專題02直線的方程（解析版）

專題02直線的方程目錄新知導(dǎo)航：熟悉課程內(nèi)容、掌握知識(shí)脈絡(luò)基礎(chǔ)知識(shí)：知識(shí)點(diǎn)全面梳理，掌握必備學(xué)以致用：考點(diǎn)剖析，提升能力小試牛刀：過關(guān)檢測(cè)，成果評(píng)定一．直線的點(diǎn)斜式方程已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k，則直線l的方程為．這個(gè)方程是由直線上一定點(diǎn)及其斜率確定的，因此稱為直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)（如圖1），，即k=0，這時(shí)直線l與x軸平行或重合，l的方程就是，或．當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)（如圖2），直線沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．因?yàn)檫@時(shí)l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以它的方程是，或．直線的點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)如圖，設(shè)點(diǎn)是直線l上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式得（1），即（2）．注意：方程（1）與方程（2）的差異：點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程（1），但滿足方程（2），因此，點(diǎn)不在方程（1）表示的圖形上，而在方程（2）表示的圖形上，方程（1）不能稱為直線l的方程．上述過程可以證明直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程（2）的解．對(duì)上面的過程逆推，可以證明以方程（2）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，所以這個(gè)方程就是過點(diǎn)，斜率為k的直線l的方程．二．直線的斜截式方程我們把直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距．如果直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，則方程為，即叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．當(dāng)b=0時(shí)，表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)k=0且b≠0時(shí)，表示與x軸平行的直線；當(dāng)k=0且b=0時(shí)，表示與x軸重合的直線．三．直線的兩點(diǎn)式方程1．直線的兩點(diǎn)式方程的定義已知直線過兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．這個(gè)方程是由直線上的兩點(diǎn)確定的，因此稱為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．2．直線的兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)已知直線過兩點(diǎn)（其中），此時(shí)直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的．當(dāng)時(shí)，所求直線的斜率．任取中的一點(diǎn)，例如取，由點(diǎn)斜式方程，得，當(dāng)時(shí)，可寫為．四．直線的截距式方程1．直線的截距式方程的定義已知直線過點(diǎn)，（），則由直線的兩點(diǎn)式方程可以得到直線的方程為．我們把直線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，此時(shí)直線在軸上的截距是．這個(gè)方程由直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距和確定，因此叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式．2．直線的截距式方程的推導(dǎo)已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，如圖，其中．將兩點(diǎn)，的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得，即．五．中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．六．直線的一般式方程在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．直線的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同時(shí)為0）都不為0）直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)任意一條直線．因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：（1）當(dāng)時(shí)，可化為，它表示在y軸上的截距為，斜率為的直線．（2）當(dāng)均不為零時(shí)，可化為，它表示在x軸上的截距為，在y軸上的截距為的直線．七.一般式方程中兩直線平行與垂直的條件若兩條直線的方程是用一般式給出的，設(shè)直線的方程分別為，，則可以在條件允許時(shí)將兩方程化為斜截式方程，從而得出兩直線平行與垂直的結(jié)論如下：（1）若，當(dāng)斜率存在時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，且．即，且或．（2）若，當(dāng)斜率存在時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，或．即．一．直線的點(diǎn)斜式方程（共2小題）【例1】（2023春上海市·虹口·期中）設(shè)點(diǎn)，若直線l經(jīng)過點(diǎn)H，且與直線垂直（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l的方程為．【答案】【分析】由直線l與直線垂直，求出直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求直線l的方程.【詳解】因?yàn)?，所以，又直線l與直線垂直，所以直線l斜率為，又因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)H，所以直線l的方程為，即.故答案為：【變式】（2022?浦東新區(qū)校級(jí)開學(xué)）過點(diǎn)（﹣1，﹣2）斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是．【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，列方程即可．【解答】解：過點(diǎn)（﹣1，﹣2）斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程為y+2＝3（x+1）．故答案為：y+2＝3（x+1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程，是基礎(chǔ)題．直線的斜截式方程（共2小題）【例2】（2023春·上海市控江中學(xué)高一下期末）直線l：繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合，則的斜截式方程是____________.【答案】【分析】先找到直線的斜率，再由直線過點(diǎn)求出直線方程.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，則，則，所以直線，故答案為：.【變式】（2023春·上海市青浦區(qū)·二模）過點(diǎn)與直線垂直的直線方程為.【答案】【分析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出的值，即可得出所求直線的方程.【詳解】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線方程可得，解得，故所求直線方程為.故答案為：.三．直線的兩點(diǎn)式方程（共2小題）【例3】（2022秋·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，求邊所在直線的方程【答案】【分析】可以通過兩點(diǎn)式求直線方程，也可以通過點(diǎn)斜式求方程【詳解】的斜率為,直線方程為,即；四．直線的截距式方程（共2小題）【例4】（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），則線段AB的方程是．【分析】由題意，利用截距式求直線的方程．【解答】解：∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），則線段AB的方程是+＝1，即x+y﹣1＝0，故答案為：x+y﹣1＝0（0≤x≤1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用截距式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．【變式1】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）過點(diǎn)M（3，﹣4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程為．【分析】設(shè)出直線在x、y軸上的截距分別為a和﹣a（a≠0），推出直線方程，利用直線過A，求出a，求得直線方程；當(dāng)a＝0時(shí)，再求另一條直線方程，即可．【解答】解：設(shè)直線在x、y軸上的截距分別為a和﹣a（a≠0），則直線l的方程為﹣＝1∵直線過點(diǎn)A（3，﹣4），∴＝1解得：a＝7此時(shí)直線l的方程為x﹣y﹣7＝0當(dāng)a＝0時(shí)，直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為y＝kx，過點(diǎn)A（3，﹣4）此時(shí)直線l的方程為y＝﹣x，此時(shí)直線l的方程為4x+3y＝0∴直線l的方程為：x﹣y+7＝0或4x+3y＝0，故答案為：x﹣y﹣7＝0或4x+3y＝0；【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程，直線的截距式方程，學(xué)生容易疏忽過原點(diǎn)的情況，是基礎(chǔ)題．【變式2】．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）求過點(diǎn)p（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程．【分析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程直接求出；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為x+y＝a，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可得出．【解答】解：當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，化為3x﹣2y＝0．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為x+y＝a，把點(diǎn)p（2，3）代入可得：2+3＝a，∴a＝5．∴直線的方程為：x+y＝5．故答案為：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的截距式方程、分類討論的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．五．一般式方程中兩直線平行與垂直的條件（共2小題）【例5】.（2023春·上海市控江中學(xué)高一下期末）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，當(dāng)時(shí)，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A【變式1】．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若直線l1：ax+y+2a＝0與直線l2：4x+ay+3a+2＝0互相平行，則實(shí)數(shù)a＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，直線l1：y＝0，直線l2：4x+2＝0，兩直線不平行，當(dāng)a≠0時(shí)，∵l1∥l2，∴，解得a＝﹣2，故實(shí)數(shù)a為﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式2】（2023春·上海市復(fù)旦附中高二第二學(xué)期期中）直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線的方程是__________.【答案】【分析】設(shè)與直線平行的直線方程為，代入已知點(diǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，帶入點(diǎn)得，得，所以直線的方程是.故答案為：.【例6】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）直線l1：px+3y+1＝0與直線l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，則p的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【分析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，計(jì)算求得p的值．【解答】解：∵直線l1：px+3y+1＝0與直線l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，∴6p﹣6＝0，求得p＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，屬于基礎(chǔ)題．【變式】（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）過點(diǎn)（2，0）且與直線2x﹣4y﹣1＝0垂直的直線的方程是．【分析】根據(jù)題意，設(shè)要求直線的方程為2x+y+m＝0，將點(diǎn)（2，0）代入直線的方程，計(jì)算可得m的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求直線與直線2x﹣4y﹣1＝0垂直，設(shè)要求直線的方程為2x+y+m＝0，又由要求的直線過點(diǎn)（2，0），則有4+m＝0，解可得m＝﹣4，即要求直線的方程為2x+y﹣4＝0；故答案為：2x+y﹣4＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程與直線垂直的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．六．直線方程的綜合應(yīng)用（共3小題）【例7】（2023春·浦東新區(qū)·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為【答案】和【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當(dāng)直線在軸，軸均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，故答案為：和【變式1】（2023春上海市·浦東新區(qū)·階段練習(xí)）方程所表示的圖形圍成的區(qū)域的面積是.【答案】2【分析】由曲線的方程可得，曲線關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)都是對(duì)稱的，畫出曲線的圖象，知曲線圍成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形，進(jìn)而求解【詳解】方程，即，故方程表示的曲線圍成的圖形是正方形，其邊長(zhǎng)為，如圖所示：

所以方程所表示的圖形圍成的區(qū)域的面積為，故答案為：2【變式2】（2022春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的一般式方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的一般式方程，并求此最小值．【答案】(1)(2)，的最小值為4【分析】（1）設(shè)出直線的截距式方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，結(jié)合基本不等式求出面積最值，得到的方程；（2）表達(dá)出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直線方程，【詳解】（1）設(shè)的方程為，由直線過得，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的方程為，即；（2）因?yàn)橹本€與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)，所以直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，所以，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，此時(shí)直線的方程為，的最小值為4.一、填空題1．（2022·上海松江·高二期末）已知直線方程為，則該直線的傾斜角為_________.【答案】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故答案為：.2.（2022秋·上海普陀·高二曹楊二中校考期末）若直線的一個(gè)法向量為，則過原點(diǎn)的直線的方程為______.【答案】【分析】由法向量設(shè)直線方程，后依題意求解【詳解】若直線的一個(gè)法向量為，可設(shè)直線方程為，由直線過原點(diǎn)，∴，故所求直線方程為，即.故答案為：3.（2020秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谥校┻^點(diǎn)且與直線夾角為的直線一般式方程是________.【答案】或【分析】由夾角算出傾斜角，后求出直線方程【詳解】直線的傾斜角為且，則，所以與直線的夾角為，則所求直線的傾斜角為或，當(dāng)所求直線傾斜角為時(shí)，直線為；當(dāng)所求直線傾斜角為時(shí)，直線為，故直線為.綜上，所求直線為或.故答案為：或4．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線，直線過點(diǎn)，若，則直線的方程是_________．【答案】.【分析】根據(jù)條件可推得，直線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得到.【詳解】設(shè)的斜率分別為，則.又，則.所以，直線的點(diǎn)斜式方程為，整理可得，.故答案為：.5．（2020·上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，在軸和軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為______【答案】或【分析】考慮直線是否經(jīng)過原點(diǎn)，若不經(jīng)過原點(diǎn)，利用直線的截距式方程求解；若經(jīng)過原點(diǎn)，利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出即可.【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則其斜率為，故其方程為：，即；若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又其過點(diǎn)，則，解得，故直線方程為：，整理可得：；綜上所述，滿足題意的直線方程為：或.故答案為：或.6．（2022·上海市行知中學(xué)高二期末）已知直線過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直，則直線在軸上的截距為________.【答案】【分析】先求出直線和的交點(diǎn)，再根據(jù)直線與垂直，設(shè)出所求直線方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出直線方程，從而可求出直線在軸上的截距.【詳解】由，得，所以直線過點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以設(shè)直線為，則，解得，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸上的截距為，故答案為：.7．（2022·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)，滿足，且直線，恒過一定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合直線方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵非零數(shù)a，b滿足，∴，∵，∴，∴，∴．所以且，解得，，定點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)為．故答案為：8．（2022·上?！らh行中學(xué)高二期中）已知直線，則直線恒過定點(diǎn)___________.【答案】【分析】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，將直線方程進(jìn)行整理變形即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€可化為，令，解得：，所以直線過定點(diǎn)，故答案為：.9．（2022·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)高一期末）過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為___．【答案】【分析】由垂直設(shè)出直線方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)后得參數(shù)值，從而得直線方程．【詳解】由題意，設(shè)所求直線方程為，又直線過，所以，，所以直線方程為．故答案為：．10．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．【答案】或【分析】由題意設(shè)直線l為，從而求得在坐標(biāo)軸上的截距，再利用三角形面積公式得到關(guān)于的二次方程，解之即可.【詳解】由題意所求直線l的斜率必存在，且不為，設(shè)其斜率為，則直線l方程為，令，得，令，得，故所圍三角形面積為，即，當(dāng)時(shí)，上式可化為，解得或；當(dāng)時(shí)，上式可化為，方程無解；綜上：直線的斜截式方程是或.故答案為：或.11．（2022·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】或【分析】討論，兩種情況，由直線垂直的性質(zhì)得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線互相平行；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得或故答案為：?2.（2023秋上海市·浦東新區(qū)·開學(xué)考試）已知定點(diǎn)與定直線：，過點(diǎn)的直線與交于第一象限點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，求使面積最小的直線方程為.【答案】【分析】分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出坐標(biāo)，從而表示出的面積，進(jìn)而可求出的面積的最小值，得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，得到，即，又易知，所以的面積為，（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線為，令，得到，又由，消得到，由題知，得到，此時(shí)，的面積為，令，得到，則，又因?yàn)椋钟?，得到，故，所以，故，此時(shí)，因?yàn)?，所以使面積最小的直線方程為，即,故答案為：.

二、單選題13.（2023·上海市靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式，求直線上一點(diǎn)，即可求解.【詳解】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A14．（2022·上海市行知中學(xué)高一期末）如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通過直線經(jīng)過的點(diǎn)來判斷象限.【詳解】由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.15．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若直線不通過第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由直線不過第二象限，討論、、求的取值范圍即可.【詳解】由直線不通過第二象限，知：當(dāng)，時(shí)，符合題意；當(dāng)，時(shí)，直線上的點(diǎn)一定不在軸上半部分，所以，即；當(dāng)時(shí)，直線定過第二象限，不合題意；∴綜上有：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由直線方程求參數(shù)范圍，理解辨析直線不過某個(gè)象限時(shí)需要滿足的條件，應(yīng)用了分類討論，屬于簡(jiǎn)單題.16．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個(gè)單位，所得到的直線為(A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰（Ｃ），（D）又∵將向右平移１個(gè)單位得，即故選A；【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；【突破】熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，過原點(diǎn)的直線無常數(shù)項(xiàng)；重視平移方法：“左加右減”；三．解答題17．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點(diǎn)，若直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線的方程．【答案】或.【分析】根據(jù)已知，分為截距為0與截距不為0討論即可得到.【詳解】當(dāng)截距都為0時(shí)，直線過點(diǎn)，，可設(shè)直線方程為，代入，解得，所以，直線的方程為，即；當(dāng)截距都不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為，即，代入，解得，所以直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.18．（2022秋·上海普陀·高二曹楊二中?？计谀┤鐖D，、是海岸線、上的兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭到海岸線、的距離分別為2km、.測(cè)得，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.碼頭在第一象限，且三個(gè)碼頭、、均在一條航線上.(1)求碼頭點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)海中有一處景點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，，且），游輪無法靠近.求游輪在水上沿旅游線航行時(shí)離景點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)【分析】本題是一道解析幾何實(shí)際應(yīng)用題，參考解析過程【詳解】（1）由已知得，，直線ON方程：設(shè)，由及圖，得，.（2）直線AQ的方程為即由，解得，即則直線AB方程，點(diǎn)P到直線AB的垂直距離最近，則垂足為C，因?yàn)?，且，，，則直線PC方程為聯(lián)立，解得游輪在水上沿旅游線航行時(shí)離景點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為.19．（2022秋·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谥校┮阎本€.(1)若直線與直線垂直，且過點(diǎn)，求直線的方程；(2)若直線與直線平行，且過點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)；(2)不存在.【分析】通過直線的位置關(guān)系，求解斜率，進(jìn)而求解直線方程【詳解