第07講平行線的判定（十大題型）（原卷版）

第07講平行線的判定（十大題型）1.理解平行線的概念，會(huì)用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運(yùn)用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.知識(shí)點(diǎn)一、平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．要點(diǎn)：(1)平行線的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時(shí)說(shuō)兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．2.平行線的畫法：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過(guò)已知點(diǎn).④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.知識(shí)點(diǎn)二、平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．要點(diǎn)：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．(2)公理中“有”說(shuō)明存在；“只有”說(shuō)明唯一．（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.知識(shí)點(diǎn)三、直線平行的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語(yǔ)言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.題型1：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系【典例1】．下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩條不相交的直線是平行線B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．平行于同一條直線的兩條直線平行D．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種【典例2】．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行 B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行 D．兩條不相交的直線是平行線題型2：平行公理的應(yīng)用【典例3】．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有條直線與已知直線平行．【典例4】．已知直線AB和一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P畫直線與AB平行，可以畫（

）A．1條 B．0條 C．0條或1條 D．無(wú)數(shù)條【典例5】．在木條轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，存在一條直線a與直線b不相交的情形，這時(shí)我們說(shuō)直線a與b互相．記作“ab”．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做．注意：平行線的定義包含三層意思：（1）“在同一”是前提條件；（2）“不相交”就是說(shuō)兩條直線沒(méi)有；（3）平行線指的是“兩條”而不是兩條射線或兩條線段．【典例6】．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為(

)（1）過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與已知直線平行（2）如果，那么（3）如果兩線段不相交，那么它們就平行（4）如果兩直線不相交，那么它們就平行A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例7】．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)的5條不同的直線中，與直線相交的直線至少有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【典例8】．在數(shù)學(xué)課上，老師畫一條直線a，按如圖所示的方法，畫一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線a平行，此時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線b與直線c也平行，這就說(shuō)明了（

）A．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行B．兩直線平行，同位角相等C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D．過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行題型3：平行公理推論的應(yīng)用【典例9】．是直線，下列說(shuō)法正確的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【典例10】．如圖，，則與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．無(wú)法確定【典例11】．直線、、在同一平面內(nèi)，在下述四種說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）如果，，那么；如果，，，那么；如果，，那么；如果與相交，與相交，那么與相交．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型4：同位角相等，兩直線平行【典例12】．如圖能判斷的是（

）A． B． C． D．【典例13】．如圖，若，則下列選項(xiàng)中，能直接利用“同位角相等，兩直線平行”判定的是（

）A． B． C．D．【典例14】．如圖，直線c與a、b相交，，要使直線a與b平行，則直線a繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度至少是．【典例15】．下列圖形中，能由得到的是（

）A．

B．

C．

D．

題型5：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【典例16】．如圖，如果，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【典例17】．如圖，由下列條件能判定的是（

）．A．B． C．D．題型6：同旁內(nèi)角相補(bǔ)，兩直線平行【典例18】．如圖，若，則．【典例19】．如圖，下列條件中，能判斷的是（

）A． B．C． D．題型7：平行線的判定綜合【典例20】．如圖，下列條件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判斷直線的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【典例21】．如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型8：平行線判定的應(yīng)用【典例22】．如圖，木條、、通過(guò)、兩處螺絲固定在一起，且，，將木條、木條、木條看作是在同一平面內(nèi)的三條直線、、，若使直線、直線達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述正確的是（

）A．木條、固定不動(dòng)，木條繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)B．木條、固定不動(dòng)，木條繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)C．木條、固定不動(dòng)，木條繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)D．木條、固定不動(dòng)，木條繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)【典例23】．一學(xué)員練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，則這兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向右拐，第二次向右拐D．第一次向左拐，第二次向左拐題型9：垂直于同一直線的兩直線平行【典例24】．在同一平面內(nèi)，是直線，下列關(guān)于它們位置關(guān)系的說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【典例25】．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且，，則【典例26】．在同一平面內(nèi)有2023條直線，，…，，如果，，，，……，以此類推，那么與的位置關(guān)系是．題型10：平行線的判定解答綜合題【典例27】．如圖，已知，，，，則與平行嗎？與平行嗎？補(bǔ)全下面的解答過(guò)程（理由或數(shù)學(xué)式）．解：（

）∴（

），∴（同位角相等，兩直線平行）又∵（

），，∴（等式的性質(zhì)），同理可得，∴（等量代換），∴（

）．【典例28】．如圖，已知，則直線a，b，c的位置關(guān)系如何?請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例29】．已知：，，求證：．【典例30】．如圖，已知直線被直線所截，平分，平分，，嗎？為什么？因?yàn)槠椒郑椒郑ㄒ阎?，所以___________，___________，所以___________（），因?yàn)椋ǎ?，所以___________，所以（）．【典例31】．請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：如圖，平分，平分，且求證：．證明：∵平分，∴．∵平分（已知），∴______（角的平分線的定義）．∴（______）．即．∵（已知），∴______（______）．∴（______）．【典例32】．根據(jù)直尺和三角尺的實(shí)物擺放圖，解決下列問(wèn)題．（1）如圖1，是我們學(xué)過(guò)的用直尺和三角尺畫平行線的方法的示意圖，畫圖的原理是__________；（2）如圖2，圖中互余的角有________________，若要使直尺的邊緣DE與三角尺的AB邊平行，則應(yīng)滿足_________（填角相等）；（3）如圖3，若BC∥GH，試判斷AC和FG的位置關(guān)系，并證明．【典例33】．已知：如圖①所示的三角形紙片內(nèi)部有一點(diǎn)P．任務(wù)：借助折紙?jiān)诩埰袭嫵鲞^(guò)點(diǎn)P與BC邊平行的線段FG．閱讀操作步驟并填空：小謝按圖①～圖④所示步驟進(jìn)行折紙操作完成了畫圖任務(wù)．在小謝的折疊操作過(guò)程中，（1）第一步得到圖②，方法是：過(guò)點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)B落在BC邊上，落點(diǎn)記為，折痕分別交原AB，BC邊于點(diǎn)E，D，此時(shí)∠即∠=__________°；（2）第二步得到圖③，參考第一步中橫線上的敘述，第二步的操作指令可敘述為：_____________，并求∠EPF的度數(shù)；（3）第三步展平紙片并畫出兩次折痕所在的線段ED，F(xiàn)G得到圖④．完成操作中的說(shuō)理：請(qǐng)結(jié)合以上信息證明FG∥BC．一、單選題1．如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判定的是（）A． B．C． D．2．如圖，下列推論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D．兩直線平行，同位角相等4．如圖，直線，被所截得的同旁內(nèi)角為，，要使，只要使（）A． B．C． D．，5．如圖，下列條件中：①，②，③，④，能判斷的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，已知直線，，直線交直線于點(diǎn)A，交直線于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)C，下列條件能判斷的是（）A． B． C． D．8．如圖，在三角形中，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，于點(diǎn)，則下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．9．下列圖形中，由能得到AB//CD的圖形有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)10．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用三角板畫出兩條平行線，老師展示了甲、乙兩位同學(xué)的畫法如下：甲的畫法：乙的畫法：請(qǐng)你判斷兩人的作圖的正確性()A．甲正確，乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤，乙正確C．兩人都正確 D．兩人都錯(cuò)誤二、填空題11．平行線的判定方法：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果，那么；（2）兩條直線被第三條直線所截，如果，那么；（3）兩條直線被第三條直線所截，如果，那么．12．如圖，過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是．13．如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=50°，則當(dāng)∠2=時(shí)，ab．14．如圖所示，下列說(shuō)法中正確的編號(hào)是．①若∠2=∠4，則ADBC；②若∠1=∠3，則ADBC；③若∠3+∠ABC=180°，則ABCD；④若∠2=∠4，則ABCD；⑤若∠4+∠ABC=180°，則ABCD；⑥若∠1=∠3，則ABCD．15．如圖，直角三角形的頂點(diǎn)A在直線m上，分別度量：①；②；③；④，可判斷直線m與直線n是否平行的是．16．將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對(duì)于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2∠1．能判斷直線mn的有．（填序號(hào)）17．李強(qiáng)同學(xué)學(xué)完“相交線與平行線”一章后，在一本數(shù)學(xué)讀物上看到一種只利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺作圖的方法：①以∠AOB的頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA邊于點(diǎn)M，交OB邊于點(diǎn)N；②作一條射線CD，以點(diǎn)C為圓心，以O(shè)M長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線CD交于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑畫弧，與②中所畫弧交于點(diǎn)F；④過(guò)點(diǎn)F作射線CP，則∠PCD=∠BOA．如圖1：李強(qiáng)想利用這種方法過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)Q作直線l的平行線a，如圖2．（1）李強(qiáng)同學(xué)能借助上述方法作出直線l的平行線a嗎？（填“能”或“不能”）.（2）如果能，請(qǐng)?jiān)趫D2中作出直線a,保留作圖痕跡，并說(shuō)明能夠證明這兩條直線平行的理由：．18．如圖，直線上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線、，與在直線異側(cè)．若，射線、分別繞點(diǎn)，點(diǎn)以度秒和度秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為秒，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間的值為______時(shí)，與平行．三、解答題19．如圖，直線a，b直線c所截．(1)當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，直線a，b平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)當(dāng)∠2+∠3＝180°時(shí)，直線a，b平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，，求證：，請(qǐng)將證明過(guò)程填寫完整.證明：∵（已知）又∵（

）∴________，∴____________（

）∴______________（