河南省2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)一輪復(fù)習(xí)摸底測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測(cè)試卷

數(shù)學(xué)(一)

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡

上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫

在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若集合3x<2b7V=p|x<||,則MN=()

A.B-C.(-l,0)U(3,gD.(-1,0](J3；

2.若復(fù)數(shù)z滿足(I—i)W=(2—i)2,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)E滿足=CE=+eR),則；l〃=()

4.光岳樓，又稱“余木樓"''鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊(cè)中，光岳

樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.

其墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所示，光岳樓的墩臺(tái)上底面正方形的邊長約為32m,下底面正方形的邊

長約為34.5m,高的4倍比上底面的邊長長4m,則光岳樓墩臺(tái)的體積約為()

A.9872.75m3B.9954.75m3C.9988.45m3D.9998.25m3

5.如圖，A,B,C三個(gè)開關(guān)控制著1,2,3,4號(hào)四盞燈.，其中開關(guān)A控制著2,3,4號(hào)燈，開關(guān)8控制著

1，3,4號(hào)燈，開關(guān)C控制著1,2,4號(hào)燈.開始時(shí)，四盞燈都亮著.現(xiàn)先后按動(dòng)A,B,C這三個(gè)開關(guān)中的兩

個(gè)不同的開關(guān)，則其中1號(hào)燈或2號(hào)燈亮的概率為（）

mmrci

［網(wǎng)＜￡|滿足

6.已知函數(shù)jf(x)=sin(2x+。),若/（X）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)f的取值范圍為（）

25437萬)「25449%)377r49叫37%494

A.——,——B.——，——C.D.

L2424JL2424J~249^24~)~1A"~2A

、兒In4.4-In4Venilz

7.設(shè)。=---，b=----—，c=—,則()

4e22e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<h<aD.c<a<h

8.已知正三棱錐P-A3C的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為2的球面上，則該正三棱錐體積的最大值為（）

64464百

A.2GB.4

279

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F,且該八面體的各棱長均相等，則（）

A.異面直線AE與BC所成的角為60°B.BD1CE

C.平面ABF//平面CDED.直線AE與平面8OE所成的角為60°

10.若函數(shù)/（為=3%3+/，（1）/+|,則（

A./'⑴=1B./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線y=的切線的斜率可以為-2D.點(diǎn)(1,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

II.用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面

(拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面)反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對(duì)稱軸的平面截

拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：

,2=4%的焦點(diǎn)為F,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于X軸的光線4從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)4(%,X)反射，

再經(jīng)過C上另一點(diǎn)3(%,%)反射后，沿直線4射出，則()

A.C的準(zhǔn)線方程為x=—1

B.X%=-2

C.若點(diǎn)/(2,1),則|A卻=:

D.設(shè)直線A0與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M則點(diǎn)N在直線乙上

12.已知非常數(shù)函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,若"2-x)為奇函數(shù)，〃2x+4)為偶函

數(shù)，則()

A.42)=1B./(2024)=-〃2020)

C.=⑺D./'(-2021)=/'(2025)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知-的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4,則實(shí)數(shù)a的值為.

14.寫出與圓C：(*+1)2+;/=1和圓。：f+()，+&『=1都相切的一條直線的方程.

15.已知直線丁=依+人(左€8：,/?。0)是曲線/(x)=e"-l與g(x)=l+lnx的公切線，則攵+6=.

16.某休閑廣場呈橢圓形，在該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及中心處分別安裝有三盞景觀燈A,B,C,其中燈8位于燈

A的正東400m處.小王沿著該休閑廣場的邊沿散步，在散步的過程中，他與燈B的最短距離為50m.當(dāng)小王行

走到點(diǎn)M處時(shí)，他與燈48的距離之比為3:2,則此時(shí)他與燈C的距離為m.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=1,且%，生，44成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

-'

（2）當(dāng)數(shù)列｛《,｝的公差為0時(shí)，記數(shù)列，/1>的前n項(xiàng)和為7；,求證：Tn<~.

18.（本小題滿分12分）

在人鉆。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ccosCcos（A-B）+c=csin2c+》sinAsinC.

（1）求C；

（2）若c=4,CD_LAB于點(diǎn)。，求線段CD長度的最大值.

19.（本小題滿分12分）

如圖，已知正方形A8CD是圓柱。01的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面），點(diǎn)E在底面圓周上，AB=5,

AE=4,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)B到平面ACE的距離；

（2）求二面角A—BP—E的余弦值.

20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)”x）=2（x+2）-eX.

（1）求/（x）的極值；

（2）當(dāng)x20時(shí)，證明：—sinx+4.

21.（本小題滿分12分）

網(wǎng)絡(luò)直播帶貨作為一種新型的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.湖北某地盛產(chǎn)夏橙，為幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民

銷售夏橙，當(dāng)?shù)卣?qǐng)了甲、乙兩名網(wǎng)紅在某天通過直播帶貨銷售夏橙.現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段100名觀看直播后選

擇在甲、乙兩名網(wǎng)紅的直播間（以下簡稱甲直播間、乙直播間）購買夏橙的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一

個(gè)直播間購買夏橙），得到如下數(shù)據(jù)：

在直播間購買夏橙的情況

網(wǎng)民類型合計(jì)

在甲直播間購買在乙直播間購買

男網(wǎng)民50555

女網(wǎng)民301545

合計(jì)8020100

(1)依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)網(wǎng)民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個(gè)直播間中選擇其中一個(gè)購買夏橙，且上午在甲直播間購買夏橙的概

13

率為萬.若上午選擇在甲直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為1;若上午選擇在乙直播

7

間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為一，求黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率；

10

(3)用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，若共有50008名網(wǎng)民在甲、乙直播間購買夏橙，且網(wǎng)民選擇在

甲、乙哪個(gè)直播間購買夏橙互不影響，記其中在甲直播間購買夏橙的網(wǎng)民人數(shù)為X,求使事件“X=A”的

概率取最大值的k的值.

，n(ad-bc]

附：=7-------77—^~~77~~AT------7>

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

22.(本小題滿分12分)

22

xy1(。>Q,b>0)的右焦點(diǎn)為網(wǎng)2,0),且C的一條漸近線恰好與直線x—y+1=0

已知雙曲線C：/一后

垂直.

(1)求c的方程;

(2)直線/：x=/ny+l與C的右支交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)。在C上，且4。_1_%軸.求證：直線8。過點(diǎn)F.

數(shù)學(xué)(一)

一、選擇題

1.D【解析】由題得集合M={M04X2—3X<4}=(—1,0][3,4),又N=卜?弓},所以

r7-

MN=(-1,0]I3,-.故選D.

2.A【解析】由(1—i”=(2—i「得:=^^-=(：―4?(1+：)二’」,所以z=2+」i,故z在復(fù)

''''1-i(l-i)(l+i)2222

(71A

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一，一位于第一象限.故選A.

(22)

/\1313

3.A【解析】由=得CD—CB=4(CE—CB,整理得CE=—C￡>+—C8=—8A--BC,所

\>4444

以澳=＞卜訃3

-三.故選A.

16

4.B【解析】設(shè)光岳樓墩臺(tái)的高為/?,則〃=；x（32+4）=9m,所以光岳樓墩臺(tái)的體積約為

V=1X(322+34.52+32x34.5)x9=9954.75m3.故選B.

5.D【解析】先后按動(dòng)A,B,C中的兩個(gè)不同的開關(guān)，有A；=6種方法，若要1號(hào)燈亮，則按第一個(gè)開關(guān)

時(shí)，1號(hào)燈滅，按第二個(gè)開關(guān)時(shí)，1號(hào)燈亮，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方法有2種：（B,C）,（C,B）；若要2號(hào)燈亮，同

4?

理可得有以下2種方法：（AC），（C,A））故所求的概率為P===*.故選D.

63

6.C【解析】由題意可知，的最小正周期7=女=乃，因?yàn)楣ぁ?工＜工，所以

',234124

7171

H----

7771777"7"T1377"

r_34方為?。┑囊粭l對(duì)稱軸，則?。┰赬—之后的零點(diǎn)依次為才廠可,

224

743T25萬745T37萬7萬7T（TT-

--1--=-----1--=---黃+千=詈，…，若”X）在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則

2442424424

37兀,49%〃

——<t<——■.故選C.

2424

.42不In4In2,4-In4'n7VeInVeInx

7.D【解析】由題意得。=——=—,b=——=c=—=—設(shè)/(x)=—,

42e25e22e五',尤

2

x>0,則「(“)=匕學(xué),故當(dāng)無?0,e)時(shí)，r(x)>。，/(X)單調(diào)遞增;當(dāng)xe(e,同時(shí),

/'(x)<0,單調(diào)遞減，又a=〃4)=〃2),b=f—,c=所以

I2J

a=/(2)>/(6)=c,。=/(4)</—=b,所以.故選D.

\J

8.C【解析】易知當(dāng)正三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的球心在正三棱錐內(nèi)部.如圖,

在正三棱錐P—ABC中，設(shè)AB=a,AA3C外接圓的圓心為。，半徑為r,正三棱錐外接球的球心為0,

半徑R=2,則/?=2x@a=@。，連接「。，則平面A8C,且點(diǎn)0在線段尸。上，連接。A,則

323

PD=R+1R2-r2=2+2,所以正三棱錐P-ABC的體積

V

a2=12—3/,所以V=f（4—/）（2+f）=f（—2產(chǎn)+4f+8）.設(shè)

2

/?）=_/一2產(chǎn)+射+8（0</<2）,則/'?）=—3戶—書+4,令/'?）=0,得.=（或『=一2（舍去），

090

則當(dāng)0<f<（時(shí)，/'?）>0,/（。單調(diào)遞增；當(dāng)（<f<2時(shí)，/（/）<0,/（7）單調(diào)遞減，所以當(dāng)f

時(shí)，/?）取極大值，即最大值，則此時(shí)丫最大，匕ax=乎x1-A-■1+|+8）=筆L故選C.

二、選擇題

9.ABC【解析】因?yàn)锽C〃A。，所以NE4。（或其補(bǔ)角）即為異面直線AE與BC所成的角，又

AD=DE=AE,所以NE4D=60°,即異面直線4E與BC所成的角為60°,A正確；連接AC交8。于

點(diǎn)。，則點(diǎn)。為正方形4BCD的中心，連接EF,根據(jù)正棱錐的性質(zhì)可知EF必過點(diǎn)。，且。E_L平面

ABCD,所以O(shè)EJ_B￡>,又BD_LAC,OE（1AC=O,OE,ACu平面ACE,所以8。，平面ACE,又

CEu平面ACE,所以B￡>_LCE,B正確；由對(duì)稱性可知OE=O尸，OA=OC,所以四邊形AFCE為平

行四邊形，所以A尸〃CE,又AFZ平面C￡?E,CEu平面CDE,所以A尸〃平面CDE,同理班'〃平

面CQE,又A/BF=F,AF,6bu平面A8凡所以平面A6/〃平面CDE,C正確；由A￡=A/，

OE=OF,得AOJ_Eb,在正方形ABC。中，AO1BD,又BDEF=O,所以40_L平面8EZW,

所以44￡。即為直線AE與平面BOE所成的角，設(shè)該八面體的棱長為2,則

AO=1AC=1JA8'+5C2=6,所以EO=JAE2—AO2=6=AO,所以NAEO=45°,D錯(cuò)誤.

22

故選ABC.

10.BD【解析】由題得/'(x)=f+2/'(l)x,所以/'(1)=1+2/'(1),解得/'(1)=一1,A錯(cuò)誤；所以

32

/(x)=l%_x+|,/'(x)=x2_2x=x(x—2),則當(dāng)了<0或x〉2時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，

/'(x)<0,所以/(x)在(一8,0)和(2,一)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，所以“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

B正確；y,(x)=x2-2%=(x-l)2-l>-l,所以曲線y=/(x)的切線的斜率不可能為-2,C錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

/(X)+/(2-X)=1X3-X2+|+1(2-X)3-(2-X)2+|=2,所以點(diǎn)(1,1)是曲線y=的對(duì)稱中

心，D正確.故選BD.

11.AD【解析】由題意可得尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)

過焦點(diǎn)F,且斜率不為0,設(shè)直線AB：x=my+l,聯(lián)立+L消去尤得/一4加>一4=0,

=4x

A>0,所以乂%=-4,B錯(cuò)誤；若點(diǎn)M(2,l),則y=l,所以%=-4,所以王=；,x2=4,所以

|AB|=x+X2+2=—+4+2=」，C錯(cuò)誤；易知直線。4：y=聯(lián)立｛%,解得

"x=-l

>N=-乂=一與=一±，由yy,=T，得%=於，所以%=%，所以點(diǎn)N在直線。上，D正確.故選

x2L乂％

4

12.BCD【解析】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,若"2—x)為奇函數(shù)，則

f(2+x)=-f(2-x),則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，且"2)=0,故A錯(cuò)誤；因?yàn)椤?x+4)為偶

函數(shù)，所以〃2x+4)=.f(—2x+4),即〃X+4)=〃T+4),則/(X)=/(8—X),又

/(2+x)=-/(2-x),所以〃x)=—"4—x),所以〃8—x)=—〃4—x),即〃x+4)=-f(x),所

以〃x+8)=/(x),故"X)的周期為8,所以“2024)="0),”2()20)="4),在

〃x+4)=-中，令x=0,得/(4)=一/(0),所以/(2024)=-〃2020),故B正確；對(duì)

〃x+8)=〃x)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得/'(x+8)=/'(%),所以導(dǎo)函數(shù))'(X)的周期為8,所以

廣(―1)=4(7),故C正確;由r(x)周期T=8,得[(—2021)=1f(3),/'(2025)=/'⑴，對(duì)

〃力=一〃4一月兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得r(x)=r(4—x),令x=i,得/'⑴=/'⑶，所以

/'(一2021)=/'(2025),故D正確.故選BCD.

三、填空題

13.7【解析】令x=l,得(3—a)(—1)7=4,解得a=7.

14.x—Jiy-1=0(或后+y+6+2=0或6+y+G—2=0,寫出一個(gè)即可)【解析】由題意

得，圓C與圓。相外切，且C(—1,0),D(0,-V3),將兩圓的方程相減即得兩圓的內(nèi)公切線方程：

%-6丁-1=0.因?yàn)閳A(？與圓。的半徑相等，故外公切線與直線CD平行，又％°=上芭=-百，所以

—1—0

廠r|-x/3+0-Z?|

圓C與圓。的外公切線的方程可設(shè)為y=-百x+8，即氐+y-8=(),則J——-——^=1,解得

6=-百+2或6=-百一2,所以兩條外公切線的方程為小:+y+6+2=0或由x+y+6一2=0.綜

上所述，圓C與圓。公切線的方程為X-ey-1=()或Jir+y+省+2=0或氐+y+Ji—2=().

15.e-1【解析】設(shè)，,e'—1)是曲線〃x)上的一點(diǎn)，/'(x)=e、，所以/(x)在點(diǎn)，,e'—l)處的切線方

程為y-e'+l=e'(x-f),即y=e'x+(lT)e'一1,令g'(x)=，=e',解得x=e-',又g(e-')=l-7,

I_/_,1

e+f

所以一t=e,l—r=(l—r)e',所以t=0或/=1.當(dāng)/=()時(shí)，切線方程為y=x,此時(shí)方=0,不

符合題意，舍去.當(dāng)，=1時(shí)，切線方程為y=ex-l,故左=e,b=-l,所以Z+b=e—l.

16.50V10【解析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，AB所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為

22_________

]+%=1(。>/?>0),且°=亞—從,由小王與燈B的最短距離為50m,得a-c=50,又

|A卻=2C=400,則C=2(X),a=25().由于點(diǎn)M與燈A,8的距離之比為3:2,所以可設(shè)點(diǎn)M與燈A,B

的距離分別為3%,2k,k>Q,由橢圓的定義可知3Z+2Z=2x250=500,解得％=100,所以

\MAf+\MBf-\ABf3002+2002-40021「

|M4|=300,|入倒=200,所以cos/AM8=------------------=一.由

2x300x2004

MC=~^MA+MB）,得MC?=；（M42+MB2+2|M4bM@cosZAM6）=25000,所以

|MC卜50V10,即此時(shí)小王與燈C的距離為50Vi0m.

四、解答題

17.解：⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為",

由%，％，44成等比數(shù)列，得。；=%44,

即（1+44）2=（l+d）（l+13d）,

即d2—2d=O,解得1=0或d=2.（3分）

當(dāng)d=0時(shí),=1；

當(dāng)d=2時(shí)，an=cty+（〃一l）d=2n-l.

綜上所述，=1或?！?2〃一1.（5分）

（2）由（1）可知，當(dāng)數(shù)列｛〃〃｝的公差不為0時(shí)，?！岸?〃一1,

+1）9

則S=-----------=n,（6分）

〃2

111

所以I\7,（8分）

KX7=7（-2--〃-----1-）（-2-〃---+---1-）\——2I（-2--〃-----1-----2--〃-+1

lf]_M_1__

=212〃+1）24/1+2'

又〃eN”,所以7；＜l.（10分）

18.解：（1）因?yàn)閏cosCcos（A-3）+c=csin2C+bsinAsinC,

所以由正弦定理得sinCcosCcos（A-B）+sinC=sin3C+sinAsinBsinC,

因?yàn)椋?￡（（）,4）,所以sinCwO,

所以cosCcos（A-3）+l=sin?C+sinAsinB,（3分）

則sinAsin3=cosCcos（A-B）+（1-sin?C）

=cosCcos（A-B）+cos2C

=cosC[cos（A-B）+cosC]

=cosC[cos（A-B）-COS（A+B）]

=2cosCsinAsinB,（4分）

又因?yàn)锳,3￡（0,7），所以sinA,sinB^O,

1

所以cosC=—,所以C=2.（6分）

23

TT

（2）由（1）可知C=一，

3

所以由余弦定理得/=a2+b2-labcosC=cr+b2-ab>lab-ab=ab,

即。6?。2=]6,當(dāng)且僅當(dāng)a=》=4時(shí)取等號(hào).（9分）

因?yàn)椤鰽BC的面積S^BC=ga^sinC=gc-CO,

所以S—"sinC=?w叵9=26

c88

所以線段CO長度的最大值為2百.（12分）

19.解：（1）,??線段AB是圓。的直徑，

AEA.BE,

：.BE=」AB?-AE。=3.（1分）

BC1平面ABE,AE,BEu平面ABE,

：.BCA.AE,BCLBE,

：.CE=ylBE2+BC2=V34.（2分）

又BC「BE=B,BC,BEu平面BCE,

AE_L平面BCE,A￡J_CE.（3分）

設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d,

貝I由匕Y8E=%TCE,得=

.,BEBC3x515734

CEV3434

即點(diǎn)B到平面ACE的距離為身叵.（5分）

34

（2）由（1）可知

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則E((),0,0),8(3,0,0),A(0,4,0),C(3,0,5),

A尸=(|,—4,|),M=(3,T,0),￡4=(0,4,0).(7分)

設(shè)平面A8/7的法向量為〃=(x,y,z),

35

n?AF=-x-4y+—z=0

則，22,

n-AB=3x-4y=0

取x=4,則〃=(4,3,￡),

由（1）可知，平面3"的一個(gè)法向量為E4=（0,4,0）.（10分）

設(shè)二面角A—E的大小為。，由圖可知。為銳角,

4x0+3x4+—x0

n-EA\5157769

則cos0如（〃倒卜眄

769

即二面角A-BF—E的余弦值為15/麗.（12分）

769

20.解：⑴由題得r(x)=2—e",

令/[x)=0,得％=山2,(2分)

當(dāng)x?fo,ln2）時(shí)，f'（x）＞0,f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)xe（In2,+8）時(shí)，f'（x）<0,/（x）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=ln2時(shí)，/（x）取得極大值，且極大值為/（ln2）=21n2+2,無極小值.（5分）

（2）由⑴可知的最大值為〃ln2）=21n2+2,（6分）

故要證當(dāng)x?0時(shí)，/(x)<x-sinx+4,

只需證當(dāng)xNO時(shí)，21n2+2<x—sinx+4,

即證當(dāng)時(shí)，%—sinx+2-21n2>0.(8分)

g(x)=x-sinx+2-21n2,x>0,

貝ijg'(x)=l-cosxNO,

所以g(x)在[(),+00)上單調(diào)遞增，(10分)

所以g(x)2g(O)=2—21n2=21n]>21nl=O,

所以當(dāng)x20時(shí)，/(x)<x-sinx+4.(12分)

21.解：（1）提出零假設(shè)“°：網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別沒有關(guān)聯(lián).

100x(50x15—30x5)2100

經(jīng)計(jì)算得z2(一方。9.091>7.879=$005,(2分)

80x20x55x45

依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性

別有關(guān)聯(lián).（3分）

（2）記事件A：黃蓉上午在甲直播間購買夏橙，事件B：黃蓉下午在乙直播間購買夏橙，

則P（A）=尸=P（B|A）=1-|=|,

/—\73

P（6|A）=1——=二，（5分）

v1>1010

由全概率公式可得P（8）=尸（A）尸（用力+網(wǎng)可產(chǎn)（卻可=9^+3W=3-,

_7

所以黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率為一.（7分）