第01講整式的乘法運算（知識解讀達標(biāo)檢測）

第01講整式的乘法運算【題型1單項式乘單項式】【題型2單項式乘多項式】【題型3多項式乘多項式】【題型4多項式乘多項式不存在某項問題】【題型5多項式乘多項式的實際應(yīng)用】考點1：單項式乘單項式法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．【題型1單項式乘單項式】【典例1】（2023春?青龍縣期末）計算2x2y?xy2的結(jié)果是2x3y3．【答案】2x3y3．【解答】解：2x2y?xy2＝2x3y3．故答案為：2x3y3．【變式11】（2023?長嶺縣模擬）計算（2x）2（﹣3xy2）＝﹣12x3y2．【答案】﹣12x3y2．【解答】解：（2x）2（﹣3xy2）＝4x2?（﹣3xy2）＝4×（﹣3）?（x2?x）?y2＝﹣12x3y2．故答案為：﹣12x3y2．【變式12】（2023春?永定區(qū)期末）計算：2（a2）3?（﹣3a2b）＝﹣6a8b．【答案】﹣6a8b．【解答】解：2（a2）3?（﹣3a2b）＝2a6?（﹣3a2b）＝﹣6a8b．故答案為：﹣6a8b．【變式13】（2023春?新城區(qū)校級期末）＝﹣3x4y5．【答案】﹣3x4y5．【解答】解：原式＝6×（﹣）?（x?x3）?（y3?y2）＝﹣3x4y5，故答案為：﹣3x4y5．【題型2單項式乘多項式】【典例2】（2023春?秦都區(qū)期中）計算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【答案】﹣20a2．【解答】解：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2．【變式21】（2023春?青秀區(qū)期中）化簡：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【答案】﹣4x2+18x．【解答】解：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）＝x+2x2+2x﹣6x2+15x＝﹣4x2+18x．【變式22】（2022春?槐蔭區(qū)期末）計算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【答案】﹣6a2+12ab．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab．【變式23】（2022春?平桂區(qū)期中）計算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【答案】4m3．【解答】解：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）＝m4+m3﹣m4+3m3＝4m3．考點2：單項式乘多項式法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加．【題型3多項式乘多項式】【典例3】（2022秋?惠陽區(qū)校級月考）計算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【答案】（1）x3﹣3x2+4x﹣12；（2）3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【解答】解：（1）（x﹣3）（x2+4）＝x3﹣3x2+4x﹣12；（2）（3x2﹣y）（x+2y）＝3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【變式31】（2022秋?興城市期末）計算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【答案】4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【解答】解：原式＝4a3+12a2b+10ab2﹣6a2b﹣18ab2﹣15b3＝4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【變式32】（2022秋?南宮市期末）計算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【答案】10﹣7x．【解答】解：原式＝x2﹣7x+10﹣x2＝10﹣7x．【變式33】（2023春?沙坪壩區(qū)校級期末）計算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【答案】（1）2x6﹣12x5﹣6x4；（2）4x2﹣19．【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4＝2x6﹣12x5﹣6x4（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15＝4x2﹣19考點3：多項式乘多項式法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加．【題型4多項式乘多項式不存在某項問題】【典例4】（2023春?昭平縣期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展開式中不含x2項，常數(shù)項是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）7．【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，由于展開式中不含x2項，常數(shù)項是﹣6，則2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，∴原式＝m3+n3＝（﹣1）3+23，＝﹣1+8＝7．【變式41】（2023春?巨野縣期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展開式中不含x2和x3項，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝3，n＝8；（2）m3+n3．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，∵展開式中不含x2和x3項，∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，解得：m＝3，n＝8；（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3．【變式42】（2023春?溫江區(qū)校級期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展開式中不含x項，x2項的系數(shù)為﹣1，求nm的值．【答案】36．【解答】解：（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn＝x3+（﹣3+m）x2+（n﹣3m）x+mn，∵展開式中不含x項，x2項的系數(shù)為﹣1，∴n﹣3m＝0，﹣3+m＝﹣1，解得：m＝2，n＝6，∴nm＝62＝36．【變式43】（2023春?茶陵縣期中）若的積中不含x項與x2項．（1）求p、q的值；（2）求代數(shù)式p2022q2023的值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝，∵不含x2項與x項，∴3p﹣1＝0，，∴，q＝3；（2）當(dāng)，q＝3時，原式＝＝＝12022×3＝1×3＝3．【題型5多項式乘多項式的實際應(yīng)用】【典例5】（2022秋?松原期末）如圖，某小區(qū)有一塊長為（2a+3b）米，寬為（3a+2b）米的長方形地塊，物業(yè)公司計劃在小區(qū)內(nèi)修一條平行四邊形小路，小路的底邊寬為a米，將陰影部分進行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積S；（2）若a＝2，b＝4，求出此時綠化的總面積S．【答案】（1）（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）196平方米．【解答】解：（1）由題意得：S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab＝（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）當(dāng)a＝2，b＝4，S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．【變式51】（2023春?綏德縣期末）如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為2a+b，寬為a+b的長方形空地，計劃在中間留兩個長方形噴泉池（圖中陰影部分），兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道．（1）求該長方形空地的面積；（用代數(shù)式表示）（2）求這兩個長方形噴泉池的總面積；（用代數(shù)式表示）（3）當(dāng)a＝200，b＝100時，求這兩個長方形噴泉池的總面積．【答案】（1）2a2+3ab+b2；（2）2a2﹣4ab+2b2；（3）20000．【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，答：該長方形空地的面積為2a2+3ab+b2．（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．答：這兩個長方形噴泉池的總面積為2a2﹣4ab+2b2．（3）當(dāng)a＝200，b＝100時，這兩個長方形噴泉池的總面積為2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．即這兩個長方形噴泉池的總面積為20000．【變式52】（2022秋?晉江市期末）甲、乙兩個長方形的邊長如圖所示，其面積分別記為S1，S2．（1）請通過計算比較S1與S2的大??；（2）若一個正方形的周長等于甲、乙兩個長方形的周長的和，設(shè)該正方形的面積為S3，試說明代數(shù)式S3﹣2（S1+S2）的值是一個常數(shù)．【答案】（1）S1＞S2；（2）代數(shù)式S3﹣2（S1+S2）的值是一個常數(shù)20．【解答】解：（1），，∵，∴S1＞S2；（2）由題意得：正方形的邊長是：，∴，∵＝4m2+24m+36﹣2m2﹣12m﹣16﹣2m2﹣12m＝20，∴代數(shù)式S3﹣2（S1+S2）的值是一個常數(shù)20．【變式53】（2023春?張店區(qū)期中）某學(xué)校準(zhǔn)備在一塊長為（3a+2b）米，寬為（2a+b）米的長方形空地上修建一塊長為（a+2b）米，寬為（3a﹣b）米的長方形草坪，四周鋪設(shè)地磚（陰影部分），（1）求鋪設(shè)地磚的面積；（用含a、b的式子表示，結(jié)果化為最簡）（2）若a＝3，b＝4，鋪設(shè)地磚的成本為50元/平方米，則完成鋪設(shè)地磚需要多少元？【答案】（1）（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）5750元．【解答】解：（1）（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（3a﹣b）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣（3a2﹣ab+6ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+ab﹣6ab+2b2＝（3a2+2ab+4b2）平方米．故鋪設(shè)地磚的面積為（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）當(dāng)a＝3，b＝4時，原式＝3×32+2×3×4+4×42＝3×9+24+4×16＝27+24+64＝115，則115×50＝5750（元）．答：完成鋪設(shè)地磚需要5750元．【典例6】（2022秋?西湖區(qū)校級期末）當(dāng)我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由圖2可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用圖3中的紙片（足夠多），畫出一種拼圖，使該拼圖可用來驗證等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）如圖所示：故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．【變式61】（2023春?龍泉驛區(qū)期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結(jié)合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，若干張邊長為a的正方形A紙片，邊長為b的正方形B紙片，長和寬分別為a與b的長方形C紙片（如圖1）．（1）小李同學(xué)拼成一個寬為（a+b），長為（a+2b）的長方形（如圖2），并用不同的方法計算面積，從而得出相應(yīng)的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填寫到橫線上）；（2）如果用這三種紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+3b）的大長方形，求需要A，B，C三種紙片各多少張；（3）利用上述方法，畫出面積為2a2+5ab+2b2的長方形，并求出此長方形的周長（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）A紙片需要2張，B紙片需要3張，C紙片需要7張；（3）6a+6b．【解答】解：（1）圖2是長為（a+2b），寬為（a+b）的長方形，因此面積為（a+2b）（a+b），圖2是6個部分的面積和，即a2+3ab+2b2，因此（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，故答案為：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∵A紙片的面積為a2，B紙片的面積為b2，C紙片的面積為ab，∴A紙片需要2張，B紙片需要3張，C紙片需要7張；（3）由于2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），因此可以拼成長為（2a+b），寬為（a+2b）的長方形，如圖所示：這個長方形的周長為：2×[（2b+a）+（2a+b）]＝6a+6b，答：此長方形的周長為6a+6b．【變式62】（2021秋?羅莊區(qū)期末）我們知道多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解釋，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用圖1或圖2等圖形的面積表示：（1）請你寫出圖3所表示的一個等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）試畫出一個圖形，使它的面積能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵長方形的面積＝長×寬，∴圖3的面積＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故圖3所表示的一個等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故答案為：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）∵圖形面積為：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，∴長方形的面積＝長×寬＝（a+b）（a+3b），由此可畫出的圖形為：一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?長春期末）下列各式中結(jié)果為2x4的是（）A．x4?x4 B．x4+x4 C．2x2+x2 D．2x?x4【答案】B【解答】解：A、x4?x4＝x8，故答案錯誤，B、x4+x4＝2x4，故答案正確，C、2x2+x2＝3x2，故答案錯誤，D、2x?x4＝2x5，故答案錯誤，故選：B．2．（2023秋?豐都縣期中）計算6a2×a3的結(jié)果是（）A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5【答案】D【解答】解：6a2×a3＝3a5．故選：D．3．（2023秋?西青區(qū)期末）計算的結(jié)果是（）A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x【答案】D【解答】解：＝＝6x3﹣2x2+12x，故選：D．4．（2022秋?玉山縣期末）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次項，則a的值是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+（a+3）x2+x，因為﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次項，所以a+3＝0，所以a＝﹣3．故選：C．5．（2022秋?東莞市校級期末）若（﹣2x2y3）m?（xy）n＝ax7y9，則常數(shù)a的值為（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵（﹣2x2y3）m?（xy）n＝ax7y9，∴（﹣2）mx2my3m?xnyn＝ax7y9，∴（﹣2）mx2m+ny3m+n＝ax7y9，∴，解得：，故（﹣2）m＝4．故選：C．6．（2023秋?祁東縣校級期中）已知單項式3x2y3與﹣2xy2的積為mx3yn，那么m、n的值為（）A．m＝﹣6，n＝6 B．m＝﹣6，n＝5 C．m＝1，n＝6 D．m＝1，n＝5【答案】B【解答】解：由題意得：3x2y3×（﹣2xy2）＝mx3yn，∴﹣6x3y5＝mx3yn，∴m＝﹣6，n＝5．故選：B．7．（2023秋?唐山期末）已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，則m的值是（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【答案】C【解答】解：（2x+1）（x+3）＝2x2+6x+x+3＝2x2+7x+3，∵（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，∴m＝7，故選：C．8．（2023秋?沂水縣期末）根據(jù)圖1的面積可以說明多項式的乘法運算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根據(jù)圖2的面積可以說明多項式的乘法運算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【答案】A【解答】解：根據(jù)圖2的面積得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故選：A．9．（2022秋?威縣期末）計算：﹣5xy（2y+x﹣8）＝﹣10xy2﹣5x2y+□，□表示（）A．﹣40xy B．﹣5xy C．﹣8 D．40xy【答案】D【解答】解：﹣5xy（2y+x﹣8）＝﹣10xy2﹣5x2y+40xy．∴□內(nèi)應(yīng)填寫+40xy．故選：D．10．（2023秋?閩侯縣期末）若x+3與x+m的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．0 B．3 C．﹣3 D．1【答案】C【解答】解：（x+3）（x+m）＝x2+mx+3x+3m＝x2+（m+3）x+3m，∵x+3與x+m的乘積中不含x的一次項，∴m+3＝0，解得：m＝﹣3，故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2023秋?綏棱縣期末）閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積時，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如，本題圖中由左圖可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．請寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）；故答案為：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．12．（2023秋?武都區(qū)期末）計算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝2x2﹣5xy+2y2．【答案】2x2﹣5xy+2y2．【解答】解：原式＝2x?x﹣2x?2y﹣y?x+y?2y＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2＝2x2﹣5xy+2y2．故答案為：2x2﹣5xy+2y2．13．（2023秋?衡陽期末）若（x+2）（3x﹣5）＝3x2+bx﹣10，則b＝1．【答案】1．【解答】解：（x+2）（3x﹣5）＝3x2+6x﹣5x﹣10＝3x2+x﹣10，∵（x+2）（3x﹣5）＝3x2+bx﹣10，∴3x2+x﹣10＝3x2+bx﹣10，∴b＝1，故答案為：1．14．（2023秋?武威期末）（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，且不含有x的一次項，∴m+3＝0，即m＝﹣3，故答案為：﹣3．15．（2023秋?南寧期末）某農(nóng)戶租兩塊土地種植沃柑．第一塊是邊長為am的正方形，第二塊是長為（a+10）m，寬為（a+5）m的長方形，則第二塊比第一塊的面積多了（15a+50）m2．【答案】（15a+50）．【解答】解：由題意得：（a+10）（a+5）﹣a2＝a2+5a+10a+50﹣a2＝a2﹣a2+5a+10a+50＝（15a+50）m2，∴第二塊比第一塊的面積多了（15a+50）m2，故答案為：（15a+50）．三．解答題（共5小題）16．（2023秋?永吉縣期末）計算：3m（2m﹣1）+2m（﹣3m）．【答案】﹣3m．【解答】解：3m（2m﹣1）+2m（﹣3m）＝6m2﹣3m﹣6m2＝﹣3m．17．（2023秋?哈密市期末）計算：（1）（﹣2a3）2?a6+（﹣a2）+a10；（2）（3m+2n）（m﹣5n）+13mn．【答案】（1）4a12+a10﹣a2；（2）3m2﹣10n2．【解答】解：（1）原式＝4a6?a6﹣a2+a10＝4a12+a10﹣a2；（2）原式＝3m2﹣15mn+2mn﹣10n2+13mn＝3m2﹣10n2+13mn+2mn﹣15mn＝3m2﹣10n2．18．（2023秋?同安區(qū)期末）計算：（1）4a2b?（﹣2ab）+（2a）2；（2）（2x+5）（x﹣3）．【答案】（1）﹣8a3b2+4a2；（2）2x2﹣x﹣15．【解答】解：（1）原式＝4a2b?（﹣2ab）+4a2＝﹣8a3b2+4a2；（2）原式＝2x2﹣6x+5x﹣15＝2x2﹣x﹣15．19．（2023秋?城口縣期末）如圖是一塊長為（2a+3b）厘米，寬為（2a