《線段的垂直平分線的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

《線段的垂直平分線的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.要求學(xué)生理解線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理，進(jìn)而解決實(shí)際問題．2.通過探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步拓展學(xué)生的推理證明意識和能力.二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理.難點(diǎn)：運(yùn)用線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理解決問題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、直尺、刻度尺、圓規(guī)四、相關(guān)資源木條，釘子五、教學(xué)過程動手操作（木條l與AB釘在一起，l垂直平分AB，點(diǎn)P是l上的點(diǎn)，點(diǎn)P在l上移動）再作出線段AB，過AB中點(diǎn)作AB的垂直平分線l，在l上取，，…，連結(jié)，，，，，…（2）作好圖后，用直尺量出，，，，，…討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律．設(shè)計(jì)意圖：通過動手操作，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)及探究的興趣，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性．（二）猜測求證1．讓學(xué)生大膽猜測觀察的結(jié)果是什么．但是，我們僅僅憑觀察就能說明這個(gè)結(jié)論的正確性嗎？給學(xué)生留有時(shí)間和空間，交流討論，如何證明結(jié)論的正確性．選取兩組代表，把他們的證明過程寫在黑板上，教師巡視學(xué)生書寫過程，有針對性地引導(dǎo)講解，規(guī)范學(xué)生證明過程．猜測：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．即＝，＝…證法1：利用兩個(gè)三角形全等．如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC＝CB，點(diǎn)P在l上，求證：PA＝PB．證明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB．∵在△APC和△BPC中，∴△APC≌△BPC（SAS）．∴PA＝PB．證法2：利用軸對稱性質(zhì)．由于點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，將線段AB沿直線l對折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的．2．讓學(xué)生先用自己的語言總結(jié)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，教師再引導(dǎo)規(guī)范．線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．3．你能把線段的垂直平分線的性質(zhì)定理用“如果……那么……”的形式敘述嗎，其條件是什么，結(jié)論是什么？條件是：有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)；結(jié)論是：這個(gè)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．如果有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．4．線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是什么？能判斷它是真命題嗎？如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．5．小組交流：如何證明此逆命題？教師要適時(shí)強(qiáng)調(diào)類比原命題，畫出圖形，寫出已知、求證，再證明．已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．證法1：過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C．∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△APC和△BPC中，∴△APC≌△BPC（HL）．∴AC＝BC．即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法2：取AB的中點(diǎn)C，過PC作直線．∴AC＝BC．在△APC和△BPC中，∴△APC≌△BPC（SSS）．∴∠PCA＝∠PCB．又∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．即PC⊥AB．∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．證法3：過P點(diǎn)作∠APB的角平分線交AB于點(diǎn)C．∴∠1＝∠2．在△APC和△BPC中，∴△APC≌△BPC（SAS）．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．通過證明，線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題是成立的，所以可以作為垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理．與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．6．從上述兩個(gè)結(jié)論看出：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直平分線上．所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生動手操作，再猜測發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀猜測能力，教師通過層層設(shè)問引入，激發(fā)學(xué)生的探究欲望；同時(shí)通過小組討論交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力，讓不會的同學(xué)問出來，讓會的同學(xué)講出來，達(dá)到共同提高的教學(xué)目的，也營造了寬松和諧的課堂氣氛．例題解析【例】尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．已知：直線AB外一點(diǎn)C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C為圓心、CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以點(diǎn)D和E為圓心，以大于DE一半的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．（4）作直線CF．直線CF就是所求的垂線．思考：為什么直線CF就是所求作的垂線？教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行說理，小組合作交流．理由：從作法的（2）（3）步可知CD＝CE，DF＝EF，∴點(diǎn)C，F(xiàn)都在DE的垂直平分線上（與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）．∴CF就是線段DE的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）．又∵點(diǎn)D，E在直線AB上，∴CF就是所求直線AB的垂線．要作出線段的垂直平分線，我們必須找到兩個(gè)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，才能確定已知線段的垂直平分線．證明一條直線是線段的垂直平分線時(shí)也一樣，必須證明兩個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上．設(shè)計(jì)意圖：通過例題的講解，讓學(xué)生學(xué)會用尺規(guī)作圖作已知直線的垂線、線段的垂直平分線以及找線段的中點(diǎn)．（四）課堂練習(xí)1．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的QUOTEAB的長為半徑畫孤，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD．若△ADC的周長為10，AB＝7，則△ABC的周長為多少？設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對線段垂直平分線性質(zhì)定理的理解．2．電信部門要S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔，如圖所示，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，請你確定發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．學(xué)生獨(dú)立完成后，教師指名回答，并說出自己作圖的理由．答案：如圖，應(yīng)建在m，n夾角（銳角）的角平分線a和線段AB的垂直平分線b的交點(diǎn)P處．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生意識到日常生活中的很多問題都可以用數(shù)學(xué)知識來解決，體現(xiàn)了生活中處處有數(shù)學(xué)．通過此題學(xué)生清楚地認(rèn)識到角平分線性質(zhì)定理與垂直平分線性質(zhì)定理的本質(zhì)區(qū)別：前者是得到點(diǎn)到邊的距離相等，后者是得到點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等．六、課堂小結(jié)1．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理．2．線段的垂直平分線的判定定理.3．尺規(guī)作圖：作已知直線的垂線．設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生表達(dá)自己的感受，不僅鍛煉了學(xué)生的語言表達(dá)能力，而且能使學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識和理解，從而能更有效地