空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示

關(guān)于空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.過程與方法：類比平面向量的有關(guān)知識，得出空間向量基本定理及坐標(biāo)表示。3.情感態(tài)度與價值觀：用發(fā)展的聯(lián)系的眼光看問題，認(rèn)識到事物都是在不斷的發(fā)展變化的。學(xué)習(xí)重點(diǎn)

空間向量基本定理學(xué)習(xí)難點(diǎn)探究空間向量基本定理的過程及定理的應(yīng)用第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天1、平面向量基本定理：一、預(yù)備知識第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ap

一、預(yù)備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量來表示？OP第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天yx12312ij3、在平面直角坐標(biāo)系中，取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量

、作為基底，在圖中作出=，并寫出的坐標(biāo)。

=（3，2）

O第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天pxyzoijk二、探究與發(fā)現(xiàn)[探究一]設(shè)、、為由公共起點(diǎn)O的三個兩兩互相垂直的向量，那么對于空間任意一個向量，如何用、、來表示？QP第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天abpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量，還有類似結(jié)論嗎？OPQ第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天注意：2.空間向量的基底唯一嗎？1.空間向量的基底可以為零向量嗎？任意三個不共面的向量都可作為空間向量的一個基底?；蛄坎荒転榱阆蛄康?頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。xyzOe1e2e3（2）空間向量的坐標(biāo)表示第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作.P=(x,y,z)（2）空間向量的坐標(biāo)表示xyzOe3e1e2P第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示xyzOijkP記作

=(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使P′P第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練習(xí).正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)向量

，

，為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天三、定理應(yīng)用例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點(diǎn)，P,Q是MN的三等分點(diǎn)。用向量、、表示和。解：=

第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

解：第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)3（1）(2)第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天四、學(xué)后反思1、知識點(diǎn)：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探究]

空間向量基本定理與課本95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯(lián)系？你有何體會？五、作業(yè)：

P106A組1.2.第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDA’B’C’D’第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDA’B’C’D’第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天謝謝！再見！第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練習(xí).空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323B第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天空間向量運(yùn)算

的坐標(biāo)表示第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天,則設(shè)一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空間一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天二、距離與夾角的坐標(biāo)表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天2.兩個向量夾角公式注意：（1）當(dāng)時，同向；（2）當(dāng)時，反向；（3）當(dāng)時，。第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

例1如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共34頁，2