直角三角形全等的判定

關(guān)于直角三角形全等的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握兩個直角三角形全等的條件：HL，并能應(yīng)用它判別兩個直角三角形是否全等．教學(xué)重點:理解，掌握三角形全等的條件HL2.經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達(dá)、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思的習(xí)慣，培養(yǎng)理性思維．3.提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．教學(xué)難點:應(yīng)用HL解決有關(guān)問題第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天三角形全等的條件(HL)第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天復(fù)習(xí)：1、判定兩個三角形全等的條件有哪些？邊角邊（SAS）2、根據(jù)以上條件，對于直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足什么條件，這兩個直角三角形就全等？ABCA`B`C`直角三角形ABC可以表示為Rt△ABC邊邊邊（SSS）角角邊（AAS）角邊角（ASA）第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天討論：對于Rt△ABC中，∠B=∠B`=90°，還要滿足什么條件，△ABC≌△A`B`C`？ABCA`B`C`(1)添加AB=A`B`，BC=B`C`，利用“SAS”可證明△ABC≌△A`B`C`。(2)添加AB=A`B`，∠A=∠A`，利用“ASA”可證明△ABC≌△A`B`C`。(3)添加∠A=∠A`，AC=A`C`，利用“AAS”可證明△ABC≌△A`B`C`。得出結(jié)論：兩直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。(2)一直角邊和一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。(3)斜邊和一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。┓┓第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天如果添加AB=A`B`，AC=A`C`，能否證明△ABC≌△A`B`C`？ABCA`B`C`探究：MN●●畫一個Rt△A`B`C`，使AB=A`B`，AC=A`C`，1、畫∠MB`N=90°；2、在射線B`M上截取B`A`=BA；3、以A`為圓心，AC長為半徑畫弧，交射線B`N于C`，4、連接A`C`。斜邊、直角邊(HL)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天判定公理：

有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.條件1條件2前提第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。斜邊、直角邊(HL)ABCA`B`C`在Rt△ABC和Rt△A`B`C`中∴Rt△ABC≌Rt△A`B`C（HL）數(shù)學(xué)表達(dá)式：{Ac=A′c′AB=A′B′第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天選擇題

1.使兩個直角三角形全等的條件是（）2.如圖，AD⊥BE,垂足C是BE的中點，AB=DE,若要證△ABC≌△DEC,可以根據(jù)（）

AEDBC錯了不對恭喜你,答對了再試一下（A）一個銳角對應(yīng)相等（B）兩個銳角對應(yīng)相等（C）一條邊對應(yīng)相等（D）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（A）邊邊邊公理（D

）邊角邊公理（C）角邊角公理（B

）斜邊、直角邊公理錯了再試一下不對恭喜你,答對了第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：1、下列所給的條件中不能判斷兩個直角三角形全等的是（）A、兩條直角邊對應(yīng)相等B、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等C、一個銳角和一邊對應(yīng)相等D、一角和一邊對應(yīng)相等。2、如圖，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足為E、F，則在下列條件中選擇一個就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF有（）個(1)∠B=∠C(2)AB∥CD(3)BE＝CF(4)AF＝DEA、1個B、2個C、3個D、4個ABEFCDDD第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?。?）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDC練一練AD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天(1)如圖：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求證：BC=AD.ABCD證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C和∠D都是直角。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BAAC=BD∴Rt△ABC≌Rt△BAD∴BC=AD新知應(yīng)用：（HL）（全等三角形對應(yīng)邊相等）第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

（2）如圖，C是路段AB的中點，兩人從C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達(dá)D，E兩地，此時，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E與路段AB的距離相等嗎？為什么？BDACE實際問題數(shù)學(xué)問題求證：ＤＡ＝ＥＢ。①ＡＣ＝ＢＣ②ＣＤ＝ＣＥCD與CE相等嗎？第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天證明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A和∠B都是直角。AC=BCDC=EC∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴DA=EB在Rt△ACD和Rt△BCE中，又∵C是AB的中點，∴AC=BC∵C到D、E的速度、時間相同，∴DC=ECBDACE（全等三角形對應(yīng)邊相等）第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天（３）如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求證：AE=DF.ABCDEF課本14頁練習(xí)∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天（３）如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，

CE=BF.求證：AE=DF.ABCDEF課本103頁練習(xí)證明：∵AE⊥BC，DF⊥BC∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。又∵ＣＥ=ＢF∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ即ＣＦ=ＢＥ。在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中ＣＥ＝ＢＦＡＢ＝ＤＣ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）

∴ＡＥ＝ＤＦ第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天判斷兩個直角三角形全等的方法有：(1)：

；(2)：

；(3)：

；(4)：

；SSSSASASAAAS(5)：

；HL小結(jié)第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么關(guān)系？

問題

&

探索

ABCDEF第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

1、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么關(guān)系？

問題

&

探索

ABCDEF解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對應(yīng)角相等).又∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天延伸&

拓展?如圖，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩個點，且DE⊥AC于E點，BF⊥AC于F點，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M點.求證：MB=MD，ME=MF；ABCDEFM第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天如圖，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E點，BF⊥AC于F點，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M點.當(dāng)E、F兩點移動至如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立，請給予證明.延伸拓展DABCEFM第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天已知：如圖，AC⊥CB，DB⊥CB，AB=DC，求證：∠ACD=∠DBAABDC第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天如圖，AD、A`D`分別是△ABC和△A`B`C`中BC、B`C`邊上的高，且AB=A`B`，AD=A`D`，若使△ABC≌△A`B`C`，請補充條件（只需填寫一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）______________________。ABCDA`B`C`D`第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天這節(jié)課你有那些收獲?第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)與練習(xí)第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

謝謝大家再見第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天已知：如圖,在△ABC和△BAD中，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分別為C,D,

BC=AD,求證：AC=BD.ABDC第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舊知回顧判斷兩個三角形全等的方法我們已經(jīng)學(xué)了哪些呢？第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天SSSSASASAAAS第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。(簡寫成邊邊邊“邊邊邊”或“SSS”）DEFABC第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天邊角邊“邊角邊”或“SAS”）

兩邊和它們夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。(簡寫成DEFABC第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定全等。ABCD第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天角邊角“角邊角”或“ASA”）

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。(簡寫成DEFABC第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天角角邊DEFABC

兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（簡寫成“角角邊”或“AAS”）第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

如圖，△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______。CBA我們把直角△ABC記作Rt△ABC。ACBCAB

以上的四種判別三角形全等的方法能不能用來判別Rt△全等呢？思考：第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量。情境問題1:第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天情境問題1:

舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量。你能幫工作人員想個辦法嗎？ABDFCE第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天情境問題1:∠B=∠F=Rt∠

則利用

可判定全等；①若測得AB=DF，∠A=∠D，則利用

可判定全等；ASA②若測得AB=DF，∠C=∠E，AAS③若測得AC=DE，∠C=∠E，則利用

可判定全等；AAS④若測得AC=DE，∠A=∠D，則利用

可判定全等；AAS⑤若測得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，則利用

可判定全等；SASABDFCE第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天情境問題2:

如果工作人員只帶了一條皮尺，能完成這項任務(wù)嗎？ABDFCE第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

工作人員是這樣做的，他測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”。你相信他的結(jié)論嗎？情境問題2:

對于兩個直角三角形，若滿足一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)相等時，這兩個直角三角形全等嗎？數(shù)學(xué)問題ABDFCE第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

任意畫出一個Rt△ABC,∠C=90°。∟BCAB′A′按照下面的步驟畫Rt△A′B′C′⑴作∠MC′N=90°;⑵在射線C′M上取段B′C′=BC;⑶以B′為圓心,AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′;⑷連接A′B′.∟C′MNP13探究8請你動手畫一畫再畫一個Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=

AB。第41頁,共4