到方程組4?2a=0b+52=2【詳解】x+2a＞4①2x?b＜5②，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x＜∵不等式組的解集是0＜x＜2，∴4?2a=0b+52=2∴a+b＝2﹣1＝1．故選：C．【點睛】本題考查解不等式組，方法是首先接觸不等式組中各個不等式的解集，其公共部分就是不等式組的解集．【考點4在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集】【例4】（2023·遼寧阜新·中考真題）不等式組?x?1≤20.5x?1<0.5的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（

A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，則不等式組的解集為﹣3≤x＜3，故選：A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【變式4-1】（2023·遼寧錦州·中考真題）不等式12x?1≤7?3A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得不等式的解集為x≤4，根據(jù)等號判定圓圈為實心，選擇即可．【詳解】∵不等式12x?1≤7?3∴數(shù)軸表示為：，故選C．【點睛】本題考查了不等式的解法和數(shù)軸表示，熟練掌握解不等式是解題的關鍵．【變式4-2】（2023·浙江紹興·模擬預測）關于的不等式3x?2a≤?2的解集如圖所示，則a的值為A．1 B．13 C．-1 D．【答案】D【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．【詳解】解：根據(jù)圖示知，原不等式的解集是：x≤-1；又∵3x-2a≤-2，∴x≤?2+2a3∴?2+2a3解得，a=-12故選D．【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點向右畫折線，“≥”實心圓點向右畫折線，“＜”空心圓點向左畫折線，“≤”實心圓點向左畫折線．【變式4-3】（2023·浙江麗水·一模）一個不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式可以是（

）A．x?1≥0 B．x+1≥0 C．?2x≤?2 D．2x≤2【答案】D【分析】解不等式，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，可得答案．【詳解】解：由不等式的解在數(shù)軸上表示的圖可這個不等式的解集是：x≤1，A．解原不等式得：x≥1，故A不符合題意；B．解原不等式得：x≥-1，故B不符合題意；C．解原不等式得：x≥1，故C不符合題意；D．解原不等式得：x≤1，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．【考點5解一元一次不等式（組）】【例5】（2023·浙江衢州·中考真題）不等式組3x?2＜2（A．x＜3 B．無解 C．2＜【答案】D【分析】分別解兩個不等式得到，然后根據(jù)大小小大取中間確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式3x?2<2x+1，解得x<4解不等式x?12>1，解得∴不等數(shù)組的解集為3<x<4．故選：D．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·遼寧大連·中考真題）不等式4x<3x+2的解集是（

）A．x>?2 B．x<?2 C．x>2 D．x<2【答案】D【分析】移項再合并同類項即可把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，從而可得答案．【詳解】解：4x<3x+2，移項，合并同類項得：x<2,故選D【點睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步驟”是解本題的關鍵．【變式5-2】（2023·廣西河池·中考真題）如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是(

)A．?12<m<0 B．m>?12 【答案】D【分析】根據(jù)第三象限點的特征，橫縱坐標都為負，列出一元一次不等式組，進而即可求解．【詳解】解：∵點P（m，1+2m）在第三象限內，∴m<0①解不等式①得：m<0，解不等式②得：m<?1∴不等式組的解集為：m<?1故選D．【點睛】本題考查了第三象限的點的坐標特征，一元一次不等式組的應用，掌握各象限點的坐標特征是解題的關鍵．【變式5-3】（2023·山東臨沂·中考真題）滿足m>10?1的整數(shù)m的值可能是（A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】先化簡10?1并估算10?1的范圍，再確定【詳解】∵3<10∴2<10∵10?1=∴m≥3，故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的化簡，無理數(shù)的估算和不等式的求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【考點6一元一次不等式（組）的整數(shù)解】【例6】（2023·山東濟寧·中考真題）若關于x的不等式組x?a>0,7?2x>5僅有3個整數(shù)解，則A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2【答案】D【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可解答．【詳解】解：x?a由①得，x>a由②得，x<1因不等式組有3個整數(shù)解∴a<x<1∴?3≤a<?2故選：D．【點睛】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握相關知識是解題關鍵．【變式6-1】（2023·青?！ぶ锌颊骖}）不等式組2x+4≥06?x>3【答案】0【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是解集的公共部分，然后確定整數(shù)解，然后將各整數(shù)解求和即可．【詳解】解：解不等式2x+4≥0，得：x≥﹣2，解不等式6?x>3，得：x＜3，則不等式組的解集為﹣2≤x＜3，所以不等式組的所有整數(shù)解的和為﹣2﹣1+0+1+2＝0，故答案為：0．【點睛】本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了，正確求解不等式組的解集是解題的關鍵．【變式6-2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）從不等式組2x+3≤x+92x+4【答案】35【分析】首先求得不等式組的所有整數(shù)解，然后由概率公式求得答案．【詳解】解：2x+3≤x+9①由①得：x≤6，由②得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x≤6，∴整數(shù)解有：2，3，4，5，6；∴它是偶數(shù)的概率是35故答案為：35【點睛】本題考查了概率公式的應用以及不等式組的解集，解題的關鍵是掌握這些知識點．【變式6-3】（2023·湖南邵陽·中考真題）關于x的不等式組?13x>23A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】分別對兩個不等式進行求解，得到不等式組的解集為1<x<a，根據(jù)不等式組有且只有三個整數(shù)解的條件計算出a的最大值．【詳解】解不等式?1?1∴23∴x>1，解不等式12得12∴x<a，∴?13x>∵不等式組有且只有三個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解應為：2，3，4，∴4<a≤5,∴a的最大值應為5故選：C．【點睛】本題考查不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是熟練掌握不等式組的相關知識．【考點7含字母的一元一次不等式（組）的有（無）解問題】【例7】（2023·重慶·二模）若關于x的方程ax+1+1=x+ax?1的解為負數(shù)，且關于y的不等式組y?1≥2y?1A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分別解分式方程和不等式組，從而得出a的范圍，從而得整數(shù)a的取值，進而得所有滿足條件的整數(shù)a的值之積．【詳解】解：將分式方程去分母得：a(x－1)＋(x＋1)(x－1)=(x＋a)(x＋1)，解得：x=－2a－1，∵解為負數(shù)，∴－2a－1<0，解得：a＞∵當x=1時，a=－1；x=－1時，a=0，此時分式的分母為0，無意義，∴a＞將不等式組整理得：y＜∵此不等式組無解，∴a≤2，∴a的取值范圍為：?1∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為：1，2．∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是：1×2=2故選：B【點睛】本題考查了含參數(shù)分式方程和含參數(shù)一元一次不等式組的解的問題，注意分式方程取增根的情況及熟練掌握不等式組解集的求解方法是解題的關鍵．【變式7-1】（2023·山東省鄆城第一中學模擬預測）若不等式組x+13≤x2?1A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)<2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)>2【答案】B【分析】根據(jù)不等式組無解，確定出a的范圍即可．【詳解】解：由x+13≤x∵x≤4a，不等式組無解，∴4a＜∴a＜故選B．【點睛】此題考查了不等式的解集，弄清不等式組無解的意義是解本題的關鍵．【變式7-2】（2023·福建·莆田擢英中學一模）關于x的不等式組3>2(x?1)x>1?a有解，則aA．a(chǎn)≤?32 B．a(chǎn)<?32 C．【答案】C【分析】先求出不等式組的解集x＜52【詳解】解：解不等式組3>2(x?1)x>1?a得：x∵不等式組有解，∴1?a＜52故選：C．【點睛】本題考查解不等式組，由不等式組解的情況求參數(shù)，解題的關鍵是求出不等式解集，根據(jù)不等式有解找出a的范圍．【變式7-3】（2023·重慶銅梁·一模）關于x的不等式組x>m?2?2x+1≥4m?3有解，且使關于x的分式方程1x?2?m?x2?xA．-1 B．2 C．-6 D．0【答案】C【分析】根據(jù)不等式組的解集的情況得出關于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根據(jù)x是非負整數(shù)得出m所有的m的和．【詳解】解：∵關于x的不等式組x>m?2?2x+1≥4m?3由?2x+1≥4m?3可得：x≤2?2m∴m?2<2?2m，解得m<4由1x?2?m?x∵分式方程1x?2∴x=m+5∵m<4∴m=1，?5，?2，∴1?5?2=?6，故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m的取值范圍以及解分式方程是解題的關鍵．【考點8不等式與方程的綜合運用】【例8】（2023·山東聊城·中考真題）關于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【答案】A【分析】由兩式相減，得到x+y=k?3，再根據(jù)x與y的和不小于5列出不等式即可求解．【詳解】解：把兩個方程相減，可得x+y=k?3，根據(jù)題意得：k?3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范圍是k≥8．故選：A．【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關鍵．【變式8-1】（2023·內蒙古通遼·中考真題）若關于x的分式方程：2?1?2kx?2=12?xA．k<2 B．k<2且k≠0C．k>?1 D．k>?1且k≠0【答案】B【分析】先解方程，含有k的代數(shù)式表示x，在根據(jù)x的取值范圍確定k的取值范圍．【詳解】解：∵2?1?2k∴2x?2解得：x=2?k，∵解為正數(shù)，∴2?k>0，∴k＜∵分母不能為0，∴x≠2，∴2?k≠2，解得k≠0，綜上所述：k＜2且故選：B．【點睛】本題考查解分式方程，求不等式的解集，能夠熟練地解分式方程式解決本題的關鍵．【變式8-2】（2023·四川攀枝花·中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯(lián)方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<0【答案】1≤n<3【分析】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式組可得答案．【詳解】解：解方程13x?1=0得∵x=3為不等式組x?2≤n2n?2x<0∴1≤n2n?6≤0，解得1≤n<3即n的取值范圍為：1≤n<3，故答案為：1≤n<3．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯(lián)方程”的定義和解一元一次不等式組、一元一次方程的能力．【變式8-3】（2023·重慶·中考真題）關于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關于y的不等式組y+9≤2(y+2)2y?a3A．13 B．15 C．18 D．20【答案】A【分析】先通過分式方程求出a的一個取值范圍，再通過不等式組的解集求出a的另一個取值范圍，兩個范圍結合起來就得到a的有限個整數(shù)解．【詳解】由分式方程的解為整數(shù)可得：3x?a?x?1=x?3解得：x=a?2又題意得：a?2>0且a?2≠3∴a>2且a≠5，由y+9≤2y+2得：由2y?a3>1∵解集為y≥5∴3+a解得：a<7綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6它們的和為：13故選：A．【點睛】本題考查含參數(shù)的分式方程和含參數(shù)的不等數(shù)組，掌握由解集倒推參數(shù)范圍是本題關鍵．【考點9由實際問她抽象出一元一次不等式（組）】【例9】（2023·廣東佛山·二模）某次知識競賽共有15道題，每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要不低于90分，設她答對了x道題，則根據(jù)題意可列不等式為__________．【答案】10x?5（15?x）≥90【分析】設她答對了x道題，則答錯或不答的有（15?x）道，由題意得不等關系：答對題數(shù)×10?答錯×5≥90，然后列出不等式即可．【詳解】解：設她答對了x道題，則答錯或不答的有（15?x）道，由題意得：10x?5（15?x）≥90，故答案為：10x?5（15?x）≥90．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關系．【變式9-1】（2023·廣東廣州·二模）小麗計劃節(jié)省部分零花錢購買一臺學生平板電腦，她已存有750元，并計劃從本月起每月存錢30元，直到她至少存有1080元，設x個月后小麗至少有1080元，則可列出不等式為（）A．30x+750>1080 B．30x?750>1080 C．30x?750≤1080 D．30x+750≥1080【答案】D【分析】首先根據(jù)小麗每月存30元且存x個月可知這段時間小麗共存30x元，由此根據(jù)題意進一步表示出x個月后小麗所具有的零花錢，最后結合題意即可得出不等式.【詳解】∵小麗每月存30元，且存x個月，∴這段時間小麗共存30x元，∵小麗至少要存有1080元，∴可列不等式為：30x+750≥1080，故選：D.【點睛】本題主要考查了不等式的實際應用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.【變式9-2】（2023·浙江杭州·一模）為了治理環(huán)境，九年級部分同學去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵；若每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵．若設同學人數(shù)為x人，下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（

）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8C．7x+9?9(x?1)?07x+9?9(x?1)<8 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，再根據(jù)關鍵語句“每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵”列出不等式組即可．【詳解】解：設同學人數(shù)為x人，則種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，由題意得：7x+9?9(x?1)?07x+9?9(x?1)<8故選：C．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組，關鍵是根據(jù)題意設出未知數(shù)，然后得出相應的不等式組即可．【變式9-3】（2023·貴州·仁懷市教育研究室二模）校團委計劃用800元為畢業(yè)生到某超市購買紀念冊，該超市推出優(yōu)惠活動，若一次購買不超過15冊，則按每冊10元付款，若一次性購買15冊以上，則超過部分按八折優(yōu)惠．問最多能購買多少冊？設能購買x冊，則下列不等關系正確的是（

）A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8C．15×10+10×0.8x?15≤800 【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，購買的紀念冊超過15冊，可根據(jù)一次性購買15冊以上，則超過部分按八折優(yōu)惠列出不等式即可．【詳解】解：800÷10=所以應按第二種方式付款，則有，15×10+10×0.8故選C．【點睛】本題主要考查了根據(jù)實際問題列不等式，正確得到付款方式是解答本題的關鍵．【考點10一元一次不等式（組）的應用】【例10】（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【答案】（1）m=10；（2）11種；（3）購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙，可獲得最大利潤【分析】（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數(shù)量，根據(jù)兩種鞋的數(shù)量相等列出方程求解即可．（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200﹣x）雙，然后根據(jù)總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據(jù)鞋的雙數(shù)是正整數(shù)解答．（3）設總利潤為W，根據(jù)總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）依題意得，3000去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．經(jīng)檢驗，m=100是原分式方程的解．∴m=100．（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，根據(jù)題意得，{24解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，∴不等式組的解集是95≤x≤105．∵x是正整數(shù)，105﹣95+1=11，∴共有11種方案．（3）設總利潤為W，則W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，∴當x=105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙．②當a=60時，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣．③當60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，∴當x=95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．【變式10-1】（2023·廣西梧州·中考真題）梧州市地處亞熱帶，盛產(chǎn)龍眼．新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長時間保存．已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干．(1)若新鮮龍眼售價為12元/kg，在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?(2)在實踐中，小蘇發(fā)現(xiàn)當?shù)卦诩庸堁鄹傻倪^程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農(nóng)的利益，龍眼干的銷售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數(shù)價格．市場調查還發(fā)現(xiàn)，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出100kg，超出部分平均售價是5元/kg，可售完．果農(nóng)們都以這種方式出售新鮮龍眼．設某果農(nóng)有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請寫出w與a【答案】(1)龍眼干的售價應不低于36元/kg(2)w=【分析】(1)設龍眼干的售價應不低于x元/kg，新鮮龍眼共3a千克，得到總收益為12×3a=36a元；加工成龍眼干后總收益為ax元，再根據(jù)龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；(2)設龍眼干的售價為y元/千克，當a<100千克時求出新鮮龍眼的銷售收益為12a元，龍眼干的銷售收益為47150ay元，根據(jù)“龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，且龍眼干的定價取最低整數(shù)價格”得到47150ay≥12a，解出(1)解：設龍眼干的售價應不低于x元/kg，設新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12×3a=36a（元），加工成龍眼干后共a千克，總銷售收益為x×a=ax（元），∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，故龍眼干的售價應不低于36元/kg．(2)解：a千克的新鮮龍眼一共可以加工成13×(1?6%)a=47當a≤100千克時，新鮮龍眼的總收益為12a元，∵龍眼干的